資源簡介

第2課時　等差數列的性質及應用 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]
　進一步理解等差數列,能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質,能運用等差數列的性質簡化計算.
題型(一)　等差數列的性質
(1)若{an}是公差為d的等差數列,則an=am+(n-m)d(m,n∈N*).
(2){an}是公差為d的等差數列,若正整數m,n,p,q滿足m+n=p+q,則am+an=ap+aq.
①特別地,當m+n=2k(m,n,k∈N*)時,am+an=2ak.
②對有窮等差數列,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(3)從等差數列中,每隔一定的距離抽取一項,組成的數列仍為等差數列.
(4)若{an}是公差為d的等差數列,則
①{c+an}(c為任一常數)是公差為d的等差數列;
②{can}(c為任一常數)是公差為cd的等差數列;
③{an+an+k}(k為常數,k∈N*)是公差為2d的等差數列.
(5)若{an},{bn}分別是公差為d1,d2的等差數列,則數列{pan+qbn}(p,q是常數)是公差為pd1+qd2的等差數列.
(6)若{an}的公差為d,則d>0 {an}為遞增數列;d<0 {an}為遞減數列;d=0 {an}為常數列.
[例1]　(1)已知數列{an}為等差數列,且a1+a2+a3=3,a2+a3+a4=6,則a8= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)設數列{an},{bn}都是等差數列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么數列{an+bn}的第37項為 (　　)
A.0 B.37
C.100 D.-37
聽課記錄:
|思|維|建|模|
(1)靈活利用等差數列的性質,可以減少運算.令m=1,an=am+(n-m)d即變為an=a1+(n-1)d,可以減少記憶負擔.
(2)等差數列運算的兩種常用思路
①基本量法:根據已知條件,列出關于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.
②巧用性質法:觀察等差數列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.
　　[針對訓練]
1.在等差數列{an}中,a3+a11=40,則a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值為 (　　)
A.84 B.72
C.60 D.48
2.[多選]已知遞增的等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則下列各式一定成立的有 (　　)
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
題型(二)　等差數列的設法與求解
[例2]　已知四個數依次成等差數列且是遞增數列,四個數的平方和為94,首尾兩數之積比中間兩數之積少18,求此等差數列.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
已知遞增的等差數列{an}的前三項之和為21,前三項之積為231,求數列{an}的通項公式.
|思|維|建|模|
等差數列項的常見設法
(1)通項法:設數列的通項公式,即設an=a1+(n-1)d.
(2)對稱項設法:當等差數列{an}的項數為奇數時,可設中間一項為a,再以公差為d向兩邊分別設項:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…;當等差數列{an}的項數為偶數時,可設中間兩項分別為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設項:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….對稱項設法的優點是,若有n個數構成等差數列,利用對稱項設出這個數列,則其各項和為na.
　　[針對訓練]
3.一個等差數列由三個數組成,三個數的和為9,三個數的平方和為35,求這三個數.
題型(三)　等差數列的實際應用
[例3]　某市出租車的計價標準為1.2元/km,起步價為10元,即最初的4 km(不含4 km)計費10元,如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需要支付多少車費
聽課記錄:
　　[變式拓展]
　在本例中,若某人乘坐該市的出租車去往18.5 km(不足1 km,按1 km計費)處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需支付多少車費
|思|維|建|模|
(1)解決實際應用問題,首先要認真領會題意,根據題目條件,尋找有用的信息.若一組數按次序“定量”增加或減少時,則這組數成等差數列.
(2)合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵,在解題過程中,一定要分清首項、項數等關鍵的問題.
　　[針對訓練]
4.做一個木梯需要7根橫梁,這7根橫梁的長度從上到下成等差數列,現有長為1.5 m的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁,長為2 m的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁,那么正中間的一根橫梁的長度是 (　　)
A. m B. m
C. m D. m
5.在通常情況下,從海平面到10 km高空,海拔每增加1 km,氣溫就下降一固定數值.如果海拔1 km高空的氣溫是9 ℃,海拔5 km高空的氣溫是-15 ℃,那么海拔2 km,4 km和8 km高空的氣溫各是多少
第2課時　等差數列的性質及應用
[題型(一)]
[例1]　(1)選D　由等差數列的下標性質可知a1＋a2＋a3＝3a2＝3，得a2＝1，
a2＋a3＋a4＝3a3＝6，得a3＝2，設等差數列{an}的公差為d，則d＝a3－a2＝1，
所以a8＝a2＋6d＝1＋6＝7.
