資源簡介

5.3.2　極大值與極小值
[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
[課時目標(biāo)]
1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.
2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系.
1.極大值與極大值點(diǎn)
一般地,若存在δ>0,函數(shù)f(x)在(x1-δ,x1+δ)內(nèi)有定義,且當(dāng)x∈(x1-δ,x1+δ),x≠x1時,都有　　　　　,則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值,x1稱為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn).
2.極小值與極小值點(diǎn)
一般地,若存在δ>0,函數(shù)f(x)在(x2-δ,x2+δ)內(nèi)有定義,且當(dāng)x∈(x2-δ,x2+δ),x≠x2時,都有　　　　　,則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個極小值,x2稱為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn).
3.極值與極值點(diǎn)
函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
4.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
(1)極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
x x1左側(cè) x1 x1右側(cè)
f'(x) f'(x)=0
f(x) ↗ 極大值f(x1) ↘
(2)極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
x x2左側(cè) x2 x2右側(cè)
f'(x) f'(x)=0
f(x) ↘ 極小值f(x2) ↗
|微|點(diǎn)|助|解|
1.對于極值的認(rèn)識
(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念,是僅對某一點(diǎn)的左右兩側(cè)區(qū)域而言的.
(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,則f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定不具有單調(diào)性,即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.
2.對于函數(shù)極值點(diǎn)的認(rèn)識
(1)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點(diǎn)之間必有一個極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個極小值點(diǎn)之間必有一個極大值點(diǎn).
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時,函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.
(3)從曲線的切線角度看,曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0.并且,曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正.
基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練
1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn). (　　)
(2)函數(shù)的極小值一定小于它的極大值. (　　)
(3)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個極大值和一個極小值. (　　)
(4)如果f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)不具有單調(diào)性. (　　)
2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn) (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
3.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值等于13,則實(shí)數(shù)m等于　　　　.
題型(一)　函數(shù)極值的辨析
[例1]　(多選)已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示,則 (　　)
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)
C.函數(shù)f(x)有極小值f(-2)
D.函數(shù)f(x)有極小值f(2)
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的,對于導(dǎo)函數(shù)的圖象,重點(diǎn)考查哪個區(qū)間上為正,哪個區(qū)間上為負(fù),在哪個點(diǎn)處與x軸相交,在該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的.若由正值變?yōu)樨?fù)值,則在該點(diǎn)處取得極大值;若是由負(fù)值變?yōu)檎?則在該點(diǎn)處取得極小值.
　　[針對訓(xùn)練]
1.設(shè)f(x)=x2+cos x,則函數(shù)f(x) (　　)
A.有且僅有一個極小值
B.有且僅有一個極大值
C.有無數(shù)個極值
D.沒有極值
2.[多選]如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象,則下列說法正確的是 (　　)
A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)單調(diào)遞減
B.f(1)C.函數(shù)f(x)在x=1處取極大值
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有兩個極小值點(diǎn)
題型(二)　求函數(shù)的極值
[例2]　求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
(2)f(x)=+3ln x.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);
(3)令f'(x)=0,求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間,把x,f'(x),f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格內(nèi);
(5)判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù),則在x0處取得極大值;若左負(fù)右正,則在x0處取得極小值.
　　[針對訓(xùn)練]
3.已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值,則f(x)的極小值為 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
4.(1)求f(x)=x2e-x的極值;
(2)求函數(shù)f(x)=的極值.
題型(三)　由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍
[例3]　(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍是 (　　)
A.(-1,2)
B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
(2)[多選]已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,則下列說法正確的是 (　　)
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有兩個極值點(diǎn)
D.f(x)一定存在單調(diào)遞減區(qū)間
聽課記錄:
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已知函數(shù)的極值情況求參數(shù)時應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)待定系數(shù)法:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0和極值兩個條件列出方程組,用待定系數(shù)法求解.
(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0不一定此點(diǎn)就是極值點(diǎn),故利用上述方程組解出的解必須驗證.
