資源簡介

第2課時　函數(shù)的極值與最值的綜合問題
[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué)]
[課時目標(biāo)]　
利用導(dǎo)數(shù)會求解含參函數(shù)的極值、最值問題.了解導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用.
題型(一)　含參數(shù)的極值問題
[例1]　設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)存在極值M,求證:M≤0.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　求含參函數(shù)極值的步驟與求不含參數(shù)函數(shù)極值的步驟相同,但要注意有時需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.
　　[針對訓(xùn)練]
1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1,其中 a ≥1.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論f(x)的極值.
題型(二)　含參數(shù)的最值問題
[例2]　已知函數(shù)f(x)=ln x-ax,x∈(0,e],其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若x=1為f(x)的極值點,求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值;
(2)是否存在實數(shù)a,使得f(x)的最大值是-3 若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.
聽課記錄:
|思|維|建|模|
　　對參數(shù)進(jìn)行討論,其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0,等于0,小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒大于0或小于0,則函數(shù)在已知閉區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點后求極值,再與端點值比較后確定最值.
　　[針對訓(xùn)練]
2.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+1.
(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值,求實數(shù)a的值;
(2)當(dāng)x∈[-2,1]時,求函數(shù)f(x)的最大值.
3.已知函數(shù)f(x)=-ln x(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
題型(三)　導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用
[例3]　某造船公司年最高造船量是20艘,已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2-10x3(單位:萬元),成本函數(shù)為C(x)=460x+5 000(單位:萬元),又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);(提示:利潤=產(chǎn)值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時,可使公司造船的年利潤最大
(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么
聽課記錄:
|思|維|建|模|
解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題
(1)列函數(shù)解析式時,注意實際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.
(2)一般地,通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點,那么根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最小值即可,不必再與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較.
　　[針對訓(xùn)練]
4.將一塊2 m×6 m的矩形鋼板按如圖所示的方式劃線,要求①至⑦全為矩形,沿線裁去陰影部分,把剩余部分焊接成一個以⑦為底,⑤⑥為蓋的水箱,設(shè)水箱的高為x m,容積為y m3.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)x取何值時,水箱的容積最大
第2課時　函數(shù)的極值與最值的綜合問題
[題型(一)]
[例1]　解：(1)由題設(shè)f′(x)＝ex－a，
當(dāng)a≤0時，f′(x)>0恒成立，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，得x＝ln a，故在(－∞，ln a)上f′(x)<0，在(ln a，＋∞)上f′(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，＋∞)．
(2)證明：由(1)知，當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增，沒有極值；當(dāng)a>0時，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，
f(x)存在極小值M＝f(ln a)＝a－aln a－1.
令g(a)＝a－aln a－1(a>0)，則g′(a)＝－ln a，所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，g(a)在a＝1處取得最大值0，所以g(a)≤0恒成立，即M≤0.
[針對訓(xùn)練]
1．解：由已知得f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1.
(1)當(dāng)a＝1時，f′(x)＝6x2≥0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＞1時，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表.
x (－∞，0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
由表可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，(a－1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a－1)．
(2)由(1)知，當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)沒有極值．
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值1，在x＝a－1處取得極小值1－(a－1)3.
[題型(二)]
[例2]　解：(1)∵f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，∴f′(x)＝，由f′(1)＝0，得a＝1.
∴f′(x)＝，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)>0，
當(dāng)x∈(1，e]時，f′(x)<0，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，e]．f(x)的極大值為f(1)＝－1，也即f(x)的最大值為f(1)＝－1.
(2)∵f(x)＝ln x－ax，∴f′(x)＝，
①當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，
∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>0，舍去；
②當(dāng)a>0時，由f′(x)＝＝0，得x＝，當(dāng)0<時，∴x∈時，f′(x)>0；x∈時，f′(x)<0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又f(x)在(0，e]上的最大值為－3，
∴f(x)max＝f ＝－1－ln a＝－3，
∴a＝e2，符合題意；當(dāng)e≤，即0，舍去．
綜上，存在a符合題意，此時a＝e2.
