資源簡介

第1課時　數列的概念與表示 [教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
[課時目標]
1.了解數列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式).會由數列的前幾項歸納出通項公式.
2.會用數列的通項公式寫出數列的任意一項,理解數列是一種特殊函數,并能通過函數思想研究數列的性質.
逐點清(一)　數列的概念與分類
[多維理解]
1.數列的概念
定義 按照一定　　　排列的一列數稱為數列
項 數列中的　　　　都叫作這個數列的項
數列的 表示 數列的一般形式可以寫成a1,a2,a3,…,an,…,簡記為　　　,其中a1稱為數列{an}的第1項或　　　,a2稱為第2項……an稱為第n項
2.數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數 有窮數列 項數　　　的數列
無窮數列 項數　　　的數列
按項的 變化趨勢 遞增數列 從第2項起,每一項都　　　它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起,每一項都　　　它的前一項的數列
常數列 各項　　　的數列
擺動數列 從第2項起,有些項　　　它的前一項,有些項　　　它的前一項的數列
|微|點|助|解|
(1)數列的項與項數是兩個不同的概念:數列的項是指數列中的某一個確定的數,而項數是指這個數在數列中的位置序號.
(2)數列中的數是按一定次序排列的,因此,如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數列.
(3)定義中并沒有規定數列中的數必須不同,因此,同一個數在數列中可以重復出現.
[微點練明]
1.下列各項表示數列的是 (　　)
A.a,b,c,…,x,y,z
B.2 019,2 020,2 021,…,2 025
C.銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形
D.a+b,a-b,ab,2a
2.下列有關數列的說法正確的是 (　　)
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列-2,0,2與數列2,0,-2是同一個數列
C.數列2,4,6,8可表示為{2,4,6,8}
D.數列中的每一項都與它的序號有關
3.已知下列數列:
①2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023,2 024;
②1,,,…,,…;
③1,-,,…,,…;
④1,0,-1,…,sin,…;
⑤2,4,8,16,32,…;
⑥-1,-1,-1,-1.
其中,有窮數列是　　　,無窮數列是　　　　,遞增數列是　　　,遞減數列是　　　,常數列是　　　,擺動數列是　　　　(填序號).
逐點清(二)　數列的通項公式
[多維理解]
　　一般地,如果數列{an}的第n項與　　　之間的關系可以用　　　　　　來表示,那么這個　　　叫作這個數列的通項公式.
|微|點|助|解|
(1)并不是所有的數列都有通項公式,就像并不是所有的函數都能用解析式表示一樣.
(2)一個數列的通項公式可以有不同的形式,如an=(-1)n還可以寫成an=(-1的形式等.
(3)已知通項公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出數列的各項.
[微點練明]
1.已知數列{an}的通項公式為an=,n∈N*,則該數列的前4項依次為 (　　)
A.1,0,1,0 B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
2.下列四個數中,是數列{n(n+1)}中的一項的是 (　　)
A.380 B.392
C.321 D.232
3.已知數列{an}的通項公式為an=2 026-3n,則使an>0成立的正整數n的最大值為　　　　.
4.已知數列{an}的通項公式為an=(n∈N*).
(1)計算a3+a4的值;
(2)是不是該數列中的項 若是,應為第幾項 若不是,請說明理由.
5.寫出數列的一個通項公式,使它的前幾項分別是下列各數:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2),2,,8,,…;
(3)1,2,3,4,5,…;
(4)-,,-,,…;
(5)3,33,333,3 333,….
逐點清(三)　數列的函數特性
[典例]　設數列{an}的通項公式為an=n2+kn,數列{an}是遞增的,求實數k的取值范圍.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.若本例條件增加“an≥a6恒成立”,求實數k的取值范圍.
2.若本例條件增加“數列{an}僅第7項最小”,求實數k的取值范圍.
3.若本例條件“an=n2+kn”變為“an=n·”,求數列{an}中的最大項.
|思|維|建|模|
(1)函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區別,即數列所對應的函數若具有單調性,則數列一定具有單調性,反之若數列具有單調性,其所對應的函數不一定具有單調性.
