資源簡介

5.1.2　瞬時變化率——導數
第1課時　曲線上一點處的切線 [教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
[課時目標]
1.了解以直代曲的數學思想,體會利用無限逼近的思想把曲線上兩點的割線逼近為某點的切線的過程.會求函數在某點處的切線方程.
2.理解平均速度、瞬時速度、瞬時加速度的概念.會求實際問題中的瞬時速度和瞬時加速度.
3.理解導數及導函數的概念.會利用極限的思想求函數在某點處的導數以及函數的導函數.
逐點清(一)　曲線上一點處的切線
[多維理解]
　　曲線的割線和切線
名稱 割線 切線
定義 設Q為曲線C上不同于P的一點,則　　　　稱為曲線的割線 當點Q無限逼近點P時,直線PQ最終就成為在點P處　　　　　　的直線l,直線l稱為曲線在點P處的切線
斜率 設曲線C上一點P(x,f(x)),過點P的一條割線交曲線C于另一點Q(x+Δx,f(x+Δx)),則割線PQ的斜率為　　　　　　 　　　　　 當點Q沿曲線C向點P運動,并無限逼近點P時,割線PQ逼近點P的切線l,從而割線的斜率逼近切線l的斜率,即當Δx無限趨近于0時,　　　　　　無限趨近于點P(x,f(x))處的切線的斜率
|微|點|助|解|
　　一條直線與一條曲線有兩個公共點,我們就說這條直線是這條曲線的割線,當這兩個點不斷靠近,并重合為一個點時,這條直線就變成了這條曲線的切線.
[微點練明]
1.已知函數f(x)的圖象如圖所示,A(x0,y0)在曲線上,x0∈[2,2+Δx]且Δx無限趨近于0,則在A點處的切線斜率近似為 (　　)
A.f(2)　　　　　　　　　 B.f(2+Δx)
C. D.f(x0)
2.已知點P(-1,1)為曲線上的一點,PQ為曲線的割線,當Δx無限趨近于0時,若kPQ無限趨近于-2,則曲線在點P處的切線方程為 (　　)
A.y=-2x+1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+3 D.y=-2x-2
3.已知曲線y=x2-1上兩點A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當Δx=1時,割線AB的斜率是　　　;當Δx=0.1時,割線AB的斜率是　　　　.
4.若曲線f(x)=x2+2x在點P處的切線垂直于直線x+2y=0,求點P的坐標.
逐點清(二)　瞬時速度與瞬時加速度
[多維理解]
1.平均速度
在物理學中,運動物體的位移與　　　　　的比稱為平均速度.
2.瞬時速度
一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于　　　　　,那么　　　　　稱為物體在　　　　時的瞬時速度,也就是位移對于時間的　　　　　　.
3.瞬時加速度
一般地,如果當Δt無限趨近于0時,運動物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個常數,那么這個常數稱為物體在t=t0時的瞬時加速度,也就是速度對于時間的　　　　　　.
|微|點|助|解|
　　瞬時速度與平均速度的區別和聯系
區別:瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態,而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態,與該段時間內的某一時刻無關.
聯系:瞬時速度是平均速度的極限值.
[微點練明]
1.如果質點按規律S=2t3運動,則該質點在t=3時的瞬時速度為 (　　)
A.6 B.18
C.54 D.81
2.某物體的運動速度與時間的關系為v(t)=2t2-1,則t=2時的加速度為 (　　)
A.2 B.-2
C.8 D.-8
3.一質點M按運動方程s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m,時間單位:s).若質點M在t=2時的瞬時速度為8 m/s,則常數a的值為　　　　.
4.一質點按S=2t2+2t(位移單位:m,時間單位:s)做直線運動.求:
(1)該質點在前3 s內的平均速度;
(2)該質點在2 s到3 s內的平均速度;
(3)該質點在3 s時的瞬時速度.
逐點清(三)　導　數
[多維理解]
1.導數
設函數y=f(x)在區間(a,b)上有定義,x0∈(a,b),若Δx無限趨近于　　　時,比值=無限趨近于一個　　　　,則稱f(x)在x=x0處　　　,并稱該常數A為函數f(x)在x=x0處的導數(也稱為瞬時變化率),記作　　　.f'(x0)=A=.
2.導數的幾何意義
導數f'(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點　　　　處的切線的　　　.
