資源簡介

第2課時　等比數列的前n項和的應用
[教學方式:拓展融通課——習題講評式教學]
[課時目標]
能在具體的問題情境中,發現數列的等比關系,并解決相應的問題.掌握等差數列與等比數列的綜合應用.
題型(一)　等比數列前n項和的實際應用
[例1]　某家用電器一件現價2 000元,實行分期付款,每期付款數相同,每期為一月,購買后一個月開始付款,每月付款一次,共付12次,購買后一年還清,月利率為0.8%,按復利計算,那么每期應付款多少 (1.00812≈1.1)
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應用等比數列解決實際問題的一般思路
(1)實際生活中的增長率問題,分期付款問題等都是等比數列問題;
(2)解決此類問題的關鍵是由實際情況抽象出數列模型,利用知識求解.　　
[針對訓練]
1.某市共有1萬輛燃油型公交車.有關部門計劃于2024年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%.則:
(1)該市在2030年應該投入電力型公交車多少輛
(2)到哪一年年底,電力型公交車的數量開始超過公交車總量的
題型(二)　遞推公式的實際應用
[例2]　某企業投資1 000萬元用于一個高科技項目,每年可獲利25%,由于企業間競爭激烈,每年底需要從利潤中取出200萬元進行科研、技術改造與廣告投入,方能保持原有的利潤增長率,問至少經過多少年,該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標 (lg 2≈0.3)
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　　理解題意,建立數列中an與an+1或an與an-1之間的關系,構造數列,確定數列的通項公式求解.
　　[針對訓練]
2.某城市2024年末汽車保有量為30萬輛,預計此后每年報廢上年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數量相同,為保護城市環境,要求該城市汽車保有量不超過60萬輛,那么每年新增汽車數量不應超過多少輛
題型(三)　分組轉化法求和
[例3]　(2024·全國甲卷)已知等比數列{an}的前n項和為Sn,且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數列{Sn}的前n項和.
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分組法求數列的前n項和的方法技巧
　　如果一個數列是等差數列與等比數列的代數和,求其前n項和需要先分組再利用公式求和.
　　[針對訓練]
3.設數列{an}的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足bn=2n-1+a2n,求數列{bn}的前n項和Tn.
第2課時　等比數列的前n項和的應用
[題型(一)]
[例1]　解：設每期應付款x元，則第1期付款到最后一次付款時的本息和為x(1＋0.008)11，第2期付款到最后一次付款時的本息和為x(1＋0.008)10，…，第12期付款沒有利息，所以各期付款連同利息之和為x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x.
又所購電器的現價及其利息之和為2 000×1.00812，于是有x＝2 000×1.00812，解得x＝≈176(元)．
所以每期應付款176元．
[針對訓練]
1．解：(1)每年投入電力型公交車的數量可構成等比數列{an}，其中a1＝128，q＝.
∴2030年應投入的數量為a7＝a1q6＝128×6＝1 458(輛)．
(2)設{an}的前n項和為Sn，則Sn＝＝256×，由Sn＞(10 000＋Sn)×，即Sn＞5 000，解得n≥8.∴到2031年底電力型公交車的數量開始超過該市公交車總量的.
[題型(二)]
[例2]　解：設經過n年后，該項目的資金為an萬元．
由題意得，an＝an－1(1＋25%)－200(n≥2)，
整理可得an－800＝(an－1－800)，
即{an－800}成一個等比數列，a1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050，a1－800＝250，
∴an－800＝250n－1，即an＝250n－1＋800，令an≥4 000，得n≥16，解得n≥12，即至少經過12年，該項目的資金可以達到或超過翻兩番的目標．
[針對訓練]
2．解：設每年新增汽車為b萬輛，該城市第n年末的汽車保有量為an，
則容易得到an和an－1的遞推關系為
an＝(1－6%)an－1＋b＝0.94an－1＋b(n≥2)，
即an－b＝0.94.
∴是以0.94為公比，以30－b為首項的等比數列．
∴an－b＝·0.94n－1，
即an＝b＋·0.94n－1.
①當30－b≥0，即b≤1.8時，an≤an－1≤…≤a1＝30.
②當30－b<0，即b>1.8時，an趨近于b，并且數列{an}為遞增數列，因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，
即an≤60(n∈N*)，則b≤60，即b≤3.6.
綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛．
[題型(三)]
[例3]　解：(1)因為2Sn＝3an＋1－3，
所以2Sn＋1＝3an＋2－3，
兩式相減可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1，即an＋2＝an＋1，所以等比數列{an}的公比為.
因為2S1＝3a2－3＝5a1－3，所以a1＝1，故an＝n－1.
(2)因為2Sn＝3an＋1－3，所以Sn＝(an＋1－1)＝.設數列{Sn}的前n項和為Tn，則Tn＝×－n＝×n－n－.
[針對訓練]
3．解：(1)因為數列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)，
當n＝1時，a2＝2＋a1＝2＋2＝4，
當n≥2時，由an＋1＝2＋Sn可得an＝2＋Sn－1，上述兩個等式作差可得an＋1－an＝an，可得an＋1＝2an，又因為a2＝2a1，
所以數列{an}為等比數列，且首項為2，公比為2，所以an＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)可得bn＝2n－1＋a2n＝2n－1＋4n，
所以Tn＝(1＋41)＋(3＋42)＋(5＋43)＋…＋[(2n－1)＋4n]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(4＋42＋43＋…＋4n)＝＋＝n2＋.
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等比數列的前n項和的應用
[教學方式:拓展融通課——習題講評式教學]
第2課時
課時目標
能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題.掌握等差數列與等比數列的綜合應用.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　等比數列前n項和的實際應用
題型(二)　遞推公式的實際應用
題型(三)　分組轉化法求和
4
課時檢測
題型(一)　等比數列前n項和的實際應用
01
[例1]　某家用電器一件現價2 000元，實行分期付款，每期付款數相同，每期為一月，購買后一個月開始付款，每月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復利計算，那么每期應付款多少 (1.00812≈1.1)
解:設每期應付款x元，
則第1期付款到最后一次付款時的本息和為x(1+0.008)11，
第2期付款到最后一次付款時的本息和為x(1+0.008)10，…，
第12期付款沒有利息，所以各期付款連同利息之和為x(1+0.008)11+x(1+0.008)10+…+x=x.
又所購電器的現價及其利息之和為2 000×1.00812，
于是有x=2 000×1.00812，解得x=≈176(元).
所以每期應付款176元.
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應用等比數列解決實際問題的一般思路
(1)實際生活中的增長率問題，分期付款問題等都是等比數列問題；
(2)解決此類問題的關鍵是由實際情況抽象出數列模型，利用知識求解.
針對訓練
1.某市共有1萬輛燃油型公交車.有關部門計劃于2024年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%.則:
(1)該市在2030年應該投入電力型公交車多少輛
解:每年投入電力型公交車的數量可構成等比數列{an}，
其中a1=128，q=.
∴2030年應投入的數量為a7=a1q6=128×=1 458(輛).
(2)到哪一年年底，電力型公交車的數量開始超過公交車總量的
解:設{an}的前n項和為Sn，則Sn==256×，由Sn>(10 000+Sn)×，即Sn>5 000，解得n≥8.
∴到2031年底電力型公交車的數量開始超過該市公交車總量的.
題型(二)　遞推公式的實際應用
02
[例2]　某企業投資1 000萬元用于一個高科技項目，每年可獲利25%，由于企業間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出200萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率，問至少經過多少年，該項目的資金可以達到或超過翻兩番(4倍)的目標 (lg 2≈0.3)
解:設經過n年后，該項目的資金為an萬元.
由題意得，an=an-1(1+25%)-200(n≥2)，整理可得an-800=(an-1-800)，
即{an-800}成一個等比數列，a1=1 000(1+25%)-200=1 050，a1-800=250，∴an-800=250，即an=250+800，令an≥4 000，得≥16，解得n≥12，即至少經過12年，該項目的資金可以達到或超過翻兩番的目標.
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　　理解題意，建立數列中an與an+1或an與an-1之間的關系，構造數列，確定數列的通項公式求解.
針對訓練
2.某城市2024年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數量相同，為保護城市環境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數量不應超過多少輛
解:設每年新增汽車為b萬輛，該城市第n年末的汽車保有量為an，
則容易得到an和an-1的遞推關系為an=(1-6%)an-1+b=0.94an-1+b(n≥2)，
即an-b=0.94.∴是以0.94為公比，以30-b為首項的等比數列.
∴an-b=·0.94n-1，即an=b+·0.94n-1.
①當30-b≥0，即b≤1.8時，an≤an-1≤…≤a1=30.
