資源簡介

5.3.3　最大值與最小值
第1課時　最大值與最小值 [教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
[課時目標]
1.能利用導數求給定區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值.
2.體會導數與單調性、最大(小)值的關系.
1.函數f(x)在區間[a,b]上的最值
(1)取得最值的條件:在區間[a,b]上函數y=f(x)的圖象是一條　　　　　的曲線.
(2)結論:函數y=f(x)必有最大值和最小值,函數的最值在　　　　　或　　　　　　取得.
2.求f(x)在區間[a,b]上的最值的步驟
(1)求f(x)在區間(a,b)上的　　　.
(2)將(1)中求得的　　　　與　　　　　比較,得到f(x)在區間[a,b]上的　　　　與　　　　.
|微|點|助|解|
1.對函數最大(小)值的認識
(1)閉區間上的連續函數一定有最值,開區間內的連續函數不一定有最值.若有唯一的極值,則此極值必是函數的最值.
(2)函數的最大值和最小值是一個整體性概念.
2.函數最值與極值的區別與聯系
(1)函數的極值是函數在某一點附近的局部概念,函數的最大值和最小值是一個整體性概念.
(2)函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出的,函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的,函數的極值可以有多個,但最值只能有一個.
(3)極值只能在區間內取得,最值則可以在端點處取得.有極值的未必有最值,有最值的未必有極值;極值有可能成為最值,最值不在端點處取得時必定是極值.
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)閉區間上的連續函數一定有最值. (　　)
(2)開區間上的單調連續函數無最值. (　　)
(3)極值只能在區間內取得,最值則可以在區間端點處取得. (　　)
(4)函數的最大值一定是極大值,函數的最小值也一定是極小值. (　　)
2.函數f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上 (　　)
A.無最值 B.有極值
C.有最大值 D.有最小值
3.函數y=在[0,2]上的最大值為　　　　.
題型(一)　函數最值的辨析
[例1]　(多選)下列結論不正確的是 (　　)
A.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極大值一定是[a,b]上的最大值
B.若f(x)在[a,b]上有極小值,則極小值一定是[a,b]上的最小值
C.若f(x)在[a,b]上有極大值,則極小值一定是x=a和x=b時取得
D.若f(x)在[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值
聽課記錄:
|思|維|建|模|
(1)正確理解極值與最值的關系是解題關鍵.
(2)一般情況下,唯一的極值應該也是最值,在(a,b)內,若f(x0)為極小值,則其為最小值;若f(x0)為極大值,則其為最大值.
　　[針對訓練]
1.已知定義在R上的函數f(x),其導函數f'(x)的大致圖象如圖所示,則下列敘述正確的是 (　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函數f(x)在x=c處取得最大值,在x=e處取得最小值
C.函數f(x)在x=c處取得極大值,在x=e處取得極小值
D.函數f(x)的最小值為f(d)
題型(二)　求函數的最值
[例2]　 已知函數f(x)=x3-3x,x∈R.
(1)求f(x)的單調區間;
(2)當x∈[-,3]時,求f(x)的最大值與最小值.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
求解函數在固定區間上的最值的注意點
(1)對函數進行準確求導,并檢驗f'(x)=0的根是否在給定區間內.
(2)研究函數的單調性,確定極值和端點函數值.
(3)比較極值與端點函數值的大小,確定最值.
　　[針對訓練]
2.求下列函數的最值:
(1) f(x)=;
(2)f(x)=x2-x-ln x,x∈[1,3].
題型(三)　由函數最值求參數的值或范圍
[例3]　(1)當x=1時,函數f(x)=aln x+取得最大值-2,則a= (　　)
A.-2 B.-4
C.2 D.4
(2)函數f(x)=x3-x2在區間(a,a+5)內存在最小值,則實數a的取值范圍是 (　　)
A.(-3,2) B.[-3,2)
C.[-1,2) D.(-1,2)
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)是求函數最值的逆向思維,一般先求導數,利用導數研究函數的單調性及極值點,探索最值點,根據已知最值列方程(不等式)解決問題.
　　[針對訓練]
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在區間[k,2]上的最大值是28,求k的取值范圍.