[微點練明]
1.設函數y=f(x)在x=x0處可導,且=1,則f'(x0)等于 (　　)
A. B.-
C.1 D.-1
2.f(x)=x2在x=1處的導數為 (　　)
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
3.已知f(x)=,且f'(m)=-,則m的值等于 (　　)
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
4.根據導數的定義,求下列函數的導數:
(1)求函數y=x2+3在x=1處的導數;
(2)求函數y=在x=2處的導數.
第1課時　曲線上一點處的切線
[逐點清(一)]
[多維理解]　直線PQ　最逼近曲線　kPQ＝　
[微點練明]　1.C　2.B　3.5　4.1
4．解：設P(x0，y0)，則f′(x0)
＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因為點P處的切線垂直于直線x＋2y＝0，
所以點P處的切線的斜率為2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即點P的坐標是(0,0)．
[逐點清(二)]
[多維理解]　1.所用時間　2.一個常數　這個常數　t＝t0　瞬時變化率　3.瞬時變化率
[微點練明]
1．C　2.C　3.2
4．解：(1)因為＝＝＝8(m/s)，所以該質點在前3 s內的平均速度為8 m/s.
(2)因為＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12(m/s)．所以該質點在2 s到3 s內的平均速度為12 m/s.
(3)因為
＝
＝2Δt＋14，當Δt無限趨近于0時，
2Δt＋14無限趨近于14，
所以該質點在3 s時的瞬時速度為14 m/s.
[逐點清(三)]
[多維理解]　1.0　常數A　可導　f′(x0)　2.P(x0，f(x0))　斜率
[微點練明]
1．A　2.B　3.D
4．解：(1)因為Δy＝[(1＋Δx)2＋3]－(12＋3)＝2Δx＋(Δx)2，
所以＝＝2＋Δx.
所以f′(1)＝＝ (2＋Δx)＝2.
(2)因為Δy＝－，
所以＝
＝＝，
所以f′(2)＝＝＝.
1 / 4(共43張PPT)
5.1.2
瞬時變化率——導數
曲線上一點處的切線
[教學方式:基本概念課——逐點理清式教學]
第1課時
課時目標
1.了解以直代曲的數學思想，體會利用無限逼近的思想把曲線上兩點的割線逼近為某點的切線的過程.會求函數在某點處的切線方程.
2.理解平均速度、瞬時速度、瞬時加速度的概念.會求實際問題中的瞬時速度和瞬時加速度.
3.理解導數及導函數的概念.會利用極限的思想求函數在某點處的導數以及函數的導函數.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　曲線上一點處的切線
逐點清(二)　瞬時速度與瞬時加速度
逐點清(三)　導　數
4
課時檢測
逐點清(一)　曲線上一點處的切線
01
多維理解
曲線的割線和切線
名稱 割線 切線
定義 設Q為曲線C上不同于P的一點，則__________稱為曲線的割線 當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為在點P處_______________的直線l，直線l稱為曲線在點P處的切線
斜率 設曲線C上一點P(x，f(x))，過點P的一條割線交曲線C于另一點Q(x+Δx，f(x+Δx))，則割線 PQ的斜率為_______________ 當點Q沿曲線C向點P運動，并無限逼近點P時，割線PQ逼近點P的切線l，從而割線的斜率逼近切線l的斜率，即當Δx無限趨近于0時，
_______________無限趨近于點P(x，f(x))處的切線的斜率
直線PQ
最逼近曲線
kPQ=
|微|點|助|解|
　　一條直線與一條曲線有兩個公共點，我們就說這條直線是這條曲線的割線，當這兩個點不斷靠近，并重合為一個點時，這條直線就變成了這條曲線的切線.
微點練明
1.已知函數f(x)的圖象如圖所示，A(x0，y0)在曲線上，x0∈[2，2+Δx]且Δx無限趨近于0，則在A點處的切線斜率近似為 (　　)
A.f(2)　　　　　　　　　 B.f(2+Δx)
C. D.f(x0)
√
解析:由兩點割線的斜率知，當Δx無限趨近于0時，函數f(x)在A點處的切線斜率近似為.
2.已知點P(-1，1)為曲線上的一點，PQ為曲線的割線，當Δx無限趨近于0時，若kPQ無限趨近于-2，則曲線在點P處的切線方程為 (　　)
A.y=-2x+1 　 　B.y=-2x-1
C.y=-2x+3 　 　D.y=-2x-2
√
解析:根據題意，可知在點P處切線的斜率為-2，所以在點P處的切線方程為y-1=-2(x+1)，整理得y=-2x-1.
3.已知曲線y=x2-1上兩點A(2，3)，B(2+Δx，3+Δy)，當Δx=1時，割線AB的斜率是______；當Δx=0.1時，割線AB的斜率是______.
