資源簡介

5.1.1　平均變化率 [教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
[課時目標]
1.了解平均變化率的實際背景.　
2.理解平均變化率的含義.
3.會求函數在某一點附近的平均變化率,并能用平均變化率解釋一些實際問題.
逐點清(一)　平均變化率的概念
[多維理解]
1.平均變化率
(1)函數f(x)在區間[x1,x2]上的平均變化率為　　　　　.
(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“　　　”,或者說,曲線陡峭程度是平均變化率的“　　　　”.
2.平均變化率的幾何意義
函數y=f(x)在定義域內,從x0變化到x0+Δx的平均變化率等于該函數圖象上過兩點P0(x0,f(x0)),P(x0+Δx,f(x0+Δx))割線的斜率,如圖.
|微|點|助|解|
(1)要注意Δx,Δy的值可正、可負,但Δx≠0,Δy可為零,若函數f(x)為常數函數,則Δy=0.
(2)求點x0附近的平均變化率可用表示.
(3)平均變化率一定是相對某一區間而言的,一般地,區間不同,平均變化率也不同.
[微點練明]
1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)在區間[x1,x2]上的平均變化率為零,說明函數值在此區間上沒有發生變化. (　　)
(2)自變量的改變量x2-x1取值越小,越能準確體現函數的變化率. (　　)
(3)已知某彎曲山路的上、下兩點A(x1,y1),B(x2,y2),則可以近似刻畫此彎曲山路的陡峭程度. (　　)
2.[多選]某物體的位移公式為s=s(t),從t0到t0+Δt這段時間內,下列理解正確的有 (　　)
A.(t0+Δt)-t0為自變量的改變量
B.t0為函數值的改變量
C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)為函數值的改變量
D.為s(t)在區間[t0,Δt+t0]上的平均變化率
3.若函數f(x)=x2-t,當1≤x≤m時,平均變化率為2,則m等于 (　　)
A. B.2
C.3 D.1
4.(1)已知函數f(x)=x+,分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率,并判斷在哪個區間上函數值變化得較快;
(2)已知函數f(x)=x2+1,求f(x)在區間[2,2+Δx]上的平均變化率.
逐點清(二)　實際問題中的平均變化率
[多維理解]
　　實際問題中的平均變化率與函數在某一區間上的平均變化率類似,首先求f(x2)-f(x1),再求比值.當函數解析式沒有給定時,先根據實際問題求出函數解析式,再重復上述步驟即可.
[微點練明]
1.某水庫儲水量與水深的關系如下表所示:
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
儲水量 (104m3) 0 10 30 90 160 275 435 650
在35 m范圍內,當水深每增加5 m時,水庫儲水量的平均變化率 (　　)
A.不變 B.越來越小
C.越來越大 D.不能確定
2.“天問一號”于2021年2月到達火星附近,實施火星捕獲.2021年5月擇機實施降軌,在距離火星表面100 m時,“天問一號”進入懸停階段,完成精準避障和緩速下降后,著陸巡視器在緩沖機構的保護下,抵達火星表面,巡視器在9 min內將速度從約20 000 km/h降至0 km/h.若記與火星表面距離的平均變化率為v,著陸過程中速度的平均變化率為a,則 (　　)
A.v≈0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
B.v≈-0.185 m/s,a≈10.288 m/s2
C.v≈0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
D.v≈-0.185 m/s,a≈-10.288 m/s2
3.蜥蜴的體溫與陽光的照射有關,其關系為T=+15,其中T為體溫(單位:℃),t為太陽落山后的時間(單位:min),則t=0到t=10,蜥蜴的體溫的平均變化率為　　　℃/min.
4.一質點作直線運動,其位移s與時間t的關系為s(t)=t2+1,該質點在2到2+Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5,則Δt的取值范圍是　　　　.
