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第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用 [教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評(píng)式教學(xué)]
[課時(shí)目標(biāo)]　進(jìn)一步了解導(dǎo)函數(shù)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.
題型(一)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的圖象變化
[例1]　若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)單調(diào)遞增,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的圖象可能是 (　　)
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(1)曲線f(x)在x=x0附近的變化情況可通過在x=x0處的切線刻畫.f'(x0)>0說明曲線在x=x0處的切線的斜率為正值,從而得出在x=x0附近曲線是上升的;f'(x0)<0說明在x=x0附近曲線是下降的.
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況,由切線的傾斜程度,可以判斷出曲線升降的快慢.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則下列不等關(guān)系正確的是 (　　)
A.0B.0C.0D.0題型(二)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線問題
題點(diǎn)1　求切線方程
[例2]　已知曲線y=x3+,求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程.
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　　[變式拓展]
1.本例條件不變,求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程.
2.本例條件不變,求滿足斜率為1的曲線的切線方程.
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求曲線切線方程的兩種情形
(1)如果所給點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn),一般敘述為“在點(diǎn)P處的切線”,此時(shí)只要求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),即得切線的斜率k=f'(x0),再根據(jù)點(diǎn)斜式得出切線方程.
(2)如果所給點(diǎn)P不是切點(diǎn),應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)M(x0,y0),再求切線方程.要特別注意“過點(diǎn)P的切線”這一敘述,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),也不一定在曲線上.
題點(diǎn)2　求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)
[例3]　(1)已知曲線f(x)=x3+ax在x=1處的切線與直線x+4y=0垂直,則實(shí)數(shù)a= (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
(2)已知f(x)=2x2+1在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°,則該切點(diǎn)的坐標(biāo)為　　　　.
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求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟
(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo);
(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率關(guān)系列方程,求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程,求出切點(diǎn)縱坐標(biāo).
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
2.直線l:y=x+a(a≠0)和曲線C:y=x3-x2+1相切,則a的值為　 　　,切點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　.
3.已知曲線f(x)=.
(1)求過點(diǎn)A(1,0)的切線方程;
(2)求滿足斜率為-的曲線的切線方程.
題型(三)　導(dǎo)函數(shù)的實(shí)際意義
[例4]　對(duì)一名工人的研究表明,工作t h后生產(chǎn)出的產(chǎn)品量Q(單位:t)可以近似表示為Q=Q(t)=-t3+15t2+12t,該工人每天工作8 h.
(1)求當(dāng)t從2 h變到4 h時(shí),該工人生產(chǎn)的產(chǎn)品量Q關(guān)于時(shí)間t的平均變化率,并解釋它的實(shí)際意義;
(2)求Q'(2),Q'(4),并解釋它們的實(shí)際意義.
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　　函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)f'(x0)反映了函數(shù)在x=x0處的瞬時(shí)變化率,它揭示了事物在某時(shí)刻的變化情況.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
4.建造一棟占地面積為x m2的房屋需要成本y萬元,y是x的函數(shù),y=f(x)=++0.3,求f'(100),并解釋它的實(shí)際意義.
第2課時(shí)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用
[題型(一)]
[例1]　選A　函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y＝f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)各點(diǎn)處的切線斜率是逐漸增大的，只有A選項(xiàng)符合．
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．選C　kAB＝＝f(3)－f(2)，f′(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)B(2，f(2))處的切線的斜率，f′(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(3，f(3))處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0[題型(二)]
[例2]　解：∵P(2,4)在曲線y＝x3＋上，
∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處切線的斜率為
k＝
＝ ＝4.
∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為
y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
[變式拓展]
1．解：設(shè)曲線y＝x3＋與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A，
則切線的斜率為k＝
＝x，∴切線方程為y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.
∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切線方程為x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
2．解：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
由變式拓展1可知切線的斜率為k＝x，即x＝1，x0＝±1，∴切點(diǎn)為或(－1,1)，∴切線方程為y－＝x－1或y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
[例3]　(1)選B　
f′(1)＝
＝
＝ [(Δx)2＋3Δx＋3＋a]＝3＋a.
