資源簡介

5.3　導數在研究函數中的應用
5.3.1　單調性
第1課時　導數與函數的單調性 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]
1.結合實例,借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.能利用導數研究函數的單調性.
2.對于多項式函數,能求不超過三次的多項式函數的單調區間.
1.導數與函數單調性的關系
對于函數y=f(x),
(1)如果在某區間上f'(x)>0,那么f(x)在該區間上單調　　　;
(2)如果在某區間上f'(x)<0,那么f(x)在該區間上單調　　　.
|微|點|助|解|
(1)若在某區間上有有限個點使f'(x)=0,其余的點恒有f'(x)>0,則f(x)單調遞增(單調遞減的情形完全類似).也就是說,在某區間內f'(x)>0是f(x)在此區間內單調遞增的充分條件,而不是必要條件.
(2)利用導數研究函數單調性時應注意的三個問題
①定義域優先的原則:解決問題的過程只能在定義域內,通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間.
②注意“臨界點”和“間斷點”:在對函數劃分單調區間時,除了必須確定使導數等于零的點外,還要注意在定義域內的間斷點.
③單調區間的表示:如果一個函數的單調區間不止一個,這些單調區間之間不能用“∪”連接,而只能用“逗號”或“和”字等隔開.
2.函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系
一般地,設函數y=f(x),在區間(a,b)內:
導數的 絕對值 函數值變化 函數的圖象
越大 越　 比較“　　　”(向上或向下)
越小 越　 比較“　　　”(向上或向下)
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0,那么f(x)在此區間內不增不減或為常數函數. (　　)
(2)如果函數f(x)是定義在R上的增函數,那么一定有f'(x)>0. (　　)
(3)在某區間內f'(x)>0(f'(x)<0)是函數f(x)在此區間內單調遞增(減)的充分不必要條件. (　　)
2.函數f(x)=(x-3)ex的單調遞增區間是 (　　)
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
3.函數y=f(x)的圖象如圖所示,則 (　　)
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正負不確定
題型(一)　利用導數的正負判斷函數的單調性
[例1]　判斷下列函數的單調性.
(1)f(x)=x2-ln x;(2)f(x)=;
(3)f(x)=x3+.
聽課記錄:
　　|思|維|建|模|
利用導數判斷或證明函數單調性的思路
　　[針對訓練]
1.函數f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上是 (　　)
A.增函數 B.減函數
C.先增后減 D.不確定
2.求證:f(x)=ex+在(0,+∞)上單調遞增.
題型(二)　利用導數求函數的單調區間
[例2]　確定下列函數的單調區間.
(1)y=x3-9x2+24x;
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
聽課記錄:
|思|維|建|模|
求函數y=f(x)單調區間的步驟
(1)確定函數y=f(x)的定義域.
(2)求導數y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定義域內的部分為單調遞增區間.
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定義域內的部分為單調遞減區間.　　
[針對訓練]
3.求函數f(x)=x+(b>0)的單調區間.
4.若函數f(x)=2ln x+x+,求 f(x)的單調區間.
題型(三)　導數與函數圖象的關系
[例3]　畫出函數f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致圖象.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
(1)由導函數圖象畫原函數圖象的依據:根據f'(x)>0,則f(x)單調遞增,f'(x)<0,則f(x)單調遞減.
(2)由原函數圖象畫導函數圖象的依據:若f(x)單調遞增,則f'(x)的圖象一定在x軸的上方;若f(x)單調遞減,則f'(x)的圖象一定在x軸的下方;若f(x)是常函數,則f'(x)=0.
　　[針對訓練]
5.已知f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示,那么f(x)的圖象最有可能是圖中的 (　　)
6.設函數f(x)的圖象如圖所示,則導函數f'(x)的圖象可能為 (　　)
第1課時　導數與函數的單調性
?課前預知教材
1．(1)遞增　(2)遞減　2.快　陡峭　慢　平緩
[基礎落實訓練]
1．(1)√　(2)×　(3)√
2．選D　∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，故選D.
3．選B　由題圖可知，函數f(x)在(1,5)內單調遞減，則在(1,5)內有f′(x)<0，故f′(3)<0.