　　[針對訓(xùn)練]
5.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+ax在(0,1)內(nèi)有極大值,在(1,2)內(nèi)有極小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 (　　)
A.(-∞,0) B.
C. D.
6.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1處取得極大值為4,極小值為0,試確定a,b,c的值.
5.3.2　極大值與極小值
?課前預(yù)知教材
1．f(x)f(x2)　4.(1)f′(x)>0　f′(x)<0　(2)f′(x)<0　f′(x)>0
[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]
1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　2.A
3．解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出當(dāng)x＝4時函數(shù)取得極大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
?課堂題點(diǎn)研究
[題型(一)]
[例1]　選BD　由題圖可知，當(dāng)x<－2時，f′(x)>0；當(dāng)－22時，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．
[針對訓(xùn)練]
1．選A　f′(x)＝x－sin x，f″(x)＝1－cos x≥0，∴f′(x)單調(diào)遞增且f′(0)＝0，
∴當(dāng)x<0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故f(x)有唯一的極小值點(diǎn)．故選A.
2．選BD　由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(1)[題型(二)]
[例2]　解：(1)f(x)＝x3－x2－3x＋3的定義域為R，f′(x)＝x2－2x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (－∞， －1) －1 (－1， 3) 3 (3， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
因此當(dāng)x＝－1時，f(x)有極大值，并且極大值為f(－1)＝；當(dāng)x＝3時，f(x)有極小值，并且極小值為f(3)＝－6.
(2)函數(shù)f(x)＝＋3ln x的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 極小值 ?
因此當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值，并且極小值為f(1)＝3；無極大值．
[針對訓(xùn)練]
3．選C　求導(dǎo)得f′(x)＝，由已知得f′(1)＝0，所以a＝－1，則f(x)＝，f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x∈(－∞，0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．所以f(x)的極小值為f(0)＝1.
4．解：(1)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，
當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ? 0 ? ?
所以f(x)的極小值是f(0)＝0，極大值是f(2)＝.
(2)函數(shù)f(x)＝的定義域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝2.
所以當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (－∞， －1) －1 (－1， 1) (1， 2) 2 (2， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － ＋ 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? ? 非極值 ?
故當(dāng)x＝－1時，f(x)有極大值，極大值為－.
[題型(三)]
[例3]　(1)選B　函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，函數(shù)f(x)有極大值和極小值，所以其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝0有兩個不同的解，Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，所以a<－3或a>6.
(2)選BCD　函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2定義域為R，求導(dǎo)得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依題意，即解得或當(dāng)時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值不符合題意，當(dāng)時，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，當(dāng)x<－或x>1時，f′(x)>0，當(dāng)－[針對訓(xùn)練]
5．選C　由f(x)＝x3－ax2＋ax，得f′(x)＝x2－2ax＋a，因為f(x)在(0,1)內(nèi)有極大值，在(1,2)內(nèi)有極小值，所以解得16．解：f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)，
由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，當(dāng)a>0時，如表所示.
x (－∞， －1) －1 (－1， 0) 0 (0,1) 1 (1， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大 值 ? 非極 值 ? 極小 值 ?
當(dāng)a>0時，由表可得，f(x)極大值為f(－1)＝4，即－a＋b＋c＝4　①，
f(x)極小值為f(1)＝0，即a－b＋c＝0?、?，又5a＝3b?、?，解①②③得a＝3，b＝5，c＝2.
當(dāng)a<0時，同理可得f(x)極大值為f(1)＝4，即a－b＋c＝4，f(x)極小值為f(－1)＝0，即－a＋b＋c＝0，又5a＝3b，同理解得a＝－3，b＝－5，c＝2.所以a＝3，b＝5，c＝2或a＝－3，b＝－5，c＝2.
1 / 5(共52張PPT)
5.3.2
極大值與極小值
[教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué)]
課時目標(biāo)
1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.
