資源簡介

5.2　導數的運算
5.2.1　基本初等函數的導數 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]
1.能根據導數定義求函數y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導數.
2.能用基本初等函數的導數公式求解一些簡單問題.
1.幾個一般函數的求導公式
原函數 導函數
f(x)=kx+b(k,b為常數) f'(x)= 　　　
f(x)=C(C為常數) f'(x)=　　
f(x)=x f'(x)=　　
f(x)=x2 f'(x)=　　
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
2.基本初等函數的求導公式
原函數 導函數
f(x)=xα(α為常數) f'(x)=　　
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=　　
f(x)=ex f'(x)=　　
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=　　
f(x)=cos x f'(x)=　　
|微|點|助|解|
　　關于幾個基本初等函數導數公式的特點
(1)正、余弦函數的導數可以記憶為“正余互換,(符號)正同余反”.
(2)指數函數的導數等于指數函數本身乘底數的自然對數.
(3)對數函數的導數等于x與底數的自然對數乘積的倒數.
基礎落實訓練
1.已知f(x)=cos 30°,則f'(x)的值為 (　　)
A.- B.
C.- D.0
2.若f(x)=,則f'(1)等于 (　　)
A.0 B.-
C.3 D.
3.已知函數f(x)=x3,f'(x)是f(x)的導函數,若f'(x0)=12,則x0= (　　)
A.2 B.-2
C.±2 D.±
題型(一)　用公式求函數的導數
[例1]　 求下列函數的導數:
(1)y=x-3;(2)y=3x;(3)y= ;
(4)y=lox;(5)y=cos;
(6)y=sin;(7)y=ln x;(8)y=ex.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
求簡單函數的導函數有兩種基本方法
(1)用導數的定義求導,但運算比較繁雜.
(2)用導數公式求導,可以簡化運算過程、降低運算難度.解題時根據所給問題的特征,將題中函數的結構進行調整,再選擇合適的求導公式.
　　[針對訓練]
1.求下列函數的導數:
(1)y=6x;(2)y=x2;
(3)y=cos2-sin2.
2.已知函數f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2處的導數為,求底數a的值.
題型(二)　利用導數公式求曲線的切線方程
[例2]　已知曲線y=ln x,點P(e,1)是曲線上一點,求曲線在點P處的切線方程.
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.若y=kx+1是曲線y=ln x的一條切線,求k的值.
2.求曲線y=ln x過點O(0,0)的切線方程.
3.若方程ln x=mx恰有一個根,求m的取值范圍.
|思|維|建|模|
利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況
(1)若已知點是切點,則在該點處的切線斜率就是該點處的導數;
(2)如果已知點不是切點,則應先設出切點,再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
　　[針對訓練]
3.曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為 (　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
4.在曲線y=f(x)=上求一點P,使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°.
題型(三)　導數公式的實際應用
[例3]　 質點的運動方程是s=sin t,則質點在t=時的速度為　　　　,質點運動的加速度為　　　　.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　由導數的定義可知,導數是瞬時變化率,所以求某個量的變化速度,就是求相關函數在某點處的導數.
　　[針對訓練]
5.已知在一次降雨過程中,某地降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數關系可近似表示為y=,則在t=4 min時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬間變化率)為　　　　mm/min.
5.2.1　基本初等函數的導數
?課前預知教材
1．k　0　1　2x
2．αxα－1　axln a　ex　cos x　－sin x
[基礎落實訓練]
1．選D　∵f(x)＝cos 30°＝，因此，f′(x)＝0.
2．選D　因為f(x)＝，則f′(x)＝x－，所以f′(1)＝.
3．選C　依題意f′(x)＝3x2，故3x＝12，解得x0＝±2.
?課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　解：(1)y′＝－3x－4.　
(2)y′＝3xln 3.
(3)y＝ ＝ ＝x，
∴y′＝x－＝ .
(4)y′＝＝－.
(5)y＝sin x，y′＝cos x．(6)y′＝0.
(7)y′＝.(8)y′＝ex.
[針對訓練]
1．解：(1)y′＝(6x)′＝6xln 6.
(2)y′＝(x2)′＝(x)′＝x－1＝x.
