資源簡介

4.2.3　等差數列的前n項和
第1課時　等差數列的前n項和 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程,掌握等差數列前n項和公式.
2.理解并應用等差數列前n項和的性質,能利用前n項和公式的性質求一些基本量.
1.數列前n項和的概念
一般地,對于數列{an},把　　　　　稱為數列{an}的前n項和,記作Sn.
2.等差數列的前n項和公式
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式
|微|點|助|解|
(1)公式Sn=反映了等差數列的性質,任意第k項與倒數第k項的和都等于首末兩項之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0時,Sn=na1;d≠0時,等差數列的前n項和Sn是關于n的沒有常數項的“二次函數”.
(3)公式里的n表示的是所求等差數列的項數.
3.等差數列前n項和的常見性質
(1)若數列{an}是公差為d的等差數列,則數列也是等差數列,且公差為　　.
(2)若Sn,S2n,S3n,…分別為等差數列{an}的前n項,前2n項,前3n項,…和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差數列,公差為　　　.
(3)設兩個等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,則=.
(4)若等差數列的項數為2n,則S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=　　,=(S奇≠0).
(5)若等差數列的項數為2n+1,則=(2n+1)an+1(an+1是數列的中間項),S偶-S奇=-an+1,=　　　(S奇≠0).
(6)在等差數列中,若Sn=m,Sm=n,則=-(m+n).
[提醒]　上述性質可用于小題,大題中要先證再用.性質(2)不要誤解為Sn,S2n,S3n,…成等差數列.
基礎落實訓練
1.已知等差數列{an}的首項a1=1,公差d=-2,則前10項和S10= (　　)
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若a4=18-a5,則S8等于 (　　)
A.72 B.54
C.36 D.18
3.已知等差數列{an},若a2=10,a5=1,則{an}的前7項的和是 (　　)
A.112 B.51
C.28 D.18
題型(一)　等差數列前n項和的基本運算
[例1]　(1)已知{an}為等差數列,公差d=2,前n項和為Sn,an=11,Sn=35,求a1,n;
(2)在等差數列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
　本例(1)中,將“d=2”改為“a1=3”,其他條件不變,求n和公差d.
|思|維|建|模|
等差數列中基本計算的兩個技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差數列的性質解題
　　[針對訓練]
1.等差數列{an}前n項和為Sn,公差d=-2,S3=21,則a1的值為 (　　)
A.10 B.9
C.6 D.5
2.(2024·全國甲卷)已知等差數列{an}的前n項和為Sn,若S9=1,則a3+a7= (　　)
A.-2 B.
C.1 D.
題型(二)　等差數列前n項和的性質及應用
[例2]　在項數為2n+1的等差數列中,若所有奇數項的和為165,所有偶數項的和為150,則n= (　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
[例3]　已知等差數列{an}的前m項和為30,前2m項和為100,求數列{an}前3m項的和S3m.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
等差數列前n項和運算的幾種思維方法
(1)整體思路:利用公式Sn=,設法求出整體a1+an,再代入求解.
(2)待定系數法:利用Sn是關于n的二次函數,設Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程組求出A,B即可,或利用是關于n的一次函數,設=an+b(a≠0)進行計算.
(3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數列進行求解.
　　[針對訓練]
3.等差數列{an}共有2n+1項,所有的奇數項之和為132,所有的偶數項之和為120,則n等于　　　　.
4.已知Sn是等差數列{an}的前n項和.若a1=-2 023,-=6,則S2 025=　　　　.
題型(三)　等差數列前n項和公式的應用
[例4]　若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n,求數列{an}的通項公式,并判斷數列{an}是否是等差數列.若是,請證明;若不是,請說明理由.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
　若本例中 Sn=2n2-3n變為Sn=2n2-3n-1,該如何求解
|思|維|建|模|
由Sn求得通項公式an的特點
　　若Sn是關于n的二次函數,不含常數項,則由Sn求得an,知數列{an}是等差數列;否則an=數列{an}不是等差數列.
