資源簡(jiǎn)介

5.2.3　簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
[課時(shí)目標(biāo)]
能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù),了解復(fù)合函數(shù)的概念,掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).
1.復(fù)合函數(shù)的概念
一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過(guò)中間變量u,y可以表示成關(guān)于x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).
2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地,對(duì)于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=　　　　　　.
特別地,若y=f(u),u=ax+b,則yx'=　　　　,即yx'=　　　　.
|微|點(diǎn)|助|解|
　　使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意事項(xiàng)
(1)分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,選擇適當(dāng)?shù)闹虚g變量.
(2)分步計(jì)算的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),而其中特別要注意的是中間變量的導(dǎo)數(shù),如(sin 2x)'=2cos 2x,不能得出(sin 2x)'=cos 2x.
(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù),如求y=sin的導(dǎo)數(shù),設(shè)y=sin u,u=2x+,則y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)后,中間步驟可省略不寫.
基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練
1.函數(shù)y=(x2-1)n的復(fù)合過(guò)程正確的是 (　　)
A.y=un,u=x2-1
B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n
D.y=(t-1)n,t=x2-1
2.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-2x)10,則f'(1)= (　　)
A.0 B.-1
C.-20 D.20
3.函數(shù)y=cos的導(dǎo)數(shù)為　　　　.
4.指出下列函數(shù)由哪些函數(shù)復(fù)合而成.
(1)y=ln ;(2)y=esin x;(3)y=cos(x+1).
題型(一)　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=;(2)y=cos x2;
(3)y=sin;(4)y=.
聽(tīng)課記錄:
　　|思|維|建|模|　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(3x-2)2;(2)y=ln(6x+4);
(3)y=.
題型(二)　復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
[例2]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=;
(2)y=x;
(3)y=xcossin.
聽(tīng)課記錄:
|思|維|建|模|
(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí),應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式,對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù),可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形,以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的.
(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,直接運(yùn)用公式,開(kāi)始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
(3)y=sin 2x+cos2x;
(4)y=.
題型(三)　復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的綜合應(yīng)用
[例3]　 (1)曲線y=f(x)=esin x在(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,則直線l的方程為　　　　　　　　　　　.
(2)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=　　　　　.
聽(tīng)課記錄:
|思|維|建|模|
復(fù)合函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的注意點(diǎn)
(1)正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
(2)涉及切線問(wèn)題,若切點(diǎn)已知,則求出切線斜率、切線方程;若切點(diǎn)未知,則先設(shè)出切點(diǎn),用切點(diǎn)表示切線斜率,再根據(jù)條件求切點(diǎn)坐標(biāo).
(3)實(shí)際問(wèn)題中,函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)揭示物體某時(shí)刻的變化狀況.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.某市在一次降雨過(guò)程中,降雨量y(單位:mm)與時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=f(t)=,則在時(shí)刻t=40 min的降雨強(qiáng)度為 (　　)
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
4.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=　　　　.
5.2.3　簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
?課前預(yù)知教材
2．yu′·ux′　yu′·ux′　yu′·a
[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]
1．選A　由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知A正確．
2．選D　因?yàn)閒′(x)＝10(1－2x)9×(－2)＝－20(1－2x)9，所以f′(1)＝20.
3．解析：y′＝′＝－sin(－3)＝3sin.
答案：3sin
4．解：(1)y＝ln 由y＝ln u，u＝復(fù)合而成．
(2)y＝esin x由y＝eu，u＝sin x復(fù)合而成．
(3)y＝cos(x＋1)由y＝cos u，u＝x＋1復(fù)合而成．
?課堂題點(diǎn)研究
[題型(一)]
[例1]　解：(1)令u＝1－3x，則y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，則y＝cos u，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝－sin u·(2x)＝－2x sin x2.
(3)令u＝2x－，則y＝sin u，
所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝cos u·2＝2cos.
(4)令u＝1＋x2，則y＝u，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝u－·2x＝x·u－＝.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1．解：(1)∵y＝(3x－2)2由函數(shù)y＝u2和u＝3x－2復(fù)合而成，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12.
(2)∵y＝ln(6x＋4)由函數(shù)y＝ln u和u＝6x＋4復(fù)合而成，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝.
(3)函數(shù)y＝可以看作函數(shù)y＝和u＝3x＋5的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝()′·(3x＋5)′＝＝.