②當30-b<0，即b>1.8時，an趨近于b，
并且數列{an}為遞增數列，因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，
即an≤60(n∈N*)，則b≤60，即b≤3.6.
綜上，每年新增汽車不應超過3.6萬輛.
題型(三)　分組轉化法求和
03
[例3]　(2024·全國甲卷)已知等比數列{an}的前n項和為Sn，且2Sn=3an+1-3.
(1)求{an}的通項公式；
解:因為2Sn=3an+1-3，所以2Sn+1=3an+2-3，
兩式相減可得2an+1=3an+2-3an+1，
即an+2=an+1，所以等比數列{an}的公比為.
因為2S1=3a2-3=5a1-3，所以a1=1，故an=.
(2)求數列{Sn}的前n項和.
解:因為2Sn=3an+1-3，所以Sn=(an+1-1)=.
設數列{Sn}的前n項和為Tn，
則Tn=×-n=×-n-.
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分組法求數列的前n項和的方法技巧
　　如果一個數列是等差數列與等比數列的代數和，求其前n項和需要先分組再利用公式求和.
針對訓練
3.設數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=2+Sn(n∈N*).
(1)求數列{an}的通項公式；
解:因為數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=2+Sn(n∈N*)，
當n=1時，a2=2+a1=2+2=4，當n≥2時，由an+1=2+Sn可得an=2+，
上述兩個等式作差可得an+1-an=an，可得an+1=2an，又因為a2=2a1，
所以數列{an}為等比數列，且首項為2，公比為2，所以an=2×2n-1=2n.
(2)若數列{bn}滿足bn=2n-1+a2n，求數列{bn}的前n項和Tn.
解:由(1)可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n，
所以Tn=(1+41)+(3+42)+(5+43)+…+[(2n-1)+4n]=[1+3+5+…+(2n-1)]+
(4+42+43+…+4n)=+=n2+.
課時檢測
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1.我國古代的數學名著《九章算術》中記載:“今有蒲生一日，長三尺，蒲生日自半”.其意為今有蒲草第一日長高3尺，以后蒲草每日長高前一日的半數，則蒲草第5日的高度為 (　　)
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
√
解析:由題意，蒲草每日增長的高度成等比數列，等比數列的首項為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數列前5項和，S5==(尺).
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2.小李年初向銀行貸款M萬元用于購房，購房貸款的年利率為P，按復利計算，并從借款后次年年初開始歸還，分10次等額還清，每年1次，問每年應還 (　　)
A.萬元 B.萬元
C.萬元 D.萬元
√
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解析:設每年應還x萬元，則有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9=M(1+P)10，得 =M(1+P)10，解得x=.
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3.若數列{an}的通項公式為an=2n+2n-1，則數列{an}的前n項和為 (　　)
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
√
解析:由題可知，設數列{an}的前n項和為Sn，所以Sn=a1+a2+…+an，即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1)，所以Sn=+，故Sn=2n+1-2+n2.
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4.有一座七層塔，每層所點燈的盞數都是其上面一層的兩倍，這座塔一共點381盞燈，則底層所點燈的盞數是 (　　)
A.190 B.191
C.192 D.193
√
解析:設最上面一層有x盞，則第二層有2x盞，第三層有4x盞，第四層有8x盞，…，第七層有26x盞(層數從上面數).由題意知x+2x+4x+8x+
…+26x=x(1+2+22+23+…+26)==127x=381，∴x=3.故底層的盞數為26×3=192.
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5.某種細胞開始時有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個……按照此規律，6小時后細胞存活個數是 (　　)
A.33 B.64 C.65 D.127
√
解析:將開始時的細胞個數記為a1=2，1小時后的細胞個數記為a2=3，2小時后的細胞個數記為a3=5，3小時后的細胞個數記為a4=9，…，由題意可得a1=2，當n≥2時，an=2an-1-1，則an-1=2(an-1-1)，所以數列{an-1}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以an-1=2n-1，所以an=2n-1+1，所以6小時后細胞存活個數為a7=26+1=65.
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6.(5分)某慢性疾病患者，因病到醫院就醫，醫生給他開了處方藥(片劑)，要求此患者每天早、晩間隔12小時各服一次藥，每次一片，每片200毫克.假設該患者的腎臟每12小時從體內大約排出這種藥在其體內殘留量的50%，并且醫生認為這種藥在體內的殘留量不超過400毫克時無明顯副作用.若該患者第一天上午8點第一次服藥，則第二天上午8點服完藥時，藥在其體內的殘留量是______毫克，若該患者堅持長期服用此藥_______明顯副作用(此空填“有”或“無”).