第1課時　最大值與最小值
?課前預知教材
1．(1)連續不斷　(2)極值點　區間端點
2．(1)極值　(2)極值　f(a)，f(b)　最大值　最小值
[基礎落實訓練]
1．(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．選A　f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增，無極值，也無最值．
3．解析：令y＝f(x)，∵y′＝＝，令y′＝0，得x＝1∈[0,2]．∴f(1)＝，f(0)＝0，f(2)＝，∴f(x)max＝f(1)＝.
答案：
?課堂題點研究
[題型(一)]
[例1]　選ABC　選項A，若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值不一定是[a，b]上的最大值，f(x)可能在端點處取得最大值，判斷錯誤；選項B，若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值不一定是[a，b]上的最小值，f(x)可能在端點處取得最小值，判斷錯誤；選項C，若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定不是x＝a和x＝b時取得，判斷錯誤；選項D，若f(x)在[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值，判斷正確．故選ABC.
[針對訓練]
1．選C　由題圖可知，當x≤c時，f′(x)≥0，所以函數f(x)在(－∞，c]上單調遞增，又a0；當ce時，f′(x)>0.所以函數f(x)在x＝c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x＝e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確；由題圖可知，當d≤x≤e時，f′(x)≤0，所以函數f(x)在[d，e]內單調遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確．
[題型(二)]
[例2]　解：(1)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
當x<－1或x>1時，f′(x)>0，當－1所以f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，單調遞減區間為(－1,1)．
(2)由(1)知x∈[－，3]時，f(x)的極大值為f(－1)＝2，f(x)的極小值為f(1)＝－2，
又f(－)＝0，f(3)＝18.
所以f(x)的最大值為18，f(x)的最小值為－2.
[針對訓練]
2．解：(1)因為函數f(x)＝的定義域為R，
f′(x)＝＝，
當f′(x)＝0時，x＝2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示.
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? ?
所以f(x)在(－∞，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減，所以f(x)無最小值，且當x＝2時，f(x)max＝f(2)＝.
(2)因為f′(x)＝2x－1－＝＝，又因為x∈[1,3]，
所以f′(x)≥0在[1,3]上恒成立．
所以f(x)在[1,3]內單調遞增，
所以當x＝1時，f(x)min＝f(1)＝0；
當x＝3時，f(x)max＝f(3)＝6－ln 3.
[題型(三)]
[例3]　(1)選A　當x＝1時，函數f(x)＝aln x＋取得最大值－2，所以f(1)＝＝－2，
即b＝－2，f(x)＝aln x－，定義域為(0，＋∞)，
又因為f(x)在x＝1處取得最大值，所以f(x)在(0,1)內單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，f′(x)＝，則f′(1)＝＝0，所以a＝－2.
(2)
選C　由f′(x)＝x2－2x＝0得x1＝0，x2＝2，則當x∈(－∞，0)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．f(x)在區間(a，a＋5)內存在最小值，故最小值為f(2)，又f(－1)＝f(2)，故有解得－1≤a<2.故實數a的取值范圍是[－1,2)．
[針對訓練]
3．解：∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，
∴h′(x)＝3x2＋6x－9，
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，
當x變化時h′(x)及h(x)的變化情況如下表.
x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ? 28 ? －4 ?
當x＝－3時，取極大值28；當x＝1時，取極小值－4.而h(2)＝31 / 4(共48張PPT)
5.3.3
最大值與最小值
最大值與最小值
[教學方式:深化學習課——梯度進階式教學]
第1課時
課時目標
1.能利用導數求給定區間上不超過三次的多項式函數的最大值、最小值.
2.體會導數與單調性、最大(小)值的關系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前預知教材·自主落實基礎
課堂題點研究·遷移應用融通
課時檢測
課前預知教材·自主落實基礎
01
1.函數f(x)在區間[a，b]上的最值
(1)取得最值的條件:在區間[a，b]上函數y=f(x)的圖象是一條_________的曲線.
(2)結論:函數y=f(x)必有最大值和最小值，函數的最值在_________或__________取得.
2.求f(x)在區間[a，b]上的最值的步驟
(1)求f(x)在區間(a，b)上的_______.
(2)將(1)中求得的_____與_________比較，得到f(x)在區間[a，b]上的_________與_______.
連續不斷
極值點
區間端點
極值
極值
f(a)，f(b)
最大值
最小值
|微|點|助|解|
1.對函數最大(小)值的認識
(1)閉區間上的連續函數一定有最值，開區間內的連續函數不一定有最值.若有唯一的極值，則此極值必是函數的最值.