5
4.1
解析:當Δx=1時，割線AB的斜率k1====5；同理，當Δx=0.1時，割線AB的斜率k2=4.1.
4.若曲線f(x)=x2+2x在點P處的切線垂直于直線x+2y=0，求點P的坐標.
解:設P(x0，y0)，則f'(x0)=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
因為點P處的切線垂直于直線x+2y=0，
所以點P處的切線的斜率為2，所以2x0+2=2，
解得x0=0，即點P的坐標是(0，0).
逐點清(二)　瞬時速度與瞬時加速度
02
多維理解
1.平均速度
在物理學中，運動物體的位移與______________的比稱為平均速度.
2.瞬時速度
一般地，如果當Δt無限趨近于0時，運動物體位移S(t)的平均變化率無限趨近于__________，那么_________稱為物體在_____時的瞬時速度，也就是位移對于時間的_____________.
所用時間
一個常數
這個常數
t=t0
瞬時變化率
3.瞬時加速度
一般地，如果當Δt無限趨近于0時，運動物體速度v(t)的平均變化率無限趨近于一個常數，那么這個常數稱為物體在t=t0時的瞬時加速度，也就是速度對于時間的_________________.
瞬時變化率
|微|點|助|解|
　　瞬時速度與平均速度的區別和聯系
區別:瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關.
聯系:瞬時速度是平均速度的極限值.
微點練明
1.如果質點按規律S=2t3運動，則該質點在t=3時的瞬時速度為 (　　)
A.6 B.18
C.54 D.81
√
解析:∵===2(Δt)2+18Δt+54，∴當Δt無限趨近于0時，無限趨近于54.故該質點在t=3時的瞬時速度為54.
2.某物體的運動速度與時間的關系為v(t)=2t2-1，則t=2時的加速度為 (　　)
A.2 B.-2
C.8 D.-8
√
解析:由題意知，==4t+2Δt，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于4t，則該物體在t=2時的加速度為8.
3.一質點M按運動方程s(t)=at2+1做直線運動(位移單位:m，時間單位:s).若質點M在t=2時的瞬時速度為8 m/s，則常數a的值為_____.
2
解析:∵Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a·22-1=4aΔt+a(Δt)2，∴=4a+aΔt，當Δt無限趨近于0時，無限趨近于4a，即4a=8，解得a=2.
4.一質點按S=2t2+2t(位移單位:m，時間單位:s)做直線運動.求:
(1)該質點在前3 s內的平均速度；
解:因為===8(m/s)，所以該質點在前3 s內的平均速度為8 m/s.
(2)該質點在2 s到3 s內的平均速度；
解:因為==2×32+2×3-2×22-2×2=12(m/s).
所以該質點在2 s到3 s內的平均速度為12 m/s.
(3)該質點在3 s時的瞬時速度.
解:因為
=
=2Δt+14，當Δt無限趨近于0時，
2Δt+14無限趨近于14，
所以該質點在3 s時的瞬時速度為14 m/s.
逐點清(三)　導　數
03
多維理解
1.導數
設函數y=f(x)在區間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)，若Δx無限趨近于___時，比值=無限趨近于一個______，則稱f(x)在x=x0處_______，并稱該常數A為函數f(x)在x=x0處的導數(也稱為瞬時變化率)，記作______.f'(x0)=A=.
0
常數A
可導
f'(x0)
2.導數的幾何意義
導數f'(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點___________處的切線的______.
P(x0，f(x0))
斜率
微點練明
1.設函數y=f(x)在x=x0處可導，且=1，則f'(x0)等于(　　)
A. B.-
C.1 D.-1
√
解析:由題意知=×
=f'(x0)=1，所以f'(x0)=.
2.f(x)=x2在x=1處的導數為 (　　)
A.2x B.2
C.2+Δx D.1
√
解析:===(2+Δx)=2.
3.已知f(x)=，且f'(m)=-，則m的值等于(　　)
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
√
解析:因為===，所以f'(m)= =
-=-，即m2=4，解得m=±2.
4.根據導數的定義，求下列函數的導數:
(1)求函數y=x2+3在x=1處的導數；
解:因為Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2，
所以==2+Δx.
所以f'(1)==(2+Δx)=2.
(2)求函數y=在x=2處的導數.
解:因為Δy=-，
所以===，
所以f'(2)===.
課時檢測
04
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2
1.一物體的運動方程為v(t)=t2+3，則t=2時物體的加速度為 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
√
解析:因為==2t+Δt.所以當Δt無限趨近于0時，無限趨近于2t.所以t=2時物體的加速度為4.