(2)選C　因為{an}，{bn}都是等差數列，
所以{an＋bn}也是等差數列．
又因為a1＋b1＝100，a2＋b2＝100，所以數列{an＋bn}的公差為0，即數列{an＋bn}為常數列．所以{an＋bn}的第37項為100.
[針對訓練]
1．選C　在等差數列{an}中，a3＋a11＝2a7＝40，可得a7＝20，所以a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝(a4＋a10)－(a5＋a9)＋(a6＋a7＋a8)＝3a7＝60.故選C.
2．選BD　設等差數列{an}的公差為d，易知d＞0，∵等差數列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，且a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，∴a1＋a2＋a3＋…＋a101＝(a1＋a101)＋(a2＋a100)＋…＋(a50＋a52)＋a51＝101a51＝0，∴a51＝0，a1＋a101＝a2＋a100＝2a51＝0，故B、D正確，A錯誤；又∵a51＝a1＋50d＝0，∴a1＝－50d，∴a3＋a100＝(a1＋2d)＋(a1＋99d)＝2a1＋101d＝2×(－50d)＋101d＝d＞0，故C錯誤．
[題型(二)]
[例2]　解：設四個數依次為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則
又因為是遞增數列，所以d>0，所以解得a＝±，d＝，故此等差數列為－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
[變式拓展]
解：根據題意，設等差數列{an}的前三項分別為a1，a1＋d，a1＋2d，
則
即
解得或因為數列{an}為遞增數列，所以從而等差數列{an}的通項公式為an＝4n－1.
[針對訓練]
3．解：設這三個數分別為a－d，a，a＋d，根據題意，得
解得
∴這三個數為1,3,5或5,3,1.
[題型(三)]
[例3]　解：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費．
令a1＝11.2，表示4 km處的車費，公差d＝1.2，
那么當出租車行至14 km處時，n＝11，
此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付車費23.2元．
[變式拓展]
解：由題意知，當出租車行至18.5 km處時，n＝16，此時需支付車費a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．即需要支付車費29.2元．
[針對訓練]
4．選B　記7根橫梁的長度從上到下成等差數列{an}(1≤n≤7，n∈N),
由題意得，a1＋a2＋a3＝1.5，a5＋a6＋a7＝2，
∴3a2＝1.5,3a6＝2，故a2＝，a6＝.
∵2a4＝a2＋a6，∴a4＝，即正中間的一根橫梁的長度是 m.
5．解：設從海平面到10 km高空氣溫成等差數列{an}(1≤n≤10，n∈N)，公差為d，則a1＝9，a5＝－15，
所以d＝＝＝－6，
所以an＝－6n＋15，
所以a2＝9－6＝3，a4＝－6×4＋15＝－9，a8＝－6×8＋15＝－33，
所以海拔2 km高空的氣溫是3 ℃，海拔4 km高空的氣溫是－9 ℃，海拔8 km高空的氣溫是－33 ℃.
1 / 3(共48張PPT)
等差數列的性質及應用
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
第2課時
課時目標
　進一步理解等差數列，能根據等差數列的定義推出等差數列的常用性質，能運用等差數列的性質簡化計算.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　等差數列的性質
題型(二)　等差數列的設法與求解
課時檢測
4
題型(三)　等差數列的實際應用
題型(一)　等差數列的性質
01
(1)若{an}是公差為d的等差數列，則an=am+(n-m)d(m，n∈N*).
(2){an}是公差為d的等差數列，若正整數m，n，p，q滿足m+n=p+q，則am+an=ap+aq.
①特別地，當m+n=2k(m，n，k∈N*)時，am+an=2ak.
②對有窮等差數列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首末兩項的和，即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
(3)從等差數列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數列仍為等差數列.
(4)若{an}是公差為d的等差數列，則
①{c+an}(c為任一常數)是公差為d的等差數列；
②{can}(c為任一常數)是公差為cd的等差數列；
③{an+an+k}(k為常數，k∈N*)是公差為2d的等差數列.
(5)若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數列，則數列{pan+qbn}(p，q是常數)是公差為pd1+qd2的等差數列.
(6)若{an}的公差為d，則d>0 {an}為遞增數列；d<0 {an}為遞減數列；d=0 {an}為常數列.
