資源簡介

4.3.3　等比數列的前n項和
第1課時　等比數列的前n項和 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]　1.探索并掌握等比數列的前n項和公式.
2.理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系.
1.等比數列的前n項和公式
首項、公比、項數 Sn=
首項、末項、公比 Sn=
|微|點|助|解|
(1)一般地,使用等比數列求和公式時需注意:
①一定不要忽略q=1的情況.
②知道首項a1、公比q和項數n,可以用;
知道首尾兩項a1,an和q,可以用.
③在通項公式和前n項和公式中共出現了五個量:a1,n,q,an,Sn.知道其中任意三個,可求其余兩個.
(2)兩種思想:關于等比數列前n項和公式的基本運算,多運用方程的思想,解決兩個基本量:首項a1和公比q,從而求出通項公式.同時此類問題在求解中經常使用整體代換的思想.
2.等比數列前n項和的性質
(1)數列{an}為公比不為-1的等比數列,Sn為其前n項和,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍構成等比數列.
(2)若{an}是公比為q的等比數列,則Sn+m=Sn+qnSm(n,m∈N*).
(3)若{an}是公比為q的等比數列,S偶,S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和,則:
①在其前2n項中,=q;
②在其前2n+1項中,S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).S奇=a1+qS偶.
(4)若一個非常數列{an}的前n項和Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*),則數列{an}為等比數列,即Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,且q≠1,n∈N*) 數列{an}為等比數列.
|微|點|助|解|
　　當q=-1且n為偶數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不是等比數列;當q=-1,且n為奇數時,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是等比數列.
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)求等比數列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=來求. (　　)
(2)若首項為a的數列既是等差數列又是等比數列,則其前n項和為Sn=na. (　　)
(3)若某數列的前n項和公式為Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N*),則此數列一定是等比數列. (　　)
2.在等比數列{an}中,公比q=-2,S5=44,則a1的值為 (　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
3.數列{2n-1}的前99項和為 (　　)
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
4.已知一個等比數列的項數是偶數,其奇數項之和為1 012,偶數項之和為2 024,則這個數列的公比為 (　　)
A.8 B.-2
C.4 D.2
5.等比數列1,x,x2,x3,…的前n項和Sn=　　　　.
題型(一)　等比數列前n項和的基本運算
[例1]　求下列等比數列前n項和:
(1),,,…,求S8;
(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　求等比數列前n項和,要確定首項、公比、項數或首項、末項、公比,應特別注意q=1是否成立.
　　[針對訓練]
1.在等比數列{an}中,若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.
2.設等比數列{an}的前n項和為Sn.已知a2=6,6a1+a3=30,求an和Sn.
題型(二)　等比數列前n項和的性質及應用
[例2]　(1)等比數列{an}的前n項和為Sn,若Sn=48,S2n=60,則S3n= (　　)
A.60 B.61
C.62 D.63
(2)一個等比數列的首項為1,項數是偶數,其奇數項的和為85,偶數項的和為170,則此數列的公比為　　　　,項數為　　　　.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
　在本例(1)中,若把條件換為“Sn=2,S2n=6”,求S4n.
|思|維|建|模|
結合等比數列前n項和的性質解題
(1)牢記并熟練運用等比數列及其前n項和的性質是基礎.
(2)運用方程思想、整體思想是解題的關鍵.
　　[針對訓練]
3.設等比數列{an}的前n項和為Sn,已知S3=8,S6=7,則S9等于 (　　)
A. B.-
C. D.
4.已知等比數列{an}有2n+1項,a1=1,所有奇數項的和為85,所有偶數項的和為42,則n= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
題型(三)　等比數列前n項和公式的應用
[例3]　已知等差數列{an}滿足a3=7,a2+a6=20.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若等比數列{bn}的前n項和為Sn,且b1=a1,=a6,bn+1>bn,求滿足Sn≤2 024的正整數n的最大值.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
解決等比數列前n項和有關問題時應注意
(1)首先將題目問題轉化為等比數列問題.
(2)當題中有多個數列出現時,既要研究單一數列項與項之間的關系,又要關注各數列之間的相互聯系.
　　[針對訓練]
5.設數列{an}的前n項和為Sn,其中an≠0,a1為常數,且-a1,Sn,an+1成等差數列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設bn=1-Sn,問:是否存在a1,使數列{bn}為等比數列 若存在,求出a1的值;若不存在,請說明理由.