(2)函數的最大值和最小值是一個整體性概念.
2.函數最值與極值的區別與聯系
(1)函數的極值是函數在某一點附近的局部概念，函數的最大值和最小值是一個整體性概念.
(2)函數的最大值、最小值是比較整個定義區間的函數值得出的，函數的極值是比較極值點附近的函數值得出的，函數的極值可以有多個，但最值只能有一個.
(3)極值只能在區間內取得，最值則可以在端點處取得.有極值的未必有最值，有最值的未必有極值;極值有可能成為最值，最值不在端點處取得時必定是極值.
基礎落實訓練
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)閉區間上的連續函數一定有最值.(　　)
(2)開區間上的單調連續函數無最值.(　　)
(3)極值只能在區間內取得，最值則可以在區間端點處取得.(　　)
(4)函數的最大值一定是極大值，函數的最小值也一定是極小值.(　　)
√
√
√
×
2.函數f(x)=2x-cos x在(-∞，+∞)上 (　　)
A.無最值 B.有極值
C.有最大值 D.有最小值
√
解析:f'(x)=2+sin x>0恒成立，所以f(x)在(-∞，+∞)上單調遞增，無極值，也無最值.
3.函數y=在[0，2]上的最大值為______.
解析:令y=f(x)，∵y'==，令y'=0，得x=1∈[0，2].
∴f(1)=，f(0)=0，f(2)=，∴f(x)max=f(1)=.
課堂題點研究·遷移應用融通
02
題型(一)　函數最值的辨析
[例1]　[多選]下列結論不正確的是 (　　)
A.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值
B.若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值
C.若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是x=a和x=b時取得
D.若f(x)在[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
√
√
√
解析:選項A，若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值不一定是[a，b]上的最大值，f(x)可能在端點處取得最大值，判斷錯誤;選項B，若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值不一定是[a，b]上的最小值，f(x)可能在端點處取得最小值，判斷錯誤;選項C，若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定不是x=a和x=b時取得，判斷錯誤;選項D，若f(x)在[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值，判斷正確.故選ABC.
|思|維|建|模|
(1)正確理解極值與最值的關系是解題關鍵.
(2)一般情況下，唯一的極值應該也是最值，在(a，b)內，若f(x0)為極小值，則其為最小值;若f(x0)為極大值，則其為最大值.
針對訓練
1.已知定義在R上的函數f(x)，其導函數f'(x)的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是 (　　)
A.f(b)>f(a)>f(c)
B.函數f(x)在x=c處取得最大值，在x=e處取得最小值
C.函數f(x)在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值
D.函數f(x)的最小值為f(d)
√
解析:由題圖可知，當x≤c時，f'(x)≥0，所以函數f(x)在(-∞，c]上單調遞增，又a0;當ce時，f'(x)>0.所以函數f(x)在x=c處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確;由題圖可知，當d≤x≤e時，f'(x)≤0，所以函數f(x)在[d，e]內單調遞減，從而f(d)>f(e)，故D不正確.
題型(二)　求函數的最值
[例2]　 已知函數f(x)=x3-3x，x∈R.
(1)求f(x)的單調區間;
解: f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
當x<-1或x>1時，f'(x)>0，當-1所以f(x)的單調遞增區間為(-∞，-1)和(1，+∞)，
單調遞減區間為(-1，1).
(2)當x∈[-，3]時，求f(x)的最大值與最小值.
解:由(1)知x∈[-，3]時，f(x)的極大值為f(-1)=2，
f(x)的極小值為f(1)=-2，
又f(-)=0，f(3)=18.
所以f(x)的最大值為18，f(x)的最小值為-2.
|思|維|建|模|
求解函數在固定區間上的最值的注意點
(1)對函數進行準確求導，并檢驗f'(x)=0的根是否在給定區間內.
(2)研究函數的單調性，確定極值和端點函數值.
(3)比較極值與端點函數值的大小，確定最值.
針對訓練
2.求下列函數的最值:
(1) f(x)=;
解:因為函數f(x)=的定義域為R，f'(x)==，
當f'(x)=0時，x=2.當x變化時，f'(x)，f(x)的變化情況如表所示.
x (-∞，2) 2 (2，+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ ↘
所以f(x)在(-∞，2)上單調遞增，在(2，+∞)上單調遞減，所以f(x)無最小值，且當x=2時，f(x)max=f(2)=.