[例1]　(1)已知數列{an}為等差數列，且a1+a2+a3=3，a2+a3+a4=6，則a8= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
√
解析:由等差數列的下標性質可知a1+a2+a3=3a2=3，得a2=1，a2+a3+a4
=3a3=6，得a3=2，設等差數列{an}的公差為d，則d=a3-a2=1，所以a8=a2+6d=1+6=7.
(2)設數列{an}，{bn}都是等差數列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么數列{an+bn}的第37項為 (　　)
A.0 B.37
C.100 D.-37
√
解析:因為{an}，{bn}都是等差數列，所以{an+bn}也是等差數列.又因為a1+b1=100，a2+b2=100，所以數列{an+bn}的公差為0，即數列{an+bn}為常數列.所以{an+bn}的第37項為100.
|思|維|建|模|
(1)靈活利用等差數列的性質，可以減少運算.令m=1，an=am+(n-m)d即變為an=a1+(n-1)d，可以減少記憶負擔.
(2)等差數列運算的兩種常用思路
①基本量法:根據已知條件，列出關于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量.
②巧用性質法:觀察等差數列中項的序號，若滿足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am+an=ap+aq=2ar.
針對訓練
1.在等差數列{an}中，a3+a11=40，則a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值為 (　　)
A.84 B.72
C.60 D.48
√
解析:在等差數列{an}中，a3+a11=2a7=40，可得a7=20，所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故選C.
2.[多選]已知遞增的等差數列{an}滿足a1+a2+a3+…+a101=0，則下列各式一定成立的有 (　　)
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
√
√
解析:設等差數列{an}的公差為d，易知d>0，∵等差數列{an}滿足a1+a2
+a3+…+a101=0，且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，∴a1+a2+a3+…+
a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0，∴a51=0，a1+a101=
a2+a100=2a51=0，故B、D正確，A錯誤；又∵a51=a1+50d=0，∴a1=-50d，a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0，故C錯誤.
題型(二)　等差數列的設法與求解
02
[例2]　已知四個數依次成等差數列且是遞增數列，四個數的平方和為94，首尾兩數之積比中間兩數之積少18，求此等差數列.
解:設四個數依次為a-3d，a-d，a+d，a+3d，
則
又因為是遞增數列，所以d>0，所以解得a=±，d=，
故此等差數列為-1，2，5，8或-8，-5，-2，1.
變式拓展
已知遞增的等差數列{an}的前三項之和為21，前三項之積為231，求數列{an}的通項公式.
解:法一　根據題意，設等差數列{an}的前三項分別為a1，a1+d，a1+2d，
則即
解得或因為數列{an}為遞增數列，所以從而等差數列{an}的通項公式為an=4n-1.
法二　由于數列{an}為等差數列，所以可設前三項分別為a2-d，a2，a2+d，由題意得
即解得或
由于數列{an}為遞增數列，所以從而an=4n-1.
|思|維|建|模| 等差數列項的常見設法
(1)通項法:設數列的通項公式，即設an=a1+(n-1)d.
(2)對稱項設法:當等差數列{an}的項數為奇數時，可設中間一項為a，再以公差為d向兩邊分別設項:…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…；當等差數列{an}的項數為偶數時，可設中間兩項分別為a-d，a+d，再以公差為2d向兩邊分別設項:…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，….對稱項設法的優點是，若有n個數構成等差數列，利用對稱項設出這個數列，則其各項和為na.
針對訓練
3.一個等差數列由三個數組成，三個數的和為9，三個數的平方和為35，求這三個數.
解:設這三個數分別為a-d，a，a+d，根據題意，得解得
∴這三個數為1，3，5或5，3，1.
題型(三)　等差數列的實際應用
03
[例3]　某市出租車的計價標準為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需要支付多少車費
解:根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費.
令a1=11.2，表示4 km處的車費，公差d=1.2，
那么當出租車行至14 km處時，n=11，此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付車費23.2元.
變式拓展
在本例中，若某人乘坐該市的出租車去往18.5 km(不足1 km，按1 km計費)處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需支付多少車費
解:由題意知，當出租車行至18.5 km處時，n=16，此時需支付車費a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付車費29.2元.
|思|維|建|模|
(1)解決實際應用問題，首先要認真領會題意，根據題目條件，尋找有用的信息.若一組數按次序“定量”增加或減少時，則這組數成等差數列.
(2)合理地構建等差數列模型是解決這類問題的關鍵，在解題過程中，一定要分清首項、項數等關鍵的問題.
