資源簡介

第2課時　等差數列的前n項和的應用
[教學方式:拓展融通課——習題講評式教學]
[課時目標]
構造等差數列求和模型,解決實際問題.能夠利用等差數列的前n項和的函數性質求其前n項和的最值.
題型(一)　等差數列前n項和的實際應用
[例1]　某車間全年共生產2 250個零件,又已知1月生產了105個零件,每月生產零件的個數按等差數列遞增.平均每月比前一個月多生產多少個零件 12月生產多少個零件
聽課記錄:
　　|思|維|建|模|
應用等差數列解決實際問題的一般思路
建 模 根據題設條件,建立數列模型:①分析實際問題的結構特征;②找出所含元素的數量關系;③確定為何種數學模型
解 模 利用相關的數列知識加以解決:①分清首項、公差、項數等;②分清是an還是Sn問題;③選用適當的方法求解
還 原 把數學問題的解客觀化,針對實際問題的約束條件合理修正,使其成為實際問題的解
　　[針對訓練]
1.老張為鍛煉身體,增強體質,計劃從下個月1號開始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距離相同.若老張打算用20天跑完98公里,則預計這20天中老張日跑步量超過5公里的天數為 (　　)
A.8 B.9
C.13 D.14
題型(二)　等差數列前n項和的最值問題
(1)等差數列前n項和公式的函數特征
由Sn=na1+d=dn2+n,當d≠0時,Sn是關于n的二次函數,且不含常數項,即Sn=An2+Bn(A≠0);當d=0時,Sn=na1,Sn是關于n的一次函數.
(2)等差數列前n項和的最值
①若a1<0,d>0,則數列的前面若干項為負數項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.
②若a1>0,d<0,則數列的前面若干項為正數項(或0),所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.
特別地,若a1>0,d>0,則S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,則S1是{Sn}的最大值.
[例2]　在等差數列{an}中,a10=18,前5項的和S5=-15.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)求數列{an}的前n項和的最小值,并指出何時取得最小值.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.在本例中,根據第(2)題的結果,若Sn=0,求n.
2.將本例變為:等差數列{an}中,設Sn為其前n項和,且a1>0,S3=S11,則當n為多少時,Sn最大
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等差數列前n項和的最值問題的三種解法
(1)利用an:當a1>0,d<0時,前n項和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;當a1<0,d>0時,前n項和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函數配方法求取得最值時n的值.
(3)利用二次函數的圖象的對稱性.
　　[針對訓練]
2.[多選]設數列{an}是等差數列,Sn是其前n項和,a1>0且S6=S9,則 (　　)
A.d>0
B.a8=0
C.S7或S8為Sn的最大值
D.S5>S6
題型(三)　求數列{|an|}的前n項和
[例3]　已知數列{an}的前n項和Sn=-n2+n,求數列{|an|}的前n項和Tn.
聽課記錄:
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由等差數列{an}求數列{|an|}的前n項和的技巧
　　常先由Sn的最值判斷出哪些項為正,哪些項為負或先求出an,解an≥0得n的取值范圍判斷出哪些項為正,哪些項為負.
(1)等差數列{an}的各項都為非負數,這種情形中數列{|an|}就等于數列{an},可以直接求解.
(2)若前k項為負,從k+1項開始以后的項非負,則{|an|}的前n項和Tn=
(3)若前k項為正,以后各項非正,則Tn=
(4)也可以分別求出an≥0與an<0的和再相減求出|an|的和.
　　[針對訓練]
3.已知數列{an}的前n項和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,則T30= (　　)
A.578 B.579
C.580 D.581
第2課時　等差數列的前n項和的應用
[題型(一)]
[例1]　解：設每個月生產的零件數成等差數列{an}(1≤n≤12)，Sn為{an}的前n項和，且a1＝105，S12＝2 250，設公差為d(d>0)，則S12＝12a1＋＝2 250，
即12×105＋＝2 250，解得d＝15，所以a12＝a1＋(12－1)d＝105＋11×15＝270，即平均每月比前一個月多生產15個零件，12月生產270個零件．
[針對訓練]
1．選B　由已知可得這20天日跑步量成等差數列，記為{an}，設其公差為d，前n項和為Sn，且a1＝3，則S20＝20a1＋d，即20×3＋d＝98，解得d＝，所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)·＝＋.由an>5，得＋>5，解得n>11，所以這20天中老張日跑步量超過5公里的天數為20－11＝9，故選B.
