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第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 [教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
[課時目標(biāo)]
進(jìn)一步理解等比數(shù)列,能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì).通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決生活中的實(shí)際問題.掌握等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題.
題型(一)　等比數(shù)列的性質(zhì)
對稱性 對有窮等比數(shù)列,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積,即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n,m∈N*); 特別地:(1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),則ak·al=am·an; (2)若m,p,n(m,p,n∈N*)成等差數(shù)列,則am,ap,an成等比數(shù)列
子數(shù)列 (1)對于無窮等比數(shù)列{an},若將其前k項(xiàng)去掉,剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列,首項(xiàng)為ak+1,公比為q; (2)若取出所有的k的倍數(shù)項(xiàng),組成的數(shù)列仍為等比數(shù)列,首項(xiàng)為ak,公比為qk; (3)連續(xù)取相鄰k項(xiàng)的和(或積)構(gòu)成公比為qk(或)的等比數(shù)列
合成數(shù)列 (1)若{an}是等比數(shù)列,公比為q,則數(shù)列{λan}(λ≠0),,{}都是等比數(shù)列,且公比分別是q,,q2; (2)若{an},{bn}是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,公比分別是p和q,那么{anbn}與也都是等比數(shù)列,公比分別為pq和
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　已知{an}為等比數(shù)列,
(1)若{an}滿足a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
聽課記錄:
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等比數(shù)列的運(yùn)算常用的兩條思路
(1)根據(jù)已知條件,尋找、列出兩個方程,確定a1,q,然后求其他;
(2)利用性質(zhì)巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*) am·an=ak·al=.
　　[針對訓(xùn)練]
1.在等比數(shù)列{an}中,若a5a7a9a11=36,則a2a14= (　　)
A.6 B.9
C.±6 D.±9
2.已知等比數(shù)列{an}滿足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,則+++的值為 (　　)
A.20 B.10
C.5 D.
題型(二)　等比數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法與求解
[例2]　有四個數(shù),其中前三個數(shù)成等差數(shù)列,后三個數(shù)成等比數(shù)列,并且首末兩數(shù)的和是16,中間兩數(shù)的和是12.求這四個數(shù).
聽課記錄:
　　[變式拓展]
若將本例中“和是16”改為“積是-128”,將“和是12”改為“積是16”,如何求解
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在解決與等比數(shù)列有關(guān)的項(xiàng)的設(shè)法時常用的規(guī)律
　　對稱設(shè)元法:一般地,連續(xù)奇數(shù)個項(xiàng)成等比數(shù)列,可設(shè)為…,,x,xq,…;連續(xù)偶數(shù)個項(xiàng)成等比數(shù)列,可設(shè)為…,,,xq,xq3,…(此時公比q2>0,并不適合所有情況),這樣既可以減少未知量的個數(shù),也使得解方程較為方便.
　　[針對訓(xùn)練]
3.三個互不相等的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,如果適當(dāng)排列這三個數(shù),又可構(gòu)成等比數(shù)列,這三個數(shù)的和為6,求這三個數(shù).
題型(三)　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
[例3]　某人買了一輛價值13.5萬元的新車,專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值;
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車,他大概能得到多少錢
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解等比數(shù)列應(yīng)用題的步驟
(1)審題:解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意;
(2)建立數(shù)學(xué)模型:將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題;
(3)解數(shù)學(xué)模型:注意隱含條件,數(shù)列中n的值是正整數(shù);
(4)還原:即最后轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題作出回答.
　　[針對訓(xùn)練]
4.某公司的月銷售額近幾年下跌嚴(yán)重,從某年的6月銷售額128萬元,到8月跌至32萬元,你能求出該公司該年7月到9月之間平均每月下降的百分比嗎 若按此計算,什么時候月銷售額跌至8萬元
第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
[題型(一)]
[例1]　解：(1)等比數(shù)列{an}中，∵a2a4＝，∴a＝a1a5＝a2a4＝，∴a1aa5＝.
