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專題微課　構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式
　　數(shù)列構(gòu)造法是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法,通常用于解決一些看似復(fù)雜或難以直接解決的問(wèn)題,其核心思想是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差或等比數(shù)列問(wèn)題,通過(guò)數(shù)列的性質(zhì)規(guī)律求解.
題型(一)　形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
[例1]　已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=(an+1),求通項(xiàng)公式an.
聽(tīng)課記錄:
|思|維|建|模|
　　形如=pan+q(其中p,q為常數(shù),且pq(p-1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式,步驟如下:
(1)假設(shè)遞推公式可改寫(xiě)為+t=p(an+t).
(2)由待定系數(shù)法,解得t=.
(3)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(4)寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.已知數(shù)列{an}滿足=2an+2,且a1=1,則 (　　)
A.{an}是等差數(shù)列
B.{an}是等比數(shù)列
C.{an+1}是等比數(shù)列
D.{an+2}是等比數(shù)列
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,=2an+1,求{an}的通項(xiàng)公式.
題型(二)　形如an=p+pn的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
[例2]　已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
聽(tīng)課記錄:
　　[變式拓展]
　本例中“an=2an-1+2n”變?yōu)椤癮n=2an-1+2n+1”,其余不變,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
|思|維|建|模|
　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的一般步驟
第一步:等式兩邊同除以pn,不管這一項(xiàng)是pn-1或pn+1,都同除以pn,為的是數(shù)列的下標(biāo)和p的指數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).
第二步:寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
第三步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.已知數(shù)列{an}滿足=+,且a1=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
4.已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=3an+2×3n+1,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
題型(三)　形如an+1=(A,B,C為常數(shù))的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
[例3]　已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=　　　　.
聽(tīng)課記錄:
|思|維|建|模|
　　形如an+1=(A,B,C為常數(shù)且A≠0)的數(shù)列,可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
5.[多選]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,=(n∈N*),則下列結(jié)論正確的有 (　　)
A.為等比數(shù)列
B.{an}的通項(xiàng)公式為an=
C.{an}為遞增數(shù)列
D.的前n項(xiàng)和Tn=2n+2-3n-4
專題微課　構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式
[題型(一)]
[例1]　解：∵an＋1＝an＋，∴an＋1－1＝(an－1)．又a1－1＝－.
∴數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為－，公比為的等比數(shù)列．∴an－1＝－×n－1，∴an＝1－×n－1.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．選D　由an＋1＝2an＋2，可得an＋1＋2＝2(an＋2)，所以＝2.
又由a1＝1，得a1＋2＝3，所以{an＋2}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．
所以an＋2＝3×2n－1，an＝3×2n－1－2，an＋1＝3×2n－2，an＋1－an＝3×2n－2－(3×2n－1－2)＝3×2n－1，所以{an}不是等差數(shù)列；＝不等于常數(shù)，所以{an}不是等比數(shù)列；＝不等于常數(shù)，所以{an＋1}不是等比數(shù)列．
2．解：∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，∴t＝1，即an＋1＋1＝2(an＋1)，
∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴an＋1＝2×2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
[題型(二)]
[例2]　解：因?yàn)閍n＝2an－1＋2n(n≥2)，等式兩邊同時(shí)除以2n，得＝＋1，即－＝1，又＝，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即＝＋(n－1)×1，所以an＝×2n.
[變式拓展]
解：等式兩邊同時(shí)除以2n，得＝＋2，
即－＝2，又＝，所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以＝＋(n－1)×2，即an＝×2n.
[針對(duì)訓(xùn)練]
3．解：由題意，等式兩邊同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝.
4．解：由an＋1＝3an＋2×3n＋1，得＝＋2，∴－＝2，又＝1，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴＝2n－1，得an＝(2n－1)·3n.
[題型(三)]
[例3]　解析：因?yàn)閍n＋1＝，a1＝1，
所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，則＝1，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝.