(3)∵y＝cos2－sin2＝cos x，
∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
2．解：f′(x)＝(logax)′＝，
由題得f′(2)＝＝，
所以ln a＝ln 2，得a＝2.
[題型(二)]
[例2]　解：因為y′＝，所以當x＝e時，
y′＝，即切線斜率為，所以切線方程為y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
[變式拓展]
1．解：設切點坐標為(x0，y0)，
由題意得y′|x＝x0＝＝k，
又解得∴k＝.
2．解：因為點O(0,0)不在曲線上，所以設切點為Q(a，b)，則切線斜率k＝，又因為k＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，所以切線方程為x－ey＝0.
3．解：問題可以轉化為函數y＝ln x與y＝mx的圖象有且僅有一個公共點．由圖象易知m≤0滿足條件．
另外就是y＝mx是y＝ln x的切線時滿足條件．
因為y＝mx的圖象過(0,0)，
設切點為Q(a，b)，則切線斜率m＝，
又因為m＝，且b＝ln a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范圍為(－∞，0]∪.
[針對訓練]
3．選D　y′＝ex，在點(2，e2)處的切線為y－e2＝e2(x－2)，截距分別為－e2,1，故切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為×e2×1＝.
4．解：設切點坐標為P(x0，y0)，f′(x0)＝－2x＝tan 135°＝－1，即－2x＝－1，
∴x0＝2 .
代入曲線方程得y0＝2－，
∴點P的坐標為.
[題型(三)]
[例3]　解析：v(t)＝s′(t)＝cos t，
∴v＝cos ＝，
即質點在t＝時的速度為.
∵v(t)＝cos t，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t．a＝－sin＝－.
答案：　－
[針對訓練]
5．解析：因為y＝f(t)＝＝t，
所以f′(t)＝′＝t－，
所以f′(4)＝×4－＝，
故在t＝4 min時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬間變化率)為 mm/min.
答案：
1 / 4(共45張PPT)
5.2.1
基本初等函數的導數
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
課時目標
1.能根據導數定義求函數y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的導數.
2.能用基本初等函數的導數公式求解一些簡單問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.幾個一般函數的求導公式
原函數 導函數
f(x)=kx+b(k，b為常數) f'(x)=____
f(x)=C(C為常數) f'(x)=____
f(x)=x f'(x)=____
f(x)=x2 f'(x)=____
f(x)=x3 f'(x)=3x2
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
k
0
1
2x
2.基本初等函數的求導公式
原函數 導函數
f(x)=xα(α為常數) f'(x)=_______
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=_______
f(x)=ex f'(x)=_______
f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=_______
f(x)=cos x f'(x)=_______
αxα-1
axln a
ex
cos x
-sin x
|微|點|助|解|
　　關于幾個基本初等函數導數公式的特點
(1)正、余弦函數的導數可以記憶為“正余互換，(符號)正同余反”.
(2)指數函數的導數等于指數函數本身乘底數的自然對數.
(3)對數函數的導數等于x與底數的自然對數乘積的倒數.
基礎落實訓練
1.已知f(x)=cos 30°，則f'(x)的值為 (　　)
A.- B.
C.- D.0
√
解析:∵f(x)=cos 30°=，因此，f'(x)=0.
2.若f(x)=，則f'(1)等于(　　)
A.0 B.-
C.3 D.
√
解析:因為f(x)=，則f'(x)=，所以f'(1)=.
3.已知函數f(x)=x3，f'(x)是f(x)的導函數，若f'(x0)=12，則x0= (　　)
A.2 B.-2
C.±2 D.±
√
解析:依題意f'(x)=3x2，故3=12，解得x0=±2.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　用公式求函數的導數
[例1]　 求下列函數的導數:
(1)y=x-3；
解: y'=-3x-4.　
(2)y=3x；
解:y'=3xln 3.
(3)y= ；
解:y= = =，∴y'== .
(4)y=lox；
解: y'==-.
(5)y=cos；
解:y=sin x，y'=cos x.
(6)y=sin；
解:y'=0.
(7)y=ln x；
解:y'=.
(8)y=ex.