(2)求數列的最大(小)項,還可以通過研究數列的單調性求解.一般地,若則an為最大項;若則an為最小項.
　　[針對訓練]
　已知數列{an}的通項公式為an=.
(1)討論數列{an}的單調性;
(2)求數列{an}的最大項和最小項.
第1課時　數列的概念與表示
[逐點清(一)]
[多維理解]　1.次序　每個數　{an}　首項
2．有限　無限　大于　小于　相等　大于　小于
[微點練明]
1．B　2.D
3．①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④
[逐點清(二)]
[多維理解]　序號n　一個公式　公式
[微點練明]
1．A　2.A　3.675
4．解：(1)在數列{an}中，an＝，a3＝＝，a4＝＝，所以a3＋a4＝＋＝.
(2)若為數列{an}中的項，則＝，即n(n＋2)＝120，整理得n2＋2n－120＝0，而n∈N*，解得n＝10，所以是數列{an}的第10項．
5．解：(1)觀察數列中的數可以看出0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，所以它的一個通項公式可以是an＝n2－1.
(2)數列的項有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察，該數列為，，，，，…，其分母都是2，分子都是序號的平方，故an＝，n∈N*.
(3)此數列的整數部分為1,2,3,4，…，恰好是序號n，分數部分與序號n的關系為，故所求數列的一個通項公式為an＝n＋＝.
(4)這個數列的前4項為－，，－，，它們的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，故an＝，n∈N*.
(5)原數列的各項可變為×9，×99，×999，×9 999，…，易知9,99,999，9 999，…的通項為10n－1，則原數列的通項公式為an＝(10n－1)．
[逐點清(三)]
[典例]　解：∵數列{an}是遞增的，
∴an整理得k>－2n－1對任意n∈N*恒成立．
∵f(n)＝－2n－1(n∈N*)的最大值為－3，
∴k>－3，即k的取值范圍是(－3，＋∞)．
[變式拓展]
1．解：由an＝n2＋kn＝2－，對稱軸為n＝－.因為不等式an≥a6恒成立，所以≤－≤，所以－13≤k≤－11.故實數k的取值范圍為[－13，－11]．
2．解：由an＝n2＋kn，知對稱軸n＝－.因為數列{an}僅第7項最小，所以<－<，解得－153．解：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－n·n＝·n，當n<2時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝2時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>2時，an＋1－an<0，即an＋1a4>a5>…>an>…，所以數列{an}中的最大項為a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝.
[針對訓練]
解：(1)數列{an}的通項公式an＝＝1＋，據此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，所以當n<16時，數列{an}遞減；當n≥16時，數列{an}遞減．
(2)由(1)知數列{an}的最大項為a16＝，最小項為a15＝.
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4.1
數　列
數列的概念與表示
[教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
第1課時
課時目標
1.了解數列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式).會由數列的前幾項歸納出通項公式.
2.會用數列的通項公式寫出數列的任意一項，理解數列是一種特殊函數，并能通過函數思想研究數列的性質.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　數列的概念與分類
逐點清(二)　數列的通項公式
逐點清(三)　數列的函數特性
4
課時檢測
逐點清(一)　數列的概念與分類
01
多維理解
1.數列的概念
定義 按照一定______排列的一列數稱為數列
項 數列中的________都叫作這個數列的項
數列的 表示 數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為_____，其中a1稱為數列{an}的第1項或_____，a2稱為第2項……an稱為第n項
次序
每個數
{an}
首項
2.數列的分類
分類標準 名稱 含義
按項的 個數 有窮數列 項數______的數列
無窮數列 項數______的數列
按項的 變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都______它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都______它的前一項的數列
常數列 各項______的數列
擺動數列 從第2項起，有些項______它的前一項，有些項_______它的前一項的數列
有限
無限
大于
小于
相等
大于
小于
|微|點|助|解|
(1)數列的項與項數是兩個不同的概念:數列的項是指數列中的某一個確定的數，而項數是指這個數在數列中的位置序號.