又曲線f(x)在x＝1處的切線與直線x＋4y＝0垂直，∴f′(1)·＝(3＋a)·＝－1，解得a＝1.
(2)解析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2x＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝ ＝4x0.
又∵切線的斜率為k＝tan 45°＝1，
∴4x0＝1，即x0＝.∴y0＝2×2＋1＝，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為.
答案：
[針對(duì)訓(xùn)練]
2．解析：設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閥′＝
＝3x2－2x，則y′|x＝x0＝3x－2x0＝1，
解得x0＝1或x0＝－.
當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝x－x＋1＝1.
又因?yàn)?x0，y0)在直線y＝x＋a上，將x0＝1，y0＝1代入得a＝0，與已知條件矛盾，舍去．
當(dāng)x0＝－時(shí)，y0＝x－x＋1＝，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入直線y＝x＋a中得a＝.
答案：　
3．解：(1)f′(x)＝
＝ ＝－.
設(shè)過點(diǎn)A(1,0)的切線的切點(diǎn)為P，則f′(x0)＝－，即該切線的斜率k＝－.因?yàn)辄c(diǎn)A(1,0)，P在切線上，所以＝－，解得x0＝，故切線的斜率k＝－4，故曲線過點(diǎn)(1,0)的切線方程為y＝－4(x－1)，即4x＋y－4＝0.
(2)設(shè)斜率為－的切線的切點(diǎn)為Q，由(1)，知k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或.故滿足斜率為－的曲線的切線方程為y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
[題型(三)]
[例4]　解：(1)由題意可知，＝＝74，它表示該工人在2 h到4 h時(shí)間段內(nèi)，平均每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品量為74 t.
(2)由題意可得Q′(t)＝－3t2＋30t＋12，所以Q′(2)＝－12＋60＋12＝60，Q′(4)＝－48＋120＋12＝84.Q′(2)＝60表示在2 h時(shí)刻，工人的生產(chǎn)速度為每小時(shí)生產(chǎn)出的產(chǎn)品量為60 t，Q′(4)＝84表示在4 h時(shí)刻，工人的生產(chǎn)速度為每小時(shí)生產(chǎn)出的產(chǎn)品量為84 t.
[針對(duì)訓(xùn)練]
4．解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得f′(100)
＝＝＝
＝
＝
＝＋＝0.105.
f′(100)＝0.105表示當(dāng)建筑房屋占地面積為100 m2時(shí)，成本增加的速度為1 050元/m2.
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導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用
[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評(píng)式教學(xué)]
第2課時(shí)
課時(shí)目標(biāo)
進(jìn)一步了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的圖象變化
題型(二)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線問題
題型(三)　導(dǎo)函數(shù)的實(shí)際意義
4
課時(shí)檢測(cè)
題型(一)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷函數(shù)的圖象變化
01
[例1]　若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的圖象可能是 (　　)
√
解析:函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線y=f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)各點(diǎn)處的切線斜率是逐漸增大的，只有A選項(xiàng)符合.
|思|維|建|模|
(1)曲線f(x)在x=x0附近的變化情況可通過在x=x0處的切線刻畫.f'(x0)>0說明曲線在x=x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x=x0附近曲線是上升的；f'(x0)<0說明在x=x0附近曲線是下降的.
(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.
針對(duì)訓(xùn)練
1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是 (　　)
A.0B.0C.0D.0√
解析:kAB==f(3)-f(2)，f'(2)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)B(2，f(2))處的切線的斜率，f'(3)為函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A(3，f(3))處的切線的斜率，根據(jù)圖象可知0題型(二)　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線問題
02
題點(diǎn)1　求切線方程
[例2]　已知曲線y=x3+，求曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程.
解:∵P(2，4)在曲線y=x3+上，∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處切線的斜率為
k= = =4.