(2)由等比中項(xiàng)，化簡條件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)·(a5a6)]＝log395＝10.
[針對訓(xùn)練]
1．選A　因?yàn)閍5a7a9a11＝ a＝36，所以a＝6(舍負(fù))，所以a2a14＝a＝6.故選A.
2．選B　在等比數(shù)列{an}中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4a6＝a2a8＝2.所以＋＋＋＝＋＝＝＝10.故選B.
[題型(二)]
[例2]　解：從前三個數(shù)入手，設(shè)這四個數(shù)依次為a－d，a，a＋d，，
由條件得
解得或
當(dāng)a＝4，d＝4時，所求四個數(shù)為0,4,8,16；
當(dāng)a＝9，d＝－6時，所求四個數(shù)為15,9,3,1.
故所求四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.
[變式拓展]
解：設(shè)這四個數(shù)依次為－aq，，aq，aq3(q≠0)．
則由已知得
由①得a2＝16，∴a＝4或a＝－4.由②得2a2q2－a2q4＝－128.
將a2＝16代入整理，得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4或q2＝－2(舍去)，∴q＝2或q＝－2.∴所求四個數(shù)為－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.
[針對訓(xùn)練]
3．解：由已知，可設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，d≠0，則a－d＋a＋a＋d＝6，即a＝2，這三個數(shù)可表示為2－d,2,2＋d.①若2－d為2和2＋d的等比中項(xiàng)，
則(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6或d＝0(舍去)，此時這三個數(shù)為－4,2,8.②若2＋d為2－d和2的等比中項(xiàng)，則(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)，此時這三個數(shù)為8,2，－4.③若2為2－d和2＋d的等比中項(xiàng)，則22＝(2＋d)(2－d)，解得d＝0(舍去)．綜上，這三個數(shù)為－4,2,8.
[題型(三)]
[例3]　解：(1)從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，
a3＝13.5(1－10%)2，….
由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
首項(xiàng)a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9，
∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.
∴n年后車的價值為an＋1＝13.5×(0.9)n萬元．
(2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(萬元)，∴用滿4年時賣掉這輛車，大概能得到8.9萬元．
[針對訓(xùn)練]
4．解：設(shè)每月平均下降的百分比為x，則每月的銷售額構(gòu)成了等比數(shù)列{an}，且a1＝128，
則a2＝a1(1－x)，a3＝a1(1－x)2＝128(1－x)2＝32，解得x＝50%.設(shè)an＝8，即an＝128(1－50%)n－1＝8，解得n＝5，即從該年6月算起第5個月，也就是在該年的10月，該公司的月銷售額跌至8萬元．
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等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
第2課時
課時目標(biāo)
進(jìn)一步理解等比數(shù)列，能根據(jù)等比數(shù)列的定義推出等比數(shù)列的性質(zhì).通過建立數(shù)列模型并應(yīng)用數(shù)列模型解決生活中的實(shí)際問題.掌握等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　等比數(shù)列的性質(zhì)
題型(二)　等比數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法與求解
題型(三)　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
4
課時檢測
題型(一)　等比數(shù)列的性質(zhì)
01
對稱性 對有窮等比數(shù)列，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1an=a2an-1=a3an-2=…=am·an-m+1(n>m且n，m∈N*)；
特別地:(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al=am·an；
(2)若m，p，n(m，p，n∈N*)成等差數(shù)列，則am，ap，an成等比數(shù)列
子數(shù)列
續(xù)表
合成數(shù)列
[例1]　已知{an}為等比數(shù)列，
(1)若{an}滿足a2a4=，求a1a5；
解:等比數(shù)列{an}中，∵a2a4=，∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=.
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5；
解:由等比中項(xiàng)，化簡條件得+2a3a5+=25，即(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5=5.