?課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　解：(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－＝，
因為x>0，所以x＋1>0，令f′(x)>0，解得x>，所以函數f(x)在上單調遞增；令f′(x)<0，解得0所以函數f(x)在內單調遞減．
(2)函數f(x)的定義域為(－∞，2)∪(2，＋∞)，
f′(x)＝＝，
因為x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0，令f′(x)>0，得x>3，所以函數f(x)在(3，＋∞)上單調遞增；令f′(x)<0，得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函數f(x)在(－∞，2)和(2,3)內單調遞減．
(3)函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝3x2－＝3，令f′(x)>0，得x<－1或x>1，所以函數f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調遞增；令f′(x)<0，得－1所以函數f(x)在(－1,0)和(0,1)內單調遞減．
[針對訓練]
1．選A　∵f(x)＝2x－sin x，∴f′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數．
2．證明：∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，當x∈(0，＋∞)時，由指數函數的性質知e－x>0，e2x>1，∴f′(x)>0，因此函數f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上單調遞增．
[題型(二)]
[例2]　解：(1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)·(x－4)，由y′>0，得x<2或x>4；
由y′<0，得2(2)f′(x)＝－，若f′(x)＝0，則x＝，列表如下：
x (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － －
f(x) ? －e ? ?
∴f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為，(1，＋∞)．
[針對訓練]
3．解：函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，令f′(x)>0，則(x＋)(x－)>0，∴x> 或x<－.∴函數的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)．令f′(x)<0，則(x＋)(x－)<0，∴－∴函數的單調遞減區間為(－，0)和(0, )．
綜上所述，函數的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)，單調遞減區間為(－，0)和(0，)．
4．解：由函數f(x)＝2ln x＋x＋，可得其定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋1－＝＝，x>0，令f′(x)＝0，可得x＝1，當x∈(0,1)時，f′(x)<0，f(x)在(0,1)內單調遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上單調遞增．綜上，f(x)的單調遞減區間為(0,1)，單調遞增區間為(1，＋∞)．
[題型(三)]
[例3]　解：由題可知定義域為R，f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3，
∴函數f(x)的單調遞增區間是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函數f(x)的單調遞減區間是(－2,3)．
由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16.
∴結合函數單調性及以上關鍵點畫出函數f(x)大致圖象如圖所示．
[針對訓練]
5．選D　由題意可知，當x<0和x>2時，導函數f′(x)<0，函數f(x)單調遞減；當00，函數f(x)單調遞增，故函數f(x)的圖象如圖D.
6．選C　∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上單調遞減，在(1,4)內單調遞增，∴當x＜1或x＞4時，f′(x)＜0；當1＜x＜4時，f′(x)＞0.
1 / 5(共50張PPT)
5.3.1
單調性
導數與函數的單調性
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
第1課時
課時目標
1.結合實例，借助幾何直觀了解函數的單調性與導數的關系.能利用導數研究函數的單調性.
2.對于多項式函數，能求不超過三次的多項式函數的單調區間.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.導數與函數單調性的關系
對于函數y=f(x)，
(1)如果在某區間上f'(x)>0，那么f(x)在該區間上單調_____;
(2)如果在某區間上f'(x)<0，那么f(x)在該區間上單調_____.
遞增
遞減
|微|點|助|解|
(1)若在某區間上有有限個點使f'(x)=0，其余的點恒有f'(x)>0，則f(x)單調遞增(單調遞減的情形完全類似).也就是說，在某區間內f'(x)>0是f(x)在此區間內單調遞增的充分條件，而不是必要條件.
(2)利用導數研究函數單調性時應注意的三個問題
①定義域優先的原則:解決問題的過程只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間.
②注意“臨界點”和“間斷點”:在對函數劃分單調區間時，除了必須確定使導數等于零的點外，還要注意在定義域內的間斷點.
③單調區間的表示:如果一個函數的單調區間不止一個，這些單調區間之間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字等隔開.