∴曲線在點(diǎn)P(2，4)處的切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
變式拓展
1.本例條件不變，求曲線過點(diǎn)P(2，4)的切線方程.
解:設(shè)曲線y=x3+與過點(diǎn)P(2，4)的切線相切于點(diǎn)A，
則切線的斜率為k= =，
∴切線方程為y-=(x-x0)，即y=x-+.
∵點(diǎn)P(2，4)在切線上，∴4=2-+，
即-3+4=0.∴+-4+4=0，
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0，∴(x0+1)(x0-2)2=0，
解得x0=-1或x0=2.故所求的切線方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.本例條件不變，求滿足斜率為1的曲線的切線方程.
解:設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
由變式拓展1可知切線的斜率為k=，即=1，x0=±1，∴切點(diǎn)為或(-1，1)，∴切線方程為y-=x-1或y-1=x+1，即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
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求曲線切線方程的兩種情形
(1)如果所給點(diǎn)P(x0，y0)是切點(diǎn)，一般敘述為“在點(diǎn)P處的切線”，此時(shí)只要求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)，即得切線的斜率k=f'(x0)，再根據(jù)點(diǎn)斜式得出切線方程.
(2)如果所給點(diǎn)P不是切點(diǎn)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)M(x0，y0)，再求切線方程.要特別注意“過點(diǎn)P的切線”這一敘述，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，也不一定在曲線上.
題點(diǎn)2　求切點(diǎn)坐標(biāo)或參數(shù)
[例3]　(1)已知曲線f(x)=x3+ax在x=1處的切線與直線x+4y=0垂直，則實(shí)數(shù)a=(　　)
A.2 B.1 C.-1 D.-2
解析:f'(1)===[(Δx)2+3Δx
+3+a]=3+a.又曲線f(x)在x=1處的切線與直線x+4y=0垂直，∴f'(1)·
=(3+a)·=-1，解得a=1.
√
(2)已知f(x)=2x2+1在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，則該切點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.
解析:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2，∴=4x0+2Δx，∴f'(x0)==4x0.又∵切線的斜率為k=tan 45°=1，∴4x0=1，即x0=.∴y0=2×+1=，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為.
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求切點(diǎn)坐標(biāo)的步驟
(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率關(guān)系列方程，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程，求出切點(diǎn)縱坐標(biāo).
針對(duì)訓(xùn)練
2.直線l:y=x+a(a≠0)和曲線C:y=x3-x2+1相切，則a的值為_______，切點(diǎn)坐標(biāo)為___________.
解析:設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閥'==3x2-2x，則y'=3-2x0=1，
解得x0=1或x0=-.當(dāng)x0=1時(shí)，y0=-+1=1.又因?yàn)?x0，y0)在直線y=x+a上，將x0=1，y0=1代入得a=0，與已知條件矛盾，舍去.當(dāng)x0=-時(shí)，y0=-+1
=，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入直線y=x+a中得a=.
3.已知曲線f(x)=.
(1)求過點(diǎn)A(1，0)的切線方程；
解: f'(x)===-.設(shè)過點(diǎn)A(1，0)的切線的切點(diǎn)為P，則f'(x0)=-，即該切線的斜率k=-.因?yàn)辄c(diǎn)A(1，0)，P在切線上，所以=-，解得x0=，故切線的斜率k=-4，故曲線過點(diǎn)(1，0)的切線方程為y=-4(x-1)，即4x+y-4=0.
(2)求滿足斜率為-的曲線的切線方程.
解:設(shè)斜率為-的切線的切點(diǎn)為Q，
由(1)，知k=f'(a)=-=-，得a=±，
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為或.故滿足斜率為-的曲線的切線方程為y-=-(x-)或y+=-(x+)，即x+3y-2=0或x+3y+2=0.
題型(三)　導(dǎo)函數(shù)的實(shí)際意義
03
[例4]　對(duì)一名工人的研究表明，工作t h后生產(chǎn)出的產(chǎn)品量Q(單位:t)可以近似表示為Q=Q(t)=-t3+15t2+12t，該工人每天工作8 h.