　　[針對訓練]
5.已知數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ的值是　　　　　.
6.已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=-n2+13n.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求證:數列為等差數列.
第1課時　等差數列的前n項和
?課前預知教材
1．a1＋a2＋…＋an
2．Sn＝　Sn＝na1＋d
3．(1)　(2)n2d　(4)nd　(5)
[基礎落實訓練]
1．選D　由公式Sn＝na1＋d得S10＝10×1＋×(－2)＝－80.
2．選A　由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72，故選A.
3．選C　由題意知，解得則S7＝7a1＋d＝28，故選C.
?課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　解：(1)由題設可得
解得或
(2)由題設可得
即解得
故a10＝2＋3×(10－1)＝29.
[變式拓展]
解：由
得解得
[針對訓練]
1．選B　∵S3＝21，∴3a1＋d＝21，∴a1＋d＝7，∵d＝－2，∴a1＝9.
2．選D　設等差數列{an}的公差為d，由S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝1，得a1＋4d＝，所以a3＋a7＝a1＋2d＋a1＋6d＝2a1＋8d＝2(a1＋4d)＝，故選D.
[題型(二)]
[例2]　選B　根據等差數列前n項和的性質可得＝＝，解得n＝10.
[例3]　解：在等差數列中，
∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數列，
∴30,70，S3m－100成等差數列，
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
[針對訓練]
3．解析：因為等差數列共有2n＋1項，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.
答案：10
4．解析：由等差數列的性質可得數列也為等差數列．設其公差為d，則－＝6d＝6，所以d＝1.故＝＋2 024d＝－2 023＋2 024＝1，所以S2 025＝1×2 025＝2 025.
答案：2 025
[題型(三)]
[例4]　解：當n＝1時，a1＝S1＝－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，經檢驗，當n＝1時，a1＝－1滿足上式，故an＝4n－5.
數列{an}是等差數列，證明如下：
因為an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以數列{an}是等差數列．
[變式拓展]
解：∵Sn＝2n2－3n－1　①，
當n＝1時，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
當n≥2時，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1　②，
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
經檢驗當n＝1時，a1＝－2不滿足上式，故an＝故數列{an}不是等差數列，數列{an}是從第2項起以4為公差的等差數列．
[針對訓練]
5．解析：∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，
∴λ＝－1.
答案：－1
6．解：(1)當n＝1時，S1＝a1＝12；當n≥2時，∵Sn＝13n－n2，∴Sn－1＝13(n－1)－(n－1)2，∴an＝Sn－Sn－1＝14－2n(n≥2，n∈N*)．當n＝1時，a1＝14－2＝12滿足上式，故{an}的通項公式為an＝14－2n.
(2)證明：設bn＝＝13－n，其中b1＝12，
∴bn＋1＝13－(n＋1)＝12－n.∴bn＋1－bn＝12－n－13＋n＝－1，即數列是首項為12，公差為－1的等差數列．
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4.2.3
等差數列的前n項和
等差數列的前n項和
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
第1課時
課時目標
1.了解等差數列前n項和公式的推導過程，掌握等差數列前n項和公式.
2.理解并應用等差數列前n項和的性質，能利用前n項和公式的性質求一些基本量.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.數列前n項和的概念
一般地，對于數列{an}，把_______________稱為數列{an}的前n項和，記作Sn.
2.等差數列的前n項和公式
a1+a2+…+an
已知量 首項、末項與項數 首項、公差與項數
求和 公式 ___________ ______________
Sn=
Sn=na1+d
|微|點|助|解|
(1)公式Sn=反映了等差數列的性質，任意第k項與倒數第k項的和都等于首末兩項之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0時，Sn=na1；d≠0時，等差數列的前n項和Sn是關于n的沒有常數項的“二次函數”.
(3)公式里的n表示的是所求等差數列的項數.
3.等差數列前n項和的常見性質
(1)若數列{an}是公差為d的等差數列，則數列也是等差數列，且公差為____.