2.函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系
一般地，設函數y=f(x)，在區間(a，b)內:
導數的絕對值 函數值變化 函數的圖象
越大 越____ 比較“_______”(向上或向下)
越小 越____ 比較“_______”(向上或向下)
快
慢
陡峭
平緩
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)如果函數f(x)在某個區間內恒有f'(x)=0，那么f(x)在此區間內不增不減或為常數函數.(　　)
(2)如果函數f(x)是定義在R上的增函數，那么一定有f'(x)>0.(　　)
(3)在某區間內f'(x)>0(f'(x)<0)是函數f(x)在此區間內單調遞增(減)的充分不必要條件.(　　)
√
×
√
2.函數f(x)=(x-3)ex的單調遞增區間是 (　　)
A.(-∞，2) B.(0，3)
C.(1，4) D.(2，+∞)
√
解析:∵f(x)=(x-3)ex，∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex，由f'(x)>0得x>2，故選D.
3.函數y=f(x)的圖象如圖所示，則 (　　)
A.f'(3)>0
B.f'(3)<0
C.f'(3)=0
D.f'(3)的正負不確定
√
解析:由題圖可知，函數f(x)在(1，5)內單調遞減，則在(1，5)內有f'(x)<0，故f'(3)<0.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　利用導數的正負判斷函數的單調性
[例1]　判斷下列函數的單調性.
(1)f(x)=x2-ln x;
解:函數f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=2x-=，
因為x>0，所以x+1>0，令f'(x)>0，解得x>，所以函數f(x)在上單調遞增;令f'(x)<0，解得0所以函數f(x)在內單調遞減.
(2)f(x)=;
解:函數f(x)的定義域為(-∞，2)∪(2，+∞)，f'(x)==，
因為x∈(-∞，2)∪(2，+∞)，所以ex>0，(x-2)2>0，令f'(x)>0，得x>3，所以函數f(x)在(3，+∞)上單調遞增;
令f'(x)<0，得x<3，又x∈(-∞，2)∪(2，+∞)，
所以函數f(x)在(-∞，2)和(2，3)內單調遞減.
(3)f(x)=x3+.
解:函數f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，
f'(x)=3x2-=3，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，
所以函數f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上單調遞增;令f'(x)<0，得-1　|思|維|建|模|
利用導數判斷或證明函數單調性的思路
針對訓練
1.函數f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是 (　　)
A.增函數 B.減函數
C.先增后減 D.不確定
√
解析:∵f(x)=2x-sin x，∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立，∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函數.
2.求證:f(x)=ex+在(0，+∞)上單調遞增.
證明:∵f(x)=ex+，∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1)，當x∈(0，+∞)時，由指數函數的性質知e-x>0，e2x>1，∴f'(x)>0，因此函數f(x)=ex+在(0，+∞)上單調遞增.
題型(二)　利用導數求函數的單調區間
[例2]　確定下列函數的單調區間.
(1)y=x3-9x2+24x;
解: y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)，
由y'>0，得x<2或x>4;由y'<0，得2∴函數的單調遞增區間為(-∞，2)，(4，+∞)，
單調遞減區間為(2，4).
(2)f(x)=(x>0且x≠1).
解:f'(x)=-，若f'(x)=0，則x=，列表如下:
x (1，+∞)
f'(x) + 0 - -
f(x) ↗ -e ↘ ↘
∴f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為，(1，+∞).
|思|維|建|模|
求函數y=f(x)單調區間的步驟
(1)確定函數y=f(x)的定義域.
(2)求導數y'=f'(x).
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間.
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間.
針對訓練
3.求函數f(x)=x+(b>0)的單調區間.
解:函數f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)，f'(x)='=1-，令f'(x)>0，則(x+)(x-)>0，∴x> 或x<-.∴函數的單調遞增區間為(-∞，-)和(，+∞).令f'(x)<0，則(x+)(x-)<0，∴-，且x≠0.∴函數的單調遞減區間為(-，0)和(0，).綜上所述，函數的單調遞增區間為(-∞，-)和(，+∞)，單調遞減區間為(-，0)和(0，).
4.若函數f(x)=2ln x+x+，求 f(x)的單調區間.