(2)數列中的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列.
(3)定義中并沒有規定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現.
微點練明
1.下列各項表示數列的是 (　　)
A.a，b，c，…，x，y，z
B.2 019，2 020，2 021，…，2 025
C.銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形
D.a+b，a-b，ab，2a
解析:數列必須由數組成，A、C、D中均不是數.
√
2.下列有關數列的說法正確的是 (　　)
A.同一數列的任意兩項均不可能相同
B.數列-2，0，2與數列2，0，-2是同一個數列
C.數列2，4，6，8可表示為{2，4，6，8}
D.數列中的每一項都與它的序號有關
解析:常數列中任意兩項都是相同的，所以A不正確；數列-2，0，2與2，0，-2中數字的排列順序不同，不是同一個數列，所以B不正確；{2，4，6，8}表示一個集合，不是數列，所以C不正確；根據數列的定義知，數列中的每一項與它的序號是有關的，所以D正確.故選D.
√
3.已知下列數列:
①2 017，2 018，2 019，2 020，2 021，2 022，2 023，2 024；
②1，，…，，…；③1，-，…，，…；④1，0，-1，…，sin，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥-1，-1，-1，-1.
其中，有窮數列是_____，無窮數列是___________，遞增數列是____，遞減數列是___，常數列是____，擺動數列是______ (填序號).
①⑥
②③④⑤
①⑤
②
⑥
③④
逐點清(二)　數列的通項公式
02
多維理解
　一般地，如果數列{an}的第n項與________之間的關系可以用______________來表示，那么這個_______叫作這個數列的通項公式.
序號n
一個公式
公式
|微|點|助|解|
(1)并不是所有的數列都有通項公式，就像并不是所有的函數都能用解析式表示一樣.
(2)一個數列的通項公式可以有不同的形式，如an=(-1)n還可以寫成an=
(-1的形式等.
(3)已知通項公式an=f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出數列的各項.
微點練明
1.已知數列{an}的通項公式為an=，n∈N*，則該數列的前4項依次為(　　)
A.1，0，1，0 B.0，1，0，1
C.，0，，0 D.2，0，2，0
√
解析:當n分別等于1，2，3，4時，a1=1，a2=0，a3=1，a4=0.
2.下列四個數中，是數列{n(n+1)}中的一項的是 (　　)
A.380 B.392
C.321 D.232
√
解析:n=19時，n(n+1)=380.
解析:由an=2 026-3n>0，解得n<=675+，因為n∈N*，所以正整數n的最大值為675.
3.已知數列{an}的通項公式為an=2 026-3n，則使an>0成立的正整數n的最大值為______.
675
4.已知數列{an}的通項公式為an=(n∈N*).
(1)計算a3+a4的值；
解:在數列{an}中，an=，a3==，
a4==，所以a3+a4=+=.
(2)是不是該數列中的項 若是，應為第幾項 若不是，請說明理由.
解:若為數列{an}中的項，則=，即n(n+2)=120，整理得n2+2n-120=0，而n∈N*，解得n=10，所以是數列{an}的第10項.
5.寫出數列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數:
(1)0，3，8，15，24，…；
解:觀察數列中的數可以看出0=1-1，3=4-1，8=9-1，15=16-1，24=25-1，所以它的一個通項公式可以是an=n2-1.
(2)，2，，8，，…；
解:數列的項有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察，該數列為，…，其分母都是2，分子都是序號的平方，故an=，n∈N*.
(3)1，2，3，4，5，…；
解:此數列的整數部分為1，2，3，4，…，恰好是序號n，分數部分與序號n的關系為，故所求數列的一個通項公式為an=n+=.
(4)-，-，…；
解:這個數列的前4項為-，-，它們的絕對值都等于序號與序號加1的乘積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，故an=，n∈N*.
(5)3，33，333，3 333，….