答案：
[針對(duì)訓(xùn)練]
5．選ABD　因?yàn)閍n＋1＝(n∈N*)，得＝＋3，可轉(zhuǎn)化為＋3＝2，所以是以＋3＝4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以＝2n＋1－3，所以an＝.易知{an}為遞減數(shù)列，故A、B正確，C錯(cuò)誤.的前n項(xiàng)和Tn＝－3n＝2n＋2－3n－4，故D正確．
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專題微課　構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式
數(shù)列構(gòu)造法是一種常用的數(shù)學(xué)解題方法，通常用于解決一些看似復(fù)雜或難以直接解決的問(wèn)題，其核心思想是將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差或等比數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)數(shù)列的性質(zhì)規(guī)律求解.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
題型(二)　形如an=pan-1+pn的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
題型(三)　形如an+1=(A，B，C為常數(shù))的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
4
課時(shí)檢測(cè)
題型(一)　形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
01
[例1]　已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1=(an+1)，求通項(xiàng)公式an.
解:∵an+1=an+，∴an+1-1=(an-1).
又a1-1=-.∴數(shù)列{an-1}是首項(xiàng)為-，公比為的等比數(shù)列.
∴an-1=-×，∴an=1-×.
|思|維|建|模|
　　形如=pan+q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p-1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項(xiàng)公式，步驟如下:
(1)假設(shè)遞推公式可改寫(xiě)為+t=p(an+t).
(2)由待定系數(shù)法，解得t=.
(3)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(4)寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
針對(duì)訓(xùn)練
1.已知數(shù)列{an}滿足=2an+2，且a1=1，則(　　)
A.{an}是等差數(shù)列 B.{an}是等比數(shù)列
C.{an+1}是等比數(shù)列 D.{an+2}是等比數(shù)列
√
解析:由=2an+2，可得+2=2(an+2)，所以=2.
又由a1=1，得a1+2=3，所以{an+2}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列.
所以an+2=3×，an=3×-2，=3×2n-2，-an=3×2n-2-(3×-2)=3×，所以{an}不是等差數(shù)列；=不等于常數(shù)，所以{an}不是等比數(shù)列；=不等于常數(shù)，所以{an+1}不是等比數(shù)列.
2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，=2an+1，求{an}的通項(xiàng)公式.
解:∵=2an+1，令+t=2(an+t)，
即=2an+t，∴t=1，即+1=2(an+1)，
∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.
∴an+1=2×=2n，∴an=2n-1.
題型(二)　形如an=pan-1+pn的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
02
[例2]　已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n(n≥2)，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:因?yàn)閍n=2an-1+2n(n≥2)，等式兩邊同時(shí)除以2n，得=+1，即-=1，又=，所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即=+(n-1)×1，所以an=×2n.
變式拓展
本例中“an=2an-1+2n”變?yōu)椤癮n=2an-1+2n+1”，其余不變，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:等式兩邊同時(shí)除以2n，得=+2，即-=2，又=，
所以是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
所以=+(n-1)×2，即an=×2n.
|思|維|建|模|
　　形如an=pan-1+pn(p≠0且p≠1)的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的一般步驟
第一步:等式兩邊同除以pn，不管這一項(xiàng)是pn-1或pn+1，都同除以pn，為的是數(shù)列的下標(biāo)和p的指數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).
第二步:寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
第三步:寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
針對(duì)訓(xùn)練
3.已知數(shù)列{an}滿足=+，且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:由題意，等式兩邊同乘2n，得=+1，
即-=1，所以是以2為首項(xiàng)，
1為公差的等差數(shù)列，所以=2+(n-1)×1=n+1，即an=.
4.已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=3an+2×3n+1，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:由an+1=3an+2×3n+1，得=+2，
∴-=2，又=1，即數(shù)列是首項(xiàng)為1，
公差為2的等差數(shù)列，∴=2n-1，得an=(2n-1)·3n.
03
題型(三)　形如an+1=(A，B，C為常數(shù))的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
[例3]　已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=______.
解析:因?yàn)閍n+1=，a1=1，所以an≠0，所以=+，即-=.又a1=1，則=1，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.所以=+(n-1)×=+.所以an=.
|思|維|建|模|
　　形如an+1=(A，B，C為常數(shù)且A≠0)的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.