逐點清(三)　平均變化率的意義
1.某環保部門要求相關企業加強污水治理,排放未達標的企業要限期整改.設企業的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用-的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內,甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示.則下列命題正確的是 (　　)
A.在[t1,t2]這段時間內,甲企業的污水治理能力比乙企業弱
B.在t2時刻,甲企業的污水治理能力比乙企業弱
C.在t3時刻,甲、乙兩企業的污水排放都不達標
D.甲企業在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[t1,t2]的污水治理能力最強
2.已知氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是V(r)=πr3.
(1)求半徑r關于體積V的函數r(V);
(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率;哪段半徑變化得快(精確到0.01) 此結論可說明什么意義
5.1.1　平均變化率
[逐點清(一)]
[多維理解]　1.(1)　
(2)數量化　視覺化
[微點練明]
1．(1)×　(2)√　(3)√　2.ACD　3.D
4．解：(1)當自變量x從1變到2時，函數f(x)的平均變化率為＝＝，當自變量x從3變到5時，函數f(x)的平均變化率為＝＝，因為<，所以函數f(x)在區間(3,5)上函數值變化得較快．
(2)由已知得f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2＋1－(22＋1)＝4Δx＋(Δx)2，所以f(x)在區間[2,2＋Δx]上的平均變化率為＝＝4＋Δx.
[逐點清(二)]
1．C　2.D　3.－1.6　4.(0,1]
[逐點清(三)]
1．D
2．解：(1)∵V＝πr3，∴r3＝，
∴r＝，即r(V)＝.
(2)函數r(V)在區間[0,1]上的平均變化率為＝≈0.62(dm/L)，
函數r(V)在區間[1,2]上的平均變化率為＝－≈0.16(dm/L)．
顯然體積V從0 L增加到1 L時，半徑變化得快，這說明氣球剛開始膨脹得快，隨著體積的增大，半徑增加得越來越慢．
1 / 4(共45張PPT)
5.1.1
平均變化率
[教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
課時目標
1.了解平均變化率的實際背景.　
2.理解平均變化率的含義.
3.會求函數在某一點附近的平均變化率，并能用平均變化率解釋一些實際問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　平均變化率的概念
逐點清(二)　實際問題中的平均變化率
逐點清(三)　平均變化率的意義
4
課時檢測
逐點清(一)　平均變化率的概念
01
多維理解
1.平均變化率
(1)函數f(x)在區間[x1，x2]上的平均變化率為_______________.
(2)平均變化率是曲線陡峭程度的“________”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“_________”.
2.平均變化率的幾何意義
函數y=f(x)在定義域內，從x0變化到x0+Δx的平均變化率等于該函數圖象上過兩點P0(x0，f(x0))，P(x0+Δx，f(x0+Δx))割線的斜率，如圖.
|微|點|助|解|
(1)要注意Δx，Δy的值可正、可負，但Δx≠0，Δy可為零，若函數f(x)為常數函數，則Δy=0.
(2)求點x0附近的平均變化率可用表示.
(3)平均變化率一定是相對某一區間而言的，一般地，區間不同，平均變化率也不同.
微點練明
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數f(x)在區間[x1，x2]上的平均變化率為零，說明函數值在此區間上沒有發生變化.(　　)
(2)自變量的改變量x2-x1取值越小，越能準確體現函數的變化率.(　　)
(3)已知某彎曲山路的上、下兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則可以近似刻畫此彎曲山路的陡峭程度.(　　)
×
√
√
2.[多選]某物體的位移公式為s=s(t)，從t0到t0+Δt這段時間內，下列理解正確的有 (　　)
A.(t0+Δt)-t0為自變量的改變量
B.t0為函數值的改變量
C.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)為函數值的改變量
D.為s(t)在區間[t0，Δt+t0]上的平均變化率
√
√
√
解析:由自變量的改變量、函數值的改變量、平均變化率的概念易得A、C、D正確.
3.若函數f(x)=x2-t，當1≤x≤m時，平均變化率為2，則m等于 (　　)
A. B.2
C.3 D.1
√
解析:由題得===m+1=2，所以m=1.