(1)求當(dāng)t從2 h變到4 h時(shí)，該工人生產(chǎn)的產(chǎn)品量Q關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；
解:由題意可知，==74，
它表示該工人在2 h到4 h時(shí)間段內(nèi)，
平均每小時(shí)生產(chǎn)產(chǎn)品量為74 t.
(2)求Q'(2)，Q'(4)，并解釋它們的實(shí)際意義.
解:由題意可得Q'(t)=-3t2+30t+12，所以Q'(2)=-12+60+12=60，Q'(4)=-48+120+12=84.Q'(2)=60表示在2 h時(shí)刻，工人的生產(chǎn)速度為每小時(shí)生產(chǎn)出的產(chǎn)品量為60 t，Q'(4)=84表示在4 h時(shí)刻，工人的生產(chǎn)速度為每小時(shí)生產(chǎn)出的產(chǎn)品量為84 t.
|思|維|建|模|
　　函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)函數(shù)f'(x0)反映了函數(shù)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，它揭示了事物在某時(shí)刻的變化情況.
針對(duì)訓(xùn)練
4.建造一棟占地面積為x m2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y=f(x)=++0.3，求f'(100)，并解釋它的實(shí)際意義.
解:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得f'(100)==
==
==+=0.105.
f'(100)=0.105表示當(dāng)建筑房屋占地面積為100 m2時(shí)，
成本增加的速度為1 050元/m2.
課時(shí)檢測(cè)
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1.函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示，則下列大小關(guān)系正確的是(　　)
A.f'(-2)B.f'(-1)C.f'(1)D.f'(1)√
解析:因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值表示的是此點(diǎn)處切線的斜率，所以由圖可得，f'(1)<
f'(-1)15
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2.若曲線y=h(x)在點(diǎn)P(a，h(a))處的切線方程為2x+y+1=0，則 (　　)
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不確定
√
解析:由2x+y+1=0，得y=-2x-1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，h'(a)=-2<0.
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3.已知函數(shù)f(x)滿足f'(x1)>0，f'(x2)<0，則在x=x1和x=x2附近符合條件的f(x)的圖象大致是 (　　)
解析:由f'(x1)>0，f'(x2)<0可知，f(x)的圖象在x=x1處切線的斜率為正，在x=x2處切線的斜率為負(fù).
√
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4.曲線y=x3-2在點(diǎn)處的切線的傾斜角為(　　)
A.30° B.45°
C.135° D.60°
√
解析:∵==1，∴切線的斜率為1，∴傾斜角為45°.
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5.若曲線f(x)=x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直，則l的方程為 (　　)
A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
√
解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閒'(x)= =(2x+Δx)=2x.由題意可知，切線斜率k=4，即f'(x0)=2x0=4，所以x0=2.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，所以切線方程為y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0.
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6.若曲線y=x+上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k，則k的取值范圍是(　　)
A.(-∞，-1) B.(-1，1)
C.(-∞，1) D.(1，+∞)
√
解析:y=x+上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率k=y'=
==1-<1.即k<1.
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7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)>0，函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則的最小值為(　　)
A.2 B. C.3 D.
√
解析:f'(0)==(aΔx+b)=b>0.
∵函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，即b2-4a=0，∴==+
+1≥2+1=2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即b=2時(shí)等號(hào)成立.故的最小值為2.故選A.
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8.(5分)已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2，1)處的切線與直線3x-y-2=0平行，則y'|x=2=____.
3
解析:因?yàn)橹本€3x-y-2=0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y'=3.
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9.(5分)如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，4)，(2，0)，(6，4)，則=_____.
-2
解析:由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知，=f'(1)=kAB==-2.
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10.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax2+2bx的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=4x+3，則a=____，b=____.
-3
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解析:由導(dǎo)數(shù)的定義得，函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為f'(1)=2a+2b=4.由切線方程為y=4x+3，可得f(1)=a+2b=4+3=7，所以
a=-3，b=5.