針對(duì)訓(xùn)練
5.[多選]已知數(shù)列{an}滿足a1=1，=(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的有(　　)
A.為等比數(shù)列
B.{an}的通項(xiàng)公式為an=
C.{an}為遞增數(shù)列
D.的前n項(xiàng)和Tn=2n+2-3n-4
√
√
√
解析:因?yàn)閍n+1=(n∈N*)，得=+3，可轉(zhuǎn)化為+3=2，
所以是以+3=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故+3=4·2n-1
=2n+1，所以=2n+1-3，所以an=.易知{an}為遞減數(shù)列，故A、B正確，C錯(cuò)誤.的前n項(xiàng)和Tn=-3n=2n+2-3n-4，故D正確.
課時(shí)檢測(cè)
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1.若數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0，則此數(shù)列第5項(xiàng)是 (　　)
A.15 B.255
C.16 D.63
√
解析:∵an=4an-1+3(n≥2)，∴an+1=4(an-1+1)(n≥2)，∴{an+1}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則an+1=4n-1.∴an=4n-1-1，∴a5=44-1
=255.故選B.
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2.在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N*)，則a20=(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:因?yàn)閍n+1=，則==+1，又=，故是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.=+n-1=n-，an=，a20=.故選B.
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3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=0，an+1=an+2+1，則a5+S4=(　　)
A.39 B.45 C.50 D.55
√
解析:∵an+1=an+2+1，∴an+1+1=，∴
=+1，即-=1，∴數(shù)列{}是公差為1，首項(xiàng)為=1的等差數(shù)列，∴=n，an=n2-1.a1=0，a2=3，a3=8，a4=15，a5=24，S4=0+3+8+15=26，∴a5+S4=24+26=50.
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4.已知數(shù)列{an}滿足a1=10，an+1=10，若as·at=a10，則s+t的最大值為(　　)
A.10 B.12
C.16 D.18
√
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解析:由an+1=10可得an>0，則lg an+1=lg(10)=2lg an+1，故lg an+1
+1=2(lg an+1)，又lg a1+1=2，故{lg an+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則lg an+1=2n，故an=1.由as·at=a10，得1·1=
1=1，故2s+2t=210，則210≥2=2=，故+1≤10，解得012
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5.(5分)若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=2，=4+4an+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________________.
an=3×2n-1-1
解析:在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，=4+4an+1=(2an+1)2，則有an+1=2an+1，于是得an+1+1=2(an+1)，而a1+1=3，因此數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則有an+1=3×2n-1，即an=3×2n-1-1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3×2n-1-1.
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6.(5分)在數(shù)列{an}中，a1=1，且an+1=an+3n+1，則通項(xiàng)公式an=______.
n2-
解析:∵an+1=an+3n+1，∴an+1-(n+1)2+=an-n2+，∴數(shù)列為常數(shù)列，又a1=1，則a1-+=0，∴an=n2-.
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7.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an=2an-1+2n-1(n≥2，n∈N)，則an=___________.
n·2n-1
解析:由題設(shè)，=+(n≥2)，即-=(n≥2)，而=，∴是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，即=+(n-1)=，∴an=n·2n-1.
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8.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，3an+1an=an-an+1，則通項(xiàng)公式an=_________.
解析:∵3an+1an=an-an+1，∴-=3，且=1，∴是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴=1+(n-1)·3=3n-2，∴an=.
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9.(5分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1=1，且an+1=，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)______.
an=
解析:由an+1=，即(n+1)an+1=nan，故數(shù)列{nan}為常數(shù)列，a1=1，即nan=1，an=.
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10.(5分)在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，且對(duì)任意的n∈N*，都有=3an+1-2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)________________.
an=2n-1
解析:由=3an+1-2an，得-an+1=2(an+1-an).
又a1=1，a2=3，所以a2-a1=2≠0，所以{an+1-an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an+1-an=2n，所以an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=1+2+
22+…+2n-1=2n-1，n≥2，因?yàn)閍1=1符合上式，所以an=2n-1.
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11.(10分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*時(shí)，寫(xiě)出an+1與an之間的遞推關(guān)系；(6分)
解:因?yàn)?Sn=an+1-2n+2+2　①，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn-1=an-2n+1+2　②，
①-②得3an=an+1-an-2n+1(n≥2)，即an+1=4an+2n+1(n≥2)，
在①中，令n=1得a2=3a1+23-2=12=4a1+22，也符合上式，所以an+1=4an+2n+1.