解:y'=ex.
|思|維|建|模|
求簡單函數的導函數有兩種基本方法
(1)用導數的定義求導，但運算比較繁雜.
(2)用導數公式求導，可以簡化運算過程、降低運算難度.解題時根據所給問題的特征，將題中函數的結構進行調整，再選擇合適的求導公式.
針對訓練
1.求下列函數的導數:
(1)y=6x；
解: y'=(6x)'=6xln 6.
(2)y=x2；
解: y'=(x2)'=()'==.
(3)y=cos2-sin2.
解:∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=(cos x)'=-sin x.
2.已知函數f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2處的導數為，求底數a的值.
解:f'(x)=(logax)'=，由題得f'(2)==，
所以ln a=ln 2，得a=2.
題型(二)　利用導數公式求曲線的切線方程
[例2]　已知曲線y=ln x，點P(e，1)是曲線上一點，求曲線在點P處的切線方程.
解:因為y'=，所以當x=e時，y'=，
即切線斜率為，所以切線方程為y-1=(x-e)，即x-ey=0.
變式拓展
1.若y=kx+1是曲線y=ln x的一條切線，求k的值.
解:設切點坐標為(x0，y0)，由題意得y'==k，
又解得∴k=.
2.求曲線y=ln x過點O(0，0)的切線方程.
解:因為點O(0，0)不在曲線上，所以設切點為Q(a，b)，則切線斜率k=，又因為k=，且b=ln a，所以a=e，b=1，所以切線方程為x-ey=0.
3.若方程ln x=mx恰有一個根，求m的取值范圍.
解:問題可以轉化為函數y=ln x與y=mx的圖象有且僅有一個公共點.由圖象易知m≤0滿足條件.
另外就是y=mx是y=ln x的切線時滿足條件.
因為y=mx的圖象過(0，0)，設切點為Q(a，b)，則切線斜率m=，
又因為m=，且b=ln a，所以a=e，b=1，m=，
即m的取值范圍為(-∞，0]∪.
|思|維|建|模|
利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況
(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數；
(2)如果已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解.
針對訓練
3.曲線y=ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為 (　　)
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
√
解析:y'=ex，在點(2，e2)處的切線為y-e2=e2(x-2)，截距分別為-e2，1，故切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為×e2×1=.
4.在曲線y=f(x)=上求一點P，使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°.
解:設切點坐標為P(x0，y0)，f'(x0)=-2=tan 135°=-1，
即-2=-1，∴x0= .
代入曲線方程得y0=，∴點P的坐標為.
題型(三)　導數公式的實際應用
[例3]　 質點的運動方程是s=sin t，則質點在t=時的速度為____，質點運動的加速度為_______.
　
-
解析:v(t)=s'(t)=cos t，∴v=cos =，即質點在t=時的速度為.
∵v(t)=cos t，∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.a=-sin=-.
|思|維|建|模|
　　由導數的定義可知，導數是瞬時變化率，所以求某個量的變化速度，就是求相關函數在某點處的導數.
針對訓練
5.已知在一次降雨過程中，某地降雨量y(單位:mm)與時間t(單位:min)的函數關系可近似表示為y=，則在t=4 min時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬間變化率)為______mm/min.
解析:因為y=f(t)==，所以f'(t)='=，
所以f'(4)=×=，故在t=4 min時的瞬時降雨強度(某一時刻降雨量的瞬間變化率)為 mm/min.
課時檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.[多選]下列運算錯誤的是 (　　)
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
√
√
解析:對于A，(2x)'=2xln 2，A錯誤；對于B，()'=()'==，B正確；對于C，(sin 1)'=0，C錯誤；對于D，(log3x)'=，D正確.
1
5
6
7
8
10
11
12
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14
2
3
4
2.已知函數f(x)=，則f'(-2) =(　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
√
15
解析:∵f'(x)=-，∴f'(-2)=-=-.故選D.
9
1
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3
4
2
3.函數f(x)=x2在區間[0，2]上的平均變化率等于x=m時的瞬時變化率，則m= (　　)
A. B.1 C.2 D.
√
15
解析:函數f(x)=x2在區間[0，2]上的平均變化率等于==2.由f(x)=x2，得f'(x)=2x，所以f'(m)=2m.因為函數f(x)=x2在區間[0，2]上的平均變化率等于x=m時的瞬時變化率，所以2=2m，解得m=1.