(2)若Sn，S2n，S3n，…分別為等差數列{an}的前n項，前2n項，前3n項，…和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差數列，公差為_____.
(3)設兩個等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則=.
(4)若等差數列的項數為2n，則S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=___，=(S奇≠0).
(5)若等差數列的項數為2n+1，則=(2n+1)an+1(an+1是數列的中間項)，S偶-S奇=-an+1，=_______(S奇≠0).
(6)在等差數列中，若Sn=m，Sm=n，則=-(m+n).
[提醒]　上述性質可用于小題，大題中要先證再用.性質(2)不要誤解為Sn，S2n，S3n，…成等差數列.
nd
基礎落實訓練
1.已知等差數列{an}的首項a1=1，公差d=-2，則前10項和S10= (　　)
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80.
√
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若a4=18-a5，則S8等于 (　　)
A.72 B.54
C.36 D.18
√
解析:由a4=18-a5，可得a4+a5=18，所以S8==4(a4+a5)=
4×18=72，故選A.
3.已知等差數列{an}，若a2=10，a5=1，則{an}的前7項的和是 (　　)
A.112 B.51
C.28 D.18
√
解析:由題意知，解得則S7=7a1+d=28，故選C.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　等差數列前n項和的基本運算
[例1]　(1)已知{an}為等差數列，公差d=2，前n項和為Sn，an=11，Sn=35，求a1，n；
解:由題設可得
解得或
(2)在等差數列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10.
解:由題設可得
即解得
故a10=2+3×(10-1)=29.
變式拓展
解:法一　由得解得
法二　∵a1=3，an=11，Sn=35，∴35==7n，即n=5.
又11=3+(5-1)d，∴d=2.
　本例(1)中，將“d=2”改為“a1=3”，其他條件不變，求n和公差d.
|思|維|建|模|
等差數列中基本計算的兩個技巧
(1)利用基本量求值
(2)利用等差數列的性質解題
針對訓練
1.等差數列{an}前n項和為Sn，公差d=-2，S3=21，則a1的值為 (　　)
A.10 B.9
C.6 D.5
√
解析:法一　∵S3=21，∴3a1+d=21，∴a1+d=7，∵d=-2，∴a1=9.
法二　S3=21，∴3a2=21，∴a2=7，∵a1=a2-d，∴a1=9.故選B.
2.(2024·全國甲卷)已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S9=1，則a3+a7= (　　)
A.-2 B.
C.1 D.
√
解析:法一　設等差數列{an}的公差為d，由S9=9a1+d=9(a1+4d)=1，得a1+4d=，所以a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=2(a1+4d)=，故選D.
法二　因為{an}為等差數列，所以S9==9a5=1，得a5=，所以a3+a7=2a5=，故選D.
法三　令公差d=0，則S9=9a1=1，解得a1=，所以a3+a7=2a1=.
題型(二)　等差數列前n項和的性質及應用
[例2]　在項數為2n+1的等差數列中，若所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，則n= (　　)
A.9 B.10
C.11 D.12
√
解析:根據等差數列前n項和的性質可得
==，解得n=10.
[例3]　已知等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，求數列{an}前3m項的和S3m.
解:法一　在等差數列中，∵Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數列，
∴30，70，S3m-100成等差數列，∴2×70=30+(S3m-100)，∴S3m=210.
法二　在等差數列中，成等差數列，
∴=+.即S3m=3(S2m-Sm)=3×(100-30)=210.∴S3m=210.
|思|維|建|模|
等差數列前n項和運算的幾種思維方法
(1)整體思路:利用公式Sn=，設法求出整體a1+an，再代入求解.
(2)待定系數法:利用Sn是關于n的二次函數，設Sn=An2+Bn(A≠0)，列出方程組求出A，B即可，或利用是關于n的一次函數，設=an+b(a≠0)進行計算.
(3)利用Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數列進行求解.
針對訓練
3.等差數列{an}共有2n+1項，所有的奇數項之和為132，所有的偶數項之和為120，則n等于_____.