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無
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解析:由題意可設第n次服藥后，其體內的殘留量為an，則a1=200，a2=200+a1×(1-50%)=200×1.5=300，a3=200+a2×(1-50%)=200+
200×1.5×0.5=350，故第二天早上他第三次服藥后，藥在他體內的殘留量為350毫克；該患者若長期服用此藥，則此藥在體內殘留量為=400(1-0.5n)，∵0.5n>0，則400(1-0.5n)<400，∴長期服用此藥無明顯副作用.
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7.(5分)“楊輝三角”是數學史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中，去掉所有的數字1，余下的數逐行從左到右排列，得到數列{an}為2，3，3，4，6，4，5，10，…，則數列{an}的前10項和為_______；若am=10，m∈N*，則m的最大值為______.
　
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解析:由于n次二項式系數對應“楊輝三角”的第n+1行，例如(x+1)2=x2+2x
+1，系數分別為1，2，1，對應“楊輝三角”的第三行.令x=1，就可以求出該行的系數和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，則“楊輝三角”的前n行之和為Sn==2n-1，若去除所有1的項，則剩下的每一行數字的個數為1，2，3，4，…，可以看成一個首項為1，公差為1的等差數列{bn}，則{bn}的前n項和Tn=，可得當n=4時，T4=10，則數列{an}的前10項和為S6-(2×5+1)=
26-12=52；根據“楊輝三角”的分布規律，最后出現am=10的位置應為去掉所有1的項的第9行的最后一項，所以T9==45.
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8.(5分)數列1，(1+2)，(1+2+22)，(1+2+22+23)，…，(1+2+…+2n-1)，…的前n項和為__________.
2n+1-2-n
解析:觀察數列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1，所以前n項和Sn=a1+
a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n=-n=2n+1-2-n.
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9.(5分)已知數列{an}中，an=2n-1+，則數列{an}的前n項和Sn=________________________.
n2+
解析:因為an=2n-1+，
則Sn=+++…+=
(1+3+5+…+2n-1)+=+=n2+.
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10.(10分)已知數列{an}為等比數列，a2=2，a5=16，bn=log2an，cn=an+bn.
(1)求數列{an}，{bn}的通項公式；(4分)
解:設數列{an}的公比為q，則q3===8，所以q=2，
所以an=a2·qn-2=2·2n-2=2n-1，所以bn=log2an=log22n-1=n-1.
(2)求數列{cn}的前n項和Sn.(6分)
解:cn=an+bn=2n-1+n-1，所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=
(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1).
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11.(15分)已知數列{an}的前n項和Sn=，n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式；(5分)
解:當n=1時，a1=S1=1；
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=-=n.a1=1也滿足an=n，
故數列{an}的通項公式為an=n.
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(2)設bn=+(-1)nan，求數列{bn}的前2n項和.(10分)
解:由(1)知an=n，故bn=2n+(-1)nn.記數列{bn}的前2n項和為T2n，
則T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).
記A=21+22+…+22n，B=-1+2-3+4-…+2n，
則A==22n+1-2，B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n.
故數列{bn}的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.
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12.(15分)某地牧場牧草深受病害困擾，某科研團隊研制了治療牧草病害的新藥，為探究新藥的效果，進行了如下的噴灑試驗:隔離選取1 000平方米牧草，在第一次噴藥前測得其中800平方米為正常牧草，200平方米為受害牧草，每三天給受害牧草噴藥一次.試驗的結論為每次噴藥前的受害牧草有80%的面積會在下一次噴藥前變為正常牧草，每次噴藥前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整數值；(5分)
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解:由題意，在第一次噴藥前，正常牧草面積a1=800平方米.
每一次噴藥后，正常牧草面積與噴藥前正常牧草面積的關系為an+1=
(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an　①.
所以a2=800+×800=960-8t.
要使得a2≥900成立，即要使得960-8t≥900成立，解得t≤7.5.
所以使得a2≥900成立的t的最大整數值為7.
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(2)證明:在t取(1)中最大整數值的情況下，如果試驗一直持續，正常牧草的面積不可能超過920平方米.(10分)
解:證明:由題設得t=7，代入①式可得an+1=0.13an+800　②.