解:原數列的各項可變為×9，×99，×999，×9 999，…，易知9，99，999，9 999，…的通項為10n-1，則原數列的通項公式為an=(10n-1).
逐點清(三)　數列的函數特性
03
[典例]　設數列{an}的通項公式為an=n2+kn，數列{an}是遞增的，求實數k的取值范圍.
解:∵數列{an}是遞增的，∴an即n2+kn<(n+1)2+k(n+1)對任意n∈N*恒成立，
整理得k>-2n-1對任意n∈N*恒成立.
∵f(n)=-2n-1(n∈N*)的最大值為-3，
∴k>-3，即k的取值范圍是(-3，+∞).
1.若本例條件增加“an≥a6恒成立”，求實數k的取值范圍.
變式拓展
解:由an=n2+kn=-，對稱軸為n=-.
因為不等式an≥a6恒成立，所以≤-≤，
所以-13≤k≤-11.故實數k的取值范圍為[-13，-11].
2.若本例條件增加“數列{an}僅第7項最小”，求實數k的取值范圍.
解:由an=n2+kn，知對稱軸n=-.
因為數列{an}僅第7項最小，所以<-<，
解得-153.若本例條件“an=n2+kn”變為“an=n·”，求數列{an}中的最大項.
解:an+1-an=(n+1)-n·=·，當n<2時，an+1-an>0，即an+1>an；當n=2時，an+1-an=0，即an+1=an；當n>2時，an+1-an<0，
即an+1a4>a5>…>an>…，
所以數列{an}中的最大項為a2或a3，且a2=a3=2×=.
|思|維|建|模|
(1)函數的單調性與數列的單調性既有聯系又有區別，即數列所對應的函數若具有單調性，則數列一定具有單調性，反之若數列具有單調性，其所對應的函數不一定具有單調性.
(2)求數列的最大(小)項，還可以通過研究數列的單調性求解.一般地，若則an為最大項；若則an為最小項.
針對訓練
已知數列{an}的通項公式為an=.
(1)討論數列{an}的單調性；
解:數列{an}的通項公式an==1+，
據此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，
所以當n<16時，數列{an}遞減；當n≥16時，數列{an}遞減.
(2)求數列{an}的最大項和最小項.
解:由(1)知數列{an}的最大項為a16=，最小項為a15=.
課時檢測
04
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2
1.下列說法正確的是 (　　)
A.數列1，3，5，7可以表示為{1，3，5，7}
B.數列-2，-1，0，1，2與數列2，1，0，-1，-2是相同的數列
C.數列若用圖象表示，從圖象看都是一群孤立的點
D.數列的項數一定是無限的
√
16
解析:對A，{1，3，5，7}表示集合，不是數列；對B，兩個數列中包含的數雖然相同，但排列順序不同，不是相同的數列；對D，數列的項數可以是有限的也可以是無限的.故選C.
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2.下列數列中，既是遞增數列又是無窮數列的是 (　　)
A.1，，…
B.-1，-2，-3，-4
C.-1，-，-，-，…
D.1，，…，
√
16
解析:A、B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意.故選C.
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2
3.數列1，，…的第8項是(　　)
A. B.
C. D.
√
16
解析:觀察1，，…可看為，…，分母是2n-1，分子為n2，故第8項為，故選A.
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4.[多選]如果數列{an}為遞增數列，則{an}的通項公式可以為 (　　)
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
√
16
解析:對于A，a1=2，a2=1，故不是遞增數列，A不符合；對于B，an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0，故是遞增數列，B符合；對于C，an+1-an
=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0，故為遞增數列，C符合；對于D，an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0，故為遞增數列，D符合.故選BCD.
√
√
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5.數列{an}中，an=-2n2+29n+3，則此數列最大項的值是 (　　)
A.107 B.108
C.108 D.109
√
16
解析:an=-2n2+29n+3=-2+3=-2+3+，當n=7時，an最大且等于108.
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6.大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，則此數列的第40項為 (　　)
A.648 B.722 C.800 D.882
√
16
解析:由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，可得偶數項的通項公式為a2n=2n2.則此數列第40項為2×202=800.