針對訓練
4.做一個木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數列，現有長為1.5 m的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁，長為2 m的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁的長度是 (　　)
A. m B. m
C. m D. m
√
解析:記7根橫梁的長度從上到下成等差數列{an}(1≤n≤7，n∈N)，
由題意得，a1+a2+a3=1.5，a5+a6+a7=2，
∴3a2=1.5，3a6=2，故a2=，a6=.
∵2a4=a2+a6，∴a4=，即正中間的一根橫梁的長度是 m.
5.在通常情況下，從海平面到10 km高空，海拔每增加1 km，氣溫就下降一固定數值.如果海拔1 km高空的氣溫是9 ℃，海拔5 km高空的氣溫是-15 ℃，那么海拔2 km，4 km和8 km高空的氣溫各是多少
解:設從海平面到10 km高空氣溫成等差數列{an}(1≤n≤10，n∈N)，公差為d，則a1=9，a5=-15，所以d===-6，
所以an=-6n+15，所以a2=9-6=3，a4=-6×4+15=-9，a8=-6×8+15=-33，
所以海拔2 km高空的氣溫是3 ℃，海拔4 km高空的氣溫是-9 ℃，海拔8 km高空的氣溫是-33 ℃.
課時檢測
04
1
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2
1.已知等差數列{an}遞增且滿足a1+ a8=6，則a6的取值范圍是 (　　)
A.(-∞，3) B.(3，6)
C.(3，+∞) D.(6，+∞)
√
16
解析:因為{an}為等差數列，設公差為d，因為數列{an}遞增，所以d>0，所以a1+ a8= a3+ a6=2a6-3d=6，則2a6-6=3d>0，解得a6>3，故選C.
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2.已知數列{an}為等差數列，且a1+a5+a9=π，則cos(a2+a8)= (　　)
A.- B.-
C. D.
√
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解析:因為a1+a5+a9=π，所以3a5=π，解得a5=.由等差數列的性質知a2+a8=a1+a9=2a5，所以cos(a2+a8)=cos 2a5=cos =-.
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3.已知等差數列{an}的首項a1=2，公差d=8，在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}，則b2 024= (　　)
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
√
15
16
解析:設數列{bn}的公差為d1，由題意可知，b1=a1，b5=a2，b5-b1=a2-a1=8=4d1，故d1=2，故bn=2n，則b2 024=2 024×2=4 048.
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4.《九章算術》“竹九節”問題:現有一根9節的竹子，自上而下各節的容積成等差數列，上面4節的容積共3升，下面3節的容積共4升，則第5節的容積為 (　　)
A.1升 B.升
C.升 D.升
√
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解析:設自上而下9節竹子各節的容積構成等差數列{an}，其首項為a1，公差為d，由條件得即解得所以a5=a1+4d=.
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5.在等差數列{an}中，已知a3與a9是方程2x2-x+m=0的兩根，則=(　　)
A. B. C. D.
√
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解析:因為a3與a9是方程2x2-x+m=0的兩根，由根與系數的關系得a3+a9=，
又數列{an}為等差數列，所以a1+a11=a2+a10=a3+a9=…=2a6=，a6=，所以=====.
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6.將2至2 024這2 023個整數中能被3除余2且被5除余1的數按由小到大的順序排成一列構成一數列，則此數列的項數是 (　　)
A.132 B.133 C.134 D.135
15
16
解析:設所求數列為{an}，該數列為11，26，41，56，…，所以數列{an}為等差數列，且首項為a1=11，公差為d=26-11=15，所以an=a1+
(n-1)d=11+15(n-1)=15n-4，則2≤an≤2 024，即2≤15n-4≤2 024，解得≤n≤135，則滿足≤n≤135的正整數n的個數為135，因此該數列共有135項.
√
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4
2
7.[多選]在等差數列{an}中每相鄰兩項之間都插入k(k∈N*)個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.若b9是數列{an}的項，則k的值可能為(　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
15
16
√
√
√
1
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7
8
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10
11
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3
4
2
解析:由題意得，插入k(k∈N*)個數，則a1=b1，a2=bk+2，a3=b2k+3，a4=b3k+4，…. 所以等差數列{an}中的項在新的等差數列{bn}中間隔排列，且角標是以1為首項，k+1為公差的等差數列，所以an=b1+(n-1)(k+1)，因為b9是數列{an}的項，所以令1+(n-1)(k+1)=9，n∈N*，k∈N*，當n=2時，解得k=7，當n=3時，解得k=3，當n=5時，解得k=1，故k的值可能為1，3，7.