2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值的關(guān)系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
課時檢測
課前預(yù)知教材·自主落實(shí)基礎(chǔ)
01
1.極大值與極大值點(diǎn)
一般地，若存在δ>0，函數(shù)f(x)在(x1-δ，x1+δ)內(nèi)有定義，且當(dāng)x∈(x1-δ，x1+δ)，x≠x1時，都有_________，則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的一個極大值，x1稱為函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn).
2.極小值與極小值點(diǎn)
一般地，若存在δ>0，函數(shù)f(x)在(x2-δ，x2+δ)內(nèi)有定義，且當(dāng)x∈(x2-δ，x2+δ)，x≠x2時，都有_________，則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的一個極小值，x2稱為函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn).
3.極值與極值點(diǎn)
函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).
f(x)f(x)>f(x2)
4.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
(1)極大值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
x x1左側(cè) x1 x1右側(cè)
f'(x) ______ f'(x)=0 ______
f(x) ↗ 極大值f(x1) ↘
f'(x)>0
f'(x)<0
(2)極小值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系
x x2左側(cè) x2 x2右側(cè)
f'(x) ______ f'(x)=0 ______
f(x) ↘ 極小值f(x2) ↗
f'(x)<0
f'(x)>0
|微|點(diǎn)|助|解|
1.對于極值的認(rèn)識
(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點(diǎn)的左右兩側(cè)區(qū)域而言的.
(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值，則f(x)在該區(qū)間內(nèi)一定不具有單調(diào)性，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.
2.對于函數(shù)極值點(diǎn)的認(rèn)識
(1)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點(diǎn)之間必有一個極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個極小值點(diǎn)之間必有一個極大值點(diǎn).
(2)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限個極值點(diǎn)時，函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的.
(3)從曲線的切線角度看，曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0.并且，曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正.
基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn).(　　)
(2)函數(shù)的極小值一定小于它的極大值.(　　)
(3)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個極大值和一個極小值.(　　)
(4)如果f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不具有單調(diào)性.(　　)
×
×
×
√
2.函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f'(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點(diǎn) (　　)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
√
3.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值等于13，則實(shí)數(shù)m等于______.
-19
解析:y'=-3x2+12x，由y'=0，得x=0或x=4，容易得出當(dāng)x=4時函數(shù)取得極大值，所以-43+6×42+m=13，解得m=-19.
課堂題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融通
02
題型(一)　函數(shù)極值的辨析
[例1]　[多選]已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且函數(shù)y=(1-x)f'(x)的圖象如圖所示，則 (　　)
A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)
B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)
C.函數(shù)f(x)有極小值f(-2)
D.函數(shù)f(x)有極小值f(2)
√
√
解析:由題圖可知，當(dāng)x<-2時，f'(x)>0;當(dāng)-22時，f'(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x=-2處取得極大值，在x=2處取得極小值.
|思|維|建|模|
　　解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數(shù)還是導(dǎo)函數(shù)的，對于導(dǎo)函數(shù)的圖象，重點(diǎn)考查哪個區(qū)間上為正，哪個區(qū)間上為負(fù)，在哪個點(diǎn)處與x軸相交，在該點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值是如何變化的.若由正值變?yōu)樨?fù)值，則在該點(diǎn)處取得極大值;若是由負(fù)值變?yōu)檎担瑒t在該點(diǎn)處取得極小值.
針對訓(xùn)練
1.設(shè)f(x)=x2+cos x，則函數(shù)f(x)(　　)
A.有且僅有一個極小值 　B.有且僅有一個極大值
C.有無數(shù)個極值 　D.沒有極值
√
解析:f'(x)=x-sin x，f″(x)=1-cos x≥0，∴f'(x)單調(diào)遞增且f'(0)=0，∴當(dāng)x<0時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x>0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故f(x)有唯一的極小值點(diǎn).故選A.