4.(1)已知函數f(x)=x+，分別計算f(x)在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區間上函數值變化得較快；
解:當自變量x從1變到2時，函數f(x)的平均變化率為==，當自變量x從3變到5時，函數f(x)的平均變化率為==，因為<，所以函數f(x)在區間(3，5)上函數值變化得較快.
(2)已知函數f(x)=x2+1，求f(x)在區間[2，2+Δx]上的平均變化率.
解:由已知得f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2，
所以f(x)在區間[2，2+Δx]上的平均變化率為==4+Δx.
逐點清(二)　實際問題中的平均變化率
02
多維理解
　實際問題中的平均變化率與函數在某一區間上的平均變化率類似，首先求f(x2)-f(x1)，再求比值.當函數解析式沒有給定時，先根據實際問題求出函數解析式，再重復上述步驟即可.
微點練明
1.某水庫儲水量與水深的關系如下表所示:
在35 m范圍內，當水深每增加5 m時，水庫儲水量的平均變化率 (　　)
A.不變 B.越來越小
C.越來越大 D.不能確定
√
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
儲水量(104m3) 0 10 30 90 160 275 435 650
解析:根據平均變化率的定義， 在35 m范圍內，當水深每增加5 m時，水庫儲水量的平均變化率依次為
平均變化率越來越大.
水深(m) 0 5 10 15 20 25 30 35
平均變化率(104m2) 0 2 4 12 14 23 32 43
2.“天問一號”于2021年2月到達火星附近，實施火星捕獲.2021年5月擇機實施降軌，在距離火星表面100 m時，“天問一號”進入懸停階段，完成精準避障和緩速下降后，著陸巡視器在緩沖機構的保護下，抵達火星表面，巡視器在9 min內將速度從約20 000 km/h降至0 km/h.若記與火星表面距離的平均變化率為v，著陸過程中速度的平均變化率為a，則 (　　)
A.v≈0.185 m/s，a≈10.288 m/s2
B.v≈-0.185 m/s，a≈10.288 m/s2
C.v≈0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2
D.v≈-0.185 m/s，a≈-10.288 m/s2
√
解析:巡視器與火星表面的距離逐漸減小，所以v=≈-0.185 m/s.巡視器在著陸過程中的速度逐漸減小，所以a=≈
-10.288 m/s2.
3.蜥蜴的體溫與陽光的照射有關，其關系為T=+15，其中T為體溫(單位:℃)，t為太陽落山后的時間(單位:min)，則t=0到t=10，蜥蜴的體溫的平均變化率為______℃/min.
-1.6
解析:==-1.6(℃/min)，故從t=0到t=10，蜥蜴的體溫的平均變化率為-1.6 ℃/min.
4.一質點作直線運動，其位移s與時間t的關系為s(t)=t2+1，該質點在2到2+Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5，則Δt的取值范圍是________.
(0，1]
解析:質點在2到2+Δt之間的平均速度為v===4+Δt，又v≤5，則4+Δt≤5，所以Δt≤1.又Δt>0，所以Δt的取值范圍是(0，1].
逐點清(三)　平均變化率的意義
03
1.某環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改.設企業的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t)，用-的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示.則下列命題正確的是(　　)
A.在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業弱
B.在t2時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業弱
C.在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放都不達標
D.甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]的污水治理能力最強
√
解析:設甲企業的污水排放量W與時間t的關系為W=h(t)，乙企業的污水排放量W與時間t的關系為W=g(t).在[t1，t2]這段時間內，甲企業的污水治理能力h(t)=-，乙企業的污水治理能力g(t)=-.由題圖可知，h(t1)-h(t2)>g(t1)-g(t2)，所以h(t)>g(t)，即甲企業的污水治理能力比乙企業強，故A錯誤；由題圖可知，在t2時刻h(t)的切線斜率小于在t2時刻g(t)的切線斜率，但兩切線斜率均為負值，故在t2時刻甲企業的污水治理能力比乙企業強，故B錯誤；在t3時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都小于污水達標排放量，故甲、乙兩企業的污水排放量都達標，故C錯誤；由題圖可知，甲企業在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]這三段時間中，在[t1，t2]時h(t1)-h(t2)的差值最大，所以在[t1，t2]時的污水治理能力最強，故D正確.