解:由等比數(shù)列的性質(zhì)知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9，
∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)
=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
(3)若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
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等比數(shù)列的運(yùn)算常用的兩條思路
(1)根據(jù)已知條件，尋找、列出兩個方程，確定a1，q，然后求其他；
(2)利用性質(zhì)巧解，其中m+n=k+l=2s(m，n，k，l，s∈N*) am·an=ak·al=.
針對訓(xùn)練
1.在等比數(shù)列{an}中，若a5a7a9a11=36，則a2a14= (　　)
A.6 B.9
C.±6 D.±9
√
解析:因?yàn)閍5a7a9a11= =36，所以=6(舍負(fù))，所以a2a14==6.故選A.
2.已知等比數(shù)列{an}滿足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，則+++的值為(　　)
A.20 B.10
C.5 D.
√
解析:在等比數(shù)列{an}中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故選B.
題型(二)　等比數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法與求解
02
[例2]　有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且首末兩數(shù)的和是16，中間兩數(shù)的和是12.求這四個數(shù).
解:法一　從前三個數(shù)入手，設(shè)這四個數(shù)依次為a-d，a，a+d，，
由條件得解得或
當(dāng)a=4，d=4時，所求四個數(shù)為0，4，8，16；
當(dāng)a=9，d=-6時，所求四個數(shù)為15，9，3，1.
故所求四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.
法二　從后三個數(shù)入手，設(shè)這四個數(shù)依次為-a，，a，aq(q≠0)，
由條件得解得或
當(dāng)q=2，a=8時，所求四個數(shù)為0，4，8，16；
當(dāng)q=，a=3時，所求四個數(shù)為15，9，3，1.
故所求四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.
法三　從首末兩項(xiàng)的和與中間兩項(xiàng)的和入手，
設(shè)這四個數(shù)依次為x，y，12-y，16-x，
由已知得
解得或
故所求四個數(shù)為0，4，8，16或15，9，3，1.
變式拓展
若將本例中“和是16”改為“積是-128”，將“和是12”改為“積是16”，如何求解
解:設(shè)這四個數(shù)依次為-aq，，aq，aq3(q≠0).則由已知得由①得a2=16，∴a=4或a=-4.由②得2a2q2-a2q4=-128.將a2=16代入整理，得q4-2q2-8=0，解得q2=4或q2=-2(舍去)，∴q=2或q=-2.∴所求四個數(shù)為-4，2，8，32或4，-2，-8，-32.
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在解決與等比數(shù)列有關(guān)的項(xiàng)的設(shè)法時常用的規(guī)律
　　對稱設(shè)元法:一般地，連續(xù)奇數(shù)個項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，，x，xq，…；連續(xù)偶數(shù)個項(xiàng)成等比數(shù)列，可設(shè)為…，，xq，xq3，…
(此時公比q2>0，并不適合所有情況)，這樣既可以減少未知量的個數(shù)，也使得解方程較為方便.
解:由已知，可設(shè)這三個數(shù)為a-d，a，a+d，d≠0，則a-d+a+a+d=6，即a=2，這三個數(shù)可表示為2-d，2，2+d.①若2-d為2和2+d的等比中項(xiàng)，
則(2-d)2=2(2+d)，解得d=6或d=0(舍去)，此時這三個數(shù)為-4，2，8.②若2+d為2-d和2的等比中項(xiàng)，則(2+d)2=2(2-d)，解得d=-6或d=0(舍去)，此時這三個數(shù)為8，2，-4.③若2為2-d和2+d的等比中項(xiàng)，則22=(2+d)(2-d)，解得d=0(舍去).綜上，這三個數(shù)為-4，2，8.
針對訓(xùn)練
3.三個互不相等的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，如果適當(dāng)排列這三個數(shù)，又可構(gòu)成等比數(shù)列，這三個數(shù)的和為6，求這三個數(shù).
題型(三)　等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
03
[例3]　某人買了一輛價值13.5萬元的新車，專家預(yù)測這種車每年按10%的速度貶值.