第1課時　等比數列的前n項和
?課前預知教材
1．na1　　na1　
[基礎落實訓練]
1．(1)×　(2)√　(3)√
2．選A　由S5＝＝44，得a1＝4.
3．選C　數列{2n－1}為等比數列，首項為1，公比為2，故其前99項和為S99＝＝299－1.
4．選D　設公比為q，由題意知S偶＝qS奇，即2 024＝1 012q，∴q＝2.
5．解析：當x＝1時，Sn＝n；當x≠1時，Sn＝.
答案：
?課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　解：(1)因為a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由題意知
解得從而S5＝＝.
[針對訓練]
1．解：∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192 ①.
又∵Sn＝＝189，
即a1－a1·2n＝－189，
∴a1＝a1·2n－189＝192－189＝3.
代入①式得n＝6.
2．解：設{an}的公比為q，
由題設得解得或當a1＝3，q＝2時，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)；
當a1＝2，q＝3時，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
[題型(二)]
[例2]　(1)選D　∵S2n≠2Sn，
∴公比q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝　③，
③代入①得＝64，∴S3n＝＝64＝63.
(2)解析：設數列為{an}，其公比為q，項數為2n，則奇數項，偶數項分別組成以q2為公比的等比數列，又a1＝1，a2＝q，q≠1，
所以
②÷①，得q＝2，所以＝85,4n＝256，
故得n＝4，故項數為8.
答案：2　8
[變式拓展]
解：設數列{an}的公比為q，首項為a1，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數列，
Sn＝2，S2n－Sn＝4，故qn＝2.
所以Sn＝＝2，得－＝2，
即＝－2，S4n＝＝＝－2×(1－16)＝30.
[針對訓練]
3．選C　由已知得S3，S6－S3，S9－S6成等比數列，且S3＝8，S6－S3＝7－8＝－1，
∴S9－S6＝(－1)×＝，
∴S9＝S6＋＝7＋＝.故選C.
4．選B　因為等比數列有2n＋1項，則奇數項有n＋1項，偶數項有n項，設公比為q，得到奇數項的和為1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85，偶數項的和為q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42，整體代入得q＝2，所以前2n＋1項的和為＝85＋42＝127，解得n＝3.故選B.
[題型(三)]
[例3]　解：(1)設等差數列{an}的公差為d，
則a3＝a1＋2d＝7，a2＋a6＝2a1＋6d＝20，解得a1＝1，d＝3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)設等比數列{bn}的公比為q.
由(1)知b1＝a1＝1，b＝a6＝3×6－2＝16.
因為b＝(b1q2)2，所以q＝2或q＝－2，
又bn＋1＞bn，所以q＝2，所以Sn＝＝2n－1.令2n－1≤2 024，得2n≤2 025，又210＜2 025＜211，所以滿足題意的正整數n的最大值為10.
[針對訓練]
5．解：(1)依題意，得2Sn＝an＋1－a1.
于是，當n≥2時，有
兩式相減，得an＋1＝3an(n≥2)．
又因為a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，
所以數列{an}是首項為a1，公比為3的等比數列．因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．
(2)存在．因為Sn＝＝a1·3n－a1，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.
要使{bn}為等比數列，則1＋a1＝0，
故a1＝－2.
1 / 4(共54張PPT)
4.3.3
等比數列的前n項和
等比數列的前n項和
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
第1課時
課時目標
1.探索并掌握等比數列的前n項和公式.
2.理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.等比數列的前n項和公式
首項、公比、項數
首項、末項、公比
|微|點|助|解|
(1)一般地，使用等比數列求和公式時需注意:
①一定不要忽略q=1的情況.
②知道首項a1、公比q和項數n，可以用；
知道首尾兩項a1，an和q，可以用.
③在通項公式和前n項和公式中共出現了五個量:a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個，可求其余兩個.
(2)兩種思想:關于等比數列前n項和公式的基本運算，多運用方程的思想，解決兩個基本量:首項a1和公比q，從而求出通項公式.同時此類問題在求解中經常使用整體代換的思想.
2.等比數列前n項和的性質
(1)數列{an}為公比不為-1的等比數列，Sn為其前n項和，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍構成等比數列.
(2)若{an}是公比為q的等比數列，則Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N*).
(3)若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則:
①在其前2n項中，=q；②在其前2n+1項中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1).S奇=a1+qS偶.
(4)若一個非常數列{an}的前n項和Sn=Aqn-A(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*)，則數列{an}為等比數列，即Sn=Aqn-A(A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N*) 數列{an}為等比數列.
|微|點|助|解|
　　當q=-1且n為偶數時，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不是等比數列；當q=-1，且n為奇數時，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是等比數列.