解:由函數f(x)=2ln x+x+，可得其定義域為(0，+∞)，且f'(x)=+1-==，x>0，令f'(x)=0，可得x=1，
當x∈(0，1)時，f'(x)<0，f(x)在(0，1)內單調遞減;當x∈(1，+∞)時，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上單調遞增.綜上，f(x)的單調遞減區間為(0，1)，單調遞增區間為(1，+∞).
解:由題可知定義域為R，f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2).
由f'(x)>0 得x<-2或x>3，
∴函數f(x)的單調遞增區間是(-∞，-2)和(3，+∞).
由f'(x)<0得-2由已知得f(-2)=60，f(3)=-65，f(0)=16.
∴結合函數單調性及以上關鍵點畫出函數f(x)大致圖象如圖所示.
題型(三)　導數與函數圖象的關系
[例3]　畫出函數f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致圖象.
|思|維|建|模|
(1)由導函數圖象畫原函數圖象的依據:根據f'(x)>0，則f(x)單調遞增，f'(x)<0，則f(x)單調遞減.
(2)由原函數圖象畫導函數圖象的依據:若f(x)單調遞增，則f'(x)的圖象一定在x軸的上方;若f(x)單調遞減，則f'(x)的圖象一定在x軸的下方;若f(x)是常函數，則f'(x)=0.
針對訓練
5.已知f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的 (　　)
解析:由題意可知，當x<0和x>2時，導函數f'(x)<0，函數f(x)單調遞減;當00，函數f(x)單調遞增，故函數f(x)的圖象如圖D.
√
6.設函數f(x)的圖象如圖所示，則導函數f'(x)的圖象可能為 (　　)
解析:∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上單調遞減，在(1，4)內單調遞增，∴當x<1或x>4時，f'(x)<0;當10.
√
課時檢測
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖，函數y=f(x)的一個單調遞減區間是 (　　)
A.(x1，x3) B.(x2，x4)
C.(x4，x6) D.(x5，x6)
√
解析:由題圖可知，當x∈(x1，x2)，(x4，x6)時，f'(x)>0，當x∈(x2，x4)時，f'(x)<0，∴函數f(x)在(x2，x4)內單調遞減，在(x1，x2)，(x4，x6)內單調遞增，∴函數y=f(x)的一個單調遞減區間是(x2，x4).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.函數f(x)=x-ln x的單調遞增區間為 (　　)
A.(0，1) B.(0，e)
C.(1，+∞) D.
√
15
解析:f(x)=x-ln x的定義域為(0，+∞)，f'(x)=1-=，由f'(x)>0得x>1，所以f(x)的單調遞增區間為(1，+∞).故選C.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.已知函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象可能是 (　　)
15
解析:由y=f'(x)的圖象知，y=f(x)在(-1，1)內單調遞增，且在區間(-1，0)上增長速度越來越快，而在區間(0，1)上增長速度越來越慢，故選B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.命題甲:對任意x∈(a，b)，有f'(x)>0;命題乙:f(x)在(a，b)內是單調遞增的.則甲是乙的 (　　)
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
√
15
解析:f(x)=x3在(-1，1)內是單調遞增的，但f'(x)=3x2≥0(-11
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.[多選]下列函數在定義域上為增函數的是 (　　)
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
√
15
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:對于A，函數f(x)=xln x，可得f'(x)=ln x+1(x>0)，當x>時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，當00)，當x>0時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，故B符合;對于C，f(x)=x-cos x，則f'(x)=1+sin x
≥0，且f'(x)不恒為0，故f(x)單調遞增，故C符合;對于D，函數f(x)=x2ex，可得f'(x)=ex(2x+x2)，當x>0或x<-2時，f'(x)>0，f(x)單調遞增，當-215
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.已知函數y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數f(x)的導函數)，下面四個圖象中y=f(x)的圖象大致是 (　　)
15
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由函數y=xf'(x)的圖象可知，當x<-1時，xf'(x)<0，f'(x)>0，此時f(x)單調遞增;當-10，f'(x)<0，此時f(x)單調遞減;當01時，xf'(x)>0，f'(x)>0，此時f(x)單調遞增.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.[多選]若函數exf(x)(e=2.718 28…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增，則稱函數f(x)具有M性質，下列函數中具有M性質的是 (　　)
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
15
解析:設g(x)=exf(x)，對于A，g(x)=ex·2-x=在定義域R上是增函數，故A正確;對于B，g(x)=(x2+2)ex，g'(x)=(x2+2x+2)ex=[(x+1)2+1]ex>0，所以g(x)在定義域R上是增函數，故B正確;對于C，g(x)=ex·3-x=在定義域R上是減函數，故C不正確;對于D，g(x)=excos x，則g'(x)=excos，g'(x)>0在定義域R上不恒成立，故D不正確.