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7.數列-1，，-，…的一個通項公式是(　　)
A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n· D.an=(-1)n·
√
16
解析:由數列-1，，-，…可知奇數項的符號為“-”，偶數項的符號為“+”，其分母為奇數2n-1，分子為n2.∴此數列的一個通項公式an=(-1)n·.
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8.[多選]已知數列{an}的前5項依次如圖所示，則{an}的通項公式可能為 (　　)
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
√
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√
√
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解析:an=sin時，a1=sin=1，a2=sin=0，a3=sin=-1，a4=sin=0，a5=sin=1，滿足題意，故A正確；an=|n-3|-1時，a1=|1-3|-1=1，a2=|2-3|-1=0，a3=|3-3|-1=-1，a4=|4-3|-1=0，a5=|5-3|-1=1，滿足題意，故B正確；an=時，a1=-1+2=1，a2=-2+2=0，a3=-3+2=-1，a4=4-4=0，a5=5-4=1，滿足題意，故C正確；an=(n-3)2-1時，a1=(1-3)2-1=3，不滿足題意，故D錯誤.
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9.數列{an}，{bn}的通項公式分別為an=3n-2，bn=2n，在數列{an}中去掉兩個數列的公共項后，小于25的項中質數占比為 (　　)
A. B. C. D.
√
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解析: {an}中的項依次為1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，…；{bn}中的項依次為2，4，8，16，32，64，…；{an}與{bn}小于25的公共項為4，16；在數列{an}中去掉{an}與{bn}的公共項后，小于25的項有1，7，10，13，19，22，其中質數有7，13，19，所以小于25的項中質數的占比為=.
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10.已知數列{an}滿足an=(n∈N*)，且數列{an}是遞增數列，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:因為an=(n∈N*)，且數列{an}是遞增數列，所以有解得116
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11.(5分)已知數列1，2，，…，則 是這個數列的第_____項.
16
8
解析:原數列前幾項可以看為，根據此規律可得數列通項公式為an=.令3n-2=22，則n=8.
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12.(5分)斐波那契數列的前7項是1，1，2，3，5，8，13，則該數列的第10項為______.
55
解析:1，1，2，3，5，8，13，21，…，則從第三項起，每一項均為前2項的數字之和，13+21=34，21+34=55，故該數列的第10項為55.
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13.(5分)已知數列{an}的通項公式為an=，則數列{an}的最大項是第_____項.
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解析:an==，當n≥6且n∈N*時，an>0，且遞減；當n≤5且n∈N*時，an<0，且遞減.∴當n=6時，an最大.
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14.(5分)歐拉函數φ(n)(n∈N*)的函數值等于所有不超過正整數n，且與n互質的正整數的個數(公約數只有1的兩個正整數稱為互質整數)，例如:φ(3)=2，φ(4)=2，則φ(8)=____；若bn=，則bn的最大值為____.
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解析:由題設φ(2)=1，則1~8中與8互質的數有1，3，5，7，共4個數，故φ(8)=4.在1~2n中，與2n互質的數為范圍內的所有奇數，共2n-1個，即φ(2n)=2n-1，所以bn==，則bn+1-bn=-=，當n≤2時bn+1-bn>0，當n≥3時bn+1-bn<0，即b1b4>b5>…，所以bn的最大值為b3==.
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15.(10分)在數列{an}中，an=n(n-8)-20，請回答下列問題:
(1)這個數列共有幾項為負 (3分)
16
解:由an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n+2)(n-10)<0，解得1≤n<10，n∈N*，所以數列{an}前9項為負數，即共有9項為負數.
(2)這個數列從第幾項開始遞增 (3分)
解:因為an+1-an=(n+1)(n+1-8)-20-[n(n-8)-20]=2n-7，當an+1-an=2n-7>0，n>，n∈N*，即從第4項開始數列{an}開始遞增.