[針對訓(xùn)練]
2．解：(1)由題意可知f′(x)＝3x2－3a，
所以f′(－1)＝0，即3－3a＝0解得a＝1，
經(jīng)檢驗a＝1，符合題意．所以a＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，x＝±，當(dāng)<<1即x －2 (－2， －) － (－， ) (， 1) 1
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －7＋ 6a ? 極大 值 ? 極小 值 ? 2－ 3a
f(－)＝2a＋1>2－3a，由表可知，所以f(x)的最大值為2a＋1.
當(dāng)1≤<2即1≤a<4時，f(x)和f′(x)隨x的變化情況如下表.
x －2 (－2， －) － (－，1) 1
f′(x) ＋ 0 －
f(x) －7＋6a ? 極大值 ? 2－3a
f(－)＝2a＋1，由表可知，所以f(x)的最大值為2a＋1.當(dāng)≥2即a≥4時，f′(x)＝3x2－3a≤0恒成立，即f(x)在[－2,1]內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(－2)＝－7＋6a.綜上所述，當(dāng)3．解：(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝，
①若a≤0，則f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；
②若a>0，則當(dāng)x>a時，f′(x)<0；
當(dāng)00，所以f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a，＋∞)上單調(diào)遞減．
(2)f′(x)＝，當(dāng)a≤時，f(x)在上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f＝2－ae；當(dāng)所以f(x)max＝f(e)＝－，
綜上，g(a)＝
[題型(三)]
[例3]　解：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N*，且1≤x≤20)，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－10(x＋1)3＋45(x＋1)2＋3 240(x＋1)－5 000－(－10x3＋45x2＋3 240x－5 000)＝－30x2＋60x＋3 275(x∈N*，且1≤x≤19)．
(2)P′(x) ＝－30x2＋90x＋3 240＝－30(x－12)·(x＋9)，∵x>0，∴P′(x) ＝0時，x＝12，
∴當(dāng)00，P(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>12時，P′(x)<0，P(x)單調(diào)遞減，
∴x＝12時，P(x)有最大值，即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．
(3) MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－30x2＋60x＋3 275＝－30(x－1)2＋3 305，
所以當(dāng)x≥1時，MP(x)單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為[1,19]，且x∈N*.
MP(x)單調(diào)遞減的實際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤與前一艘比較，利潤在減少．
[針對訓(xùn)練]
4．解：(1)由水箱的高為x m，得水箱底面的寬為(2－2x)m，長為＝(3－x)m.
故水箱的容積y＝(2－2x)(3－x)x＝2x3－8x2＋6x(0(2)由(1)得y′＝6x2－16x＋6，令y′＝0，
解得x＝(舍去)或x＝，
所以y＝2x3－8x2＋6x(01 / 2(共49張PPT)
函數(shù)的極值與最值的綜合問題
[教學(xué)方式:拓展融通課——習(xí)題講評式教學(xué)]
第2課時
課時目標(biāo)
利用導(dǎo)數(shù)會求解含參函數(shù)的極值、最值問題.了解導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　含參數(shù)的極值問題
題型(二)　含參數(shù)的最值問題
題型(三)　導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用
4
課時檢測
題型(一)　含參數(shù)的極值問題
01
[例1]　設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-1.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
解:由題設(shè)f'(x)=ex-a，
當(dāng)a≤0時，f'(x)>0恒成立，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R，
無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=ln a，
故在(-∞，ln a)上f'(x)<0，在(ln a，+∞)上f'(x)>0，
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，ln a)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，+∞).
(2)若f(x)存在極值M，求證:M≤0.
解:證明:由(1)知，當(dāng)a≤0時，f(x)在R上單調(diào)遞增，沒有極值;當(dāng)a>0時，f(x)在(-∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，+∞)上單調(diào)遞增，
f(x)存在極小值M=f(ln a)=a-aln a-1.
令g(a)=a-aln a-1(a>0)，則g'(a)=-ln a，
所以g(a)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，+∞)上單調(diào)遞減，g(a)在a=1處取得最大值0，所以g(a)≤0恒成立，即M≤0.
|思|維|建|模|
　　求含參函數(shù)極值的步驟與求不含參數(shù)函數(shù)極值的步驟相同，但要注意有時需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論.