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1
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10
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13
14
3
4
2
4.設M，m分別是函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，則f'(x) (　　)
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不確定
√
15
解析:因為M=m且M，m分別是函數f(x)的最大值和最小值，所以f(x)為常函數，故f'(x)=0.
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3
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2
5.函數f(x)=x3的斜率等于1的切線有 (　　)
A.1條 B.2條
C.3條 D.不確定
√
15
解析:∵f'(x)=3x2，設切點為(x0，)，∴3=1，解得x0=±，∴在點和點處有斜率等于1的切線，∴滿足題意切線有2條.故選B.
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13
14
3
4
2
6.已知函數f(x)及其導數f'(x)，若存在x0使得f(x0)=f'(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”.下列四個函數中，沒有“巧值點”的是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
15
√
9
1
5
6
7
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10
11
12
13
14
3
4
2
解析:對于A，f'(x)=2x，由x2=2x解得x=0或x=2，所以f(x)存在“巧值點”；對于B，f'(x)=(x>0)，作函數f(x)與f'(x)的圖象，由圖可知f(x)存在“巧值點”；對于C，f'(x)=cos x，由sin x=cos x得tan x=1，解得x=+kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值點”；對于D，f'(x)=2xln 2，因為2x>0，所以2x=2xln 2無實數解，所以f(x)不存在“巧值點”.
15
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1
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6
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11
12
13
14
3
4
2
7.若點A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，則A，B兩點間距離AB的最小值為(　　)
A.1 B. C. D.2
15
√
解析:點A(a，a)在直線y=x，點B(b，eb)在y=ex上.由y=ex，得y'=ex.設y=ex的切線的切點為(x0，y0)，令y'=1 =1 x0=0 ，所以y=ex在點(0，1)處的切線為y=x+1，此時切線y=x+1與直線y=x平行，直線y=x與y=x+1之間的距離=為AB的最小值.
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3
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2
8.(5分)已知函數f(x)=ln x，則=_______.
15
解析:∵f(x)=ln x，∴f'(x)=，∴=f'(2)=.
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9.(5分)已知曲線y=x2的一條切線傾斜角為，則切點坐標為_________.
15
解析:設切點為(x0，)，由y=x2，求導得y'=2x，可得切線的斜率為k=f'(x0)=2x0，由切線傾斜角為，則斜率是1，即2x0=1，解得x0=，故切點的坐標為.
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10.(5分)已知曲線y=ln x的一條切線方程為x-y+c=0，則c=_____.
15
-1
解析:設切點為(x0，ln x0)，由y=ln x得y'=.因為曲線y=ln x在x=x0處的切線為x-y+c=0，其斜率為1.所以y'==1，即x0=1，所以切點為(1，0).所以1-0+c=0，解得c=-1.
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14
3
4
2
11.(5分)拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一，內容為如果函數f(x)在閉區間[a，b]上的圖象連續不間斷，在開區間(a，b)內的導數為f'(x)，那么在區間(a，b)內至少存在一點c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫作f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值點”.根據這個定理，可得函數f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值點”為______.
15
e-1
解析:由f(x)=ln x可得f'(x)=，令x0為函數f(x)=ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值點”，則==，解得x0=e-1.
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1
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13
14
3
4
2
12.(5分)拋物線y=x2上的一動點M到直線l:x-y-1=0距離的最小值為______.
15
解析:因為y=x2，所以y'=2x，令y'=2x=1，得x=，所以與直線x-y-1=0平行且與拋物線y=x2相切的直線的切點為，切線方程為y-=x-，即x-y-=0，由兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離d==.
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13
14
3
4
2
13.(10分)若質點P的運動方程是s(t)=(s的單位為m，t的單位為s)，求質點P在t=8 s時的瞬時速度.
15
解:s(t)=，故s'(t)=，s'(8)=×=，故質點P在t=8 s時的瞬時速度為 m/s.