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.[多選]設函數f(x)=，則下列說法正確的是(　　)
A.f(x)的定義域是(0，+∞)
B.當x∈(0，1)時，f(x)的圖象位于x軸下方
C.f(x)存在單調遞增區間
D.f(x)有兩個單調區間
15
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:由得x>0且x≠1，所以函數f(x)=的定義域為(0，1)∪(1，+∞)，所以A不正確.當x∈(0，1)時，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以當x∈(0，1)時，f(x)的圖象位于x軸下方，所以B正確.f'(x)=，令g(x)=ln x-，則g'(x)=+>0，所以函數g(x)單調遞增，g(1)=-1<0，g(e)=1->0，故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)=0，則方程f'(x)=0只有一個根x0，當x∈(0，1)和x∈(1，x0)時，f'(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(x0，+∞)時，函數f(x)單調遞增，所以函數f(x)有三個單調區間，所以C正確，D不正確.故選BC.
15
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(5分)函數f(x)=2x+2sin x的單調遞增區間是_____________.
15
(-∞，+∞)
解析:∵f'(x)=2+2cos x，cos x∈[-1，1]，∴f'(x)≥0在R上恒成立，且不恒為0，∴函數的單調遞增區間為(-∞，+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(5分)已知m是實數，函數f(x)=x2(x-m)，若f'(-1)=-1，則函數f(x)的單調遞減區間是_______________.
15
解析:f'(x)=2x(x-m)+x2，因為f'(-1)=-1，所以-2(-1-m)+1=-1，解得m=-2.令f'(x)=2x(x+2)+x2<0，解得-1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.(5分)已知f(x)滿足f(4)=f(-2)=1，f'(x)為其導函數，且導函數y=f'(x)的圖象如圖所示，則f(x)<1的解集是__________.
15
(-2，4)
解析:由f(x)的導函數f'(x)的圖象，知f(x)在(-∞，0]上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增，當x≤0時，由f(x)<1=f(-2)，得-20時，由f(x)<1=f(4)，得01
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.(5分)已知函數f(x)是R上的偶函數，且在(0，+∞)上有f'(x)>0，若f(-1)=0，則關于x的不等式xf(x)<0的解集是___________________.
15
(-∞，-1)∪(0，1)
解析:因為在(0，+∞)上f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞增，又f(x)為偶函數，所以f(-1)=f(1)=0，且f(x)在(-∞，0)上單調遞減，f(x)的草圖如圖所示，
所以xf(x)<0的解集為(-∞，-1)∪(0，1).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(10分)已知函數f(x)=x3-ax2，a∈R，且f'(-1)=5.
(1)求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線方程;(5分)
15
解:由題設f'(x)=3x2-2ax，則f'(-1)=3+2a=5 a=1，
所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x，則f(1)=0，f'(1)=1，
所以在點(1，f(1))處的切線方程為y=x-1，即x-y-1=0.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求函數f(x)的單調區間.(5分)
15
解:由(1)知f'(x)=x(3x-2)，
當f'(x)>0時，x<0或x>，當f'(x)<0時，0所以f(x)的單調遞增區間為(-∞，0)，，
單調遞減區間為.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(10分)已知函數f(x)=的圖象在點M(-1，f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0.
(1)求函數y=f(x)的解析式;(5分)
15
解:因為f(x)的圖象在點M(-1，f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0.
所以f'(-1)=-，且-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，即=-2　①，
又f'(x)=，所以=-　②.