[題型(二)]
[例2]　解：(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝，
∴y′＝
＝＝.
(2)y′＝(x)′＝x′＋x()′
＝＋＝.
(3)∵y＝xcossin
＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，∴y′＝′＝－sin 4x－cos 4x×4＝－sin 4x－2xcos 4x.
[針對(duì)訓(xùn)練]
2．解：(1)y′＝(e－x＋2)′·(2x＋1)5＋e－x＋2·[(2x＋1)5]′＝－e－x＋2·(2x＋1)5＋5e－x＋2·(2x＋1)4·(2x＋1)′
＝－e－x＋2(2x＋1)4(2x－9)．
(2)y′＝－sin(3x－1)·(3x－1)′－·(－2x－1)′＝－3sin(3x－1)－.
(3)y′＝cos 2x·(2x)′＋2cos x·(cos x)′＝2cos 2x－2sin xcos x＝2cos 2x－sin 2x.
(4)y′＝
＝.
[題型(三)]
[例3]　(1)解析：設(shè)u＝sin x，
則f′(x)＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′＝cos xesin x，
所以f′(0)＝1.則切線方程為y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為x－y＋c＝0，c≠1，由兩平行線間的距離d＝＝，解得c＝3或c＝－1.故直線l的方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
答案：x－y＋3＝0或x－y－1＝0
(2)解析：由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲線y＝ex＋x在(0,1)處的切線方程為y＝2x＋1.
由y＝ln(x＋1)＋a得y′＝，設(shè)切線與曲線y＝ln(x＋1)＋a的切點(diǎn)為(x0，ln(x0＋1)＋a)，
由兩曲線有公切線得y′＝＝2，解得x0＝－，則切點(diǎn)為，切線方程為y＝2＋a＋ln＝2x＋1＋a－ln 2.由兩切線重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
答案：ln 2
[針對(duì)訓(xùn)練]
3．選D　由f(t)＝，得f′(t)＝·(10t)′＝，所以f′(40)＝＝.
4．解析：設(shè)f(x)＝ln x＋2，g(x)＝ln(x＋1)，
則f′(x)＝，g′(x)＝.
設(shè)曲線f(x)＝ln x＋2上的切點(diǎn)為(x1，y1)，
曲線g(x)＝ln(x＋1)上的切點(diǎn)為(x2，y2)，
則k＝＝，則x2＋1＝x1.
又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，
所以k＝＝2，
故x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2.
故b＝y(tǒng)1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.
答案：1－ln 2
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5.2.3
簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
課時(shí)目標(biāo)
能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
課時(shí)檢測(cè)
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
01
1.復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成關(guān)于x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).
2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地，對(duì)于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=__________.
特別地，若y=f(u)，u=ax+b，則yx'=_______，即yx'=______.
y'u·u'x
yu'·ux'
yu'·a
|微|點(diǎn)|助|解|
　　使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的注意事項(xiàng)
(1)分清復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，選擇適當(dāng)?shù)闹虚g變量.
(2)分步計(jì)算的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量的導(dǎo)數(shù)，如(sin 2x)'=2cos 2x，不能得出(sin 2x)'=cos 2x.
(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)，如求y=sin的導(dǎo)數(shù)，設(shè)y=sin u，u=2x+，則y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)后，中間步驟可省略不寫.
基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練
1.函數(shù)y=(x2-1)n的復(fù)合過(guò)程正確的是 (　　)
A.y=un，u=x2-1 B.y=(u-1)n，u=x2
C.y=tn，t=(x2-1)n D.y=(t-1)n，t=x2-1
√
解析:由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知A正確.
2.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-2x)10，則f'(1)= (　　)
A.0 B.-1
C.-20 D.20
√
解析:因?yàn)閒'(x)=10(1-2x)9×(-2)=-20(1-2x)9，所以f'(1)=20.
3.函數(shù)y=cos的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_________________.
3sin
解析:y'='=-sin(-3)=3sin.
4.指出下列函數(shù)由哪些函數(shù)復(fù)合而成.
(1)y=ln ;
解: y=ln 由y=ln u，u=復(fù)合而成.
(2)y=esin x;
解: y=esin x由y=eu，u=sin x復(fù)合而成.
(3)y=cos(x+1).
解:y=cos(x+1)由y=cos u，u=x+1復(fù)合而成.