針對訓(xùn)練
1.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1，其中a≥1.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
解:由已知得f'(x)=6x[x-(a-1)]，令f'(x)=0，解得x1=0，x2=a-1.
當(dāng)a=1時，f'(x)=6x2≥0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，+∞)，無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a>1時，f'(x)=6x[x-(a-1)].f'(x)，f(x)隨x的變化情況如下表.
x (-∞，0) 0 (0，a-1) a-1 (a-1，+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
由表可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，0)，(a-1，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，a-1).
(2)討論f(x)的極值.
解:由(1)知，當(dāng)a=1時，函數(shù)f(x)沒有極值.
當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在x=0處取得極大值1，
在x=a-1處取得極小值1-(a-1)3.
題型(二)　含參數(shù)的最值問題
02
[例2]　已知函數(shù)f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若x=1為f(x)的極值點，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值;
解:∵f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]，∴f'(x)=，由f'(1)=0，得a=1.
∴f'(x)=，當(dāng)x∈(0，1)時，f'(x)>0，當(dāng)x∈(1，e]時，f'(x)<0，
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，e].
f(x)的極大值為f(1)=-1，也即f(x)的最大值為f(1)=-1.
(2)是否存在實數(shù)a，使得f(x)的最大值是-3 若存在，求出a的值;若不存在，請說明理由.
解:∵f(x)=ln x-ax，∴f'(x)=，
①當(dāng)a≤0時，f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，
∴f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3，解得a=>0，舍去;
②當(dāng)a>0時，由f'(x)==0，得x=，當(dāng)0<即a>時，∴x∈時，f'(x)>0;x∈時，f'(x)<0，
∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又f(x)在(0，e]上的最大值為-3，∴f(x)max=f =-1-ln a=-3，
∴a=e2，符合題意;當(dāng)e≤，即0∴f(x)max=f(e)=1-ae=-3，解得a=>，舍去.
綜上，存在a符合題意，此時a=e2.
|思|維|建|模|
　　對參數(shù)進(jìn)行討論，其實質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒大于0或小于0，則函數(shù)在已知閉區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值.
針對訓(xùn)練
2.已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+1.
(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值，求實數(shù)a的值;
解:由題意可知f'(x)=3x2-3a，
所以f'(-1)=0，即3-3a=0解得a=1，
經(jīng)檢驗a=1，符合題意.所以a=1.
(2)當(dāng)x∈[-2，1]時，求函數(shù)f(x)的最大值.
解:由(1)知f'(x)=3x2-3a，令f'(x)=0，x=±，當(dāng)<<1即x -2 1
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) -7+6a ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 2-3a
f(-)=2a+1>2-3a，由表可知，所以f(x)的最大值為2a+1.
當(dāng)1≤<2即1≤a<4時，f(x)和f'(x)隨x的變化情況如下表.
x -2 1
f'(x) + 0 -
f(x) -7+6a ↗ 極大值 ↘ 2-3a
f(-)=2a+1，由表可知，所以f(x)的最大值為2a+1.
當(dāng)≥2即a≥4時，f'(x)=3x2-3a≤0恒成立，即f(x)在[-2，1]內(nèi)單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(-2)=-7+6a.綜上所述，當(dāng)3.已知函數(shù)f(x)=-ln x(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
解:函數(shù)f(x)的定義域為(0，+∞)，f'(x)=，
①若a≤0，則f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減;
②若a>0，則當(dāng)x>a時，f'(x)<0;當(dāng)00，
所以f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞增，在(a，+∞)上單調(diào)遞減.
(2)求f(x)在上的最大值g(a).
解:f'(x)=，當(dāng)a≤時，f(x)在上單調(diào)遞減，
所以f(x)max=f=2-ae;當(dāng)題型(三)　導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用
03
[例3]　某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3 700x+45x2-10x3(單位:萬元)，成本函數(shù)為C(x)=460x+5 000(單位:萬元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);(提示:利潤=產(chǎn)值-成本)
解: P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*，且1≤x≤20)，
MP(x)=P(x+1)-P(x)=-10(x+1)3+45(x+1)2+3 240(x+1)-5 000-(-10x3+
45x2+3 240x-5 000)=-30x2+60x+3 275(x∈N*，且1≤x≤19).