用待定系數法，設實數λ滿足an+1+λ=0.13(an+λ)　③.
由③-②可得-0.87λ=800，λ=-，則數列{an+λ}是公比為0.13的等比數列，通項公式為an+λ=(a1+λ)×0.13n-1.即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ，又因為a1+λ=800-<800-=0，故an<-λ.
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又因為87×920=80 040>80 000，
所以an<-λ=<=920，
即無論n取多少，
正常牧草的面積an不可能超過920平方米.課時檢測(三十八)　等比數列的前n項和的應用
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.我國古代的數學名著《九章算術》中記載:“今有蒲生一日,長三尺,蒲生日自半”.其意為今有蒲草第一日長高3尺,以后蒲草每日長高前一日的半數,則蒲草第5日的高度為 (　　)
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
2.小李年初向銀行貸款M萬元用于購房,購房貸款的年利率為P,按復利計算,并從借款后次年年初開始歸還,分10次等額還清,每年1次,問每年應還 (　　)
A.萬元 B.萬元
C.萬元 D.萬元
3.若數列{an}的通項公式為an=2n+2n-1,則數列{an}的前n項和為 (　　)
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2
4.有一座七層塔,每層所點燈的盞數都是其上面一層的兩倍,這座塔一共點381盞燈,則底層所點燈的盞數是 (　　)
A.190 B.191
C.192 D.193
5.某種細胞開始時有2個,1小時后分裂成4個并死去1個,2小時后分裂成6個并死去1個,3小時后分裂成10個并死去1個……按照此規律,6小時后細胞存活個數是 (　　)
A.33 B.64
C.65 D.127
6.(5分)某慢性疾病患者,因病到醫院就醫,醫生給他開了處方藥(片劑),要求此患者每天早、晩間隔12小時各服一次藥,每次一片,每片200毫克.假設該患者的腎臟每12小時從體內大約排出這種藥在其體內殘留量的50%,并且醫生認為這種藥在體內的殘留量不超過400毫克時無明顯副作用.若該患者第一天上午8點第一次服藥,則第二天上午8點服完藥時,藥在其體內的殘留量是　　　　毫克,若該患者堅持長期服用此藥　　　　明顯副作用(此空填“有”或“無”).
7.(5分)“楊輝三角”是數學史上的一個偉大成就.在如圖所示的“楊輝三角”中,去掉所有的數字1,余下的數逐行從左到右排列,得到數列{an}為2,3,3,4,6,4,5,10,…,則數列{an}的前10項和為　　　　;若am=10,m∈N*,則m的最大值為　　　　.
8.(5分)數列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n項和為　　　　.
9.(5分)已知數列{an}中,an=2n-1+,則數列{an}的前n項和Sn=　　　　.
10.(10分)已知數列{an}為等比數列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn.
(1)求數列{an},{bn}的通項公式;(4分)
(2)求數列{cn}的前n項和Sn.(6分)
11.(15分)已知數列{an}的前n項和Sn=,n∈N*.
(1)求數列{an}的通項公式;(5分)
(2)設bn=+(-1)nan,求數列{bn}的前2n項和.(10分)
12.(15分)某地牧場牧草深受病害困擾,某科研團隊研制了治療牧草病害的新藥,為探究新藥的效果,進行了如下的噴灑試驗:隔離選取1 000平方米牧草,在第一次噴藥前測得其中800平方米為正常牧草,200平方米為受害牧草,每三天給受害牧草噴藥一次.試驗的結論為每次噴藥前的受害牧草有80%的面積會在下一次噴藥前變為正常牧草,每次噴藥前的正常牧草有t%(0(1)求使得a2≥900成立的t的最大整數值;(5分)
(2)證明:在t取(1)中最大整數值的情況下,如果試驗一直持續,正常牧草的面積不可能超過920平方米.(10分)
課時檢測(三十八)
1．選D　由題意，蒲草每日增長的高度成等比數列，等比數列的首項為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數列前5項和，S5＝＝(尺)．
2．選B　設每年應還x萬元，則有x＋x(1＋P)＋x(1＋P)2＋…＋x(1＋P)9＝M(1＋P)10，得 ＝M(1＋P)10，解得x＝.
3．選D　由題可知，設數列{an}的前n項和為Sn，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an，即Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋3＋…＋2n－1)，所以Sn＝＋，故Sn＝2n＋1－2＋n2.