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
02
題型(一)　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
[例1]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=;
解:令u=1-3x，則y==u-4，所以y'u=-4u-5，u'x=-3.
所以y'x=y'u·u'x=12u-5=.
(2)y=cos x2;
解:令u=x2，則y=cos u，所以y'x=y'u·u'x=-sin u·(2x)=-2x sin x2.
(3)y=sin;
解:令u=2x-，則y=sin u，所以y'x=y'u·u'x=cos u·2=2cos.
(4)y=.
解:令u=1+x2，則y=，所以y'x=y'u·u'x=·2x=x·=.
　　|思|維|建|模|　求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟
針對(duì)訓(xùn)練
1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=(3x-2)2;
解:∵y=(3x-2)2由函數(shù)y=u2和u=3x-2復(fù)合而成，∴y'x=y'u·u'x=(u2)'·(3x-2)'=6u=18x-12.
(2)y=ln(6x+4);
解:∵y=ln(6x+4)由函數(shù)y=ln u和u=6x+4復(fù)合而成，∴y'x=y'u·u'x=(ln u)'·(6x+4)'===.
(3)y=.
解:函數(shù)y=可以看作函數(shù)y=和u=3x+5的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有y'x=y'u·u'x=()'·(3x+5)'==.
題型(二)　復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的綜合應(yīng)用
[例2]　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y=;
解:∵(ln 3x)'=×(3x)'=，∴y'===.
(2)y=x;
解:y'=(x)'=x'+x()'=+=.
(3)y=xcossin.
解:∵y=xcossin
=x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x，
∴y'='=-sin 4x-cos 4x×4=-sin 4x-2xcos 4x.
|思|維|建|模|
(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式，對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形，以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的.
(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直接運(yùn)用公式，開(kāi)始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).
針對(duì)訓(xùn)練
2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):
(1)y=e-x+2(2x+1)5;
解: y'=(e-x+2)'·(2x+1)5+e-x+2·[(2x+1)5]'=-e-x+2·(2x+1)5+5e-x+2·
(2x+1)4·(2x+1)'=-e-x+2(2x+1)4(2x-9).
(2)y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);
解: y'=-sin(3x-1)·(3x-1)'-·(-2x-1)'=-3sin(3x-1)-.
(3)y=sin 2x+cos2x;
解:y'=cos 2x·(2x)'+2cos x·(cos x)'=2cos 2x-2sin xcos x=2cos 2x-sin 2x.
(4)y=.
解:y'==.
題型(三)　復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的綜合應(yīng)用
[例3]　 (1)曲線y=f(x)=esin x在(0，1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，則直線l的方程為_(kāi)___________________.
x-y+3=0或x-y-1=0
解析:設(shè)u=sin x，則f'(x)=(esin x)'=(eu)'(sin x)'=cos xesin x，
所以f'(0)=1.則切線方程為y-1=x-0，即x-y+1=0.若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0，c≠1，由兩平行線間的距離d==，解得c=3或c=-1.故直線l的方程為x-y+3=0或x-y-1=0.
(2)(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0，1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線，則a=_____.
ln 2
解析:由y=ex+x得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2，故曲線y=ex+x在(0，1)處的切線方程為y=2x+1.由y=ln(x+1)+a得y'=，設(shè)切線與曲線y=ln(x+1)+a的切點(diǎn)為(x0，ln(x0+1)+a)，由兩曲線有公切線得y'==2，解得x0=-，則切點(diǎn)為，切線方程為y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2.由兩切線重合，得a-ln 2=0，解得a=ln 2.
|思|維|建|模|
復(fù)合函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的注意點(diǎn)
(1)正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.
(2)涉及切線問(wèn)題，若切點(diǎn)已知，則求出切線斜率、切線方程;若切點(diǎn)未知，則先設(shè)出切點(diǎn)，用切點(diǎn)表示切線斜率，再根據(jù)條件求切點(diǎn)坐標(biāo).
(3)實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)揭示物體某時(shí)刻的變化狀況.
針對(duì)訓(xùn)練
3.某市在一次降雨過(guò)程中，降雨量y(單位:mm)與時(shí)間t(單位:min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=f(t)=，則在時(shí)刻t=40 min的降雨強(qiáng)度為(　　)
A.20 mm/min B.400 mm/min
C. mm/min D. mm/min
√
解析:由f(t)=，得f'(t)=·(10t)'=，所以f'(40)==.