(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大
解: P'(x) =-30x2+90x+3 240=-30(x-12)·(x+9)，∵x>0，∴P'(x) =0時，x=12，∴當(dāng)00，P(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x>12時，P'(x)<0，P(x)單調(diào)遞減，∴x=12時，P(x)有最大值，即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大.
(3)求邊際利潤函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實際意義是什么
解: MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305，
所以當(dāng)x≥1時，MP(x)單調(diào)遞減，
所以單調(diào)遞減區(qū)間為[1，19]，且x∈N*.
MP(x)單調(diào)遞減的實際意義是:隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤與前一艘比較，利潤在減少.
|思|維|建|模|
解決優(yōu)化問題時應(yīng)注意的問題
(1)列函數(shù)解析式時，注意實際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域.
(2)一般地，通過函數(shù)的極值來求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義判斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點處的函數(shù)值進(jìn)行比較.
針對訓(xùn)練
4.將一塊2 m×6 m的矩形鋼板按如圖所示的方式劃線，要求①至⑦全為矩形，沿線裁去陰影部分，把剩余部分焊接成一個以⑦為底，⑤⑥為蓋的水箱，設(shè)水箱的高為x m，容積為y m3.
(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
解:由水箱的高為x m，得水箱底面的寬為(2-2x)m，長為=(3-x)m.
故水箱的容積y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8x2+6x(0(2)當(dāng)x取何值時，水箱的容積最大
解:由(1)得y'=6x2-16x+6，令y'=0，解得x=(舍去)或x=，
所以y=2x3-8x2+6x(0課時檢測
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
1.已知某商品的進(jìn)價為4元，通過多日的市場調(diào)查，該商品的市場銷量y(件)與商品售價x(元)的關(guān)系為y=e-x，則當(dāng)此商品的利潤最大時，該商品的售價x(元)為 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
√
解析:根據(jù)題意可得利潤函數(shù)f(x)=(x-4)e-x，f'(x)=e-x-(x-4)e-x=(5-x)e-x，當(dāng)x>5時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=5時，函數(shù)f(x)取最大值，故選A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.[多選]對于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex，下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.(-)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間
B.f(-)是f(x)的極小值，f()是f(x)的極大值
C.f(x)有最大值，沒有最小值
D.f(x)沒有最大值，也沒有最小值
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
解析:由f(x)=(2x-x2)ex得f'(x)=(2-x2)ex.當(dāng)f'(x)<0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，得(2-x2)ex<0，所以2-x2 <0，解得x>或x<-，所以A不正確;當(dāng)f'(x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，得(2-x2)ex>0，所以2-x2>0，解得-
0時，f(x)=(2x-x2)ex>0，解得02或x<0，因此函數(shù)有最大值，最大值為f()，沒有最小值，所以C正確，D不正確.故選BC.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
3.函數(shù)f(x)=的最大值為(　　)
A.a B.(a-1)e
C.e1-a D.ea-1
√
解析:f(x)=，則f'(x)=，所以當(dāng)x<1-a時，f'(x)>0，當(dāng)x>1-a時，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，1-a)上單調(diào)遞增，在(1-a，+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max=f(1-a)=ea-1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
4.當(dāng)a>0時，xln x-a=0的解有 (　　)
A.0個 B.1個
C.2個 D.不確定
√
解析:記f(x)=xln x，令f'(x)=1+ln x=0得x=，得f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)min=f=-，如圖，則y=a(a>0)與y=f(x)的圖象只有一個交點，故選B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
5.若對任意的x∈(0，+∞)，ax-ln(2x)≥1恒成立，則實數(shù)a的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
√
解析:令f(x)=ax-ln(2x)，x∈(0，+∞).∵ax-ln(2x)≥1恒成立，∴f(x)min≥1，f'(x)=a-，若a≤0，則f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，ax-ln(2x)≥1不恒成立，∴a>0.令f'(x)=0，解得x=.當(dāng)x∈時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.∴f(x)min=f=1-ln≥1，即ln≤0，即a≥2，∴a的最小值是2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
6.已知實數(shù)x>0，則函數(shù)y=xx的值域為(　　)
A.(0，+∞) B.(1，+∞)
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
解析:對y=xx的兩邊同時取自然對數(shù)得，ln y=xln x(x>0)，令f(x)=xln x(x>0)，則f'(x)=1+ln x，令f'(x)>0，解得x>，令f'(x)<0，解得00)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f(x)=xln x(x>0)在x=處取得極小值，也是最小值，且f=ln =-，故f(x)=xln x(x>0)的值域為，所以y=xx的值域為(，+∞).故選D.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
7.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln x，g(x)=2x，f(m)=g(n)，則mn的最小值是____.