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)求等比數列{an}的前n項和時可直接套用公式Sn=來求.(　　)
(2)若首項為a的數列既是等差數列又是等比數列，則其前n項和為Sn=na.(　　)
(3)若某數列的前n項和公式為Sn=-aqn+a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，則此數列一定是等比數列.(　　)
×
√
√
2.在等比數列{an}中，公比q=-2，S5=44，則a1的值為 (　　)
A.4 B.-4
C.2 D.-2
√
解析:由S5==44，得a1=4.
3.數列{2n-1}的前99項和為 (　　)
A.2100-1 B.1-2100
C.299-1 D.1-299
√
解析:數列{2n-1}為等比數列，首項為1，公比為2，故其前99項和為S99==299-1.
4.已知一個等比數列的項數是偶數，其奇數項之和為1 012，偶數項之和為2 024，則這個數列的公比為 (　　)
A.8 B.-2
C.4 D.2
√
解析:設公比為q，由題意知S偶=qS奇，即2 024=1 012q，∴q=2.
5.等比數列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn=_________________.
解析:當x=1時，Sn=n；當x≠1時，Sn=.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　等比數列前n項和的基本運算
[例1]　求下列等比數列前n項和:
(1)，…，求S8；
解:因為a1=，q=，所以S8==.
(2)a1+a3=10，a4+a6=，求S5.
解:法一　由題意知解得從而S5==.
法二　由(a1+a3)q3=a4+a6，得q3=，從而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10，
所以a1=8，從而S5==.
|思|維|建|模|
　　求等比數列前n項和，要確定首項、公比、項數或首項、末項、公比，應特別注意q=1是否成立.
針對訓練
1.在等比數列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n.
解:法一　∵an=96，q=2，∴a1·2n=192　①.
又∵Sn==189，即a1-a1·2n=-189，
∴a1=a1·2n-189=192-189=3.代入①式得n=6.
法二　由公式Sn=及已知，得189=，解得a1=3.
又由an=a1qn-1，得96=3·2n-1，解得n=6.
2.設等比數列{an}的前n項和為Sn.已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn.
解:設{an}的公比為q，由題設得
解得或
當a1=3，q=2時，an=3×2n-1，Sn=3×(2n-1)；
當a1=2，q=3時，an=2×3n-1，Sn=3n-1.
題型(二)　等比數列前n項和的性質及應用
[例2]　(1)等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn=48，S2n=60，則S3n= (　　)
A.60 B.61 C.62 D.63
√
解析:法一　∵S2n≠2Sn，∴公比q≠1，由已知得
②÷①得1+qn=，即qn=　③，③代入①得=64，∴S3n==64=63.
法二　∵{an}為等比數列，顯然公比q≠-1，
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比數列，∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，
即(60-48)2=48(S3n-60)，∴S3n=63.
法三　由性質Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=，
∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63.
(2)一個等比數列的首項為1，項數是偶數，其奇數項的和為85，偶數項的和為170，則此數列的公比為_______，項數為_______.
解析:設數列為{an}，其公比為q，項數為2n，則奇數項，偶數項分別組成以q2為公比的等比數列，又a1=1，a2=q，q≠1，
所以
②÷①，得q=2，所以=85，4n=256，故得n=4，故項數為8.
2　
8
變式拓展
在本例(1)中，若把條件換為“Sn=2，S2n=6”，求S4n.
解:設數列{an}的公比為q，首項為a1，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等比數列，Sn=2，S2n-Sn=4，故qn=2.
所以Sn==2，得-=2，
即=-2，S4n===-2×(1-16)=30.
|思|維|建|模|
結合等比數列前n項和的性質解題
(1)牢記并熟練運用等比數列及其前n項和的性質是基礎.
(2)運用方程思想、整體思想是解題的關鍵.
針對訓練
3.設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知S3=8，S6=7，則S9等于 (　　)
A. B.-
C. D.
解析:由已知得S3，S6-S3，S9-S6成等比數列，且S3=8，S6-S3=7-8=-1，∴S9-S6=(-1)×=，∴S9=S6+=7+=.故選C.
√
4.已知等比數列{an}有2n+1項，a1=1，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則n= (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
√
解析:法一　因為等比數列有2n+1項，則奇數項有n+1項，偶數項有n項，設公比為q，得到奇數項的和為1+q2+q4+…+q2n=1+q(q+q3+q5+
…+q2n-1)=85，偶數項的和為q+q3+q5+…+q2n-1=42，整體代入得q=2，所以前2n+1項的和為=85+42=127，解得n=3.故選B.