4.若直線y=kx+b是曲線y=ln x+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=_______.
1-ln 2
解析:設(shè)f(x)=ln x+2，g(x)=ln(x+1)，則f'(x)=，g'(x)=.設(shè)曲線f(x)=
ln x+2上的切點(diǎn)為(x1，y1)，曲線g(x)=ln(x+1)上的切點(diǎn)為(x2，y2)，則k==，則x2+1=x1.又y1=ln x1+2，y2=ln(x2+1)=ln x1，所以k==2，故x1==，y1=ln+2=2-ln 2.故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
課時(shí)檢測(cè)
03
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1.若函數(shù)f(x)=e2x+e2，則f'(1)= (　　)
A.e2 B.2e2
C.3e2 D.4e2
√
解析:f'(x)=e2x·2+0=2e2x，則f'(1)=2e2.故選B.
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2.函數(shù)y=exsin 2x的導(dǎo)數(shù)為 (　　)
A.y'=2excos 2x B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x) D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
√
15
解析:若y=sin 2x，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，y'=2cos 2x，根據(jù)兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，y=exsin 2x的導(dǎo)數(shù)為y'=exsin 2x+ex·2cos 2x=ex(sin 2x+2cos 2x).故選B.
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3.函數(shù)f(x)=e4x-x-2的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程是 (　　)
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
√
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解析:因?yàn)閒'(x)=4e4x-1，所以k= f'(0)=3.因?yàn)閒(0)=-1，所以切線方程為y+1=3x，即3x-y-1=0.故選D.
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4.設(shè)f(x)=ln(3x-1)，若f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=6，則x0的值為 (　　)
A.0 B.
C.3 D.6
√
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解析:對(duì)于函數(shù)f(x)=ln(3x-1)，由3x-1>0，可得x>，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋琭'(x)=，由f'(x0)==6，解得x0=，合乎題意.故選B.
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5.某放射性同位素在衰變過(guò)程中，其含量N(單位:貝克)與時(shí)間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系N(t)=N0，其中N0為t=0時(shí)該同位素的含量.已知t=24時(shí)，該同位素含量的瞬時(shí)變化率為-e-1，則N(120)=(　　)
A.24貝克 B.24e-5貝克
C.1貝克 D.e-5貝克
√
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解析:由N(t)=N0，得N'(t)=-N0，因?yàn)閠=24時(shí)，該同位素含量的瞬時(shí)變化率為-e-1，所以N'(24)=-N0=-e-1，解得N0=24，所以N(120)=24×，故選B.
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6.函數(shù)f(x)=xln(x+2)的圖象在點(diǎn)(-1，0)處的切線與直線(a-2)x+y-2=0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為 (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
15
√
解析:函數(shù)f(x)=xln(x+2)，求導(dǎo)得f'(x)=ln(x+2)+，則f'(-1)=-1，即函數(shù)f(x)=xln(x+2)的圖象在點(diǎn)(-1，0)處的切線斜率為-1，因?yàn)榍芯€與直線(a-2)x+y-2=0垂直，有(2-a)×(-1)=-1，所以a=1.故選C.
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7.已知f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)定義域?yàn)镽，滿足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，g(x)=sin，g(x)定義域?yàn)椋鬵(x)在點(diǎn)(x0，g(x0))處的切線斜率與f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率相同，則x0=(　　)
A. B.
C. D.
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解析:由題知，f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)定義域?yàn)镽，滿足:x∈R，f(x)=f(2-x)+2(x-1)，所以f'(x)=-f'(2-x)+2，所以f'(1)=-f'(1)+2，即f'(1)=1.因?yàn)間(x)=sin，x∈，所以g'(x)=2cos.因?yàn)間(x)在點(diǎn)(x0，g(x0))處的切線斜率與f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率相同，所以g'(x0)=2cos=1，所以cos=，所以2x0+=±+2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0=.
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8.(5分)設(shè)函數(shù)y=ln，則y'=__________.
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解析:對(duì)于函數(shù)y=ln ，可看作y=ln u，u=，v=1+x的復(fù)合函數(shù)，所以y'=××1=.
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9.(5分)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)滿足函數(shù)關(guān)系式s=3t3-(2t+1)2+1，則當(dāng)t=1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為_(kāi)____m/s.