15
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1
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2
8.(5分)各項都為正數的等差數列{an}中，2a3-+2a11=0，則a5+a9=___.
解析:因為{an}為各項都為正數的等差數列，又2a3-+2a11=0，所以4a7-=0，即a7=4，所以a5+a9=2a7=8.
15
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8
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9.(5分)已知等差數列{an}滿足a5=2，a11=11，則-=______.
15
16
解析:法一　設數列首項為a1，公差為d，則解得所以a8=a1+7d=-4+=，a2=a1+d=-4+=-，故-=-==36.
法二　因為a5+a8=a2+a11，則a8-a2=a11-a5=9，因此-=(a8-a2)(a8+a2)=9×2a5=36.
36
1
5
6
7
8
9
10
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14
3
4
2
10.(5分)四個數成遞增等差數列，中間兩項的和為2，首末兩項的積為-8，則這四個數為____________________.
15
16
-2，0，2，4
解析:設這四個數為a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差為2d)，依題意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8，即a=1，a2-9d2=-8，所以d2=1，所以d=1或d=-1.又四個數成遞增等差數列，所以d>0，所以d=1，故所求的四個數為-2，0，2，4.
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11.(5分)已知數列{an}滿足a1=15，且3=3an-2.則ak·<0的k值為___.
15
16
23
解析:因為3an+1=3an-2，所以-an=-，所以數列{an}是首項為15，公差為-的等差數列，所以an=15-(n-1)=-n+.令an=-n+>0，得n<23.5.又k∈N*，所以使ak·<0的k值為23.
1
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2
12.在如表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數，使得每一行、每一列都成等差數列，問標有*號的空格應填的數是________.
15
16
142
*
74
2y 186
y 103
0 x 2x
1
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13
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3
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2
解析:記aij為第i行第j列的格中所填的數，則a52=x，a41=y.
由第3行得a33=，由第3列得a33=2×103-2x，所以2x+y=113　①.
由第1列得a21=3y，則由第2行得a23=2×74-3y，由第3列得a33+103=a23+2x，則a23=3×103-4x，所以2×74-3y=3×103-4x，即4x-3y=161　②，
聯立①②，得x=50，y=13，所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142.
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2
13.(5分)某城市的綠化建設有如下統計數據:
15
16
年份 2021 2022 2023 2024
綠化覆蓋率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的幾年繼續依此速度發展綠化，則至少到_______年該城市的綠化覆蓋率可超過23.4%.(填年份)
2030
1
5
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3
4
2
解析:由表中數據可知，每年的綠化覆蓋率成等差數列，設為{an}，則a1=17，公差d=17.8-17=0.8，故通項公式為an=a1+(n-1)d=17+0.8·
(n-1)=0.8n+16.2，令0.8n+16.2>23.4，解得n>9，2 021+9=2 030.故至少到2030年該城市的綠化覆蓋率可超過23.4%.
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2
14.(10分)已知{an}為等差數列，且a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值；(3分)
15
16
解:因為a1+a3+a5=18，a2+a4+a6=24，所以a3=6，a4=8，則公差d=2，
所以a20=a3+17d=40.
(2)若bn=an-，試判斷數列{bn}從哪一項開始大于0.(7分)
解:由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n，所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0，即3n->0，得n>，所以數列{bn}從第7項開始大于0.
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15.(10分)已知無窮等差數列{an}中，首項a1=3，公差d=-5，依次取出序號能被4除余3的項組成數列{bn}.
(1)求b1和b2；(4分)
15
16
解:數列{bn}是數列{an}的一個子數列，其序號構成以3為首項，4為公差的等差數列.
因為a1=3，d=-5，所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.
數列{an}中序號能被4除余3的項是{an}中的第3項，第7項，第11項，…，所以b1=a3=-7，b2=a7=-27.
1
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(2)求{bn}的通項公式；(4分)
15
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解:設{an}中的第m項是{bn}中的第n項，即bn=am，則m=3+4(n-1)=4n-1，所以bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n，即{bn}的通項公式為bn=13-20n(n∈N*).
(3){bn}中的第506項是{an}中的第幾項 (2分)
解:由(2)得m=4n-1=4×506-1=2 023，
即{bn}中的第506項是{an}中的第2 023項.