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(3)這個數列中有無最小值 若有，求出最小值；若無，請說明理由.(4分)
16
解:an=n(n-8)-20=n2-8n-20=(n-4)2-36，
根據二次函數的性質知，當n=4時，
an取得最小值-36，即數列中有最小值，最小值為-36.
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16.(10分)已知數列{an}的通項公式為an=，試判斷數列{an}的單調性，并判斷該數列是否有最大項與最小項.
16
解:an+1-an=-=，當1≤n≤3時，an+1-an>0，即a1當n=4時，an+1-an=0，即a5=a4，當n≥5時，an+1-an<0，
即a5>a6>a7>…，所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)時遞增，
在n≥5(n∈N*)時遞減，所以數列{an}的最大項為a5=a4=，
又a1所以數列{an}的最小項為a1=-1.課時檢測(二十八)　數列的概念與表示
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.下列說法正確的是 (　　)
A.數列1,3,5,7可以表示為{1,3,5,7}
B.數列-2,-1,0,1,2與數列2,1,0,-1,-2是相同的數列
C.數列若用圖象表示,從圖象看都是一群孤立的點
D.數列的項數一定是無限的
2.下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是 (　　)
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
3.數列1,,,,…的第8項是 (　　)
A. B.
C. D.
4.[多選]如果數列{an}為遞增數列,則{an}的通項公式可以為 (　　)
A.an= B.an=2n-1
C.an=2n2-5n D.an=2n-1
5.數列{an}中,an=-2n2+29n+3,則此數列最大項的值是 (　　)
A.107 B.108
C.108 D.109
6.大衍數列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論,主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理.數列中的每一項,都代表太極衍生過程中,曾經經歷過的兩儀數量總和,是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.其前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數列的第40項為 (　　)
A.648 B.722
C.800 D.882
7.數列-1,,-,,…的一個通項公式是 (　　)
A.an=(-1)n· B.an=(-1)n·
C.an=(-1)n· D.an=(-1)n·
8.[多選]已知數列{an}的前5項依次如圖所示,則{an}的通項公式可能為 (　　)
A.an=sin
B.an=|n-3|-1
C.an=
D.an=(n-3)2-1
9.數列{an},{bn}的通項公式分別為an=3n-2,bn=2n,在數列{an}中去掉兩個數列的公共項后,小于25的項中質數占比為 (　　)
A. B.
C. D.
10.已知數列{an}滿足an=(n∈N*),且數列{an}是遞增數列,則實數a的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.
11.(5分)已知數列1,2,,,,…,則 是這個數列的第　　　項.
12.(5分)斐波那契數列的前7項是1,1,2,3,5,8,13,則該數列的第10項為　　 　.
13.(5分)已知數列{an}的通項公式為an=,則數列{an}的最大項是第　　　　項.
14.(5分)歐拉函數φ(n)(n∈N*)的函數值等于所有不超過正整數n,且與n互質的正整數的個數(公約數只有1的兩個正整數稱為互質整數),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,則φ(8)=　　　　;若bn=,則bn的最大值為　　　　.
15.(10分)在數列{an}中,an=n(n-8)-20,請回答下列問題:
(1)這個數列共有幾項為負 (3分)
(2)這個數列從第幾項開始遞增 (3分)
(3)這個數列中有無最小值 若有,求出最小值;若無,請說明理由.(4分)
16.(10分)已知數列{an}的通項公式為an=,試判斷數列{an}的單調性,并判斷該數列是否有最大項與最小項.
課時檢測(二十八)
1．選C　對A，{1,3,5,7}表示集合，不是數列；對B，兩個數列中包含的數雖然相同，但排列順序不同，不是相同的數列；對D，數列的項數可以是有限的也可以是無限的．故選C.
2．選C　A、B都是遞減數列，D是有窮數列，只有C符合題意．故選C.
3．選A　觀察1，，，，…可看為，，，，…，分母是2n－1，分子為n2，故第8項為，故選A.