(2)f(x)=x2-x-ln x，x∈[1，3].
解:因為f'(x)=2x-1-==，又因為x∈[1，3]，
所以f'(x)≥0在[1，3]上恒成立.
所以f(x)在[1，3]內單調遞增，
所以當x=1時，f(x)min=f(1)=0;
當x=3時，f(x)max=f(3)=6-ln 3.
題型(三)　由函數最值求參數的值或范圍
[例3]　(1)當x=1時，函數f(x)=aln x+取得最大值-2，則a=(　　)
A.-2 B.-4 C.2 D.4
√
解析:當x=1時，函數f(x)=aln x+取得最大值-2，所以f(1)==-2，即b=-2，f(x)=aln x-，定義域為(0，+∞)，又因為f(x)在x=1處取得最大值，所以f(x)在(0，1)內單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減，f'(x)=，則f'(1)==0，所以a=-2.
(2)函數f(x)=x3-x2在區間(a，a+5)內存在最小值，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-3，2) B.[-3，2)
C.[-1，2) D.(-1，2)
√
解析:由f'(x)=x2-2x=0得x1=0，x2=2，則當x∈(-∞，0)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增;當x∈(0，2)時，f'(x)<0，f(x)單調遞減，當x∈(2，+∞)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增.f(x)在區間(a，a+5)內存在最小值，故最小值為f(2)，又f(-1)=f(2)，故有解得-1≤a<2.故實數a的取值范圍是[-1，2).
|思|維|建|模|
　　已知函數在某區間上的最值求參數的值(或范圍)是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程(不等式)解決問題.
針對訓練
3.已知h(x)=x3+3x2-9x+1在區間[k，2]上的最大值是28，求k的取值范圍.
解:∵h(x)=x3+3x2-9x+1，∴h'(x)=3x2+6x-9，令h'(x)=0，得x1=-3，x2=1，
當x變化時h'(x)及h(x)的變化情況如下表.
x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) ↗ 28 ↘ -4 ↗
當x=-3時，取極大值28;當x=1時，取極小值-4.而h(2)=3課時檢測
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1.若函數f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在區間(0，2)內的極大值為最大值，則m的取值范圍是 (　　)
A.(0，3) B.(-3，0)
C.(-∞，-3) D.(3，+∞)
√
解析:由題得f'(x)=-3x2+2mx，令f'(x)=0，得x=或x=0.因為f(x)在區間(0，2)上的極大值為最大值，所以0<<2.所以01
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2.函數y=x-sin x，x∈的最大值是(　　)
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
√
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解析:因為y'=1-cos x，當x∈時，y'>0，則函數在區間內單調遞增，所以y的最大值為ymax=π-sin π=π.
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3.已知函數f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導函數，在[a，b]上連續且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
√
15
解析:令F(x)=f(x)-g(x)，∴F'(x)=f'(x)-g'(x)<0，即F'(x)<0，∴F(x)在[a，b]內單調遞減，∴F(x)max=f(a)-g(a).
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4.已知函數f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4，則a= (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
√
15
解析:由題知f'(x)=2(x+1)-sin(x+1)，f″(x)=2-cos(x+1)>0，所以f'(x)單調遞增，又f'(-1)=0，所以當x<-1時，f'(x)<0;當x>-1時，f'(x)>0.故x=-1為f(x)的最小值點，即f(-1)=1+a=4，解得a=3，故選A.
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5.已知f(x)=x3-3x2+2，若f(x)在(2a，a+3)上存在最小值，則a的取值范圍是 (　　)
A. B.
C.[-1，2) D.[-1，1)
√
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解析:由題意得f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，易得x=0和x=2為f(x)的極值點，f(x)的單調遞增區間為(-∞，0)，(2，+∞)，單調遞減區間為(0，2).又f(0)=2，f(2)=-2，所以令x3-3x2+2=-2，則(x+1)(x-2)2=0，解得x=-1或x=2.若函數f(x)在(2a，a+3)上存在最小值，則解得-
≤a<1，故選A.