1
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16.(10分)已知正項數列{an}滿足a1=1，+=2，且a4-a2=.
(1)求數列{}的通項公式；(4分)
15
16
解:由已知得-=-，所以數列{}是等差數列，設其公差為d.由a4-a2=，得-=2.
所以2d=2，即d=1，所以=+(n-1)d=n.
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2
(2)求滿足不等式+1<2an的正整數n的最小值.(6分)
15
16
解:由an>0，得an=，所以原不等式可化為+1<2，兩邊平方可得n+6+2<4n，
即2<3n-6，所以4(n+5)<(3n-6)2，整理得(n-4)(9n-4)>0，解得n>4或n<.所以正整數n的最小值為5.課時檢測(三十一)　等差數列的性質及應用
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.已知等差數列{an}遞增且滿足a1+ a8=6,則a6的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
2.已知數列{an}為等差數列,且a1+a5+a9=π,則cos(a2+a8)= (　　)
A.- B.-
C. D.
3.已知等差數列{an}的首項a1=2,公差d=8,在{an}中每相鄰兩項之間都插入3個數,使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn},則b2 024= (　　)
A.4 044 B.4 046
C.4 048 D.4 050
4.《九章算術》“竹九節”問題:現有一根9節的竹子,自上而下各節的容積成等差數列,上面4節的容積共3升,下面3節的容積共4升,則第5節的容積為 (　　)
A.1升 B.升
C.升 D.升
5.在等差數列{an}中,已知a3與a9是方程2x2-x+m=0的兩根,則= (　　)
A. B.
C. D.
6.將2至2 024這2 023個整數中能被3除余2且被5除余1的數按由小到大的順序排成一列構成一數列,則此數列的項數是 (　　)
A.132 B.133
C.134 D.135
7.[多選]在等差數列{an}中每相鄰兩項之間都插入k(k∈N*)個數,使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列{bn}.若b9是數列{an}的項,則k的值可能為 (　　)
A.1 B.3
C.5 D.7
8.(5分)各項都為正數的等差數列{an}中,2a3-+2a11=0,則a5+a9=　　　　.
9.(5分)已知等差數列{an}滿足a5=2,a11=11,則-=　　　　.
10.(5分)四個數成遞增等差數列,中間兩項的和為2,首末兩項的積為-8,則這四個數為　　　　.
11.(5分)已知數列{an}滿足a1=15,且3=3an-2.則ak·<0的k值為　　　　.
12.(5分)在如表所示的5×5正方形的25個空格中填入正整數,使得每一行、每一列都成等差數列,問標有*號的空格應填的數是　　　　.
*
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2y 186
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0 x 2x
13.(5分)某城市的綠化建設有如下統計數據:
年份 2021 2022 2023 2024
綠化覆蓋率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的幾年繼續依此速度發展綠化,則至少到　　　年該城市的綠化覆蓋率可超過23.4%.(填年份)
14.(10分)已知{an}為等差數列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;(3分)
(2)若bn=an-,試判斷數列{bn}從哪一項開始大于0.(7分)
15.(10分)已知無窮等差數列{an}中,首項a1=3,公差d=-5,依次取出序號能被4除余3的項組成數列{bn}.
(1)求b1和b2;(4分)
(2)求{bn}的通項公式;(4分)
(3){bn}中的第506項是{an}中的第幾項 (2分)
16.(10分)已知正項數列{an}滿足a1=1,+=2,且a4-a2=.
(1)求數列{}的通項公式;(4分)
(2)求滿足不等式+1<2an的正整數n的最小值.(6分)
課時檢測(三十一)
1．選C　因為{an}為等差數列，設公差為d，因為數列{an}遞增，所以d>0，所以a1＋ a8＝ a3＋ a6＝2a6－3d＝6，則2a6－6＝3d>0，解得a6>3，故選C.
2．選A　因為a1＋a5＋a9＝π，所以3a5＝π，解得a5＝.由等差數列的性質知a2＋a8＝a1＋a9＝2a5，所以cos(a2＋a8)＝cos 2a5＝cos ＝－.
3．選C　設數列{bn}的公差為d1，由題意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5－b1＝a2－a1＝8＝4d1，故d1＝2，故bn＝2n，則b2 024＝2 024×2＝4 048.
4．選B　設自上而下9節竹子各節的容積構成等差數列{an}，其首項為a1，公差為d，
由條件得
即解得
所以a5＝a1＋4d＝.