(1)用一個式子表示n(n∈N*)年后這輛車的價值；
解:從第一年起，每年車的價值(萬元)依次設(shè)為a1，a2，a3，…，an，
由題意，得a1=13.5，a2=13.5(1-10%)，a3=13.5(1-10%)2，….
由等比數(shù)列定義，知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
首項(xiàng)a1=13.5，公比q=1-10%=0.9，∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.
∴n年后車的價值為an+1=13.5×(0.9)n萬元.
(2)如果他打算用滿4年時賣掉這輛車，他大概能得到多少錢
解:由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(萬元)，
∴用滿4年時賣掉這輛車，
大概能得到8.9萬元.
|思|維|建|模|
解等比數(shù)列應(yīng)用題的步驟
(1)審題:解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意；
(2)建立數(shù)學(xué)模型:將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的問題；
(3)解數(shù)學(xué)模型:注意隱含條件，數(shù)列中n的值是正整數(shù)；
(4)還原:即最后轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題作出回答.
針對訓(xùn)練
4.某公司的月銷售額近幾年下跌嚴(yán)重，從某年的6月銷售額128萬元，到8月跌至32萬元，你能求出該公司該年7月到9月之間平均每月下降的百分比嗎 若按此計算，什么時候月銷售額跌至8萬元
解:設(shè)每月平均下降的百分比為x，則每月的銷售額構(gòu)成了等比數(shù)列{an}，且a1=128，則a2=a1(1-x)，a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32，解得x=50%.設(shè)an=8，即an=128(1-50%)n-1=8，解得n=5，
即從該年6月算起第5個月，也就是在該年的10月，該公司的月銷售額跌至8萬元.
課時檢測
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1.等比數(shù)列{an}中，若a2a6+=π，則a3a5等于(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:∵a2a6==a3a5，∴a3a5=.
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2.生物學(xué)指出:生態(tài)系統(tǒng)中，在輸入一個營養(yǎng)級的能量中，大約10%的能量能夠流到下一個營養(yǎng)級.在H1→H2→H3這個生物鏈中，若能使H3獲得10 kJ的能量，則需H1提供的能量為 (　　)
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ
√
解析:設(shè)H1需提供的能量為a，由題意知，H2的能量為10%a，H3的能量為(10%)2a，即(10%)2a =10，解得a=103，所以要能使H3獲得10 kJ的能量，則需H1提供的能量為103 kJ，故選C.
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3.若{an}為等比數(shù)列，則“a1A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
√
解析:若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a11
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4.在1與100之間插入n個正數(shù)，使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的n個數(shù)的積為 (　　)
A.10n B.n10
C.100n D.n100
√
解析:設(shè)這n+2個數(shù)為a1，a2，…，an+1，an+2，則(a2·a3·…·an+1)2=
(a1·an+2)n=100n，∴a2·a3·…·an+1=10n.
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5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，滿足a2··a2 024=16，則a1·a2·…·a1 021=(　　)
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022
√
解析:在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中， a2··a2 024=16，因?yàn)閍2·a2 024=，所以=16，即 a9a1 013==4.所以a511=2.所以a1·a2·a3·…·
a1 021==21 021.故選B.
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6.[多選]已知等比數(shù)列{an}的公比q=-，等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=9，若a7>b7且a8>b8，則以下結(jié)論正確的是(　　)
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8
√
√
解析:因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比q=-，則a7=a1，a8=-a1，而a1的正負(fù)不確定，因此不能確定a7和a8的正負(fù)及大小關(guān)系，A、C錯誤；顯然a7和a8異號，又a7>b7且a8>b8，則b7，b8中至少有一個是負(fù)數(shù)，而b1=9>0，于是等差數(shù)列{bn}的公差d<0，即數(shù)列{bn}遞減，因此b7>b8，且b8<0，B、D正確.故選BD.