-
解析:由函數(shù)f(x)=ln x，g(x)=2x，f(m)=g(n)，得ln m=2n，所以mn=mln m，m>0.令h(m)=mln m，m>0，則h'(m)=(1+ln m)，當(dāng)m>時，h'(m)>0，當(dāng)01
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
8.(5分)已知f(x)=-x2+mx+1在區(qū)間[-2，-1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值，則m的取值范圍是_________.
(-4，-2)
解析:f'(x)=m-2x，令f'(x)=0，得x=.由題設(shè)得-2<<-1，故m∈(-4，-2).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
9.(5分)設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V，那么其表面積最小時底面邊長為______.
解析:設(shè)底面邊長為x，則表面積S=x2+V(x>0).∴S'=(x3-4V).令S'=0，得x=.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
10.(5分)若函數(shù)f(x)=3x-x3在區(qū)間(a-1，a)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是________.
(-1，0)
解析:f'(x)=3-3x2=-3(x-1)(x+1)，當(dāng)x<-1或x>1時，f'(x)<0，當(dāng)-10，∴x=-1是函數(shù)f(x)的極小值點.∵函數(shù)f(x)=3x-x3在區(qū)間(a-1，a)上有最小值，即為極小值.∴a-1<-11
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
11.(10分)已知函數(shù)f(x)=x2+ln x.
(1)求y=f(x)在[1，e]上的最大值和最小值;(4分)
解:因為f(x)=x2+ln x，所以f'(x)=x+=，
當(dāng)x∈[1，e]時，f'(x)>0，
所以y=f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，
f(x)min=f(1)=，f(x)max=f(e)=e2+1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)求證:當(dāng)x∈(1，+∞)時，函數(shù)y=f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.(6分)
解:證明:設(shè)h(x)=x2+ln x-x3，則h'(x)=x+-2x2==，
當(dāng)x∈(1，+∞)時，h'(x)<0，則h(x)單調(diào)遞減，且h(1)=-<0，故x∈(1，+∞)時，h(x)<0，即x2+ln x1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
12.(10分)已知函數(shù)f(x)=aex+bx+1在x=0處有極值2.
(1)求a，b的值;(4分)
解:由已知，f'(x)=aex+b，
則解得
經(jīng)檢驗，a=1，b=-1符合題意.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)證明:f(x)>ex-x.(6分)
解:證明:由(1)可知，f(x)=ex-x+1.要證f(x)>ex-x，只需證ex-x+1>ex-x，
即ex-ex+1>0. 令g(x)= ex-ex+1，則g'(x)= ex-e，
令g'(x)=0，解得x=1，隨著x的變化，g'(x)，g(x)的變化情況如表所示.
x (-∞，1) 1 (1，+∞)
g'(x) - 0 +
g(x) ↘ 1 ↗
所以x=1時，g(x)有極小值即最小值g(1)=e1-e×1+1=1>0.故f(x)>ex-x成立.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
13.(15分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2+2ax.
(1)當(dāng)a=-2時，求f(x)的極值;(5分)
解:當(dāng)a=-2時，f(x)=x3-4x，f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2).