10
解析:因為等差數列共有2n+1項，所以S奇-S偶=an+1=，即132-120=，解得n=10.
4.已知Sn是等差數列{an}的前n項和.若a1=-2 023，-=6，則S2 025
=_______.
2 025
解析:由等差數列的性質可得數列也為等差數列.設其公差為d，則-=6d=6，所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1，所以S2 025=1×2 025=2 025.
題型(三)　等差數列前n項和公式的應用
[例4]　若數列{an}的前n項和Sn=2n2-3n，求數列{an}的通項公式，并判斷數列{an}是否是等差數列.若是，請證明；若不是，請說明理由.
解:當n=1時，a1=S1=-1；當n≥2時，an=Sn-=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5，經檢驗，當n=1時，a1=-1滿足上式，故an=4n-5.
數列{an}是等差數列，證明如下:
因為-an=4(n+1)-5-4n+5=4，所以數列{an}是等差數列.
變式拓展
若本例中 Sn=2n2-3n變為Sn=2n2-3n-1，該如何求解
解:∵Sn=2n2-3n-1　①，
當n=1時，a1=S1=2-3-1=-2，
當n≥2時，=2(n-1)2-3(n-1)-1　②，
①-②得an=Sn-=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5，
經檢驗當n=1時，a1=-2不滿足上式，故an=故數列{an}不是等差數列，數列{an}是從第2項起以4為公差的等差數列.
|思|維|建|模|
由Sn求得通項公式an的特點
　　若Sn是關于n的二次函數，不含常數項，則由Sn求得an，知數列{an}是等差數列；否則an=數列{an}不是等差數列.
針對訓練
5.已知數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn=(n+1)2+λ，則λ的值是____.
-1
解析:∵Sn=n2+2n+1+λ，∴1+λ=0，∴λ=-1.
解:當n=1時，S1=a1=12；當n≥2時，∵Sn=13n-n2，∴Sn-1=13(n-1)-(n-1)2，∴an=Sn-Sn-1=14-2n(n≥2，n∈N*).當n=1時，a1=14-2=12滿足上式，故{an}的通項公式為an=14-2n.
6.已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=-n2+13n.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求證:數列為等差數列.
解:證明:設bn==13-n，其中b1=12，∴bn+1=13-(n+1)=12-n.∴bn+1-bn=12-n-13+n=-1，即數列是首項為12，公差為-1的等差數列.
課時檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.數列{an}為等差數列，它的前n項和為Sn，若Sn=(n+1)2+λ，則λ的值是 (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
√
解析:等差數列前n項和Sn的形式為Sn=an2+bn，所以λ=-1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a8=17，S17=340，則數列{an}的公差是 (　　)
A.-4 B.-3
C. D.3
√
15
解析:因為S17===17a9=340，所以a9=20，又a8=17，所以d=a9-a8=20-17=3.故選D.
1
5
6
7
8
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10
11
12
13
14
3
4
2
3.已知等差數列{an}中，a1=1，Sn為{an}的前n項和，S5=5S3-5，則S4= (　　)
A.4 B.-2
C.3 D.-1
√
15
解析:記等差數列{an}的公差為d，則S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5，整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×(-1)=-2.故選B.
1
5
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11
12
13
14
3
4
2
4.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，則a7+a8+a9= (　　)
A.27 B.45
C.81 D.18
√
15
解析:由等差數列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差數列，可得2(S6-S3)= S3+S9-S6，即2×(36-9)=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故選B.
1
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12
13
14
3
4
2
5.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a5=5，a1+S11=67，則a3a12是{an}中的 (　　)
A.第30項 B.第36項
C.第48項 D.第60項
√
15
解析:設公差為d，則解得所以an=n，則a3a12=3×12=36，令an=36，則n=36，所以a3a12是{an}中的第36項.故選B.