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(2)求{an}的通項(xiàng)公式.(4分)
解:因?yàn)閍n+1=4an+2n+1，則an+1+2n+1=4(an+2n)，且a1+2=4≠0，
所以數(shù)列{an+2n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an+2n=4n，故an=4n-2n.
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12.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3，n∈N*.
(1)求S9的值；(5分)
解:因?yàn)镾n+Sn+1=2n2+6n+3，所以Sn+2+Sn+1=2(n+1)2+6(n+1)+3.
兩式相減，得an+2+an+1=4(n+2)，n∈N*.所以S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a8+a9)=3+4[(1+2)+(3+2)+…+(7+2)]
=3+4×=99.
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(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(10分)
解:由(1)知an+2+an+1=4(n+2)①，可得an+an+1=4(n+1)②，n≥2.因?yàn)閍1=3，S2+S1=11，所以a2=5，又S3+S2=23=2a1+2a2+a3，
所以a3=7.又由①②得an+2-an=4，n≥2.所以a2n=a2+4(n-1)=4n+1，即an=2n+1，n為偶數(shù)，則當(dāng)n≥3，且為奇數(shù)時(shí)，an=4(n+1)-an+1=4(n+1)-[2(n+1)+1]=2n+1，
又a1=3，a3=7符合上式，綜上得an=2n+1.
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13.(15分)在數(shù)列{an}中， a1=4且 an+1=，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解:由an+1=兩邊減去1得，an+1-1=-1=，
兩邊取倒數(shù)得，===+·，
兩邊同加得，+=+·=·，
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由a1=4，則+=≠0，所以有=，
故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以+=·，故an-1=，解得an=.
12課時(shí)檢測(cè)(三十六)　構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式
(標(biāo)的題目為推薦講評(píng)題,配有精品課件.選擇題請(qǐng)?jiān)诖痤}區(qū)內(nèi)作答,填空、解答題請(qǐng)?jiān)陬}后作答)
1.若數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,則此數(shù)列第5項(xiàng)是 (　　)
A.15 B.255
C.16 D.63
2.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N*),則a20= (　　)
A. B.
C. D.
3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=0,an+1=an+2+1,則a5+S4= (　　)
A.39 B.45
C.50 D.55
4.已知數(shù)列{an}滿足a1=10,an+1=10,若as·at=a10,則s+t的最大值為 (　　)
A.10 B.12
C.16 D.18
5.(5分)若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=2,=4+4an+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是　　　　.
6.(5分)在數(shù)列{an}中,a1=1,且an+1=an+3n+1,則通項(xiàng)公式an=　　　　.
7.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=2an-1+2n-1(n≥2,n∈N),則an=　　　　.
8.(5分)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,3an+1an=an-an+1,則通項(xiàng)公式an=　　　　.
9.(5分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1=1,且an+1=,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為　　　　　　.
10.(5分)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,且對(duì)任意的n∈N*,都有=3an+1-2an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為　　　　.
11.(10分)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=2,3Sn=an+1-+2(n∈N*).
(1) n∈N*時(shí),寫(xiě)出an+1與an之間的遞推關(guān)系;(6分)
(2)求{an}的通項(xiàng)公式.(4分)
12.(15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=3且Sn+Sn+1=2n2+6n+3,n∈N*.
(1)求S9的值;(5分)
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(10分)
13.(15分)在數(shù)列{an}中, a1=4且 an+1=,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
課時(shí)檢測(cè)(三十六)
1．選B　∵an＝4an－1＋3(n≥2)，∴an＋1＝4(an－1＋1)(n≥2)，∴{an＋1}是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則an＋1＝4n－1.
∴an＝4n－1－1，∴a5＝44－1＝255.故選B.
2．選B　因?yàn)閍n＋1＝，則＝＝＋1，又＝，故是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列.＝＋n－1＝n－，an＝，a20＝.故選B.