4．選BCD　對于A，a1＝2，a2＝1，故不是遞增數列，A不符合；對于B，an＋1－an＝2n＋1－(2n－1)＝2>0，故是遞增數列，B符合；對于C，an＋1－an＝2(n＋1)2－5(n＋1)－(2n2－5n)＝4n－3>0，故為遞增數列，C符合；對于D，an＋1－an＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n>0，故為遞增數列，D符合．故選BCD.
5．選B　an＝－2n2＋29n＋3＝－2＋3＝－22＋3＋，當n＝7時，an最大且等于108.
6．選C　由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，…，可得偶數項的通項公式為a2n＝2n2.則此數列第40項為2×202＝800.
7．選A　由數列－1，，－，，…可知奇數項的符號為“－”，偶數項的符號為“＋”，其分母為奇數2n－1，分子為n2.∴此數列的一個通項公式an＝(－1)n·.
8．選ABC　an＝sin時，a1＝sin＝1，a2＝sin＝0，a3＝sin＝－1，a4＝sin＝0，a5＝sin＝1，滿足題意，故A正確；an＝|n－3|－1時，a1＝|1－3|－1＝1，a2＝|2－3|－1＝0，a3＝|3－3|－1＝－1，a4＝|4－3|－1＝0，a5＝|5－3|－1＝1，滿足題意，故B正確；an＝時，a1＝－1＋2＝1，a2＝－2＋2＝0，a3＝－3＋2＝－1，a4＝4－4＝0，a5＝5－4＝1，滿足題意，故C正確；an＝(n－3)2－1時，a1＝(1－3)2－1＝3，不滿足題意，故D錯誤．
9．選B　{an}中的項依次為1,4,7,10,13,16,19,22,25,28，…；
{bn}中的項依次為2,4,8,16,32,64，…；
{an}與{bn}小于25的公共項為4,16；
在數列{an}中去掉{an}與{bn}的公共項后，小于25的項有1,7,10,13,19,22，其中質數有7,13,19，所以小于25的項中質數的占比為＝.
10．選A　因為an＝(n∈N*)，且數列{an}是遞增數列，所以有解得111．解析：原數列前幾項可以看為，，，，，根據此規律可得數列通項公式為an＝.令3n－2＝22，則n＝8.
答案：8
12．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…，則從第三項起，每一項均為前2項的數字之和，13＋21＝34,21＋34＝55，故該數列的第10項為55.
答案：55
13．解析：an＝＝，當n≥6且n∈N*時，an>0，且遞減；當n≤5且n∈N*時，an<0，且遞減．∴當n＝6時，an最大．
答案：6
14．解析：由題設φ(2)＝1，則1～8中與8互質的數有1,3,5,7，共4個數，故φ(8)＝4.在1～2n中，與2n互質的數為范圍內的所有奇數，共2n－1個，即φ(2n)＝2n－1，所以bn＝＝，則bn＋1－bn＝－＝，
當n≤2時bn＋1－bn>0，
當n≥3時bn＋1－bn<0，
即b1b4>b5>…，
所以bn的最大值為b3＝＝.
答案：4　
15．解：(1)由an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n＋2)(n－10)<0，解得1≤n<10，n∈N*，所以數列{an}前9項為負數，即共有9項為負數．
(2)因為an＋1－an＝(n＋1)(n＋1－8)－20－[n(n－8)－20]＝2n－7，當an＋1－an＝2n－7>0，n>，n∈N*，即從第4項開始數列{an}開始遞增．
(3)an＝n(n－8)－20＝n2－8n－20＝(n－4)2－36，根據二次函數的性質知，當n＝4時，an取得最小值－36，即數列中有最小值，最小值為－36.
16．解：an＋1－an＝－＝，當1≤n≤3時，an＋1－an>0，即a1當n＝4時，an＋1－an＝0，
即a5＝a4，當n≥5時，an＋1－an<0，
即a5>a6>a7>…，
所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)時遞增，
在n≥5(n∈N*)時遞減，
所以數列{an}的最大項為a5＝a4＝，
又a1an＝≥0，
所以數列{an}的最小項為a1＝－1.
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