[題型(二)]
[例2]　解：(1)設等差數列{an}的公差為d，
由題意得
解得∴an＝3n－12.
(2)Sn＝＝(3n2－21n)＝2－，
∴當n＝3或4時，前n項和取得最小值，
最小值為S3＝S4＝－18.
[變式拓展]
1．解：因為S3＝S4＝－18為Sn的最小值，由二次函數的圖象可知，其對稱軸為x＝，所以當x＝0和x＝7時，圖象與x軸的交點為(0,0)，(7,0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7.
2．解：要求數列前多少項的和最大，從函數的觀點來看，即求二次函數Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函數最值的方法來求當n為多少時，Sn最大．由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1.
從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1>0，所以－<0.故當n＝7時，Sn最大．
[針對訓練]
2．選BC　a1＞0且S6＝S9，∴6a1＋d＝9a1＋d，化為a1＋7d＝0，可得a8＝0，d＜0.S7或S8為Sn的最大值，S5＜S6.故選BC.
[題型(三)]
[例3]　解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝－3n＋104.
∵n＝1也適合上式，
∴數列{an}的通項公式為an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0得n≤34，
即當n≤34時，an>0；當n≥35時，an<0.
①當n≤34時，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②當n≥35時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－＝n2－n＋3 502.
故Tn＝
[針對訓練]
3．選B　當n＝1時，a1＝S1＝14，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝15－2n(n≥2)，經檢驗n＝1時，不成立，故得到an＝令an<0，則15－2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N*.當n≤7時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝＋1＝(14－n)n＋1；當n≥8時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ a1＋…＋a7－(a8＋a9＋…＋an)＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝100－(14n－n2＋1)＝n2－14n＋99.故Tn＝
T30＝579.故選B.
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等差數列的前n項和的應用
[教學方式:拓展融通課 ——習題講評式教學]
第2課時
課時目標
構造等差數列求和模型，解決實際問題.能夠利用等差數列的前n項和的函數性質求其前n項和的最值.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　等差數列前n項和的實際應用
題型(二)　等差數列前n項和的最值問題
課時檢測
4
題型(三)　求數列{|an|}的前n項和
題型(一)　等差數列前n項和的實
際應用
01
[例1]　某車間全年共生產2 250個零件，又已知1月生產了105個零件，每月生產零件的個數按等差數列遞增.平均每月比前一個月多生產多少個零件 12月生產多少個零件
解:設每個月生產的零件數成等差數列{an}(1≤n≤12)，Sn為{an}的前n項和，且a1=105，S12=2 250，設公差為d(d>0)，則S12=12a1+=2 250，
即12×105+=2 250，解得d=15，所以a12=a1+(12-1)d=105+11×15=270，
即平均每月比前一個月多生產15個零件，12月生產270個零件.
|思|維|建|模| 應用等差數列解決實際問題的一般思路
建模 根據題設條件，建立數列模型:①分析實際問題的結構特征；
②找出所含元素的數量關系；③確定為何種數學模型
解模 利用相關的數列知識加以解決:①分清首項、公差、項數等；
②分清是an還是Sn問題；③選用適當的方法求解
還原 把數學問題的解客觀化，針對實際問題的約束條件合理修正，使其成為實際問題的解
針對訓練
1.老張為鍛煉身體，增強體質，計劃從下個月1號開始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距離相同.若老張打算用20天跑完98公里，則預計這20天中老張日跑步量超過5公里的天數為 (　　)
A.8 B.9
C.13 D.14
√
解析:由已知可得這20天日跑步量成等差數列，記為{an}，設其公差為d，前n項和為Sn，且a1=3，則S20=20a1+d，即20×3+d
=98，解得d=，所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+.由an>5，得+>5，解得n>11，所以這20天中老張日跑步量超過5公里的天數為20-11=9，故選B.