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2.已知拋物線y=x2上有一點P，Q是點P附近的一點，則點Q的坐標為(　　)
A. 　B.
C. 　D.
√
解析:當x=1+Δx時，y=(1+Δx)2.
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3.若函數f(x)可導，則 等于(　　)
A.-2f'(1) B.f'(1)
C.-f'(1) D.f'
√
解析: =- =-f'(1).
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4.若可導函數f(x)的圖象過原點，且滿足 =-1，則f'(0)等于(　　)
A.-2 B.2
C.-1 D.1
√
解析:∵f(x)的圖象過原點，∴f(0)=0，∴f'(0)= =
=-1.
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5.已知曲線y=x3在點(2，8)處的切線斜率為12a，則實數a的值是 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
√
解析:==3x2+3Δx·x+(Δx)2，因為當Δx無限趨近于0時，無限趨近于3x2，所以曲線在點(2，8)處的切線斜率k=12，所以12a=12，即a=1.
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6.已知函數f(x)=x2圖象上四點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割線AB，BC，CD的斜率分別為k1，k2，k3，則 (　　)
A.k1C.k3√
解析:由題意得k1==4-1=3，k2==9-4=5，k3==16-9=7，∴k11
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7.一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系為s=t2+2t，設其在t∈[2，3]內的平均速度為v1，在t=2時的瞬時速度為v2，則等于(　　)
A. B. C. D.
√
解析:∵v1==7，==6+Δt，
當Δt 無限趨近于0時，無限趨近于6，∴v2=6， 則=.
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8.[多選]甲、乙的速度v與時間t的關系如圖，a(b)是t=b時的加速度，S(b)是從t=0到t=b的路程，則下列說法正確的是 (　　)
A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b) D.S甲(b)√
√
解析:加速度是速度v對t的函數圖象的切線斜率，由題圖可得在b處，甲的切線斜率小于乙的切線斜率，即甲在b處的加速度小于乙在b處的加速度；由題圖知t=0到t=b，甲的速度總大于等于乙的速度，所以甲從t=0到t=b的路程大于乙從t=0到t=b的路程.故B、C正確.
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9.已知函數f(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設=a，則下列不等式正確的是(　　)
A.f'(1)C.f'(2)√
解析:由題圖可知，函數在[0，+∞)上的增長越來越快，故函數圖象在點(x0，f(x0))(x0∈(0，+∞))的切線的斜率越來越大，∵=a，∴f'(1)1
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10.已知曲線f(x)=x2+x的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
解析:∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+(x+Δx)-x2-x=x·Δx+(Δx)2+Δx，∴=x+Δx+1，∴f'(x)==x+1.設切點坐標為(x0，y0)，則f'(x0)=x0
+1=3，∴x0=2.
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11.(5分)當h無限趨近于0時，無限趨近于___，無限趨近于____.
8
　
解析:==8+h，當h無限趨近于0時，8+h無限趨近于8.==，當h無限趨近于0時，無限趨近于.
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12.(5分)自由落體運動的物體下降距離h和時間t的關系式為h=gt2，若t=2時的瞬時速度為19.6，則g=______.
9.8
解析:==2g+gΔt.當Δt→0時，2g+gΔt→2g.∴2g=19.6，解得g=9.8.
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13.(5分)已知曲線y=ax2+b在點(1，3)處的切線斜率為2，則=___.
2
解析:由題意知a+b=3，又y'|x=1= =(2a+aΔx)
=2a=2，∴a=1，b=2，故=2.
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14.(10分)求函數y=(x>-1)的導函數.
解:令f(x)=，則=
==
=.∴f'(x)= =.
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15.(10分)子彈在槍筒中的運動可以看作勻加速直線運動，運動方程為S=at2，如果它的加速度是a=5×105 m/s2，子彈在槍筒中的運動時間為1.6×1 s，求子彈射出槍口時的瞬時速度.