2.[多選]如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象，則下列說法正確的是 (　　)
A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，3)內(nèi)單調(diào)遞減
B.f(1)C.函數(shù)f(x)在x=1處取極大值
D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-2，5)內(nèi)有兩個極小值點(diǎn)
√
√
解析:由導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)在(1，2)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2，3)內(nèi)單調(diào)遞減，故f(1)題型(二)　求函數(shù)的極值
[例2]　求下列函數(shù)的極值點(diǎn)和極值.
(1)f(x)=x3-x2-3x+3;
解: f(x)=x3-x2-3x+3的定義域為R，f'(x)=x2-2x-3.
令f'(x)=0，得x1=3，x2=-1.當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (-∞，-1) -1 (-1，3) 3 (3，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
因此當(dāng)x=-1時，f(x)有極大值，并且極大值為f(-1)=;當(dāng)x=3時，f(x)有極小值，并且極小值為f(3)=-6.
(2)f(x)=+3ln x.
解:函數(shù)f(x)=+3ln x的定義域為(0，+∞)，f'(x)=-+=，令f'(x)=0得x=1.當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 極小值 ↗
因此當(dāng)x=1時，f(x)有極小值，并且極小值為f(1)=3;無極大值.
|思|維|建|模| 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);
(3)令f'(x)=0，求出全部的根x0;
(4)列表:方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f'(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格內(nèi);
(5)判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負(fù)，則在x0處取得極大值;若左負(fù)右正，則在x0處取得極小值.
針對訓(xùn)練
3.已知函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值，則f(x)的極小值為(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
√
解析:求導(dǎo)得f'(x)=，由已知得f'(1)=0，所以a=-1，則f(x)=，f'(x)=.令f'(x)=0，得x=0或x=1.當(dāng)x∈(-∞，0)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)的極小值為f(0)=1.
4.(1)求f(x)=x2e-x的極值;
解:f'(x)=2xe-x-x2e-x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，
當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 0 ↗ ↘
所以f(x)的極小值是f(0)=0，極大值是f(2)=.
(2)求函數(shù)f(x)=的極值.
解:函數(shù)f(x)=的定義域為(-∞，1)∪(1，+∞)，f'(x)=.
令f'(x)=0，得x1=-1，x2=2.所以當(dāng)x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如下表.
x (-∞，-1) -1 (-1，1) (1，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 - + 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ ↗ 非極值 ↗
故當(dāng)x=-1時，f(x)有極大值，極大值為-.
題型(三)　由函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍
[例3]　(1)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是 (　　)
A.(-1，2) B.(-∞，-3)∪(6，+∞)
C.(-3，6) D.(-∞，-1)∪(2，+∞)
√
解析:函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1，所以f'(x)=3x2+2ax+a+6，函數(shù)f(x)有極大值和極小值，所以其導(dǎo)函數(shù)f'(x)=0有兩個不同的解，Δ=4a2-4×3(a+6)>0，所以a<-3或a>6.
(2)[多選]已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10，則下列說法正確的是 (　　)
A.a+b=0
B.a+b=-7
C.f(x)一定有兩個極值點(diǎn)
D.f(x)一定存在單調(diào)遞減區(qū)間
√
√
√
解析:函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2定義域為R，求導(dǎo)得f'(x)=3x2+2ax+b，依題意，即解得或當(dāng)時，f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值不符合題意，當(dāng)時，f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)，當(dāng)x<-或x>1時，f'(x)>0，當(dāng)
-f(x)一定存在單調(diào)遞減區(qū)間，D正確.
|思|維|建|模|
已知函數(shù)的極值情況求參數(shù)時應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)待定系數(shù)法:根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解.
(2)驗證:因為導(dǎo)數(shù)值為0不一定此點(diǎn)就是極值點(diǎn)，故利用上述方程組解出的解必須驗證.
針對訓(xùn)練
5.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+ax在(0，1)內(nèi)有極大值，在(1，2)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)
A.(-∞，0) B.
C. D.
√
解析:由f(x)=x3-ax2+ax，得f'(x)=x2-2ax+a，因為f(x)在(0，1)內(nèi)有極大值，在(1，2)內(nèi)有極小值，所以解得16.已知f(x)=ax5-bx3+c在x=±1處取得極大值為4，極小值為0，試確定a，b，c的值.