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6.已知a>0，函數f(x)=ax-ln x的最小值為(a-1)ln 2+1，則a= (　　)
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
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√
解析:由f(x)=ax-ln x(x>0)，得f'(x)=a-=(a>0，x>0)，當0時，f'(x)>0，所以f(x)在內單調遞減，在上單調遞增，故f(x)min=f=1+ln a=(a-1)ln 2+1，得ln a=(a-1)ln 2，解得a=1或a=2.故選A.
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7.設直線x=t與函數f(x)=x2，g(x)=ln x的圖象分別交于點M，N，則當MN達到最小值時t的值為 (　　)
A.1 B. C. D.
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√
解析:因為f(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以MN=f(x)-g(x)=x2-ln x.設h(x)=x2-ln x，則h'(x)=2x-=(x>0).令h'(x)==0，得x=，所以h(x)在內單調遞減，在上單調遞增，所以當x=時，MN取最小值，此時t=.
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2
8.[多選]若存在m，使得f(x)≥m對任意x∈D恒成立，則函數f(x)在D上有下界，其中m為函數f(x)的一個下界;若存在M，使得f(x)≤M對任意x∈D恒成立，則函數f(x)在D上有上界，其中M為函數f(x)的一個上界.如果一個函數既有上界又有下界，那么稱該函數有界，則下列說法正確的是(　　)
A.1是函數f(x)=x+(x>0)的一個下界
B.函數f(x)=xln x有下界，無上界
C.函數f(x)=有上界，無下界
D.函數f(x)=有界
15
√
√
√
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3
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2
解析:對于A，當x>0時，x+≥2(當且僅當x=1時取等號)，∴f(x)>1恒成立，∴1是f(x)的一個下界，故A正確;對于B，∵f'(x)=ln x+1(x>0)，∴當x∈時，f'(x)<0，當x∈時，f'(x)>0，∴f(x)在內單調遞減，在上單調遞增，∴f(x)≥f=-，∴f(x)有下界，又當x越來越大時，f(x)趨向于+∞，∴f(x)無上界，綜上所述，f(x)=xln x有下界，無上界，故B正確;對于C，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f(x)有下界，故C錯誤;對于D，∵sin x∈[-1，1]，∴≤
≤，又≥-1，≤1，∴-1<<1，∴f(x)既有上界又有下界，故D正確.
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9.(5分)已知函數f(x)=x3-ax2+b，若f(x)在區間[0，1]內單調遞增且最大值為0，寫出一組符合要求的a，b，則a=______________________，b=________________________.
15
0(答案不唯一)　
- (答案不唯一)
解析:f'(x)=x2-ax，令f'(x)=0，解得x=0或a，若f(x)在區間[0，1]內單調遞增，則a≤0，最大值為f(1)=-a+b=0，則b=a-，不妨取a=0，則b=-.
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10.(5分)函數f(x)=2x3-6x2+m(m為常數)在[-2，2]上有最大值3，那么m=_____.
15
3
解析:由函數f(x)=2x3-6x2+m，可得f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)，當x∈[-2，0)時，f'(x)>0，f(x)單調遞增;當x∈(0，2]時，f'(x)<0，f(x)單調遞減.所以當x=0時，函數f(x)取得最大值，最大值為f(0)=m，因為函數f(x)在區間[-2，2]上的最大值為3，所以m=3.
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11.(5分)已知函數f(x)=ln x-x+k在[1，e]上的最大值為2，則f(k)=_____.
15
ln 3
解析:因為f(x)=ln x-x+k，所以f'(x)=-1=，又x∈[1，e]，所以f'(x)≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f(x)在區間[1，e]內單調遞減，所以f(1)=ln 1-1+k=2，解得k=3，故f(x)=ln x-x+3，所以f(k)=f(3)=ln 3.
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12.(5分)若函數f(x)=xex在區間(-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，則實數a的取值范圍是____________.
15
[0，+∞)
解析:因為函數f(x)=xex，則f'(x)=ex+xex=(1+x)ex，當x>-1時，f'(x)>0，函數f(x)=xex單調遞增;當x<-1時，f'(x)<0，函數f(x)=xex單調遞減.所以函數f(x)=xex在(-∞，-1)上單調遞減，在(-1，+∞)上單調遞增，又因為函數f(x)=xex在區間(-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，結合圖象可知a≥0.
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13.(10分)已知函數f(x)=2x+1-4ln x.