由①②得a=2，b=3.(因為b+1≠0，所以b=-1舍去)
所以所求函數的解析式是f(x)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求函數f(x)的單調區間.(5分)
15
解:由(1)知，f'(x)=.令-2x2+12x+6=0，
解得x1=3-2，x2=3+2，則當x<3-2或x>3+2時，f'(x)<0;
當3-20.故f(x)=的單調遞增區間是(3-2，3+2)，單調遞減區間是(-∞，3-2)和(3+2，+∞).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
15.(10分)已知函數f(x)=(k為常數，e為自然對數的底數)，曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求實數k的值;(4分)
15
解:由f(x)=，可得f'(x)=.
∵曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，
∴f'(1)=0，即=0，解得k=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求函數f(x)的單調區間.(6分)
15
解:由(1)知，f'(x)=(x>0)，設h(x)=-ln x-1(x>0)，
則h'(x)=--<0.可知h(x)在(0，+∞)上單調遞減，由h(1)=0知，
當0h(1)=0，故f'(x)>0;
當x>1時，h(x)綜上，f(x)的單調遞增區間是(0，1)，單調遞減區間是(1，+∞).課時檢測(四十七)　導數與函數的單調性
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.函數f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖,函數y=f(x)的一個單調遞減區間是 (　　)
A.(x1,x3) B.(x2,x4)
C.(x4,x6) D.(x5,x6)
2.函數f(x)=x-ln x的單調遞增區間為 (　　)
A.(0,1) B.(0,e)
C.(1,+∞) D.
3.已知函數y=f(x)的導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則該函數的圖象可能是 (　　)
4.命題甲:對任意x∈(a,b),有f'(x)>0;命題乙:f(x)在(a,b)內是單調遞增的.則甲是乙的 (　　)
A.充分且不必要條件
B.必要且不充分條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
5.[多選]下列函數在定義域上為增函數的是 (　　)
A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x
C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex
6.已知函數y=xf'(x)的圖象如圖所示(其中f'(x)是函數f(x)的導函數),下面四個圖象中y=f(x)的圖象大致是 (　　)
7.[多選]若函數exf(x)(e=2.718 28…是自然對數的底數)在f(x)的定義域上單調遞增,則稱函數f(x)具有M性質,下列函數中具有M性質的是 (　　)
A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2
C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x
8.[多選]設函數f(x)=,則下列說法正確的是 (　　)
A.f(x)的定義域是(0,+∞)
B.當x∈(0,1)時,f(x)的圖象位于x軸下方
C.f(x)存在單調遞增區間
D.f(x)有兩個單調區間
9.(5分)函數f(x)=2x+2sin x的單調遞增區間是　 　　.
10.(5分)已知m是實數,函數f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,則函數f(x)的單調遞減區間是　　　　.
11.(5分)已知f(x)滿足f(4)=f(-2)=1,f'(x)為其導函數,且導函數y=f'(x)的圖象如圖所示,則f(x)<1的解集是　　　　.
12.(5分)已知函數f(x)是R上的偶函數,且在(0,+∞)上有f'(x)>0,若f(-1)=0,則關于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　.
13.(10分)已知函數f(x)=x3-ax2,a∈R,且f'(-1)=5.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(5分)
(2)求函數f(x)的單調區間.(5分)
14.(10分)已知函數f(x)=的圖象在點M(-1,f(-1))處的切線方程為x+2y+5=0.
(1)求函數y=f(x)的解析式;(5分)
(2)求函數f(x)的單調區間.(5分)
15.(10分)已知函數f(x)=(k為常數,e為自然對數的底數),曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行.
(1)求實數k的值;(4分)
(2)求函數f(x)的單調區間.(6分)
課時檢測(四十七)
1．選B　由題圖可知，當x∈(x1，x2)，(x4，x6)時，f′(x)＞0，當x∈(x2，x4)時，f′(x)＜0，∴函數f(x)在(x2，x4)內單調遞減，在(x1，x2)，(x4，x6)內單調遞增，∴函數y＝f(x)的一個單調遞減區間是(x2，x4)．
2．選C　f(x)＝x－ln x的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－＝，由f′(x)＞0得x>1，所以f(x)的單調遞增區間為(1，＋∞)．故選C.
3．選B　由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)在(－1,1)內單調遞增，且在區間(－1,0)上增長速度越來越快，而在區間(0,1)上增長速度越來越慢，故選B.