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11.(5分)若點(diǎn)P是拋物線y=2x2+1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為______.
解析:由題意知，當(dāng)點(diǎn)P到直線y=x-2的距離最小時(shí)，點(diǎn)P為拋物線y=2x2+1的一條切線的切點(diǎn)，且該切線平行于直線y=x-2.設(shè)y=f(x)=2x2+1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知y'=f'(x)==4x=1，解得x=，∴P，故點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離d==.
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12.(10分)已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)P(1，1)，Q(2，-1)，且在點(diǎn)Q處與直線y=x-3相切，求實(shí)數(shù)a，b，c的值.
解:∵曲線y=ax2+bx+c過點(diǎn)P(1，1)，∴a+b+c=1①.
∵y'==
==(2ax+b+aΔx)=2ax+b，
∴y'|x=2=4a+b，∴4a+b=1②.
又曲線過Q(2，-1)點(diǎn)，∴4a+2b+c=-1③，
聯(lián)立①②③解得a=3，b=-11，c=9.
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13.(10分)在拋物線y=x2上，哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4x-y+1=0 哪一點(diǎn)處的切線垂直于這條直線
解:y'==(2x+Δx)=2x.設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線平行于直線4x-y+1=0，則k1=2x0=4，解得x0=2.所以y0==4，即P(2，4).設(shè)拋物線上點(diǎn)Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x-y+1=0，則k2=2x1=
-，解得x1=-.所以y1==，即Q.故拋物線y=x2在點(diǎn)(2，4)處的切線平行于直線4x-y+1=0，在點(diǎn)處的切線垂直于直線4x-y+1=0.
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14.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0)，若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y-6=0平行，求a的值.
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解:設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則f'(x0)=
=[3+3x0Δx+(Δx)2+2ax0+aΔx-9]=3+2ax0-9=3-9-.
∵斜率最小的切線與直線12x+y-6=0平行，
∴該切線斜率為-12.∴-9-=-12.解得a=±3.又a<0，∴a=-3.
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15.(10分)已知曲線y=x2+1，是否存在實(shí)數(shù)a，使得經(jīng)過點(diǎn)(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線 若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.
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解:∵==2x+Δx，∴y'==(2x+Δx)=2x.
設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線的斜率為k=y'=2x0，
由點(diǎn)斜式可得所求切線方程為y-y0=2x0(x-x0).
又∵切線過點(diǎn)(1，a)，且y0=+1，∴a-(+1)=2x0(1-x0)，
即-2x0+a-1=0.∵切線有兩條，∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0，解得a<2.
故存在實(shí)數(shù)a，使得經(jīng)過點(diǎn)(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線，a的取值范圍是(-∞，2).課時(shí)檢測(cè)(四十三)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用
(標(biāo)的題目為推薦講評(píng)題,配有精品課件.選擇、填空題請(qǐng)?jiān)诤竺娴拇痤}區(qū)內(nèi)作答)
1.函數(shù)f(x)=的圖象如圖所示,則下列大小關(guān)系正確的是 (　　)
A.f'(-2)B.f'(-1)C.f'(1)D.f'(1)2.若曲線y=h(x)在點(diǎn)P(a,h(a))處的切線方程為2x+y+1=0,則 (　　)
A.h'(a)=0 B.h'(a)<0
C.h'(a)>0 D.h'(a)不確定
3.已知函數(shù)f(x)滿足f'(x1)>0,f'(x2)<0,則在x=x1和x=x2附近符合條件的f(x)的圖象大致是 (　　)
4.曲線y=x3-2在點(diǎn)處的切線的傾斜角為 (　　)
A.30° B.45°
C.135° D.60°
5.若曲線f(x)=x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為 (　　)
A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
6.若曲線y=x+上任意一點(diǎn)P處的切線斜率為k,則k的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a≠0)在x=0處的導(dǎo)數(shù)f'(0)>0,函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn),則的最小值為 (　　)
A.2 B.