1
5
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14
3
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2
6.已知等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，且=，則=(　　)
A. B. C. D.
15
解析:由已知得=，可設Sn=kn(3n+5)，Tn=kn(4n+6)，則a7=S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故選A.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.[多選]已知數列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，則(　　)
A.a4=5 B.S20=300
C.S31=720 D.n為奇數時，Sn=
15
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由an+1+an=3n，則an+2+an+1=3(n+1)，兩式作差，得an+2-an=3，a1=1，當n為奇數時，{an}是首項為1，公差為3的等差數列，即an=n-；a2=2，當n為偶數時，{an}是首項為2，公差為3的等差數列，即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正確；S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)
=+=300，B正確；S31=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a30)
=+=721，C錯誤；n為奇數時，Sn=+
=+=，D正確.故選ABD.
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8.(5分)已知{an}是等差數列，其前n項和為Sn，若a3=2，且S6=30，則S9=______.
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126
解析:由已知可得解得∴S9=9a1+d=-90+36×6=126.
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9.(5分)等差數列{an}，{bn}前n項和分別為Sn，Tn，且=3，則=___.
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解析:由等差數列性質可得==3，解得=.
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10.(5分)設數列{an}的前n項和為Sn，點(n∈N*)均在函數y=2x-3的圖象上，則數列{an}的通項公式an=_______.
15
4n-5
解析:依題意得=2n-3，即Sn=2n2-3n，所以數列{an}為等差數列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3，設其公差為d，則d=4，所以an=4n-5(n∈N*).
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11.(5分)已知數列{an}中，a1=1，a2=2，對任意正整數n，-an=
2+cos nπ，Sn為{an}的前n項和，則S100=_______.
15
5 050
解析:當n為奇數時，-an=1，即數列{an}的奇數項是以1為首項，1為公差的等差數列；當n為偶數時，-an=3，即數列{an}的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列，所以S100=(a1+a3+…+a99)+
(a2+a4+…+a100)=50×1+×1+50×2+×3=5 050.
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12.(5分)已知數列{an}的各項均為正數，其前n項和為Sn，且+4an-8Sn=0，則an=______.
15
4n
解析:因為+4an-8Sn=0　①，所以當n=1時，+4a1-8S1=0，即+4a1-8a1=0，所以-4a1=0，解得a1=0或a1=4.又因為數列{an}的各項均為正數，所以a1=4.當n≥2時，+4an-1-8Sn-1=0　②，
①-②，得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
又因為數列{an}的各項均為正數，所以an-an-1-4=0，即an-an-1=4，所以數列{an}是等差數列，所以an=4+(n-1)×4=4n.
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13.(10分)在等差數列{an}中，a1=1，a3=-3.
(1)求數列{an}的通項公式；(5分)
15
解:設等差數列{an}的公差為d，由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2.從而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)若數列{an}的前k項和Sk=-35，求k的值.(5分)
解:由(1)可知an=3-2n，所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35，可得2k-k2=-35，即k2-2k-35=0，
解得k=7或k=-5.又k∈N*，故k=7.
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14.(15分)已知在各項均為正數的數列{an}中，前n項和Sn滿足Sn=(an+2)2.
(1)求證:數列{an}是等差數列；(7分)
15
解:證明:由Sn=(an+2)2，得Sn+1=(an+1+2)2，
所以an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2，整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0.
因為an+an+1>0，所以an+1-an=4，即數列{an}為等差數列.
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(2)若bn=an-30，求數列{bn}的前n項和Tn.(8分)
15
解:因為S1=(a1+2)2，所以a1=(a1+2)2，解得a1=2，
所以an=2+4(n-1)=4n-2，所以bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.
因為bn+1-bn=2，所以{bn}為等差數列.
又b1=-29，所以Tn===n2-30n.
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15.(15分)已知公差不為0的等差數列{an}，=a1a13，a3+a6+a9=153.記bn=[lg an]，其中[x]表示不超過x的最大整數，如[0.7]=0，[1.9]=1.