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7.[多選]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，則(　　)
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
√
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解析:因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1+a6+a11=3π，b1b5b9=8，所以a1+a6+a11=3a6=3π，即a6=π，b1b5b9==8，即b5=2.對于A，S11==11a6=11π，故A正確；對于B，a2+a10=2a6=2π，b4b6==4，所以sin=sin=1，故B錯誤；對于C，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π，故C正確；對于D，由b5=2，得b3，b7>0，故b3+b7≥2=2=4，當(dāng)且僅當(dāng)b3=b7=2時等號成立，故D正確.
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8.(5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1+1，a3+3，a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q=____.
1
解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3=a1+2d，a5=a1+4d，∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5)，解得d=-1，∴q===1.
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9.(5分)在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為______.
解析:設(shè)衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴+28+28q=98，解得q=2或q=.又01
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10.(5分)若數(shù)列a1，，…，，…，是首項(xiàng)為1，公比為-的等比數(shù)列，則a5=_____.
32
解析:由題意，得=(-)n-1(n≥2)，所以=-=(-)2，=
(-)3，=(-)4，將上面的四個式子兩邊分別相乘，得=(-)1+2+3+4
=32.又a1=1，所以a5=32.
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11.(5分)我國生物科技發(fā)展日新月異，其中生物制藥發(fā)展尤其迅速，某制藥公司今年共投入資金50萬元進(jìn)行新藥開發(fā)，并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%.按此規(guī)律至少____年后每年投入的資金可達(dá)250萬元以上(精確到1年.參考數(shù)據(jù)lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)
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解析:由題知，某制藥公司今年共投入資金50萬元進(jìn)行新藥開發(fā)，并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%，滿足等比數(shù)列模型，令a1=50，q=1.2，所以an=50×(1.2)n-1，令an=50×(1.2)n-1>250，所以(1.2)n-1>5，所以n-1>log1.25=≈=8.75，所以n>9.75，又因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n=10.故至少9年后每年投入的資金可達(dá)250萬元以上.
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12.(5分)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差數(shù)列，若a10a2 016=2，則b1+b2+…+b2 025=_______.
解析:∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則bn+1=log2an+1，bn=log2an，bn+1-bn=log2=d，則=2d，故{an}為等比數(shù)列，∴b1+b2 025=
log2a1+log2a2 025=log2(a1a2 025)=log2(a10a2 016)=1，∴b1+b2+…+b2 025
==.
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13.(10分)2024年，某縣甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a，甲林場木材存量每年比上年遞增25%，而乙林場木材存量每年比上年遞減20%.
(1)求哪一年兩林場木材的存量相等 (5分)
解:設(shè)經(jīng)過n年兩林場木材的存量相等，即16a(1+25%)n=25a(1-20%)n，解得n=1，故到2025年兩林場木材的存量相等.
(2)問兩林場木材的總量到2029年能否翻一番 (5分)
解:令n=5，則16a+25a<2(16a+25a)，故到2029年不能翻一番.
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14.(15分)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=16，公比q=，在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個正數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列{bn}.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(7分)
解:由已知得，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=16，b5=a2=16×=1，
設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q1(q1>0)，則===，∴q1=，即bn=b1=16×=.
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(2)記數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的乘積為Tn，試問Tn是否有最大值 如果有，請求出此時n的值以及最大值；若沒有，請說明理由.(8分)
解:Tn=b1·b2·b3·…·bn=24·23·…·= ==
=，即當(dāng)n=4或n=5時，Tn有最大值=210=1 024.故Tn有最大值，為1 024，此時n的值為4或5.
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15.(15分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，公差d>0，且第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第14項(xiàng)分別是一個等比數(shù)列的第2項(xiàng)，第3項(xiàng)，第4項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(5分)
解:由題意，得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2，整理得2a1d=d2.又a1=1，d>0，所以d=2，an=2n-1.