解:f'(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b)，由題意，f'(x)=0應(yīng)有根x=±1，故5a=3b，于是f'(x)=5ax2(x2-1)，當(dāng)a>0時，如表所示.
x (-∞，-1) -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，+∞)
f'(x) + 0 - 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 非極值 ↘ 極小值 ↗
當(dāng)a>0時，由表可得，f(x)極大值為f(-1)=4，即-a+b+c=4?、伲?br/>f(x)極小值為f(1)=0，即a-b+c=0?、?，又5a=3b?、?，解①②③得a=3，b=5，c=2.
當(dāng)a<0時，同理可得f(x)極大值為f(1)=4，即a-b+c=4，f(x)極小值為f(-1)=0，即-a+b+c=0，又5a=3b，同理解得a=-3，b=-5，c=2.所以a=3，b=5，c=2或a=-3，b=-5，c=2.
課時檢測
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1.若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則“f'(x)=0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的 (　　)
A.必要且不充分條件
B.充分且不必要條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
√
解析:f'(x)=0，但f'(x)在零點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)都同時大于零或者小于零時f(x)在零點(diǎn)處無極值，但f(x)有極值則f'(x)在極值處一定等于0.所以“f'(x)=0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的必要且不充分條件.故選A.
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2.定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，4)內(nèi)單調(diào)遞增
B.函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
C.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值
D.函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值
√
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解析:根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在區(qū)間內(nèi)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(0，4)內(nèi)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x=0處取得極小值，沒有極大值，故A、B、C正確，D錯誤，故選D.
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3.已知實(shí)數(shù)a，b，c，d成等比數(shù)列，且曲線y=3x-x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為(b，c)，則ad等于 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
15
解析:∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad=bc，又(b，c)為函數(shù)y=3x-x3的極大值點(diǎn)，∴c=3b-b3，且3-3b2=0，∴或∴ad=2.
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4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a處取到極大值，則a的取值范圍是 (　　)
A.(-∞，-1) B.(0，+∞)
C.(0，1) D.(-1，0)
√
15
解析:若a<-1，∵f'(x)=a(x+1)(x-a)，∴f(x)在(-∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，-1)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(x)在x=a處取得極小值，與題意不符;若-10，則f(x)在(-1，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，+∞)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，故選D.
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5.若函數(shù)y=ex-2mx有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.(0，1)
√
15
解析:由y=ex-2mx，得y'=ex-2m.∵函數(shù)y=ex-2mx有小于零的極值點(diǎn)，∴ex-2m=0有小于零的實(shí)根，即m=ex有小于零的實(shí)根，∵x<0，∴01
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6.[多選]設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn)，以下結(jié)論一定正確的是 (　　)
A. x∈R，f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的極大值點(diǎn)
C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn)
D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn)
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√
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解析:函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點(diǎn)的左右兩側(cè)區(qū)域而言的，故A不正確;f(-x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，故-x0應(yīng)是f(-x)的極大值點(diǎn)，故B正確;-f(x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象，故x0應(yīng)是-f(x)的極小值點(diǎn)，跟-x0沒有關(guān)系，故C不正確;-f(-x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象先關(guān)于y軸作對稱，再關(guān)于x軸作對稱得到的圖象，故D正確.故選BD.
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7.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4)，則(　　)
A.x=3是f(x)的極小值點(diǎn)
B.當(dāng)0C.當(dāng)1D.當(dāng)-1f(x)
15
√
√
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解析:因為函數(shù)f(x)的定義域為R，而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3)，易知當(dāng)x∈(1，3)時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(-∞，1)∪(3，+∞)時，f'(x)
>0，函數(shù)f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，3)上單調(diào)遞減，在(3，+∞)上單調(diào)遞增，故x=3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A正確;當(dāng)0x2，故B錯誤;當(dāng)1f(2x-1)>f(3)，即-40，所以f(2-x)>f(x)，故D正確.故選ACD.