4．選C　設最上面一層有x盞，則第二層有2x盞，第三層有4x盞，第四層有8x盞，…，第七層有26x盞(層數從上面數)．由題意知x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝x(1＋2＋22＋23＋…＋26)＝＝127x＝381，
∴x＝3.故底層的盞數為26×3＝192.
5．選C　將開始時的細胞個數記為a1＝2,1小時后的細胞個數記為a2＝3,2小時后的細胞個數記為a3＝5,3小時后的細胞個數記為a4＝9，…，由題意可得a1＝2，當n≥2時，an＝2an－1－1，則an－1＝2(an－1－1)，所以數列{an－1}是以2為公比，1為首項的等比數列，所以an－1＝2n－1，所以an＝2n－1＋1，所以6小時后細胞存活個數為a7＝26＋1＝65.
6．解析：由題意可設第n次服藥后，其體內的殘留量為an，則a1＝200，a2＝200＋a1×(1－50%)＝200×1.5＝300，a3＝200＋a2×(1－50%)＝200＋200×1.5×0.5＝350，故第二天早上他第三次服藥后，藥在他體內的殘留量為350毫克；該患者若長期服用此藥，則此藥在體內殘留量為＝400(1－0.5n)，∵0.5n>0，則400(1－0.5n)<400，∴長期服用此藥無明顯副作用．
答案：350　無
7．解析：由于n次二項式系數對應“楊輝三角”的第n＋1行，例如(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系數分別為1,2,1，對應“楊輝三角”的第三行．令x＝1，就可以求出該行的系數和，第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推即每一行數字和為首項為1，公比為2的等比數列，則“楊輝三角”的前n行之和為Sn＝＝2n－1，若去除所有1的項，則剩下的每一行數字的個數為1,2,3,4，…，可以看成一個首項為1，公差為1的等差數列{bn}，則{bn}的前n項和Tn＝，可得當n＝4時，T4＝10，則數列{an}的前10項和為S6－(2×5＋1)＝26－12＝52；根據“楊輝三角”的分布規律，最后出現am＝10的位置應為去掉所有1的項的第9行的最后一項，所以T9＝＝45.
答案：52　45
8．解析：觀察數列得到an＝1＋2＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前n項和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝21＋22＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－2－n.
答案：2n＋1－2－n
9．解析：因為an＝2n－1＋，
則Sn＝＋＋＋…＋＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋＝＋＝n2＋.
答案：n2＋
10．解：(1)設數列{an}的公比為q，則q3＝＝＝8，所以q＝2，
所以an＝a2·qn－2＝2·2n－2＝2n－1，
所以bn＝log2an＝log22n－1＝n－1.
(2)cn＝an＋bn＝2n－1＋n－1，所以Sn＝20＋0＋21＋1＋22＋2＋…＋2n－1＋n－1＝(20＋21＋22＋…＋2n－1)＋(0＋1＋2＋…＋n－1)＝＋＝2n－1＋n(n－1)．
11．解：(1)當n＝1時，a1＝S1＝1；
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.a1＝1也滿足an＝n，
故數列{an}的通項公式為an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
記數列{bn}的前2n項和為T2n，
則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，
則A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.
故數列{bn}的前2n項和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
12．解：(1)由題意，在第一次噴藥前，正常牧草面積a1＝800平方米．
每一次噴藥后，正常牧草面積與噴藥前正常牧草面積的關系為an＋1＝(1 000－an)×80%＋an×(1－t%)＝800＋an　①.
所以a2＝800＋×800＝960－8t.
要使得a2≥900成立，即要使得960－8t≥900成立，解得t≤7.5.所以使得a2≥900成立的t的最大整數值為7.
(2)證明：由題設得t＝7，代入①式可得
an＋1＝0.13an＋800　②.
用待定系數法，設實數λ滿足
an＋1＋λ＝0.13(an＋λ)　③.
由③－②可得－0.87λ＝800，λ＝－，
則數列{an＋λ}是公比為0.13的等比數列，通項公式為an＋λ＝(a1＋λ)×0.13n－1.
即an＝(a1＋λ)×0.13n－1－λ，又因為a1＋λ＝800－<800－＝0，故an<－λ.
又因為87×920＝80 040>80 000，
所以an<－λ＝<＝920，即無論n取多少，正常牧草的面積an不可能超過920平方米．
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