解:因為ΔS=a(t0+Δt)2-a=at0Δt+a(Δt)2，所以=at0+aΔt.所以當Δt無限趨近于0時，無限趨近于at0.由題意知，a=5×105 m/s2，t0=1.6×1 s，所以at0=8×102=800(m/s)，即子彈射出槍口時的瞬時速度為800 m/s.課時檢測(四十二)　曲線上一點處的切線
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.一物體的運動方程為v(t)=t2+3,則t=2時物體的加速度為 (　　)
A.4 B.3
C.2 D.1
2.已知拋物線y=x2上有一點P,Q是點P附近的一點,則點Q的坐標為 (　　)
A. 　B.
C. 　D.
3.若函數f(x)可導,則 等于 (　　)
A.-2f'(1) B.f'(1)
C.-f'(1) D.f'
4.若可導函數f(x)的圖象過原點,且滿足 =-1,則f'(0)等于 (　　)
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.已知曲線y=x3在點(2,8)處的切線斜率為12a,則實數a的值是 (　　)
A.-1 B.1
C.-2 D.2
6.已知函數f(x)=x2圖象上四點A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),D(4,f(4)),割線AB,BC,CD的斜率分別為k1,k2,k3,則 (　　)
A.k1C.k37.一質點做直線運動,其位移s與時間t的關系為s=t2+2t,設其在t∈[2,3]內的平均速度為v1,在t=2時的瞬時速度為v2,則等于 (　　)
A. B.
C. D.
8.[多選]甲、乙的速度v與時間t的關系如圖,a(b)是t=b時的加速度,S(b)是從t=0到t=b的路程,則下列說法正確的是 (　　)
A.a甲(b)>a乙(b) B.a甲(b)C.S甲(b)>S乙(b) D.S甲(b)9.已知函數f(x)在R上可導,其部分圖象如圖所示,設=a,則下列不等式正確的是 (　　)
A.f'(1)B.f'(1)C.f'(2)D.a10.已知曲線f(x)=x2+x的一條切線的斜率是3,則該切點的橫坐標為 (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
11.(5分)當h無限趨近于0時,無限趨近于　　　　,無限趨近于　　　　.
12.(5分)自由落體運動的物體下降距離h和時間t的關系式為h=gt2,若t=2時的瞬時速度為19.6,則g=　　　　.
13.(5分)已知曲線y=ax2+b在點(1,3)處的切線斜率為2,則=　　　　.
14.(10分)求函數y=(x>-1)的導函數.
15.(10分)子彈在槍筒中的運動可以看作勻加速直線運動,運動方程為S=at2,如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子彈在槍筒中的運動時間為1.6×1 s,求子彈射出槍口時的瞬時速度.
課時檢測(四十二)
1．選A　因為＝＝2t＋Δt.所以當Δt無限趨近于0時，無限趨近于2t.所以t＝2時物體的加速度為4.
2．選C　當x＝1＋Δx時，y＝(1＋Δx)2.
3．選C　 ＝
－ ＝－f′(1)．
4．選C　∵f(x)的圖象過原點，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝ ＝ ＝－1.
5．選B　＝＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2，因為當Δx無限趨近于0時，無限趨近于3x2，所以曲線在點(2,8)處的切線斜率k＝12，所以12a＝12，即a＝1.
6．選A　由題意得k1＝＝4－1＝3，k2＝＝9－4＝5，k3＝＝16－9＝7，∴k17．選A　∵v1＝＝7，
＝＝6＋Δt，
當Δt 無限趨近于0時，無限趨近于6，
∴v2＝6, 則＝.
8．選BC　加速度是速度v對t的函數圖象的切線斜率，由題圖可得在b處，甲的切線斜率小于乙的切線斜率，即甲在b處的加速度小于乙在b處的加速度；由題圖知t＝0到t＝b，甲的速度總大于等于乙的速度，所以甲從t＝0到t＝b的路程大于乙從t＝0到t＝b的路程．故B、C正確．
9．選B　由題圖可知，函數在[0，＋∞)上的增長越來越快，故函數圖象在點(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切線的斜率越來越大，
∵＝a，∴f′(1)10．選D　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx，∴＝x＋Δx＋1，
∴f′(x)＝ ＝x＋1.設切點坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.
11．解析：＝＝8＋h，當h無限趨近于0時，8＋h無限趨近于8.＝＝，當h無限趨近于0時，無限趨近于.
答案：8　
12．解析：＝＝2g＋gΔt.當Δt―→0時，2g＋gΔt―→2g.
∴2g＝19.6，解得g＝9.8.
答案：9.8
13．解析：由題意知a＋b＝3，又y′|x＝1＝
＝ (2a＋aΔx)＝2a＝2，∴a＝1，b＝2，故＝2.
答案：2
14．解：令f(x)＝，
則＝
＝
＝
＝.
∴f′(x)＝ ＝.
15．解：因為ΔS＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，所以＝at0＋aΔt.所以當Δt無限趨近于0時，無限趨近于at0.由題意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，所以at0＝8×102＝800(m/s)，即子彈射出槍口時的瞬時速度為800 m/s.
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