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8.若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A.[-2，2] B.(-2，2)
C.(-∞，-2)∪(2，+∞) D.(-∞，-2]∪[2，+∞)
15
√
解析:∵y=3x-x3，∴y'=3-3x2，令y'=0，得x=±1.∵當(dāng)x∈(-∞，-1)時，y'<0;當(dāng)x∈(-1，1)時，y'>0;當(dāng)x∈(1，+∞)時，y'<0.∴當(dāng)x=1時，y取極大值2，當(dāng)x=-1時，y取極小值-2.∵直線y=m與y=3x2-x3的圖象有三個不同交點(diǎn)，∴-21
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9.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c，其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)的極小值是____.
15
c
解析:依題意f'(x)=3ax2+2bx.由題圖可知，當(dāng)x<0時，f'(x)<0，當(dāng)00，故x=0時函數(shù)f(x)有極小值，極小值為f(0)=c.
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10.(5分)設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點(diǎn)，則常數(shù)a=______.
15
-
解析:因為f'(x)=+2bx+1，由題意得
解得
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11.(5分)函數(shù)f(x)=ax3-6x的一個極值點(diǎn)為1，則f(x)的極大值是_____.
15
4
解析:f(x)=ax3-6x定義域為R，f'(x)=3ax2-6，由題意得，f'(1)=3a-6=0，解得a=2，故f'(x)=6x2-6.令f'(x)=0，解得x=±1，令f'(x)>0，得x>1或x<-1，f(x)=2x3-6x單調(diào)遞增，令f'(x)<0，得-11
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12.(5分)已知f(x)=x3-x2+2x+1，x1，x2是f(x)的兩個極值點(diǎn)，且015
解析:∵f'(x)=x2-ax+2，∴x1，x2是f'(x)=0的兩個根，由01
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13.(10分)求下列函數(shù)的極值:
(1)f(x)=ex-x;(5分)
15
解:函數(shù)定義域為R，f'(x)=ex-1.令f'(x)=0，解得x=0.
當(dāng)x<0時，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=0時，函數(shù)f(x)取得極小值，
且極小值為f(0)=1，函數(shù)f(x)無極大值.
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(2)f(x)=x-ln(x+1).(5分)
15
解:函數(shù)f(x)的定義域為(-1，+∞)，f'(x)=1-=.令f'(x)=0，得x=0.
當(dāng)-1當(dāng)x>0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
所以當(dāng)x=0時，函數(shù)f(x)取得極小值，
且極小值為f(0)=0，函數(shù)f(x)無極大值.
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14.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(ax2+bx-3)，且滿足f()=0，f'(0)=-3.
(1)求實(shí)數(shù)a+b的值;(4分)
15
解: f(x)=ex(ax2+bx-3)，則f'(x)=ex[ax2+(b+2a)x+b-3]，
即解得
故實(shí)數(shù)a+b的值為1.
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(2)求函數(shù)f(x)的極值.(6分)
15
解:由(1)得f(x)=ex(x2-3)，函數(shù)定義域為R，f'(x)=ex(x2+2x-3)，
由f'(x)>0，解得x<-3或x>1;
由f'(x)<0，解得-3則f(x)在(-∞，-3)和(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-3，1)內(nèi)單調(diào)遞減.
當(dāng)x=-3時，f(x)有極大值f(-3)=;當(dāng)x=1時，f(x)有極小值f(1)=-2e.
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15.(15分)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2，x∈R).
(1)當(dāng)a=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(6分)
15
解:f(x)=(x2+x+1)ex，f'(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex.
當(dāng)f'(x)>0時，解得x<-2或x>-1;
當(dāng)f'(x)<0時，解得-2∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(-1，+∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(-2，-1).