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12
13
14
3
4
2
14.(10分)直線y=-x+b是下列函數的切線嗎 如果是，請求出b的值；如果不是，請說明理由.
(1)y=ln x；(4分)
15
解:函數y=ln x的定義域為(0，+∞)，
則對任意的x>0，y'=>0，
所以直線y=-x+b不是曲線y=ln x的切線.
9
1
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14
3
4
2
(2)y=.(6分)
15
解:函數y=的定義域為{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1，
將x=1代入函數y=的解析式可得切點坐標為(1，1)，
則-1+b=1，解得b=2.
將x=-1代入函數y=的解析式可得切點坐標為(-1，-1)，則1+b=-1，解得b=-2.綜上所述，y=-x+b是函數y=的切線方程，且b=±2.
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3
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2
15.(10分)設l是曲線y=的一條切線，證明l與坐標軸所圍成的三角形的面積與切點無關.
15
證明:由題意，設點P(x0，y0)為y=圖象上的任意一點，且點P的切線即為l，很明顯y0=，y'=-，則y'=-.
故曲線在點P(x0，y0)處的切線斜率為-，
∴切線l方程為y-y0=-(x-x0)，
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即y-=-(x-x0).當x=0時，y=；當y=0時，x=2x0，
∴l與坐標軸所圍成的三角形的面積S=··2|x0|=2.
很明顯l與坐標軸所圍成的三角形的面積是一個定值，
與切點選取無關.
所以l與坐標軸所圍成的三角形的面積與切點無關.
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9課時檢測(四十四)　基本初等函數的導數
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.[多選]下列運算錯誤的是 (　　)
A.(2x)'=2xlog2e B.()'=
C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'=
2.已知函數f(x)=,則f'(-2) = (　　)
A.4 B.
C.-4 D.-
3.函數f(x)=x2在區間[0,2]上的平均變化率等于x=m時的瞬時變化率,則m= (　　)
A. B.1
C.2 D.
4.設M,m分別是函數f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,則f'(x) (　　)
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不確定
5.函數f(x)=x3的斜率等于1的切線有 (　　)
A.1條 B.2條
C.3條 D.不確定
6.已知函數f(x)及其導數f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),則稱x0是f(x)的一個“巧值點”.下列四個函數中,沒有“巧值點”的是 (　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x
C.f(x)=sin x D.f(x)=2x
7.若點A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),則A,B兩點間距離AB的最小值為 (　　)
A.1 B.
C. D.2
8.(5分)已知函數f(x)=ln x,則=　　　　.
9.(5分)已知曲線y=x2的一條切線傾斜角為,則切點坐標為　　　　.
10.(5分)已知曲線y=ln x的一條切線方程為x-y+c=0,則c=　　　　.
11.(5分)拉格朗日中值定理是微分學的基本定理之一,內容為如果函數f(x)在閉區間[a,b]上的圖象連續不間斷,在開區間(a,b)內的導數為f'(x),那么在區間(a,b)內至少存在一點c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立,其中c叫作f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值點”.根據這個定理,可得函數f(x)=ln x在[1,e]上的“拉格朗日中值點”為　　　　.
12.(5分)拋物線y=x2上的一動點M到直線l:x-y-1=0距離的最小值為　　　　.
13.(10分)若質點P的運動方程是s(t)=(s的單位為m,t的單位為s),求質點P在t=8 s時的瞬時速度.
14.(10分)直線y=-x+b是下列函數的切線嗎 如果是,請求出b的值;如果不是,請說明理由.
(1)y=ln x;(4分)
(2)y=.(6分)
15.(10分)設l是曲線y=的一條切線,證明l與坐標軸所圍成的三角形的面積與切點無關.
課時檢測(四十四)
1．選AC　對于A，(2x)′＝2xln 2，A錯誤；對于B，()′＝(x)′＝x－＝，B正確；對于C，(sin 1)′＝0，C錯誤；對于D，(log3x)′＝，D正確．
2．選D　∵f′(x)＝－，∴f′(－2)＝－＝－.故選D.