法二　由S奇=a1+qS偶，得85=1+42q，所以q=2，所以前2n+1項的和為=85+42=127，解得n=3.
題型(三)　等比數列前n項和公式的應用
[例3]　已知等差數列{an}滿足a3=7，a2+a6=20.
(1)求{an}的通項公式；
解:設等差數列{an}的公差為d，
則a3=a1+2d=7，a2+a6=2a1+6d=20，
解得a1=1，d=3，所以an=1+3(n-1)=3n-2.
(2)若等比數列{bn}的前n項和為Sn，且b1=a1，=a6，bn+1>bn，求滿足Sn≤2 024的正整數n的最大值.
解:設等比數列{bn}的公比為q.
由(1)知b1=a1=1，=a6=3×6-2=16.
因為=(b1q2)2，所以q=2或q=-2，
又bn+1>bn，所以q=2，所以Sn==2n-1.令2n-1≤2 024，得2n≤
2 025，又210<2 025<211，所以滿足題意的正整數n的最大值為10.
|思|維|建|模|
解決等比數列前n項和有關問題時應注意
(1)首先將題目問題轉化為等比數列問題.
(2)當題中有多個數列出現時，既要研究單一數列項與項之間的關系，又要關注各數列之間的相互聯系.
針對訓練
5.設數列{an}的前n項和為Sn，其中an≠0，a1為常數，且-a1，Sn，an+1成等差數列.
(1)求{an}的通項公式；
解:依題意，得2Sn=an+1-a1.于是，當n≥2時，有
兩式相減，得an+1=3an(n≥2).又因為a2=2S1+a1=3a1，an≠0，
所以數列{an}是首項為a1，公比為3的等比數列.
因此，an=a1·3n-1(n∈N*).
(2)設bn=1-Sn，問:是否存在a1，使數列{bn}為等比數列 若存在，求出a1的值；若不存在，請說明理由.
解:存在.因為Sn==a1·3n-a1，
所以bn=1-Sn=1+a1-a1·3n.
要使{bn}為等比數列，則1+a1=0，故a1=-2.
課時檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.在等比數列{an}中，首項a1=12，公比q=，那么它的前4項和S4的值為(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:由等比數列的前n項和公式，得S4===18×=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且S3=2，S6-S3=4，則S9-S6= (　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
√
15
解析:由題意得，(S6-S3)2=S3(S9-S6)，∴S9-S6=8.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.已知數列{an}的通項公式是an=2n，Sn是數列{an}的前n項和，則S10等于 (　　)
A.10 B.210
C.210-2 D.211-2
√
15
解析:∵==2，∴數列{an}是公比為2的等比數列，且a1=2，∴S10==211-2.
1
5
6
7
8
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13
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3
4
2
4.在等比數列{an}中，a1+an=82，a3an-2=81，且前n項和Sn=121，則此數列的項數n等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
√
15
1
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11
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3
4
2
解析:設等比數列{an}的公比為q，依題意，a1+an=82，a3an-2=a1an=81，所以或若則Sn===121，解得q=3，所以an=1×3n-1=81=34，n=5.若則Sn==
=121，解得q=，所以an=81×=34×31-n=35-n=1，n=5.綜上所述，n的值為5.
15
1
5
6
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10
11
12
13
14
3
4
2
5.已知等比數列{an}中，an=2×3n-1，則由此數列的奇數項按原來的順序所組成的新數列的前n項和為 (　　)
A.3n-1 B.3(3n-1)
C.(9n-1) D.4(9n-1)
√
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1
5
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3
4
2
解析:由an=2×3n-1，得a2k-1=2×32k-2=2×9k-1，k∈N*，a1=2，則==9，因此由等比數列{an}的奇數項按原來的順序所組成的新數列是首項為2，公比為9的等比數列，所以新數列的前n項和為=(9n-1).
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6.記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a5-a3=12，a6-a4=24，則=(　　)
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
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√
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解析:法一　設等比數列{an}的公比為q，則q===2.由a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12得a1=1.所以an=a1qn-1=2n-1，Sn==2n-1，所以==2-21-n.
法二　設等比數列{an}的公比為q，則　得=q=2.將q=2代入①，解得a3=4，所以a1==1，下同法一.