3．選C　∵an＋1＝an＋2＋1，∴an＋1＋1＝( ＋1)2，∴＝＋1，即－＝1，
∴數(shù)列{}是公差為1，首項(xiàng)為＝1的等差數(shù)列，∴＝n，an＝n2－1.a1＝0，a2＝3，a3＝8，a4＝15，a5＝24，S4＝0＋3＋8＋15＝26，∴a5＋S4＝24＋26＝50.
4．選D　由an＋1＝10a可得an>0，則lg an＋1＝lg(10a)＝2lg an＋1，故lg an＋1＋1＝2(lg an＋1)，又lg a1＋1＝2，故{lg an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則lg an＋1＝2n，故an＝102n－1.由as·at＝a10，得102s－1·102t－1＝102s＋2t－2＝10210－2，故2s＋2t＝210，則210≥2＝2＝2＋1，故＋1≤10，解得05．解析：在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2，則有an＋1＝2an＋1，于是得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝3，因此數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則有an＋1＝3×2n－1，即an＝3×2n－1－1，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3×2n－1－1.
答案：an＝3×2n－1－1
6．解析：∵an＋1＝an＋3n＋1，∴an＋1－(n＋1)2＋＝an－n2＋，
∴數(shù)列為常數(shù)列，又a1＝1，則a1－＋＝0，∴an＝n2－.
答案：n2－
7．解析：由題設(shè)，＝＋(n≥2)，即－＝(n≥2)，而＝，∴是首項(xiàng)、公差均為的等差數(shù)列，即＝＋(n－1)＝，∴an＝n·2n－1.
答案：n·2n－1
8．解析：∵3an＋1an＝an－an＋1，∴－＝3，且＝1，∴是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴＝1＋(n－1)·3＝3n－2，∴an＝.
答案：
9．解析：由an＋1＝，即(n＋1)an＋1＝nan，故數(shù)列{nan}為常數(shù)列，a1＝1，即nan＝1，an＝.
答案：an＝
10．解析：由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)．
又a1＝1，a2＝3，所以a2－a1＝2≠0，所以{an＋1－an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＋1－an＝2n，所以an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，n≥2，
因?yàn)閍1＝1符合上式，所以an＝2n－1.
答案：an＝2n－1
11．解：(1)因?yàn)?Sn＝an＋1－2n＋2＋2　①，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，3Sn－1＝an－2n＋1＋2　②，
①－②得3an＝an＋1－an－2n＋1(n≥2)，
即an＋1＝4an＋2n＋1(n≥2)，
在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，也符合上式，所以an＋1＝4an＋2n＋1.
(2)因?yàn)閍n＋1＝4an＋2n＋1，則an＋1＋2n＋1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0，
所以數(shù)列{an＋2n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n.
12．解：(1)因?yàn)镾n＋Sn＋1＝2n2＋6n＋3，所以Sn＋2＋Sn＋1＝2(n＋1)2＋6(n＋1)＋3.
兩式相減，得an＋2＋an＋1＝4(n＋2)，n∈N*.所以S9＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a8＋a9)＝3＋4[(1＋2)＋(3＋2)＋…＋(7＋2)]＝3＋4×＝99.
(2)由(1)知an＋2＋an＋1＝4(n＋2)①，可得an＋an＋1＝4(n＋1)②，n≥2.因?yàn)閍1＝3，S2＋S1＝11，所以a2＝5，又S3＋S2＝23＝2a1＋2a2＋a3，
所以a3＝7.又由①②得an＋2－an＝4，n≥2.所以a2n＝a2＋4(n－1)＝4n＋1，即an＝2n＋1，n為偶數(shù)，則當(dāng)n≥3，且為奇數(shù)時(shí)，an＝4(n＋1)－an＋1＝4(n＋1)－[2(n＋1)＋1]＝2n＋1，又a1＝3，a3＝7符合上式，綜上得an＝2n＋1.
13．解：由an＋1＝兩邊減去1得，
an＋1－1＝－1＝，
兩邊取倒數(shù)得，＝＝＝＋·，
兩邊同加得，＋＝＋·＝·，
由a1＝4，則＋＝≠0，所以有＝，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以＋＝·n－1，
故an－1＝，
解得an＝.
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