2.已知氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數關系是V(r)=πr3.
(1)求半徑r關于體積V的函數r(V)；
解:∵V=πr3，∴r3=，
∴r=，即r(V)=.
(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化得快(精確到0.01) 此結論可說明什么意義
解:函數r(V)在區間[0，1]上的平均變化率為=≈0.62(dm/L)，
函數r(V)在區間[1，2]上的平均變化率為=-≈0.16(dm/L).顯然體積V從0 L增加到1 L時，半徑變化得快，這說明氣球剛開始膨脹得快，隨著體積的增大，半徑增加得越來越慢.
課時檢測
04
1
3
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13
2
1.已知函數y=2+，當x由1變到2時，函數值的改變量等于(　　)
A. B.-
C.1 D.-1
√
解析:函數值的改變量為-(2+1)=-.
1
5
6
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11
12
13
2
3
4
2.一物體的運動方程是s=3+2t，則在[2，2.1]這段時間內的平均變化率為 (　　)
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
√
解析:在[2，2.1]這段時間內的平均變化率為=2.
1
5
6
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8
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10
11
12
13
3
4
2
3.一個物體做直線運動，位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數關系為s(t)=6t2+mt，且這一物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s，則實數m的值為 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
解析:由題意得Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m，Δt=2-1=1，因為物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s，所以v===18+m=20 m/s，解得m=2.
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2
4.函數y=x2在區間[x0，x0+Δx]上的平均變化率為k1，在區間[x0-Δx，x0]上的平均變化率為k2，則 (　　)
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不確定
√
解析:因為k1==2x0+Δx，k2==2x0-Δx，又由題意知Δx>0，所以k1>k2.
1
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3
4
2
5.如圖，向一個圓臺形的容器倒水，任意相等時間間隔內所倒的水體積相等，記容器內水面的高度h隨時間t變化的函數為h=f(t)，定義域為D，設t0∈D，k1，k2分別表示f(t)在區間[t0，t0+Δt]，[t0-Δt，t0](Δt>0)上的平均變化率，則 (　　)
A.k1k2
C.k1=k2 D.無法確定
√
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2
解析:由容器的形狀可知，在相同的變化時間內，高度的增加量越來越小，所以f(t)在區間[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt](Δt>0)上的平均變化率由大變小，即k2>k1.
1
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3
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2
6.某公司的盈利y(元)與時間x(天)的函數關系是y=f(x)，假設>0(x1>x0≥0)恒成立，且=10，=1，則說明后10天與前10天比(　　)
A.公司虧損且虧損幅度變大 B.公司的盈利增加，增加的幅度變大
C.公司虧損且虧損幅度變小 D.公司的盈利增加，增加的幅度變小
√
解析:由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y=f(x)單調遞增，即盈利增加.又平均變化率=10>=1，說明盈利增加的幅度變小.
1
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3
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2
7.降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度(c)隨開窗通風換氣時間(t)的關系如圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是 (　　)
A.[5，10] B.[5，15]
C.[5，20] D.[5，35]
√
1
5
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3
4
2
解析:如圖，令t=5，t=10，t=15，t=20，t=35所對應的點分別為A，B，C，D，E，由圖可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5，20]內空氣中微生物密度變化的平均速度最快.
1
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2
8.已知二次函數f(x)=x2和指數函數g(x)=ax(a>0，a≠1)在區間[2，4]上的平均變化率相同，則a= (　　)
A. B.2
C.2或 D.不能確定
√
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3
4
2
解析:二次函數f(x)=x2在區間[2，4]上的平均變化率為==6.
指數函數g(x)=ax在區間[2，4]上的平均變化率為==.
因為兩個函數在區間[2，4]上的平均變化率相同，所以=6.又a>0，且a≠1，解得a=2.