題型(二)　等差數列前n項和的最值問題
02
(1)等差數列前n項和公式的函數特征
由Sn=na1+d=dn2+n，當d≠0時，Sn是關于n的二次函數，且不含常數項，即Sn=An2+Bn(A≠0)；當d=0時，Sn=na1，Sn是關于n的一次函數.
(2)等差數列前n項和的最值
①若a1<0，d>0，則數列的前面若干項為負數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最小值.
②若a1>0，d<0，則數列的前面若干項為正數項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最大值.
特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值.
[例2]　在等差數列{an}中，a10=18，前5項的和S5=-15.
(1)求數列{an}的通項公式；
解:設等差數列{an}的公差為d，
由題意得
解得∴an=3n-12.
(2)求數列{an}的前n項和的最小值，并指出何時取得最小值.
解:法一　Sn==(3n2-21n)=-，
∴當n=3或4時，前n項和取得最小值，最小值為S3=S4=-18.
法二　設Sn最小，則
即解得3≤n≤4，
又n∈N*，∴當n=3或4時，前n項和取得最小值，最小值為S3=S4=-18.
變式拓展
1.在本例中，根據第(2)題的結果，若Sn=0，求n.
解:法一　因為S3=S4=-18為Sn的最小值，由二次函數的圖象可知，其對稱軸為x=，所以當x=0和x=7時，圖象與x軸的交點為(0，0)，(7，0)，又n∈N*，所以S7=0，所以n=7.
法二　因為S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0，所以n=7.
2.將本例變為:等差數列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1>0，S3=S11，則當n為多少時，Sn最大
解:法一　要求數列前多少項的和最大，從函數的觀點來看，即求二次函數Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函數最值的方法來求當n為多少時，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1.
從而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1，又a1>0，所以-<0.故當n=7時，Sn最大.
法二　由于Sn=an2+bn是關于n的二次函數，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的圖象關于n==7對稱.由法一可知a=-<0，故當n=7時，Sn最大.
|思|維|建|模| 等差數列前n項和的最值問題的三種解法
(1)利用an:當a1>0，d<0時，前n項和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；當a1<0，d>0時，前n項和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0)，利用二次函數配方法求取得最值時n的值.
(3)利用二次函數的圖象的對稱性.
針對訓練
2.[多選]設數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和，a1>0且S6=S9，則 (　　)
A.d>0
B.a8=0
C.S7或S8為Sn的最大值
D.S5>S6
√
√
解析:a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化為a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8為Sn的最大值，S5題型(三)　求數列{|an|}的前n項和
03
[例3]　已知數列{an}的前n項和Sn=-n2+n，求數列{|an|}的前n項和Tn.
解:a1=S1=-×12+×1=101.
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104.∵n=1也適合上式，
∴數列{an}的通項公式為an=-3n+104.由an=-3n+104≥0得n≤34，
即當n≤34時，an>0；當n≥35時，an<0.
法一　①當n≤34時，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
②當n≥35時，Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502.
故Tn=
法二　①當n≤34時，同法一.
②當n≥35時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=-=n2-n+3 502.故Tn=
|思|維|建|模|
由等差數列{an}求數列{|an|}的前n項和的技巧
　　常先由Sn的最值判斷出哪些項為正，哪些項為負或先求出an，解an≥0得n的取值范圍判斷出哪些項為正，哪些項為負.
(1)等差數列{an}的各項都為非負數，這種情形中數列{|an|}就等于數列{an}，可以直接求解.
(2)若前k項為負，從k+1項開始以后的項非負，則{|an|}的前n項和Tn=
(3)若前k項為正，以后各項非正，則Tn=
(4)也可以分別求出an≥0與an<0的和再相減求出|an|的和.