5．選B　因為a3與a9是方程2x2－x＋m＝0的兩根，由根與系數的關系得a3＋a9＝，
又數列{an}為等差數列，所以a1＋a11＝a2＋a10＝a3＋a9＝…＝2a6＝，a6＝，
所以log4(a1＋a2＋…＋a11)＝log411a6＝log4＝2log4＝2log2＝.
6．選D　設所求數列為{an}，該數列為11,26,41,56，…，所以數列{an}為等差數列，且首項為a1＝11，公差為d＝26－11＝15，所以an＝a1＋(n－1)d＝11＋15(n－1)＝15n－4，則2≤an≤2 024，即2≤15n－4≤2 024，解得≤n≤135，則滿足≤n≤135的正整數n的個數為135，因此該數列共有135項．
7．選ABD　由題意得，插入k(k∈N*)個數，則a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4，…. 所以等差數列{an}中的項在新的等差數列{bn}中間隔排列，且角標是以1為首項，k＋1為公差的等差數列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因為b9是數列{an}的項，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*，當n＝2時，解得k＝7，當n＝3時，解得k＝3，當n＝5時，解得k＝1，故k的值可能為1,3,7.
8．解析：因為{an}為各項都為正數的等差數列，又2a3－a＋2a11＝0，所以4a7－a＝0，即a7＝4，所以a5＋a9＝2a7＝8.
答案：8
9．解析：設數列首項為a1，公差為d，則解得所以a8＝a1＋7d＝－4＋＝，a2＝a1＋d＝－4＋＝－，故a－a＝2－2＝＝36.
答案：36
10．解析：設這四個數為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)，依題意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四個數成遞增等差數列，所以d>0，所以d＝1，故所求的四個數為－2,0,2,4.
答案：－2,0,2,4
11．解析：因為3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以數列{an}是首項為15，公差為－的等差數列，所以an＝15－(n－1)＝－n＋.令an＝－n＋＞0，得n＜23.5.又k∈N*，所以使ak·ak＋1＜0的k值為23.
答案：23
12．解析：記aij為第i行第j列的格中所填的數，則a52＝x，a41＝y.
由第3行得a33＝，由第3列得a33＝2×103－2x，所以2x＋y＝113　①.
由第1列得a21＝3y，則由第2行得a23＝2×74－3y，由第3列得a33＋103＝a23＋2x，則a23＝3×103－4x，所以2×74－3y＝3×103－4x，即4x－3y＝161　②，
聯立①②，得x＝50，y＝13，所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172，a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142.
答案：142
13．解析：由表中數據可知，每年的綠化覆蓋率成等差數列，設為{an}，則a1＝17，公差d＝17.8－17＝0.8，故通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝17＋0.8·(n－1)＝0.8n＋16.2，令0.8n＋16.2>23.4，解得n>9,2 021＋9＝2 030.故至少到2030年該城市的綠化覆蓋率可超過23.4%.
答案：2030
14．解：(1)因為a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，所以a3＝6，a4＝8，則公差d＝2，
所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，所以bn＝×2n－＝3n－.
由bn>0，即3n－>0，得n>，
所以數列{bn}從第7項開始大于0.
15．解：數列{bn}是數列{an}的一個子數列，其序號構成以3為首項，4為公差的等差數列．
(1)因為a1＝3，d＝－5，
所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
數列{an}中序號能被4除余3的項是{an}中的第3項，第7項，第11項，…，
所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)設{an}中的第m項是{bn}中的第n項，
即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，所以bn＝am＝a4n－1＝8－5(4n－1)＝13－20n，
即{bn}的通項公式為bn＝13－20n(n∈N*)．
(3)由(2)得m＝4n－1＝4×506－1＝2 023，
即{bn}中的第506項是{an}中的第2 023項．
16．解：(1)由已知得a－a＝a－a，所以數列{a}是等差數列，設其公差為d.
由a4－a2＝，得a－a＝2.所以2d＝2，即d＝1，所以a＝a＋(n－1)d＝n.
(2)由an＞0，得an＝，
所以原不等式可化為＋1＜2，
兩邊平方可得n＋6＋2＜4n，
即2＜3n－6，所以4(n＋5)＜(3n－6)2，整理得(n－4)(9n－4)＞0，解得n＞4或n＜.所以正整數n的最小值為5.
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