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(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的極大值為3 若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由.(9分)
15
解:令f'(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0，
解得x=-a或x=-2.∵a<2，∴-a>-2，列表如下.
x (-∞，-2) -2 (-2，-a) -a (-a，∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可知f(x)極大值=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3，
解得a=4-3e2<2.∴存在實(shí)數(shù)a<2，使f(x)的極大值為3，此時a=4-3e2.課時檢測(四十九)　極大值與極小值
(標(biāo)的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區(qū)內(nèi)作答)
1.若函數(shù)y=f(x)可導(dǎo),則“f'(x)=0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的 (　　)
A.必要且不充分條件
B.充分且不必要條件
C.充要條件
D.既不充分又不必要條件
2.定義在區(qū)間上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論錯誤的是 (　　)
A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)單調(diào)遞增
B.函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減
C.函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值
D.函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值
3.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d成等比數(shù)列,且曲線y=3x-x3的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為(b,c),則ad等于 (　　)
A.2 B.1
C.-1 D.-2
4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a處取到極大值,則a的取值范圍是 (　　)
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(0,1) D.(-1,0)
5.若函數(shù)y=ex-2mx有小于零的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.(0,1)
6.[多選]設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是 (　　)
A. x∈R,f(x)≥f(x0)
B.-x0是f(-x)的極大值點(diǎn)
C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn)
D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn)
7.(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)[多選]設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2(x-4),則 (　　)
A.x=3是f(x)的極小值點(diǎn)
B.當(dāng)0C.當(dāng)1D.當(dāng)-1f(x)
8.若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 (　　)
A.[-2,2]
B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
9.(5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)的極小值是　　　.
10.(5分)設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=aln x+bx2+x的兩個極值點(diǎn),則常數(shù)a=　　　　.
11.(5分)函數(shù)f(x)=ax3-6x的一個極值點(diǎn)為1,則f(x)的極大值是　　　　.
12.(5分)已知f(x)=x3-x2+2x+1,x1,x2是f(x)的兩個極值點(diǎn),且013.(10分)求下列函數(shù)的極值:
(1)f(x)=ex-x;(5分)
(2)f(x)=x-ln(x+1).(5分)
14.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(ax2+bx-3),且滿足f()=0,f'(0)=-3.
(1)求實(shí)數(shù)a+b的值;(4分)
(2)求函數(shù)f(x)的極值.(6分)
15.(15分)已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+a)ex(a<2,x∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(6分)
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的極大值為3 若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由.(9分)
課時檢測(四十九)
1．選A　f′(x)＝0，但f′(x)在零點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)都同時大于零或者小于零時f(x)在零點(diǎn)處無極值，但f(x)有極值則f′(x)在極值處一定等于0.所以“f′(x)＝0有實(shí)根”是“f(x)有極值”的必要且不充分條件．故選A.
2．選D　根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在區(qū)間內(nèi)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在(0,4)內(nèi)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0處取得極小值，沒有極大值，故A、B、C正確，D錯誤，故選D.
3．選A　∵a，b，c，d成等比數(shù)列，∴ad＝bc，又(b，c)為函數(shù)y＝3x－x3的極大值點(diǎn)，∴c＝3b－b3，且3－3b2＝0，∴或
∴ad＝2.
4．選D　若a<－1，∵f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，∴f(x)在(－∞，a)上單調(diào)遞減，在(a，－1)內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(x)在x＝a處取得極小值，與題意不符；若－10，則f(x)在(－1，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，與題意矛盾，故選D.
5．選B　由y＝ex－2mx，得y′＝ex－2m.
∵函數(shù)y＝ex－2mx有小于零的極值點(diǎn)，
∴ex－2m＝0有小于零的實(shí)根，即m＝ex有小于零的實(shí)根，∵x＜0，∴0＜ex＜，∴0＜m＜.
6．選BD　函數(shù)的極值是一個局部性的概念，是僅對某一點(diǎn)的左右兩側(cè)區(qū)域而言的，故A不正確；f(－x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象，故－x0應(yīng)是f(－x)的極大值點(diǎn)，故B正確；－f(x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象，故x0應(yīng)是－f(x)的極小值點(diǎn)，跟－x0沒有關(guān)系，故C不正確；－f(－x)的圖象相當(dāng)于f(x)的圖象先關(guān)于y軸作對稱，再關(guān)于x軸作對稱得到的圖象，故D正確．故選BD.