針對訓練
3.已知數列{an}的前n項和Sn=14n-n2+1，若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，則T30= (　　)
A.578 B.579
C.580 D.581
√
解析:當n=1時，a1=S1=14，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2)，經檢驗n=1時，不成立，故得到an=令an<0，則15-2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N*.當n≤7時，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
a1+a2+a3+…+an=+1=(14-n)n+1；當n≥8時，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故選B.
課時檢測
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2
1.等差數列{an}中，d=2，S3=-24，其前n項和Sn取最小值時n的值為 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.5或6
√
解析:由d=2，S3=3a1+3d=-24，得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0，解得n=6，所以a6=0.從而S5=S6均為最小值.
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2.已知等差數列{an}是無窮數列，若a1A.無最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值
C.有最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值
√
15
解析:由數列{an}為等差數列，且a10，故數列{an}為遞增數列，且a1<0，所以Sn有最小值，無最大值.
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3.某中學募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款2 250元，他們第1天只得到10元，之后采取了積極的措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多20元，則這次募捐活動共進行的天數為 (　　)
A.13 B.14 C.15 D.16
√
15
解析:由題意可知，募捐款構成了一個以10元為首項，20元為公差的等差數列，設共募捐了n天，則2 250=10n+×20，解得n=15.
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2
4.若數列{an}滿足an+1=an+2，且a3+a10=4，那么數列{an}的前n項和Sn的最小值是 (　　)
A.S1 B.S5 C.S6 D.S11
√
15
解析:根據an+1=an+2，可得an+1-an=2，所以數列{an}是公差為2的等差數列，再由a3+a10=2a1+11d=4，可得a1=-9，所以an=2n-11，Sn=-9n
+×2=n2-10n=(n-5)2-25，所以前n項和Sn取得最小值時，n=5.故選B.
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5.[多選]已知等差數列{an}的前n項和為Sn，a1=11，a5=3，則 (　　)
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值為0 D.Sn的最大值為36
√
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√
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解析:設等差數列{an}的公差為d，則a5=a1+4d=11+4d=3，解得d=-2.
S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35，A正確；an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)
=13-2n，B正確；|an|=|13-2n|=故當n=6或n=7時，|an|取最小值1，C錯誤；Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36，故當n=6時，Sn取得最大值36，D正確.故選ABD.
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6.在等差數列{an}中，其前n項和為Sn，n>(n+1)Sn(n∈N*)，且<-1，則在Sn中(　　)
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
15
解析:由n>(n+1)Sn，得>，即->0.而-=，所以d>0.因為<-1，所以<0，即a7(a7+a8)<0.由于d>0，因此數列{an}是遞增數列，所以a7<0，a7+a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7.
√
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7.現有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數為 (　　)
A.9 B.10 C.19 D.29
15
解析:鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數組成了一個等差數列，最上面一層鋼管數為1，逐層增加1個，∴鋼管總數為1+2+3+…+n
=.當n=19時，S19=190.當n=20時，S20=210>200.∴當n=19時，剩余鋼管根數最少，剩余根數為10.
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8.[多選]已知等差數列{an}的前n項和為Sn，S8=-556，an+2-an=6，則 (　　)
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值為S28
C.使Sn<0的n的最大值為52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
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√
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解析:依題意，等差數列{an}的公差d==3，由S8=-556，得8a1+28×3=-556，解得a1=-80，數列{an}的通項公式an=a1+(n-1)d=3n-83，A正確；顯然等差數列{an}是遞增數列，且a27<0，a28>0，則{Sn}中的最小值為S27，B錯誤；又Sn==，由Sn<0，得015
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9.(5分)已知數列{an}的前n項和Sn=n2-6n，第k項滿足515
7
解析:當n=1時，a1=S1=-5；當n≥2時，=(n-1)2-6(n-1)=n2-8n+7，an=Sn-=2n-7，當n=1時，a1=-5符合上式，所以{an}的通項公式為an=2n-7，所以ak=2k-7.由5<2k-7<8，解得61
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10.(5分)某人在銀行貸款60萬元，貸款時間為5年，若個人貸款月利率為4 ‰，按照等額本金方式(利息部分=(貸款總額-已歸還本金累計額)×月利率)進行還款，則第一年支付給銀行的利息共________萬元.