(1)求數列{an}的通項公式；(6分)
15
解:設等差數列{an}的公差為d，則=a1(a1+12d)，又a3+a9=2a6，故3a6=153，即a6=51，所以a1+5d=51，解得d=10或d=0(舍去)，a1=1，所以數列{an}的通項公式為an=1+10(n-1)=10n-9.
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(2)求數列{bn}前101項和.(9分)
15
解:由題意得bn=[lg an]=[lg(10n-9)]，令an=10n-9≥1 000得n≥100.9，
令an=10n-9≥100，解得n≥10.9，令an=10n-9≥10，解得n≥1.9.
當n=1時，a1=10n-9=1，故b1=[lg a1]=0，
當2≤n≤10時，bn=[lg an]=1，
當11≤n≤100時，bn=[lg an]=2，當n=101時，bn=[lg an]=3，
設{bn}的前n項和為Tn，所以T101=0×1+1×9+2×90+3=192.課時檢測(三十二)　等差數列的前n項和
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.數列{an}為等差數列,它的前n項和為Sn,若Sn=(n+1)2+λ,則λ的值是 (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
2.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a8=17,S17=340,則數列{an}的公差是 (　　)
A.-4 B.-3
C. D.3
3.已知等差數列{an}中,a1=1,Sn為{an}的前n項和,S5=5S3-5,則S4= (　　)
A.4 B.-2
C.3 D.-1
4.設等差數列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9= (　　)
A.27 B.45
C.81 D.18
5.已知等差數列{an}的前n項和為Sn,且a5=5,a1+S11=67,則a3a12是{an}中的 (　　)
A.第30項 B.第36項
C.第48項 D.第60項
6.已知等差數列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,且=,則= (　　)
A. B.
C. D.
7.[多選]已知數列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,則 (　　)
A.a4=5 B.S20=300
C.S31=720 D.n為奇數時,Sn=
8.(5分)已知{an}是等差數列,其前n項和為Sn,若a3=2,且S6=30,則S9=　　　　.
9.(5分)等差數列{an},{bn}前n項和分別為Sn,Tn,且=3,則=　　　　.
10.(5分)設數列{an}的前n項和為Sn,點(n∈N*)均在函數y=2x-3的圖象上,則數列{an}的通項公式an=　　　　.
11.(5分)已知數列{an}中,a1=1,a2=2,對任意正整數n,-an=2+cos nπ,Sn為{an}的前n項和,則S100=　　　　.
12.(5分)已知數列{an}的各項均為正數,其前n項和為Sn,且+4an-8Sn=0,則an=　　　　.
13.(10分)在等差數列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求數列{an}的通項公式;(5分)
(2)若數列{an}的前k項和Sk=-35,求k的值.(5分)
14.(15分)已知在各項均為正數的數列{an}中,前n項和Sn滿足Sn=(an+2)2.
(1)求證:數列{an}是等差數列;(7分)
(2)若bn=an-30,求數列{bn}的前n項和Tn.(8分)
15.(15分)已知公差不為0的等差數列{an},=a1a13,a3+a6+a9=153.記bn=[lg an],其中[x]表示不超過x的最大整數,如[0.7]=0,[1.9]=1.
(1)求數列{an}的通項公式;(6分)
(2)求數列{bn}前101項和.(9分)
課時檢測(三十二)
1．選B　等差數列前n項和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，所以λ＝－1.
2．選D　因為S17＝＝＝17a9＝340，所以a9＝20，又a8＝17，所以d＝a9－a8＝20－17＝3.故選D.
3．選B　記等差數列{an}的公差為d，則S5＝5a1＋10d＝5(3a1＋3d)－5，整理得2a1＋d－1＝0，又a1＝1，所以d＝－1，所以S4＝4×1＋×(－1)＝－2.故選B.
4．選B　由等差數列{an}，得S3，S6－S3，S9－S6成等差數列，可得2(S6－S3)＝ S3＋S9－S6，即2×(36－9)＝9＋ S9－S6，解得S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.故選B.