當(dāng)x<-2或x>2時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)-2故f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=-+8=，在x=2處取得極小值f(2)=-8=-.綜上，f(x)的極大值為，極小值為-.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)當(dāng)a∈(0，2)時，求函數(shù)f(x)在[-2a，a]上的最大值.(10分)
解: f(x)=x3+x2+2ax，x∈[-2a，a]，故f'(x)=x2+(a+2)x+2a=(x+2)(x+a)，x∈[-2a，a]，令f'(x)=0得x=-a或x=-2，
因為a∈(0，2)，當(dāng)-2a≥-2，即0f(x)在(-2a，-a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(-a，a)內(nèi)單調(diào)遞增，
所以f(x)max=max{f(-2a)，f(a)}，
因為f(-2a)=-a3+2a3+4a2-4a2=-a3<0，
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
f(a)=a3+a3+a2+2a2=a3+3a2>0，所以f(-2a)< f(a)，
所以f(x)max=a3+3a2;
當(dāng)-2a<-2，即1因為f(-2)=-+2a+4-4a=-2a+<-，f(a)=a3+a3+a2+2a2=a3+3a2>，
所以f(x)max=a3+3a2.綜上，f(x)max=a3+3a2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
14.(15分)已知函數(shù)f(x)=+sin x(a∈R)，e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=1且x∈(-∞，0]時，求f(x)的最小值;(5分)
解:當(dāng)a=1時，f(x)=+sin x，則f'(x)=+cos x，
當(dāng)x∈(-∞，0]時，0所以當(dāng)x∈(-∞，0]時，f'(x)=+cos x≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，f'(x)=0，所以f(x)在x∈(-∞，0]上是單調(diào)遞減，所以f(x)min=f(0)=1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
(2)若函數(shù)f(x)在上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.(10分)
①當(dāng)a≤0時，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，
沒有極值點，
②當(dāng)a>0時，易知f'(x)=+cos x在內(nèi)單調(diào)遞增，
因為f'=-a·<0，f'(0)=-a+1，當(dāng)a≥1時，x∈，f'(x)≤f'(0)=-a+1≤0，所以f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，沒有極值點;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3
4
2
當(dāng)00，所以存在x0∈使f'(x0)=0，當(dāng)x∈時，f'(x)<0，當(dāng)x∈(x0，0)時，f'(x)>0，
所以f(x)在x=x0處取得極小值，x0為極小值點.
綜上可知，若函數(shù)f(x)在上存在極值點，則實數(shù)a∈(0，1).課時檢測(五十一)　函數(shù)的極值與最值的綜合問題
(標(biāo)的題目為推薦講評題,配有精品課件.選擇題請在答題區(qū)內(nèi)作答,填空、解答題請在題后作答)
1.已知某商品的進(jìn)價為4元,通過多日的市場調(diào)查,該商品的市場銷量y(件)與商品售價x(元)的關(guān)系為y=e-x,則當(dāng)此商品的利潤最大時,該商品的售價x(元)為 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
2.[多選]對于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex,下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.(-,)是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間
B.f(-)是f(x)的極小值,f()是f(x)的極大值
C.f(x)有最大值,沒有最小值
D.f(x)沒有最大值,也沒有最小值
3.函數(shù)f(x)=的最大值為 (　　)
A.a B.(a-1)e
C.e1-a D.ea-1
4.當(dāng)a>0時,xln x-a=0的解有 (　　)
A.0個 B.1個
C.2個 D.不確定
5.若對任意的x∈(0,+∞),ax-ln(2x)≥1恒成立,則實數(shù)a的最小值是 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
6.已知實數(shù)x>0,則函數(shù)y=xx的值域為 (　　)
A.(0,+∞) B.(1,+∞)
C. D.
7.(5分)已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=2x,f(m)=g(n),則mn的最小值是　　　　.
8.(5分)已知f(x)=-x2+mx+1在區(qū)間[-2,-1]上的最大值就是函數(shù)f(x)的極大值,則m的取值范圍是　　　　　　　　.
9.(5分)設(shè)底為等邊三角形的直三棱柱的體積為V,那么其表面積最小時底面邊長為　　　　.
10.(5分)若函數(shù)f(x)=3x-x3在區(qū)間(a-1,a)上有最小值,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　.
11.(10分)已知函數(shù)f(x)=x2+ln x.
(1)求y=f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(4分)
(2)求證:當(dāng)x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=f(x)的圖象在函數(shù)g(x)=x3的圖象的下方.(6分)
12.(10分)已知函數(shù)f(x)=aex+bx+1在x=0處有極值2.
(1)求a,b的值;(4分)
(2)證明:f(x)>ex-x.(6分)
13.(15分)已知函數(shù)f(x)=x3+x2+2ax.