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2
9.函數f(x)=log5(x2+1)在區間[1，7]上的平均變化率為_______.
解析:f(x)在區間[1，7]上的平均變化率為===.
1
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2
10.某地某天上午9:20的氣溫為23.4 ℃，下午1:30的氣溫為15.9 ℃，則在這段時間內氣溫的平均變化率為_______℃/min.
-0.03
解析:從上午9:20到下午1:30，共250 min，這段時間內氣溫的變化量為15.9-23.4=-7.5 ℃，(即氣溫下降7.5 ℃)，所以在這段時間內氣溫的平均變化率為=-0.03(℃/min).
1
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2
11.函數y=x3+2在區間[1，a]上的平均變化率為21，則a=____.
4
解析:由==a2+a+1=21，解得a=4或a=-5.又∵a>1，∴a=4.
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4
2
12.(10分)如圖，路燈距地面8 m，一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線勻速離開路燈.
(1)求身影的長度y(單位:m)與人距C點的距離x(單位:m)之間的關系式；(4分)
解:如圖，設人從C點運動到B點位移為x m，AB為身影長度，為y m，D為路燈頂部，BE為此人的身高，由于CD∥BE，則=，即=，所以y=0.25x.
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(2)求人離開C點10 s內身影長度的平均變化率.(6分)
解:設人離開C點的時間為t s，而84 m/min=1.4 m/s，而x=1.4t，所以y=0.35t.在[0，10]內自變量的增量為t2-t1=10-0=10，函數值的增量為f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5，所以==0.35.即人離開C點10 s內身影長度的平均變化率為0.35 m/s.
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13.(10分)已知某物體運動的位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)=sin t，t∈.
(1)分別求s(t)在區間和上的平均速度；(5分)
解:物體在區間上的平均速度為===， 物體在區間上的平均速度為===.
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2
(2)比較(1)中兩個平均速度的大小，并說明其幾何意義.(5分)
解:由(1)可知 - =>0，所以> .作函數s(t)=sin t在上的圖象，如圖所示，可以發現，在s(t)=sin t的圖象上，連接(0，0)，的直線的斜率大于連接的直線的斜率.課時檢測(四十一)　平均變化率
(選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.已知函數y=2+,當x由1變到2時,函數值的改變量等于 (　　)
A. B.-
C.1 D.-1
2.一物體的運動方程是s=3+2t,則在[2,2.1]這段時間內的平均變化率為 (　　)
A.0.4 B.2
C.0.3 D.0.2
3.一個物體做直線運動,位移s(單位:m)與時間t(單位:s)之間的函數關系為s(t)=6t2+mt,且這一物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s,則實數m的值為 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
4.函數y=x2在區間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為k1,在區間[x0-Δx,x0]上的平均變化率為k2,則 (　　)
A.k1>k2 B.k1C.k1=k2 D.不確定
5.如圖,向一個圓臺形的容器倒水,任意相等時間間隔內所倒的水體積相等,記容器內水面的高度h隨時間t變化的函數為h=f(t),定義域為D,設t0∈D,k1,k2分別表示f(t)在區間[t0,t0+Δt],[t0-Δt,t0](Δt>0)上的平均變化率,則 (　　)
A.k1k2
C.k1=k2 D.無法確定
6.某公司的盈利y(元)與時間x(天)的函數關系是y=f(x),假設>0(x1>x0≥0)恒成立,且=10,=1,則說明后10天與前10天比 (　　)
A.公司虧損且虧損幅度變大
B.公司的盈利增加,增加的幅度變大
C.公司虧損且虧損幅度變小
D.公司的盈利增加,增加的幅度變小
7.降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣,即開窗通風換氣.在某室內,空氣中微生物密度(c)隨開窗通風換氣時間(t)的關系如圖所示.則下列時間段內,空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是 (　　)
A.[5,10] B.[5,15]
C.[5,20] D.[5,35]
8.已知二次函數f(x)=x2和指數函數g(x)=ax(a>0,a≠1)在區間[2,4]上的平均變化率相同,則a= (　　)
A. B.2
C.2或 D.不能確定
9.(5分)函數f(x)=log5(x2+1)在區間[1,7]上的平均變化率為　　　　.