(1)證明:f(x)≥-2x+5;(5分)
15
解:證明:要證f(x)≥-2x+5，
即證2x+1-4ln x≥-2x+5，即證x-1-ln x≥0，
令g(x)= x-1-ln x，則g'(x)=(x>0)，
當x∈(0，1)時，g'(x)<0;當x∈(1，+∞)時，g'(x)>0，
所以g(x)在(0，1)內單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，
所以g(x)≥g(1)=0，從而f(x)≥-2x+5.
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(2)求f(x)在[1，3]上的最大值與最小值.(5分)
15
解:因為f(x)=2x+1-4ln x，x∈[1，3]，所以f'(x)=2-=，x∈[1，3]，
令f'(x)>0，則2所以f(x)在[1，2)內單調遞減，在(2，3]內單調遞增，
所以f(x)min=f(2)=5-4ln 2，
又f(1)=3，f(3)=7-4ln 3，f(1)-f(3)=4(ln 3-1)>0，所以f(x)max=3，
所以f(x)在[1，3]上的最大值與最小值分別為3與5-4ln 2.
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14.(10分)已知函數f(x)=ax+ln x.
(1)討論函數f(x)的單調區間;(5分)
15
解:由題意得f'(x)=a+，x>0，當a≥0時，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，故函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增;當a<0時，若00，函數f(x)單調遞增，若x>-，則f'(x)<0，函數f(x)單調遞減.綜上，當a≥0時，函數f(x)在(0，+∞)上單調遞增;當a<0時，函數f(x)在內單調遞增，在上單調遞減.
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(2)當a=-1時，函數g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值為0，求實數m的值.(5分)
15
解:由題意g(x)=-x+excos x-m，x∈，g'(x)=-1+ex(cos x-sin x)，令h(x)=g'(x)=-1+ex(cos x-sin x)，h'(x)=-2exsin x.當x∈時，h'(x)=-2exsin x≤0，h(x)單調遞減，則h(x)≤h(0)=0，則g'(x)≤0，則g(x)在內單調遞減，故g(x)在上的最大值為g(0)=1-m=0，所以m=1.
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15.(15分)已知函數f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函數f(x)的單調區間;(4分)
15
解:由f(x)=x3-x2-2x+1，x∈R，得f'(x)= x2-x-2，
令f'(x)= x2-x-2>0，得x<-1或x>2，
令f'(x)= x2-x-2<0，得-1故f(x)的單調遞增區間為(-∞，-1)，(2，+∞)，
單調遞減區間為(-1，2).
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(2)求函數f(x)的極值;(4分)
15
解:由(1)可知f(x)的極大值為f(-1)=，極小值為f(2)=-.
(3)若函數f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，求實數a的取值范圍.(7分)
解:函數f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，故f(a)≥f(2)=-，
由f(x)=f(2)=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一個解，故(x-2)2(2x+5)=0，解得x=-或x=2，由于f(x)的單調遞增區間為(-∞，-1)，(2，+∞)，單調遞減區間為(-1，2)，故要使得函數f(x)在[a，+∞)上的最小值是-，只需-≤a≤2，即實數a的取值范圍為.課時檢測(五十)　最大值與最小值
(標的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇、填空題請在后面的答題區內作答)
1.若函數f(x)=-x3+mx2+1(m≠0)在區間(0,2)內的極大值為最大值,則m的取值范圍是 (　　)
A.(0,3) B.(-3,0)
C.(-∞,-3) D.(3,+∞)
2.函數y=x-sin x,x∈的最大值是 (　　)
A.π-1 B.-1
C.π D.π+1
3.已知函數f(x),g(x)均為[a,b]上的可導函數,在[a,b]上連續且f'(x)A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)
4.已知函數f(x)=(x+1)2+cos(x+1)+a的最小值是4,則a= (　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
5.已知f(x)=x3-3x2+2,若f(x)在(2a,a+3)上存在最小值,則a的取值范圍是 (　　)
A. B.
C.[-1,2) D.[-1,1)
6.已知a>0,函數f(x)=ax-ln x的最小值為(a-1)ln 2+1,則a= (　　)
A.1或2 B.2
C.1或3 D.2或3
7.設直線x=t與函數f(x)=x2,g(x)=ln x的圖象分別交于點M,N,則當MN達到最小值時t的值為 (　　)
A.1 B.