15
-3
解析:因?yàn)閟=3t3-(2t+1)2+1，所以s'=9t2-4(2t+1).當(dāng)t=1時(shí)，s'|t=1=9-4×(2+1)=-3，故當(dāng)t=1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為-3 m/s.
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10.(5分)與函數(shù)f(x)=e3x-1在點(diǎn)(0，0)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)的解析式是________________________.
15
g(x)=3ex-3(答案不唯一)
解析:f'(x)=3e3x，故f'(0)=3e0=3，則函數(shù)f(x)=e3x-1在點(diǎn)(0，0)處的切線為y=3x.不妨令g(x)=3ex-3，g(0)=3e0-3=0，故(0，0)在g(x)=3ex-3上，g'(x)=3ex，故g'(0)=3e0=3，則函數(shù)g(x)=3ex-3在點(diǎn)(0，0)處的切線為y=3x，滿足要求.
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11.(5分)如圖，在墻角處有一根長(zhǎng)3米的直木棒AB緊貼墻面，墻面與底面垂直.在t=0 s時(shí)，木棒的端點(diǎn)B以0.5 m/s的速度垂直墻面向右做勻速運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)A向下沿直線運(yùn)動(dòng)，則端點(diǎn)A在t=2 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為_(kāi)____ m/s.
15
解析:設(shè)端點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程為s，則(3-s)2+=9，因?yàn)閠=2 s，所以BB'=0.5×2=1 m<3 m，此時(shí)木棒處于傾斜狀態(tài)，所以3-s>0，所以s=3-，則s'=.當(dāng)t=2 s時(shí)，s'=，即端點(diǎn)A在t=2 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 m/s.
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12.(5分)函數(shù)y=[f(x)]g(x)在求導(dǎo)時(shí)可運(yùn)用對(duì)數(shù)法:在解析式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得到ln y=g(x)ln f(x)，然后兩邊同時(shí)求導(dǎo)得=g'(x)ln f(x)+g(x)，于是y'=[f(x)]g(x)，用此法探求y=(x+1)x(x>0)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)_________________________.
15
y'=(x+1)x
解析:兩邊取對(duì)數(shù)可得ln y=ln(x+1)x=xln(x+1)，兩邊求導(dǎo)可得= ln(x+1)+，所以y'=y=(x+1)x.
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13.(10分)已知a∈R，函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是f'(x)，且f'(x)是奇函數(shù).若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是，求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0.
15
解:易得f'(x)=ex-ae-x，x∈R.∵f'(x)為奇函數(shù)，∴f'(x)+ f'(-x)=0對(duì)任意x∈R恒成立，即(1-a)(ex+e-x)=0對(duì)任意x∈R恒成立，∴a=1，
∴f(x)=ex+e-x，f'(x)=ex-e-x.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由題可得-=，令=t(t>0)，則t-=，解得t=2或t=-(舍去)，∴=2，∴x0=ln 2.
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14.(10分)某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系s(t)=3sin(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t=18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義.
15
解:函數(shù)y=s(t)=3sin是由函數(shù)f(z)=3sin z和函數(shù)z=φ(t)=t+復(fù)合而成的，其中z是中間變量.由導(dǎo)數(shù)公式表可得f'(z)=3cos z，φ'(t)=
.再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y't=s'(t)=f'(z)φ'(t)=3cos z·=cos.將t=18代入s'(t)，得s'(18)=cos=.它表示當(dāng)t=18時(shí)，潮水的高度上升速度為 m/h.
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15.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexln x+.
(1)求導(dǎo)函數(shù)f'(x);(5分)
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解:由f(x)=aexln x+，得f'(x)=(aexln x)'+'=aexln x++.
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2，求a，b的值.(5分)
解:由于切點(diǎn)既在曲線y=f(x)上，又在切線y=e(x-1)+2上，將x=1代入切線方程得y=2，將x=1代入函數(shù)f(x)得f(1)=b，∴b=2，將x=1代入導(dǎo)函數(shù)f'(x)中，得f'(1)=ae=e，∴a=1.∴a=1，b=2.課時(shí)檢測(cè)(四十六)　簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(標(biāo)的題目為推薦講評(píng)題,配有精品課件.選擇、填空題請(qǐng)?jiān)诤竺娴拇痤}區(qū)內(nèi)作答)
1.若函數(shù)f(x)=e2x+e2,則f'(1)= (　　)
A.e2 B.2e2
C.3e2 D.4e2
2.函數(shù)y=exsin 2x的導(dǎo)數(shù)為 (　　)
A.y'=2excos 2x
B.y'=ex(sin 2x+2cos 2x)
C.y'=2ex(sin 2x+cos 2x)
D.y'=ex(2sin 2x+cos 2x)
3.函數(shù)f(x)=e4x-x-2的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程是 (　　)
A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0
C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0
4.設(shè)f(x)=ln(3x-1),若f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)=6,則x0的值為 (　　)
A.0 B.