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2.616
解析:由題可得，從第一個月開始，每月應還本金為=1萬元，
每月應還的利息依次為60×0.004=0.24，0.24-1×0.004，0.24-2×0.004，…，即滿足首項為0.24，公差為-0.004的等差數列，
則S12=12a1+d=2.616，故第一年支付給銀行的利息共2.616萬元.
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11.(5分)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2=-3，S5=-10，則a5=_____，Sn的最小值為_______.
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-10
解析:設數列{an}的公差為d.∵a2=a1+d=-3，S5=5a1+10d=-10，∴a1=
-4，d=1，∴a5=a1+4d=0，∴an=a1+(n-1)d=n-5.令an<0，則n<5，即數列{an}中前4項為負，a5=0，第6項及以后為正.∴Sn的最小值為S4=S5=-10.
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12.(5分)設數列{an}為等差數列，其前n項和為Sn，已知a1+a4+a7=99，a2+a5+a8=93，若對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，則k的值為_____.
15
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解析:設等差數列{an}的公差為d，
由解得
∴Sn=na1+=39n-n(n-1)=-n2+40n=-(n-20)2+400.∴當n=20時，Sn取得最大值.由對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，則Sk為數列{Sn}的最大值，因此，k=20.
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13.(10分)已知Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3=11，S8=64.
(1)求數列{an}的通項公式；(4分)
15
解:設{an}的公差為d，
則
∴an=17-2n.
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(2)求數列{|an|}的前n項和Tn.(6分)
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解:Sn==-n2+16n，令an=17-2n>0 n<8.5，
當n≤8時，an>0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+16n，
當n≥9時，an<0，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a8-(a9+…+an)=S8-(Sn- S8)=2S8-Sn=2(-82+16×8)-(-n2+16n)=n2-16n+128.
綜上所述，Tn=
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14.(10分)設等差數列的前n項和為Sn.已知a3=12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；(6分)
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解:依題意得
即由a3=12，得a1+2d=12　③.
將③分別代入①②，得解得-1
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(2)指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由.(4分)
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解:由d<0可知{an}是遞減數列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an+1<0，則Sn最大.
由于S12=6(a6+a7)>0，S13=13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大.
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15.(15分)某地為了防止水土流失，植樹造林，綠化荒沙地，每年比上一年多植相同公頃數的林木，但由于自然環境和人為因素的影響，每年都有相同公頃數的土地沙化，具體情況如下表所示:
而一旦植完，則不會被沙化.
15
2022年 2023年 2024年
新植公頃數 1 000 1 400 1 800
沙地公頃數 25 200 24 000 22 400
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(1)每年沙化的土地公頃數為多少 (7分)
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解:依題意，每年比上一年多造林400公頃，
其中2023年新植1 400公頃，
故當年沙地應為25 200-1 400=23 800公頃，
而實際沙地面積為24 000公頃，
所以2023年沙化土地面積為24 000-23 800=200公頃，同理可得2024年沙化土地面積也為200公頃.所以每年沙化的土地面積為200公頃.
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(2)到哪一年可綠化完全部荒沙地 (8分)
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解:設2024年及其以后各年的造林面積分別為a1，a2，a3，…，an，則an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400，所以n年造林的面積總和為Sn=1 800n+×400，
由(1)知，每年林木的“有效面積”應比實際面積少200公頃，依題意可得Sn-200n≥24 000，化簡得n2+7n-120≥0，解得n≥8.