C. D.
8.[多選]若存在m,使得f(x)≥m對任意x∈D恒成立,則函數f(x)在D上有下界,其中m為函數f(x)的一個下界;若存在M,使得f(x)≤M對任意x∈D恒成立,則函數f(x)在D上有上界,其中M為函數f(x)的一個上界.如果一個函數既有上界又有下界,那么稱該函數有界,則下列說法正確的是 (　　)
A.1是函數f(x)=x+(x>0)的一個下界
B.函數f(x)=xln x有下界,無上界
C.函數f(x)=有上界,無下界
D.函數f(x)=有界
9.(5分)已知函數f(x)=x3-ax2+b,若f(x)在區間[0,1]內單調遞增且最大值為0,寫出一組符合要求的a,b,則a=　　　　,b=　　　　.
10.(5分)函數f(x)=2x3-6x2+m(m為常數)在[-2,2]上有最大值3,那么m=　　　　.
11.(5分)已知函數f(x)=ln x-x+k在[1,e]上的最大值為2,則f(k)=　　　　.
12.(5分)若函數f(x)=xex在區間(-∞,a]上既存在最大值,也存在最小值,則實數a的取值范圍是　　　　　.
13.(10分)已知函數f(x)=2x+1-4ln x.
(1)證明:f(x)≥-2x+5;(5分)
(2)求f(x)在[1,3]上的最大值與最小值.(5分)
14.(10分)已知函數f(x)=ax+ln x.
(1)討論函數f(x)的單調區間;(5分)
(2)當a=-1時,函數g(x)=f(x)+excos x-ln x-m在上的最大值為0,求實數m的值.(5分)
15.(15分)已知函數f(x)=x3-x2-2x+1.
(1)求函數f(x)的單調區間;(4分)
(2)求函數f(x)的極值;(4分)
(3)若函數f(x)在[a,+∞)上的最小值是-,求實數a的取值范圍.(7分)
課時檢測(五十)
1．選A　由題得f′(x)＝－3x2＋2mx，令f′(x)＝0，得x＝或x＝0.因為f(x)在區間(0,2)上的極大值為最大值，所以0<<2.所以02．選C　因為y′＝1－cos x，當x∈時，y′>0，則函數在區間內單調遞增，所以y的最大值為ymax＝π－sin π＝π.
3．選A　令F(x)＝f(x)－g(x)，∴F′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，即F′(x)<0，∴F(x)在[a，b]內單調遞減，∴F(x)max＝f(a)－g(a)．
4．選A　由題知f′(x)＝2(x＋1)－sin(x＋1)，f″(x)＝2－cos(x＋1)>0，所以f′(x)單調遞增，又f′(－1)＝0，所以當x<－1時，f′(x)<0；當x>－1時，f′(x)>0.故x＝－1為f(x)的最小值點，即f(－1)＝1＋a＝4，解得a＝3，故選A.
5．選A　由題意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，易得x＝0和x＝2為f(x)的極值點，f(x)的單調遞增區間為(－∞，0)，(2，＋∞)，單調遞減區間為(0,2)．又f(0)＝2，f(2)＝－2，所以令x3－3x2＋2＝－2，則(x＋1)(x－2)2＝0，解得x＝－1或x＝2.若函數f(x)在(2a，a＋3)上存在最小值，則解得－≤a＜1，故選A.
6．選A　由f(x)＝ax－ln x(x>0)，得f′(x)＝a－＝(a>0，x>0)，當0時，f′(x)>0，所以f(x)在內單調遞減，在上單調遞增，故f(x)min＝f＝1＋ln a＝(a－1)ln 2＋1，得ln a＝(a－1)ln 2，解得a＝1或a＝2.故選A.
7．選D　因為f(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以MN＝f(x)－g(x)＝x2－ln x．設h(x)＝x2－ln x，則h′(x)＝2x－＝(x>0)．令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在內單調遞減，在上單調遞增，所以當x＝時，MN取最小值，此時t＝.