C.3 D.6
5.某放射性同位素在衰變過(guò)程中,其含量N(單位:貝克)與時(shí)間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系N(t)=N0,其中N0為t=0時(shí)該同位素的含量.已知t=24時(shí),該同位素含量的瞬時(shí)變化率為-e-1,則N(120)= (　　)
A.24貝克 B.24e-5貝克
C.1貝克 D.e-5貝克
6.函數(shù)f(x)=xln(x+2)的圖象在點(diǎn)(-1,0)處的切線與直線(a-2)x+y-2=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為 (　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
7.已知f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)定義域?yàn)镽,滿足:x∈R,f(x)=f(2-x)+2(x-1),g(x)=sin,g(x)定義域?yàn)?若g(x)在點(diǎn)(x0,g(x0))處的切線斜率與f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率相同,則x0= (　　)
A. B.
C. D.
8.(5分)設(shè)函數(shù)y=ln,則y'=　　　　.
9.(5分)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)滿足函數(shù)關(guān)系式s=3t3-(2t+1)2+1,則當(dāng)t=1時(shí),該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為　　　　m/s.
10.(5分)與函數(shù)f(x)=e3x-1在點(diǎn)(0,0)處具有相同切線的一個(gè)函數(shù)的解析式是　　　　　　.
11.(5分)如圖,在墻角處有一根長(zhǎng)3米的直木棒AB緊貼墻面,墻面與底面垂直.在t=0 s時(shí),木棒的端點(diǎn)B以0.5 m/s的速度垂直墻面向右做勻速運(yùn)動(dòng),端點(diǎn)A向下沿直線運(yùn)動(dòng),則端點(diǎn)A在t=2 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為　　　 m/s.
12.(5分)函數(shù)y=[f(x)]g(x)在求導(dǎo)時(shí)可運(yùn)用對(duì)數(shù)法:在解析式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得到ln y=g(x)ln f(x),然后兩邊同時(shí)求導(dǎo)得=g'(x)ln f(x)+g(x),于是y'=[f(x)]g(x),用此法探求y=(x+1)x(x>0)的導(dǎo)數(shù)為　　　　.
13.(10分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=ex+ae-x的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),且f'(x)是奇函數(shù).若曲線y=f(x)的一條切線的斜率是,求切點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0.
14.(10分)某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的單位是m,t的單位是h,求函數(shù)在t=18時(shí)的導(dǎo)數(shù),并解釋它的實(shí)際意義.
15.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=aexln x+.
(1)求導(dǎo)函數(shù)f'(x);(5分)
(2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2,求a,b的值.(5分)
課時(shí)檢測(cè)(四十六)
1．選B　f′(x)＝e2x·2＋0＝2e2x，則f′(1)＝2e2.故選B.
2．選B　若y＝sin 2x，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，y′＝2cos 2x，根據(jù)兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，y＝exsin 2x的導(dǎo)數(shù)為y′＝exsin 2x＋ex·2cos 2x＝ex(sin 2x＋2cos 2x)．故選B.
3．選D　因?yàn)閒′(x)＝4e4x－1，所以k＝ f′(0)＝3.因?yàn)閒(0)＝－1，所以切線方程為y＋1＝3x，即3x－y－1＝0.故選D.
4．選B　對(duì)于函數(shù)f(x)＝ln(3x－1)，由3x－1>0，可得x>，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋琭′(x)＝，由f′(x0)＝＝6，解得x0＝，合乎題意．故選B.
5．選B　由N(t)＝N0e－，得N′(t)＝－N0e－，因?yàn)閠＝24時(shí)，該同位素含量的瞬時(shí)變化率為－e－1，所以N′(24)＝－N0e－＝－e－1，解得N0＝24，所以N(120)＝24×e－，故選B.