C.3 D.
8.(5分)已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(2,1)處的切線與直線3x-y-2=0平行,則y'|x=2=　　　　.
9.(5分)如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則=　 　　.
10.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax2+2bx的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=4x+3,則a=　　　　,b=　　　　.
11.(5分)若點(diǎn)P是拋物線y=2x2+1上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為　　　　.
12.(10分)已知拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)P(1,1),Q(2,-1),且在點(diǎn)Q處與直線y=x-3相切,求實(shí)數(shù)a,b,c的值.
13.(10分)在拋物線y=x2上,哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4x-y+1=0 哪一點(diǎn)處的切線垂直于這條直線
14.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y-6=0平行,求a的值.
15.(10分)已知曲線y=x2+1,是否存在實(shí)數(shù)a,使得經(jīng)過點(diǎn)(1,a)能夠作出該曲線的兩條切線 若存在,求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
課時(shí)檢測(cè)(四十三)
1.選C　因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值表示的是此點(diǎn)處切線的斜率，所以由圖可得，f′(1)2．選B　由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，h′(a)＝－2<0.
3．選D　由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的圖象在x＝x1處切線的斜率為正，在x＝x2處切線的斜率為負(fù)．
4．選B　∵ ＝ ＝1，∴切線的斜率為1，∴傾斜角為45°.
5．選A　設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，因?yàn)閒′(x)＝
＝ (2x＋Δx)＝2x.由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，所以切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
6．選C　y＝x＋上任意一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0
＝
＝ ＝1－<1.即k<1.
7．選A　f′(0)＝
＝
(aΔx＋b)＝b>0.
∵函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，
即b2－4a＝0，
∴＝＝＋＋1≥2＋1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即b＝2時(shí)等號(hào)成立．故的最小值為2.故選A.
8．解析：因?yàn)橹本€3x－y－2＝0的斜率為3，所以由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知y′|x＝2＝3.
答案：3
9．解析：由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知， ＝f′(1)＝kAB＝＝－2.
答案：－2
10．解析：由導(dǎo)數(shù)的定義得，函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為f′(1)＝2a＋2b＝4.
由切線方程為y＝4x＋3，可得f(1)＝a＋2b＝4＋3＝7，所以a＝－3，b＝5.
答案：－3　5
11．解析：由題意知，當(dāng)點(diǎn)P到直線y＝x－2的距離最小時(shí)，點(diǎn)P為拋物線y＝2x2＋1的一條切線的切點(diǎn)，且該切線平行于直線y＝x－2.設(shè)y＝f(x)＝2x2＋1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知y′＝f′(x)＝ ＝4x＝1，解得x＝，∴P，故點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離d＝＝.
答案：
12．解：∵曲線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)P(1,1)，
∴a＋b＋c＝1①.
∵y′＝
＝
＝
＝ (2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，
∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1②.
又曲線過Q(2，－1)點(diǎn)，∴4a＋2b＋c＝－1③，聯(lián)立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
13．解：y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.設(shè)拋物線上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則k1＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝x＝4，即P(2,4)．設(shè)拋物線上點(diǎn)Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，則k2＝2x1＝－，解得x1＝－.所以y1＝x＝，即Q.故拋物線y＝x2在點(diǎn)(2,4)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，在點(diǎn)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0.
14．解：設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則f′(x0)＝
＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2＋2ax0＋aΔx－9]＝3x＋2ax0－9＝32－9－.
∵斜率最小的切線與直線12x＋y－6＝0平行，
∴該切線斜率為－12.∴－9－＝－12.
解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3.
15．解：∵＝＝2x＋Δx，
∴y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，
則切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0，
由點(diǎn)斜式可得所求切線方程為
y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切線過點(diǎn)(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0.∵切線有兩條，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.
故存在實(shí)數(shù)a，使得經(jīng)過點(diǎn)(1，a)能夠作出該曲線的兩條切線，a的取值范圍是(－∞，2)．
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