3．選B　函數f(x)＝x2在區間[0,2]上的平均變化率等于＝＝2.由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，所以f′(m)＝2m.因為函數f(x)＝x2在區間[0,2]上的平均變化率等于x＝m時的瞬時變化率，所以2＝2m，解得m＝1.
4．選A　因為M＝m且M，m分別是函數f(x)的最大值和最小值，所以f(x)為常函數，故f′(x)＝0.
5．選B　∵f′(x)＝3x2，設切點為(x0，x)，∴3x＝1，解得x0＝±，∴在點和點處有斜率等于1的切線，∴滿足題意切線有2條．故選B.
6.選D　對于A，f′(x)＝2x，由x2＝2x解得x＝0或x＝2，所以f(x)存在“巧值點”；對于B，f′(x)＝(x>0)，作函數f(x)與f′(x)的圖象，由圖可知f(x)存在“巧值點”；對于C，f′(x)＝cos x，由sin x＝cos x得tan x＝1，解得x＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值點”；對于D，f′(x)＝2xln 2，因為2x>0，所以2x＝2xln 2無實數解，所以f(x)不存在“巧值點”．
7．選B　點A(a，a)在直線y＝x，點B(b，eb)在y＝ex上．由y＝ex，得y′＝ex.設y＝ex的切線的切點為(x0，y0)，令y′＝1 ex0＝1 x0＝0 ，所以y＝ex在點(0,1)處的切線為y＝x＋1，此時切線y＝x＋1與直線y＝x平行，直線y＝x與y＝x＋1之間的距離＝為AB的最小值．
8．解析：∵f(x)＝ln x，∴f′(x)＝，
∴ ＝f′(2)＝.
答案：
9．解析：設切點為(x0，x)，由y＝x2，求導得y′＝2x，可得切線的斜率為k＝f′(x0)＝2x0，由切線傾斜角為，則斜率是1，即2x0＝1，解得x0＝，故切點的坐標為.
答案：
10．解析：設切點為(x0，ln x0)，由y＝ln x得y′＝.因為曲線y＝ln x在x＝x0處的切線為x－y＋c＝0，其斜率為1.所以y′|x＝x0＝＝1，即x0＝1，所以切點為(1,0)．所以1－0＋c＝0，解得c＝－1.
答案：－1
11．解析：由f(x)＝ln x可得f′(x)＝，令x0為函數f(x)＝ln x在[1，e]上的“拉格朗日中值點”，則＝＝，解得x0＝e－1.
答案：e－1
12．解析：因為y＝x2，所以y′＝2x，令y′＝2x＝1，得x＝，所以與直線x－y－1＝0平行且與拋物線y＝x2相切的直線的切點為，切線方程為y－＝x－，即x－y－＝0，由兩平行線間的距離公式可得所求的最小距離d＝＝.
答案：
13．解：s(t)＝，故s′(t)＝t－，s′(8)＝×8－＝，故質點P在t＝8 s時的瞬時速度為 m/s.
14．解：(1)函數y＝ln x的定義域為(0，＋∞)，則對任意的x>0，y′＝>0，所以直線y＝－x＋b不是曲線y＝ln x的切線．
(2)函數y＝的定義域為{x|x≠0}，
令y′＝－＝－1，解得x＝±1，
將x＝1代入函數y＝的解析式可得切點坐標為(1,1)，則－1＋b＝1，解得b＝2.
將x＝－1代入函數y＝的解析式可得切點坐標為(－1，－1)，則1＋b＝－1，解得b＝－2.綜上所述，y＝－x＋b是函數y＝的切線方程，且b＝±2.
15．證明：由題意，設點
P(x0，y0)為y＝圖象上的任意一點，且點P的切線即為l，很明顯y0＝，y′＝－，則y′|x＝x0＝－.故曲線在點P(x0，y0)處的切線斜率為－，∴切線l方程為y－y0＝－(x－x0)，
即y－＝－(x－x0)．
當x＝0時，y＝；
當y＝0時，x＝2x0，∴l與坐標軸所圍成的三角形的面積S＝··2|x0|＝2.
很明顯l與坐標軸所圍成的三角形的面積是一個定值，與切點選取無關．
所以l與坐標軸所圍成的三角形的面積與切點無關．
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