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7.[多選]已知正項等比數列{an}中a1=2，a5-2a3=a4，設其公比為q，前n項和為Sn，則(　　)
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2 047 D.an+an+115
解析:因為a5-2a3=a4，所以a1q4-2a1q2=a1q3，即q2-q-2=0，解得q=2或q=-1，又q>0，所以q=2，所以A正確；數列{an}的通項公式為an=a1qn-1=2n，所以B正確；S10==211-2=2 046，所以C不正確；由an=2n，得an+an+1=2n+2n+1=3·2n，an+2=2n+2=4·2n，所以an+an+1√
√
√
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8.(5分)一個等比數列，它的前4項和為前2項和的2倍，則此數列的公比為___________.
15
-1或1
解析:當q=1時，S4=2S2滿足題意；當q≠1時，=，∴1+q2=2，∴q=1(舍去)或q=-1.綜上q=-1或1.
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9.(5分)對于數列{an}，若點(n，an)(n∈N*)都在函數f(x)=2x的圖象上，則數列{an}的前4項和S4=_____.
15
30
解析:由題設可得an=2n，故=2(n≥2)，故{an}為等比數列，其首項為2，公比為2，故S4==30.
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10.(5分)設數列{an}是等比數列，其前n項和為Sn，且S3=3a3，則公比q的值為________.
15
1或-
解析:當q=1時，S3=a1+a2+a3=3a3，成立；當q≠1時，S3=，a3=a1q2，又S3=3a3，所以=3q2，化簡得2q2-q-1=0，解得q=-或q=1(舍去).綜上可知，公比q的值為1或-.
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11.(5分)已知等比數列{an}的前n項和Sn=t·2n-1+1，則實數t的值為___.
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-2
解析:Sn=t·2n-1+1=·2n+1，因為等比數列{an}的前n項和Sn=-A·qn+A，其中q為公比，所以+1=0，所以t=-2.
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12.(5分)設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，則數列的公比q=_________.
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-
解析:當q=1時，Sn=na1，S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9，∴不成立；當q≠1時，+=2×，得2-q3-q6=2-2q9，∴2q9-q6-q3=0，解得q3=-或q3=1(舍去)或q3=0(舍去)，∴q=-.
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13.(10分)已知等比數列{an}的公比為q，且有1-q=3a1，試用q表示{an}的前n項和.
15
解:當q=1時，∵3a1=1-q=0，∴a1=0與{an}是等比數列矛盾，∴q≠1，即=.又∵等比數列的前n項和公式為Sn==-·qn+，
∴Sn=-qn+.
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14.(10分)已知等比數列{an}的前n項和Sn=2n+a.
(1)求實數a的值；(7分)
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解:由Sn=2n+a，當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n+a-(2n-1+a)=2n-1，
又a1=S1=2+a，因為數列{an}是等比數列，
所以a1滿足an=2n-1，∴2+a=1，即a=-1.
(2)若Sm=127，求m.(3分)
解:由(1)，Sn=2n-1，∴Sm=2m-1，∴127=2m-1，解得m=7.
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15.(15分)已知數列{an}和{bn}滿足a1=2，b1=1，an+1=2an(n∈N*)，b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).
(1)求an與bn；(5分)
15
解:由a1=2，an+1=2an，得an=2n(n∈N*).
由題意知當n=1時，b1=b2-1，故b2=2.
當n≥2時，bn=bn+1-bn，整理得=，所以bn=n(n∈N*).
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(2)記數列{anbn}的前n項和為Tn，求Tn.(10分)
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解:由(1)知anbn=n·2n，
因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n，
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1，
所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.
故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).課時檢測(三十七)　等比數列的前n項和
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.在等比數列{an}中,首項a1=12,公比q=,那么它的前4項和S4的值為 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且S3=2,S6-S3=4,則S9-S6= (　　)
A.8 B.4
C.2 D.1
3.已知數列{an}的通項公式是an=2n,Sn是數列{an}的前n項和,則S10等于 (　　)
A.10 B.210
C.210-2 D.211-2
4.在等比數列{an}中,a1+an=82,a3an-2=81,且前n項和Sn=121,則此數列的項數n等于 (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知等比數列{an}中,an=2×3n-1,則由此數列的奇數項按原來的順序所組成的新數列的前n項和為 (　　)
A.3n-1 B.3(3n-1)
C.(9n-1) D.4(9n-1)
6.記Sn為等比數列{an}的前n項和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則= (　　)
A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1 D.21-n-1
7.[多選]已知正項等比數列{an}中a1=2,a5-2a3=a4,設其公比為q,前n項和為Sn,則 (　　)
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2 047 D.an+an+18.(5分)一個等比數列,它的前4項和為前2項和的2倍,則此數列的公比為　　　　.