10.(5分)某地某天上午9:20的氣溫為23.4 ℃,下午1:30的氣溫為15.9 ℃,則在這段時間內氣溫的平均變化率為　　　　℃/min.
11.(5分)函數y=x3+2在區間[1,a]上的平均變化率為21,則a=　　　　.
12.(10分)如圖,路燈距地面8 m,一個身高為1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影點C處沿直線勻速離開路燈.
(1)求身影的長度y(單位:m)與人距C點的距離x(單位:m)之間的關系式;(4分)
(2)求人離開C點10 s內身影長度的平均變化率.(6分)
13.(10分)已知某物體運動的位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)=sin t,t∈.
(1)分別求s(t)在區間和上的平均速度;(5分)
(2)比較(1)中兩個平均速度的大小,并說明其幾何意義.(5分)
課時檢測(四十一)
1．選B　函數值的改變量為－(2＋1)＝－.
2．選B　在[2,2.1]這段時間內的平均變化率為＝2.
3．選A　由題意得Δs＝s(2)－s(1)＝6×22＋2m－(6×12＋m)＝18＋m，Δt＝2－1＝1，因為物體在1≤t≤2這段時間內的平均速度為20 m/s，所以v＝＝＝18＋m＝20 m/s，解得m＝2.
4．選A　因為k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由題意知Δx>0，所以k1>k2.
5．選A　由容器的形狀可知，在相同的變化時間內，高度的增加量越來越小，所以f(t)在區間[t0－Δt，t0]，[t0，t0＋Δt](Δt>0)上的平均變化率由大變小，即k2>k1.
6．選D　由>0(x1>x0≥0)恒成立，可知y＝f(x)單調遞增，即盈利增加．又平均變化率＝10>＝1，說明盈利增加的幅度變小．
7．選C　如圖，令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝35所對應的點分別為A，B，C，D，E，由圖可知0>kAB>kAC>kAE>kAD，所以[5,20]內空氣中微生物密度變化的平均速度最快．
8．選B　二次函數f(x)＝x2在區間[2,4]上的平均變化率為＝＝6.
指數函數g(x)＝ax在區間[2,4]上的平均變化率為＝＝.因為兩個函數在區間[2,4]上的平均變化率相同，所以＝6.又a＞0，且a≠1，解得a＝2.
9．解析：f(x)在區間[1,7]上的平均變化率為＝＝＝.
答案：
10．解析：從上午9：20到下午1：30，共250 min，這段時間內氣溫的變化量為15.9－23.4＝－7.5 ℃，(即氣溫下降7.5 ℃)，所以在這段時間內氣溫的平均變化率為＝－0.03(℃/min)．
答案：－0.03
11．解析：由＝＝a2＋a＋1＝21，解得a＝4或a＝－5.
又∵a>1，∴a＝4.
答案：4
12．解：(1)如圖，設人從C點運動到B點位移為x m，AB為身影長度，為y m，D為路燈頂部，BE為此人的身高，由于CD∥BE，則＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)設人離開C點的時間為t s，而84 m/min＝1.4 m/s，而x＝1.4t，所以y＝0.35t.在[0,10]內自變量的增量為t2－t1＝10－0＝10，函數值的增量為f(t2)－f(t1)＝0.35×10－0.35×0＝3.5，所以＝＝0.35.即人離開C點10 s內身影長度的平均變化率為0.35 m/s.
13．解：(1)物體在區間上的平均速度為＝＝＝， 物體在區間上的平均速度為＝＝＝.
(2)由(1)可知 － ＝>0，所以 > .
作函數s(t)＝sin t在上的圖象，如圖所示，可以發現，在s(t)＝sin t的圖象上，連接(0,0)，的直線的斜率大于連接，的直線的斜率．
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