6．選C　函數(shù)f(x)＝xln(x＋2)，求導(dǎo)得f′(x)＝ln(x＋2)＋，則f′(－1)＝－1，即函數(shù)f(x)＝xln(x＋2)的圖象在點(diǎn)(－1,0)處的切線斜率為－1，因?yàn)榍芯€與直線(a－2)x＋y－2＝0垂直，有(2－a)×(－1)＝－1，所以a＝1.故選C.
7．選B　由題知，f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)定義域?yàn)镽，滿足：x∈R，f(x)＝f(2－x)＋2(x－1)，所以f′(x)＝－f′(2－x)＋2，所以f′(1)＝－f′(1)＋2，即f′(1)＝1.因?yàn)間(x)＝sin，x∈，所以g′(x)＝2cos.因?yàn)間(x)在點(diǎn)(x0，g(x0))處的切線斜率與f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率相同，所以g′(x0)＝2cos＝1，所以cos＝，所以2x0＋＝±＋2kπ，k∈Z，由x∈，解得x0＝.
8．解析：對(duì)于函數(shù)y＝ln ，可看作y＝ln u，u＝v，v＝1＋x的復(fù)合函數(shù)，所以y′＝××1＝.
答案：
9．解析：因?yàn)閟＝3t3－(2t＋1)2＋1，所以s′＝9t2－4(2t＋1)．當(dāng)t＝1時(shí)，s′|t＝1＝9－4×(2＋1)＝－3，故當(dāng)t＝1時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為－3 m/s.
答案：－3
10．解析：f′(x)＝3e3x，故f′(0)＝3e0＝3，則函數(shù)f(x)＝e3x－1在點(diǎn)(0,0)處的切線為y＝3x.不妨令g(x)＝3ex－3，g(0)＝3e0－3＝0，故(0,0)在g(x)＝3ex－3上，g′(x)＝3ex，故g′(0)＝3e0＝3，則函數(shù)g(x)＝3ex－3在點(diǎn)(0,0)處的切線為y＝3x，滿足要求．
答案：g(x)＝3ex－3(答案不唯一)
11．解析：設(shè)端點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的路程為s，則(3－s)2＋＝9，因?yàn)閠＝2 s，所以BB′＝0.5×2＝1 m<3 m，此時(shí)木棒處于傾斜狀態(tài)，所以3－s>0，所以s＝3－，則s′＝.當(dāng)t＝2 s時(shí)，s′＝，即端點(diǎn)A在t＝2 s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 m/s.
答案：
12．解析：兩邊取對(duì)數(shù)可得ln y＝ln(x＋1)x＝xln(x＋1)，兩邊求導(dǎo)可得＝ ln(x＋1)＋，所以y′＝y(tǒng)＝(x＋1)x.
答案：y′＝(x＋1)x
13．解：易得f′(x)＝ex－ae－x，x∈R.
∵f′(x)為奇函數(shù)，∴f′(x)＋ f′(－x)＝0對(duì)任意x∈R恒成立，即(1－a)(ex＋e－x)＝0對(duì)任意x∈R恒成立，∴a＝1，
∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x.
設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，由題可得ex0－e－x0＝，令ex0＝t(t>0)，則t－＝，
解得t＝2或t＝－(舍去)，
∴ex0＝2，∴x0＝ln 2.
14．解：函數(shù)y＝s(t)＝3sin是由函數(shù)f(z)＝3sin z和函數(shù)z＝φ(t)＝t＋復(fù)合而成的，其中z是中間變量．由導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(z)＝3cos z，φ′(t)＝.
再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y′t＝s′(t)＝f′(z)φ′(t)＝3cos z·＝cos.
將t＝18代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝.它表示當(dāng)t＝18時(shí)，潮水的高度上升速度為 m/h.
15．解：(1)由f(x)＝aexln x＋，
得f′(x)＝(aexln x)′＋′＝aexln x＋＋.
(2)由于切點(diǎn)既在曲線y＝f(x)上，又在切線y＝e(x－1)＋2上，將x＝1代入切線方程得y＝2，
將x＝1代入函數(shù)f(x)得f(1)＝b，∴b＝2，將x＝1代入導(dǎo)函數(shù)f′(x)中，得f′(1)＝ae＝e，∴a＝1.∴a＝1，b＝2.
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