9.(5分)對于數列{an},若點(n,an)(n∈N*)都在函數f(x)=2x的圖象上,則數列{an}的前4項和S4=　　　　.
10.(5分)設數列{an}是等比數列,其前n項和為Sn,且S3=3a3,則公比q的值為　　　　.
11.(5分)已知等比數列{an}的前n項和Sn=t·2n-1+1,則實數t的值為　　　　.
12.(5分)設等比數列{an}的前n項和為Sn,若S3+S6=2S9,則數列的公比q=　　　　.
13.(10分)已知等比數列{an}的公比為q,且有1-q=3a1,試用q表示{an}的前n項和.
14.(10分)已知等比數列{an}的前n項和Sn=2n+a.
(1)求實數a的值;(7分)
(2)若Sm=127,求m.(3分)
15.(15分)已知數列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*).
(1)求an與bn;(5分)
(2)記數列{anbn}的前n項和為Tn,求Tn.(10分)
課時檢測(三十七)
1．選A　由等比數列的前n項和公式，得S4＝＝＝18×＝.
2．選A　由題意得，(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，∴S9－S6＝8.
3．選D　∵＝＝2，∴數列{an}是公比為2的等比數列，且a1＝2，∴S10＝＝211－2.
4．選C　設等比數列{an}的公比為q，依題意，a1＋an＝82，a3an－2＝a1an＝81，所以或若則Sn＝＝＝121，解得q＝3，所以an＝1×3n－1＝81＝34，n＝5.若則Sn＝＝＝121，解得q＝，所以an＝81×n－1＝34×31－n＝35－n＝1，n＝5.綜上所述，n的值為5.
5．選C　由an＝2×3n－1，得a2k－1＝2×32k－2＝2×9k－1，k∈N*，a1＝2，則＝＝9，因此由等比數列{an}的奇數項按原來的順序所組成的新數列是首項為2，公比為9的等比數列，所以新數列的前n項和為＝(9n－1)．
6．選B　設等比數列{an}的公比為q，則q＝＝＝2.由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12得a1＝1.所以an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝＝2n－1，所以＝＝2－21－n.
7．選ABD　因為a5－2a3＝a4，所以a1q4－2a1q2＝a1q3，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1，又q>0，所以q＝2，所以A正確；數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1＝2n，所以B正確；S10＝＝211－2＝2 046，所以C不正確；由an＝2n，得an＋an＋1＝2n＋2n＋1＝3·2n，an＋2＝2n＋2＝4·2n，所以an＋an＋18．解析：當q＝1時，S4＝2S2滿足題意；當q≠1時，＝，∴1＋q2＝2，∴q＝1(舍去)或q＝－1.綜上q＝－1或1.
答案：－1或1
9．解析：由題設可得an＝2n，故＝2(n≥2)，故{an}為等比數列，其首項為2，公比為2，故S4＝＝30.
答案：30
10．解析：當q＝1時，S3＝a1＋a2＋a3＝3a3，成立；當q≠1時，S3＝，a3＝a1q2，又S3＝3a3，所以＝3q2，化簡得2q2－q－1＝0，解得q＝－或q＝1(舍去)．綜上可知，公比q的值為1或－.
答案：1或－
11．解析：Sn＝t·2n－1＋1＝·2n＋1，因為等比數列{an}的前n項和Sn＝－A·qn＋A，其中q為公比，所以＋1＝0，所以t＝－2.
答案：－2
12．解析：當q＝1時，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9，∴不成立；當q≠1時，＋＝2×，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，∴q＝－.
答案：－
13．解：當q＝1時，∵3a1＝1－q＝0，
∴a1＝0與{an}是等比數列矛盾，
∴q≠1，即＝.
又∵等比數列的前n項和公式為Sn＝＝－·qn＋，
∴Sn＝－qn＋.
14．解：(1)由Sn＝2n＋a，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－(2n－1＋a)＝2n－1，
又a1＝S1＝2＋a，因為數列{an}是等比數列，所以a1滿足an＝2n－1，∴2＋a＝1，即a＝－1.
(2)由(1)，Sn＝2n－1，∴Sm＝2m－1，
∴127＝2m－1，解得m＝7.
15．解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，
得an＝2n(n∈N*)．
由題意知當n＝1時，b1＝b2－1，故b2＝2.
當n≥2時，bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
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