5．選B　設公差為d，
則
解得所以an＝n，則a3a12＝3×12＝36，令an＝36，則n＝36，所以a3a12是{an}中的第36項．故選B.
6．選A　由已知得＝，可設Sn＝kn(3n＋5)，Tn＝kn(4n＋6)，則a7＝S7－S6＝182k－138k＝44k，b8＝T8－T7＝304k－238k＝66k，即＝＝，故選A.
7．選ABD　由an＋1＋an＝3n，則an＋2＋an＋1＝3(n＋1)，兩式作差，得an＋2－an＝3，a1＝1，當n為奇數時，{an}是首項為1，公差為3的等差數列，即an＝n－；a2＝2，當n為偶數時，{an}是首項為2，公差為3的等差數列，即an＝n－1.所以a4＝a2＋3＝5，A正確；S20＝(a1＋a3＋…＋a19)＋(a2＋a4＋…＋a20)＝＋＝300，B正確；S31＝(a1＋a3＋…＋a31)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝＋＝721，C錯誤；
n為奇數時，Sn＝＋＝＋＝，D正確．故選ABD.
8．解析：由已知可得解得∴S9＝9a1＋d＝－90＋36×6＝126.
答案：126
9．解析：由等差數列性質可得＝＝3，
解得＝.
答案：
10．解析：依題意得＝2n－3，即Sn＝2n2－3n，所以數列{an}為等差數列，且a1＝S1＝－1，a2＝S2－S1＝3，設其公差為d，則d＝4，所以an＝4n－5(n∈N*)．
答案：4n－5
11．解析：當n為奇數時，an＋2－an＝1，即數列{an}的奇數項是以1為首項，1為公差的等差數列；當n為偶數時，an＋2－an＝3，即數列{an}的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列，所以S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝50×1＋×1＋50×2＋×3＝5 050.
答案：5 050
12．解析：因為a＋4an－8Sn＝0　①，所以當n＝1時，a＋4a1－8S1＝0，即a＋4a1－8a1＝0，所以a－4a1＝0，解得a1＝0或a1＝4.又因為數列{an}的各項均為正數，所以a1＝4.當n≥2時，a＋4an－1－8Sn－1＝0　②，
①－②，得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
又因為數列{an}的各項均為正數，所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4，所以數列{an}是等差數列，所以an＝4＋(n－1)×4＝4n.
答案：4n
13．解：(1)設等差數列{an}的公差為d，由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
從而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n，所以Sn＝＝2n－n2.
由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.
14．解：(1)證明：由Sn＝(an＋2)2，得Sn＋1＝(an＋1＋2)2，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋2)2－(an＋2)2，
整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0.
因為an＋an＋1>0，
所以an＋1－an＝4，即數列{an}為等差數列．
(2)因為S1＝(a1＋2)2，
所以a1＝(a1＋2)2，解得a1＝2，
所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2，所以bn＝an－30＝(4n－2)－30＝2n－31.
因為bn＋1－bn＝2，所以{bn}為等差數列．
又b1＝－29，所以Tn＝＝＝n2－30n.
15．解：(1)設等差數列{an}的公差為d，則(a1＋d)2＝a1(a1＋12d)，又a3＋a9＝2a6，故3a6＝153，即a6＝51，所以a1＋5d＝51，解得d＝10或d＝0(舍去)，a1＝1，所以數列{an}的通項公式為an＝1＋10(n－1)＝10n－9.
(2)由題意得bn＝[lg an]＝[lg(10n－9)]，令an＝10n－9≥1 000得n≥100.9，
令an＝10n－9≥100，解得n≥10.9，令an＝10n－9≥10，解得n≥1.9.
當n＝1時，a1＝10n－9＝1，故b1＝[lg a1]＝0，
當2≤n≤10時，bn＝[lg an]＝1，
當11≤n≤100時，bn＝[lg an]＝2，當n＝101時，bn＝[lg an]＝3，
設{bn}的前n項和為Tn，所以T101＝0×1＋1×9＋2×90＋3＝192.
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