故8年，即到2031年可綠化完全部荒沙地.課時檢測(三十三)　等差數列的前n項和的應用
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.等差數列{an}中,d=2,S3=-24,其前n項和Sn取最小值時n的值為 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.5或6
2.已知等差數列{an}是無窮數列,若a1A.無最大值,有最小值
B.有最大值,無最小值
C.有最大值,有最小值
D.無最大值,無最小值
3.某中學募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動,共收到捐款2 250元,他們第1天只得到10元,之后采取了積極的措施,從第2天起,每一天收到的捐款都比前一天多20元,則這次募捐活動共進行的天數為 (　　)
A.13 B.14
C.15 D.16
4.若數列{an}滿足an+1=an+2,且a3+a10=4,那么數列{an}的前n項和Sn的最小值是 (　　)
A.S1 B.S5
C.S6 D.S11
5.[多選]已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a1=11,a5=3,則 (　　)
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值為0 D.Sn的最大值為36
6.在等差數列{an}中,其前n項和為Sn,n>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,則在Sn中 (　　)
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
7.現有200根相同的鋼管,把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,那么剩余鋼管的根數為 (　　)
A.9 B.10
C.19 D.29
8.[多選]已知等差數列{an}的前n項和為Sn,S8=-556,an+2-an=6,則 (　　)
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值為S28
C.使Sn<0的n的最大值為52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
9.(5分)已知數列{an}的前n項和Sn=n2-6n,第k項滿足510.(5分)某人在銀行貸款60萬元,貸款時間為5年,若個人貸款月利率為4 ‰,按照等額本金方式(利息部分=(貸款總額-已歸還本金累計額)×月利率)進行還款,則第一年支付給銀行的利息共　　　　萬元.
11.(5分)設等差數列{an}的前n項和為Sn,若a2=-3,S5=-10,則a5=　　　 　,Sn的最小值為　　　 　.
12.(5分)設數列{an}為等差數列,其前n項和為Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立,則k的值為　　　　　.
13.(10分)已知Sn為等差數列{an}的前n項和,若a3=11,S8=64.
(1)求數列{an}的通項公式;(4分)
(2)求數列{|an|}的前n項和Tn.(6分)
14.(10分)設等差數列的前n項和為Sn.已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍;(6分)
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大,并說明理由.(4分)
15.(15分)某地為了防止水土流失,植樹造林,綠化荒沙地,每年比上一年多植相同公頃數的林木,但由于自然環境和人為因素的影響,每年都有相同公頃數的土地沙化,具體情況如下表所示:
2022年 2023年 2024年
新植公頃數 1 000 1 400 1 800
沙地公頃數 25 200 24 000 22 400
而一旦植完,則不會被沙化.
(1)每年沙化的土地公頃數為多少 (7分)
(2)到哪一年可綠化完全部荒沙地 (8分)
課時檢測(三十三)
1．選D　由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10.令an＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0.從而S5＝S6均為最小值．
2．選A　由數列{an}為等差數列，且a1＜a2＜0，得公差d＝a2－a1＞0，故數列{an}為遞增數列，且a1＜0，所以Sn有最小值，無最大值．
3．選C　由題意可知，募捐款構成了一個以10元為首項，20元為公差的等差數列，設共募捐了n天，則2 250＝10n＋×20，解得n＝15.
4．選B　根據an＋1＝an＋2，可得an＋1－an＝2，所以數列{an}是公差為2的等差數列，再由a3＋a10＝2a1＋11d＝4，可得a1＝－9，所以an＝2n－11，Sn＝－9n＋×2＝n2－10n＝(n－5)2－25，所以前n項和Sn取得最小值時，n＝5.故選B.
5．選ABD　設等差數列{an}的公差為d，則a5＝a1＋4d＝11＋4d＝3，解得d＝－2.S5＝5a1＋d＝5×11＋10×(－2)＝35，A正確；an＝a1＋(n－1)d＝11－2(n－1)＝13－2n，B正確；|an|＝|13－2n|＝故當n＝6或n＝7時，|an|取最小值1，C錯誤；Sn＝na1＋＝11n－n(n－1)＝－n2＋12n＝－(n－6)2＋36，故當n＝6時，Sn取得最大值36，D正確．故選ABD.