4．選A　f(x)＝x3在(－1,1)內是單調遞增的，但f′(x)＝3x2≥0(－15．選BC　對于A，函數f(x)＝xln x，可得f′(x)＝ln x＋1(x>0)，當x>時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增，當00)，當x>0時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，故B符合；對于C，f(x)＝x－cos x，則f′(x)＝1＋sin x≥0，且f′(x)不恒為0，故f(x)單調遞增，故C符合；對于D，函數f(x)＝x2ex，可得f′(x)＝ex(2x＋x2)，當x>0或x<－2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，當－26．選C　由函數y＝xf′(x)的圖象可知，當x＜－1時，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增；當－1＜x＜0時，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減；當0＜x＜1時，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減；當x＞1時，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增．
7．選AB　設g(x)＝exf(x)，對于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定義域R上是增函數，故A正確；對于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定義域R上是增函數，故B正確；對于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定義域R上是減函數，故C不正確；對于D，g(x)＝excos x，則g′(x)＝excos，g′(x)>0在定義域R上不恒成立，故D不正確．
8．選BC　由得x>0且x≠1，所以函數f(x)＝的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)，所以A不正確．當x∈(0,1)時，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以當x∈(0,1)時，f(x)的圖象位于x軸下方，所以B正確．f′(x)＝，令g(x)＝ln x－，則g′(x)＝＋>0，所以函數g(x)單調遞增，g(1)＝－1<0，g(e)＝1－>0，
故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)＝0，則方程f′(x)＝0只有一個根x0，當x∈(0,1)和x∈(1，x0)時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減，當x∈(x0，＋∞)時，函數f(x)單調遞增，所以函數f(x)有三個單調區間，所以C正確，D不正確．故選BC.
9．解析：∵f′(x)＝2＋2cos x，cos x∈[－1,1]，∴f′(x)≥0在R上恒成立，且不恒為0，∴函數的單調遞增區間為(－∞，＋∞)．
答案：(－∞，＋∞)
10．解析：f′(x)＝2x(x－m)＋x2，因為f′(－1)＝－1，所以－2(－1－m)＋1＝－1，解得m＝－2.令f′(x)＝2x(x＋2)＋x2<0，解得－答案：
11．解析：由f(x)的導函數f′(x)的圖象，知f(x)在(－∞，0]上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，當x≤0時，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0；當x＞0時，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4.綜上所述，f(x)＜1的解集為(－2,4)．
答案：(－2,4)
12．解析：因為在(0，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，又f(x)為偶函數，所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在(－∞，0)上單調遞減，f(x)的草圖如圖所示，所以xf(x)<0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)．
答案：(－∞，－1)∪(0,1)
13．解：(1)由題設f′(x)＝3x2－2ax，
則f′(－1)＝3＋2a＝5 a＝1，
所以f(x)＝x3－x2且f′(x)＝3x2－2x，
則f(1)＝0，f′(1)＝1，所以在點(1，f(1))處的切線方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
(2)由(1)知f′(x)＝x(3x－2)，
當f′(x)＞0時，x<0或x>，
當f′(x)<0時，0所以f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，，單調遞減區間為.
14．解：(1)因為f(x)的圖象在點M(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0.所以f′(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，即＝－2　①，
又f′(x)＝，
所以＝－　②.
由①②得a＝2，b＝3.(因為b＋1≠0，
所以b＝－1舍去)
所以所求函數的解析式是f(x)＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
令－2x2＋12x＋6＝0，
解得x1＝3－2，x2＝3＋2，則當x<3－2或x>3＋2時，f′(x)<0；
當3－20.故f(x)＝的單調遞增區間是(3－2，3＋2)，單調遞減區間是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
15．解：(1)由f(x)＝，可得f′(x)＝.∵曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，∴f′(1)＝0，即＝0，解得k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0)，
設h(x)＝－ln x－1(x>0)，
則h′(x)＝－－<0.
可知h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，由h(1)＝0知，當0h(1)＝0，故f′(x)>0；當x>1時，h(x)1 / 3

展開更多......

收起↑