7．選ACD　因為函數(shù)f(x)的定義域為R，而f′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知當(dāng)x∈(1,3)時，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，故x＝3是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，故A正確；
當(dāng)0＜x＜1時，f(x)單調(diào)遞增，而x＞x2，故B錯誤；
當(dāng)1＜x＜2時，1＜2x－1＜3，且函數(shù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正確；
當(dāng)－1＜x＜0時，f(2－x)－f(x)＝(1－x)2·(－2－x)－(x－1)2(x－4)＝2(x－1)2(1－x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正確．故選ACD.
8．選B　∵y＝3x－x3，∴y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.∵當(dāng)x∈(－∞，－1)時，y′＜0；當(dāng)x∈(－1,1)時，y′＞0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，y′＜0.∴當(dāng)x＝1時，y取極大值2，當(dāng)x＝－1時，y取極小值－2.∵直線y＝m與y＝3x2－x3的圖象有三個不同交點(diǎn)，∴－2＜m＜2.
9．解析：依題意f′(x)＝3ax2＋2bx.由題圖可知，當(dāng)x<0時，f′(x)<0，當(dāng)00，故x＝0時函數(shù)f(x)有極小值，極小值為f(0)＝c.
答案：c
10．解析：因為f′(x)＝＋2bx＋1，
由題意得解得
答案：－
11．解析：f(x)＝ax3－6x定義域為R，f′(x)＝3ax2－6，由題意得，f′(1)＝3a－6＝0，解得a＝2，故f′(x)＝6x2－6.令f′(x)＝0，解得x＝±1，令f′(x)>0，得x>1或x<－1，f(x)＝2x3－6x單調(diào)遞增，令f′(x)<0，得－1答案：4
12．解析：∵f′(x)＝x2－ax＋2，∴x1，x2是f′(x)＝0的兩個根，由0答案：
13．解：(1)函數(shù)定義域為R，f′(x)＝ex－1.
令f′(x)＝0，解得x＝0.
當(dāng)x＜0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取得極小值，且極小值為f(0)＝1，函數(shù)f(x)無極大值．
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝1－＝.
令f′(x)＝0，得x＝0.
當(dāng)－1＜x＜0時，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x＝0時，函數(shù)f(x)取得極小值，且極小值為f(0)＝0，函數(shù)f(x)無極大值．
14．解：(1)f(x)＝ex(ax2＋bx－3)，則
f′(x)＝ex[ax2＋(b＋2a)x＋b－3]，
即解得
故實(shí)數(shù)a＋b的值為1.
(2)由(1)得f(x)＝ex(x2－3)，函數(shù)定義域為R，f′(x)＝ex(x2＋2x－3)，
由f′(x)＞0，解得x＜－3或x＞1；
由f′(x)＜0，解得－3＜x＜1.
則f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3,1)內(nèi)單調(diào)遞減．
當(dāng)x＝－3時，f(x)有極大值f(－3)＝；
當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值f(1)＝－2e.
15．解：(1)f(x)＝(x2＋x＋1)ex，f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex.
當(dāng)f′(x)>0時，解得x<－2或x>－1；
當(dāng)f′(x)<0時，解得－2∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(－1，＋∞)，
單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，－1)．
(2)令f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝[x2＋(2＋a)x＋2a]ex＝(x＋a)(x＋2)ex＝0，解得x＝－a或x＝－2.
∵a＜2，∴－a＞－2，列表如下.
x (－∞， －2) －2 (－2， －a) －a (－a， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
由表可知f(x)極大值＝f(－2)
＝(4－2a＋a)e－2＝3，
解得a＝4－3e2＜2.∴存在實(shí)數(shù)a＜2，使f(x)的極大值為3，此時a＝4－3e2.
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