6．選A　由nSn＋1>(n＋1)Sn，得>，即－>0.而－＝，所以d>0.因為<－1，所以<0，即a7(a7＋a8)<0.由于d>0，因此數列{an}是遞增數列，所以a7<0，a7＋a8>0，所以a7<0，a8>0，所以在Sn中最小值是S7.
7．選B　鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數組成了一個等差數列，最上面一層鋼管數為1，逐層增加1個，∴鋼管總數為1＋2＋3＋…＋n＝.
當n＝19時，S19＝190.當n＝20時，S20＝210＞200.∴當n＝19時，剩余鋼管根數最少，剩余根數為10.
8．選AD　依題意，等差數列{an}的公差d＝＝3，由S8＝－556，得8a1＋28×3＝－556，解得a1＝－80，數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝3n－83，A正確；顯然等差數列{an}是遞增數列，且a27<0，a28>0，則{Sn}中的最小值為S27，B錯誤；又Sn＝＝，由Sn<0，得09．解析：當n＝1時，a1＝S1＝－5；
當n≥2時，Sn－1＝(n－1)2－6(n－1)＝n2－8n＋7，an＝Sn－Sn－1＝2n－7，當n＝1時，a1＝－5符合上式，所以{an}的通項公式為an＝2n－7，所以ak＝2k－7.由5＜2k－7＜8，解得6＜k＜7.5.因為k為正整數，所以k＝7.
答案：7
10．解析：由題可得，從第一個月開始，每月應還本金為＝1萬元，
每月應還的利息依次為60×0.004＝0.24,0.24－1×0.004,0.24－2×0.004，…，
即滿足首項為0.24，公差為－0.004的等差數列，
則S12＝12a1＋d＝2.616，故第一年支付給銀行的利息共2.616萬元．
答案：2.616
11．解析：設數列{an}的公差為d.∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，∴a1＝－4，d＝1，∴a5＝a1＋4d＝0，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.令an<0，則n<5，即數列{an}中前4項為負，a5＝0，第6項及以后為正．∴Sn的最小值為S4＝S5＝－10.
答案：0　－10
12．解析：設等差數列{an}的公差為d，由
解得∴Sn＝na1＋＝39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴當n＝20時，Sn取得最大值．由對任意n∈N*都有Sn≤Sk成立，則Sk為數列{Sn}的最大值，因此，k＝20.
答案：20
13．解：(1)設{an}的公差為d，
則
∴an＝17－2n.
(2)Sn＝＝－n2＋16n，
令an＝17－2n>0 n<8.5，
當n≤8時，an>0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋16n，
當n≥9時，an<0，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a8－(a9＋…＋an)＝S8－(Sn－ S8)＝2S8－Sn＝2(－82＋16×8)－(－n2＋16n)＝n2－16n＋128.
綜上所述，Tn＝
14．解：(1)依題意得
即由a3＝12，得a1＋2d＝12　③.
將③分別代入①②，得
解得－(2)由d<0可知{an}是遞減數列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，則Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得a6>0，a7<0，故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
15．解：(1)依題意，每年比上一年多造林400公頃，其中2023年新植1 400公頃，
故當年沙地應為25 200－1 400＝23 800公頃，而實際沙地面積為24 000公頃，
所以2023年沙化土地面積為24 000－23 800＝200公頃，同理可得2024年沙化土地面積也為200公頃．所以每年沙化的土地面積為200公頃．
(2)設2024年及其以后各年的造林面積分別為a1，a2，a3，…，an，則an＝1 800＋(n－1)×400＝400n＋1 400，所以n年造林的面積總和為Sn＝1 800n＋×400，
由(1)知，每年林木的“有效面積”應比實際面積少200公頃，依題意可得Sn－200n≥24 000，化簡得n2＋7n－120≥0，解得n≥8.
故8年，即到2031年可綠化完全部荒沙地．
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