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(2)設(shè)bn=，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，是否存在最大的整數(shù)t，使得對任意的n均有Sn>成立 若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.(10分)
解:bn==>0，所以數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，S1=b1=為Sn的最小值，
故>，t<9.又t為整數(shù)，所以適合條件的t的最大值為8.課時檢測(三十五)　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
(標(biāo)的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區(qū)內(nèi)作答)
1.等比數(shù)列{an}中,若a2a6+=π,則a3a5等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.生物學(xué)指出:生態(tài)系統(tǒng)中,在輸入一個營養(yǎng)級的能量中,大約10%的能量能夠流到下一個營養(yǎng)級.在H1→H2→H3這個生物鏈中,若能使H3獲得10 kJ的能量,則需H1提供的能量為 (　　)
A.105 kJ B.104 kJ
C.103 kJ D.102 kJ
3.若{an}為等比數(shù)列,則“a1A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
4.在1與100之間插入n個正數(shù),使這n+2個數(shù)成等比數(shù)列,則插入的n個數(shù)的積為 (　　)
A.10n B.n10
C.100n D.n100
5.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an},滿足a2··a2 024=16,則a1·a2·…·a1 021= (　　)
A.41 021 B.21 021
C.41 022 D.21 022
6.[多選]已知等比數(shù)列{an}的公比q=-,等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=9,若a7>b7且a8>b8,則以下結(jié)論正確的是 (　　)
A.a8>0 B.b8<0
C.a7>a8 D.b7>b8
7.[多選]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列,{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,則 (　　)
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
8.(5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=　　　　.
9.(5分)在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,則衰分比例為　　　　.
10.(5分)若數(shù)列a1,,,…,,…,是首項(xiàng)為1,公比為-的等比數(shù)列,則a5=　　　　.
11.(5分)我國生物科技發(fā)展日新月異,其中生物制藥發(fā)展尤其迅速,某制藥公司今年共投入資金50萬元進(jìn)行新藥開發(fā),并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%.按此規(guī)律至少　　　　　年后每年投入的資金可達(dá)250萬元以上(精確到1年.參考數(shù)據(jù)lg 1.2≈0.08,lg 5≈0.70)
12.(5分)已知數(shù)列{an},{bn}滿足bn=log2an(n∈N*).其中{bn}是等差數(shù)列,若a10a2 016=2,則b1+b2+…+
b2 025=　　　　　　.
13.(10分)2024年,某縣甲、乙兩個林場森林木材的存量分別為16a和25a,甲林場木材存量每年比上年遞增25%,而乙林場木材存量每年比上年遞減20%.
(1)求哪一年兩林場木材的存量相等 (5分)
(2)問兩林場木材的總量到2029年能否翻一番 (5分)
14.(15分)已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=16,公比q=,在{an}中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個正數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等比數(shù)列{bn}.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(7分)
(2)記數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的乘積為Tn,試問Tn是否有最大值 如果有,請求出此時n的值以及最大值;若沒有,請說明理由.(8分)
15.(15分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0,且第2項(xiàng),第5項(xiàng),第14項(xiàng)分別是一個等比數(shù)列的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(5分)
(2)設(shè)bn=,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在最大的整數(shù)t,使得對任意的n均有Sn>成立 若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.(10分)
課時檢測(三十五)
1．選C　∵a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝.
2．選C　設(shè)H1需提供的能量為a，由題意知，H2的能量為10%a，H3的能量為(10%)2a，即(10%)2a ＝10，解得a＝103，所以要能使H3獲得10 kJ的能量，則需H1提供的能量為103 kJ，故選C.
3．選B　若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a1＜a3＜a5一定成立；反之：例如數(shù)列{(－1)n＋12n}，此時滿足a1＜a3＜a5，但數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列．所以“a1＜a3＜a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的必要且不充分條件．
4．選A　設(shè)這n＋2個數(shù)為a1，a2，…，an＋1，an＋2，則(a2·a3·…·an＋1)2＝(a1·an＋2)n＝100n，∴a2·a3·…·an＋1＝10n.