8．選ABD　對于A，當x>0時，x＋≥2(當且僅當x＝1時取等號)，∴f(x)>1恒成立，∴1是f(x)的一個下界，故A正確；對于B，∵f′(x)＝ln x＋1(x>0)，∴當x∈時，f′(x)<0，當x∈時，f′(x)>0，∴f(x)在內單調遞減，在上單調遞增，∴f(x)≥f＝－，∴f(x)有下界，又當x越來越大時，f(x)趨向于＋∞，
∴f(x)無上界，綜上所述，f(x)＝xln x有下界，無上界，故B正確；對于C，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f(x)有下界，故C錯誤；對于D，∵sin x∈[－1,1]，∴≤≤，又≥－1，≤1，∴－1<<1，∴f(x)既有上界又有下界，故D正確．
9．解析：f′(x)＝x2－ax，令f′(x)＝0，解得x＝0或a，若f(x)在區間[0,1]內單調遞增，則a≤0，最大值為f(1)＝－a＋b＝0，則b＝a－，不妨取a＝0，則b＝－.
答案：0(答案不唯一)　－(答案不唯一)
10．解析：由函數f(x)＝2x3－6x2＋m，可得f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，當x∈[－2,0)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；當x∈(0,2]時，f′(x)<0，f(x)單調遞減．所以當x＝0時，函數f(x)取得最大值，最大值為f(0)＝m，因為函數f(x)在區間[－2，2]上的最大值為3，所以m＝3.
答案：3
11．解析：因為f(x)＝ln x－x＋k，所以f′(x)＝－1＝，又x∈[1，e]，所以f′(x)≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f(x)在區間[1，e]內單調遞減，所以f(1)＝ln 1－1＋k＝2，解得k＝3，故f(x)＝ln x－x＋3，所以f(k)＝f(3)＝ln 3.
答案：ln 3
12．解析：因為函數f(x)＝xex，則f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，當x>－1時，f′(x)>0，函數f(x)＝xex單調遞增；當x<－1時，f′(x)<0，函數f(x)＝xex單調遞減．所以函數f(x)＝xex在(－∞，－1)上單調遞減，在(－1，＋∞)上單調遞增，又因為函數f(x)＝xex在區間(－∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，結合圖象可知a≥0.
答案：[0，＋∞)
13．解：(1)證明：要證f(x)≥－2x＋5，
即證2x＋1－4ln x≥－2x＋5，即證x－1－ln x≥0，令g(x)＝ x－1－ln x，則g′(x)＝(x>0)，
當x∈(0,1)時，g′(x)<0；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)內單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以g(x)≥g(1)＝0，從而f(x)≥－2x＋5.
(2)因為f(x)＝2x＋1－4ln x，x∈[1,3]，
所以f′(x)＝2－＝，x∈[1,3]，
令f′(x)>0，則2又f(1)＝3，f(3)＝7－4ln 3，f(1)－f(3)＝4(ln 3－1)>0，所以f(x)max＝3，
所以f(x)在[1,3]上的最大值與最小值分別為3與5－4ln 2.
14．解：(1)由題意得f′(x)＝a＋，x>0，
當a≥0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
當a<0時，若00，函數f(x)單調遞增，若x>－，則f′(x)<0，函數f(x)單調遞減．
綜上，當a≥0時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a<0時，函數f(x)在內單調遞增，在上單調遞減．
(2)由題意g(x)＝－x＋excos x－m，x∈，
g′(x)＝－1＋ex(cos x－sin x)，
令h(x)＝g′(x)＝－1＋ex(cos x－sin x)，
h′(x)＝－2exsin x.
當x∈時，h′(x)＝－2exsin x≤0，h(x)單調遞減，則h(x)≤h(0)＝0，則g′(x)≤0，
則g(x)在內單調遞減，
故g(x)在上的最大值為g(0)＝1－m＝0，所以m＝1.
15．解：(1)由f(x)＝x3－x2－2x＋1，x∈R，得f′(x)＝ x2－x－2，令f′(x)＝ x2－x－2>0，得x<－1或x>2，
令f′(x)＝ x2－x－2<0，得－1故f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(2，＋∞)，單調遞減區間為(－1,2)．
(2)由(1)可知f(x)的極大值為f(－1)＝，極小值為f(2)＝－.
(3)函數f(x)在[a，＋∞)上的最小值是－，
故f(a)≥f(2)＝－，由f(x)＝f(2)＝－可知x＝2是x3－x2－2x＋1＝－的一個解，故(x－2)2(2x＋5)＝0，解得x＝－或x＝2，
由于f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，(2，＋∞)，單調遞減區間為(－1,2)，
故要使得函數f(x)在[a，＋∞)上的最小值是－，只需－≤a≤2，即實數a的取值范圍為.
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