5．選B　在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中， a2·a·a2 024＝16，因?yàn)閍2·a2 024＝a，所以(a9a1 013)2＝16，即 a9a1 013＝a＝4.所以a511＝2.所以a1·a2·a3·…·a1 021＝a＝21 021.故選B.
6．選BD　因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比q＝－，則a7＝a1，a8＝－a1，而a1的正負(fù)不確定，因此不能確定a7和a8的正負(fù)及大小關(guān)系，A、C錯誤；顯然a7和a8異號，又a7>b7且a8>b8，則b7，b8中至少有一個是負(fù)數(shù)，而b1＝9>0，于是等差數(shù)列{bn}的公差d<0，即數(shù)列{bn}遞減，因此b7>b8，且b8<0，B、D正確．故選BD.
7．選ACD　因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列，a1＋a6＋a11＝3π，b1b5b9＝8，所以a1＋a6＋a11＝3a6＝3π，即a6＝π，b1b5b9＝b＝8，即b5＝2.對于A，S11＝＝11a6＝11π，故A正確；對于B，a2＋a10＝2a6＝2π，b4b6＝b＝4，所以sin＝sin＝1，故B錯誤；對于C，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a3＋a7＋a8＝a6－3d＋a6＋d＋a6＋2d＝3a6＝3π，故C正確；對于D，由b5＝2，得b3，b7>0，故b3＋b7≥2＝2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)b3＝b7＝2時等號成立，故D正確．
8．解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，
解得d＝－1，∴q＝＝＝1.
答案：1
9．解析：設(shè)衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得石，28石，28q石，∴＋28＋28q＝98，解得q＝2或q＝.又0答案：
10．解析：由題意，得＝(－)n－1(n≥2)，所以＝－，＝(－)2，＝(－)3，＝(－)4，將上面的四個式子兩邊分別相乘，得＝(－)1＋2＋3＋4＝32.又a1＝1，所以a5＝32.
答案：32
11．解析：由題知，某制藥公司今年共投入資金50萬元進(jìn)行新藥開發(fā)，并計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加20%，滿足等比數(shù)列模型，令a1＝50，q＝1.2，所以an＝50×(1.2)n－1，令an＝50×(1.2)n－1>250，所以(1.2)n－1>5，所以n－1>log1.25＝≈＝8.75，所以n>9.75，又因?yàn)閚為正整數(shù)，所以n＝10.故至少9年后每年投入的資金可達(dá)250萬元以上．
答案：9
12．解析：∵{bn}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則bn＋1＝log2an＋1，bn＝log2an，bn＋1－bn＝log2＝d，則＝2d，故{an}為等比數(shù)列，∴b1＋b2 025＝log2a1＋log2a2 025＝log2(a1a2 025)＝log2(a10a2 016)＝1，∴b1＋b2＋…＋b2 025＝＝.
答案：
13．解：(1)設(shè)經(jīng)過n年兩林場木材的存量相等，即
16a(1＋25%)n＝25a(1－20%)n，解得n＝1，
故到2025年兩林場木材的存量相等．
(2)令n＝5，則16a5＋25a5<2(16a＋25a)，故到2029年不能翻一番．
14．解：(1)由已知得，數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1＝16，b5＝a2＝16×＝1，
設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q1(q1>0)，則＝＝q＝，∴q1＝，即bn＝b1q＝16×n－1＝25－n.
(2)Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝24·23·…·25－n＝24＋3＋2＋…＋(5－n)＝24n－＝2－n2＋n＝2－2＋，即當(dāng)n＝4或n＝5時，Tn有最大值2－×2＋＝210＝1 024.故Tn有最大值，為1 024，此時n的值為4或5.
15．解：(1)由題意，得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.又a1＝1，d＞0，所以d＝2，an＝2n－1.
(2)bn＝＝＞0，所以數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，S1＝b1＝為Sn的最小值，故＞，t＜9.又t為整數(shù)，所以適合條件的t的最大值為8.
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