(1)當(dāng)a=-2時,求f(x)的極值;(5分)
(2)當(dāng)a∈(0,2)時,求函數(shù)f(x)在[-2a,a]上的最大值.(10分)
14.(15分)已知函數(shù)f(x)=+sin x(a∈R),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)a=1且x∈(-∞,0]時,求f(x)的最小值;(5分)
(2)若函數(shù)f(x)在上存在極值點,求實數(shù)a的取值范圍.(10分)
課時檢測(五十一)
1．選A　根據(jù)題意可得利潤函數(shù)f(x)＝(x－4)e－x，f′(x)＝e－x－(x－4)e－x＝(5－x)·e－x，當(dāng)x>5時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)00，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝5時，函數(shù)f(x)取最大值，故選A.
2．選BC　由f(x)＝(2x－x2)ex得f′(x)＝(2－x2)ex.當(dāng)f′(x)<0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，得(2－x2)ex<0，所以2－x2 <0，解得x>或x<－，所以A不正確；當(dāng)f′(x)>0時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，得(2－x2)ex>0，所以2－x2>0，解得－0時，f(x)＝(2x－x2)ex>0，解得02或x<0，因此函數(shù)有最大值，最大值為f()，沒有最小值，所以C正確，D不正確．故選BC.
3．選D　f(x)＝，則f′(x)＝，所以當(dāng)x<1－a時，f′(x)>0，當(dāng)x>1－a時，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上單調(diào)遞增，在(1－a，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)max＝f(1－a)＝ea－1.
4.選B　記f(x)＝xln x，令f′(x)＝1＋ln x＝0得x＝，得f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f(x)min＝f＝－，如圖，則y＝a(a＞0)與y＝f(x)的圖象只有一個交點，故選B.
5．選A　令f(x)＝ax－ln(2x)，x∈(0，＋∞)．∵ax－ln(2x)≥1恒成立，∴f(x)min≥1，f′(x)＝a－，若a≤0，則f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，ax－ln(2x)≥1不恒成立，
∴a＞0.令f′(x)＝0，解得x＝.當(dāng)x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．∴f(x)min＝f＝1－ln≥1，即ln≤0，即a≥2，∴a的最小值是2.
6．選D　對y＝xx的兩邊同時取自然對數(shù)得，ln y＝xln x(x>0)，令f(x)＝xln x(x>0)，則f′(x)＝1＋ln x，令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0，解得00)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故f(x)＝xln x(x>0)在x＝處取得極小值，也是最小值，且f＝ln ＝－，故f(x)＝xln x(x>0)的值域為，所以y＝xx的值域為(e－，＋∞)．故選D.
7．解析：由函數(shù)f(x)＝ln x，g(x)＝2x，f(m)＝g(n)，得ln m＝2n，所以mn＝mln m，m>0.令h(m)＝mln m，m>0，則h′(m)＝(1＋ln m)，當(dāng)m>時，h′(m)>0，當(dāng)0答案：－
8．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.由題設(shè)得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
9．解析：設(shè)底面邊長為x，則表面積S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
答案：
10．解析：f′(x)＝3－3x2＝－3(x－1)(x＋1)，當(dāng)x＜－1或x＞1時，f′(x)＜0，當(dāng)－1＜x＜1時，f′(x)＞0，∴x＝－1是函數(shù)f(x)的極小值點．∵函數(shù)f(x)＝3x－x3在區(qū)間(a－1，a)上有最小值，即為極小值．∴a－1＜－1＜a，解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
11．解：(1)因為f(x)＝x2＋ln x，所以f′(x)＝x＋＝，當(dāng)x∈[1，e]時，f′(x)>0，所以y＝f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
(2)證明：設(shè)h(x)＝x2＋ln x－x3，
則h′(x)＝x＋－2x2＝＝，
當(dāng)x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，則h(x)單調(diào)遞減，且h(1)＝－<0，故x∈(1，＋∞)時，h(x)<0，即x2＋ln x所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時，函數(shù)y＝f(x)的圖象在函數(shù)g(x)＝x3的圖象的下方．
12．解：(1)由已知，f′(x)＝aex＋b，
則解得
經(jīng)檢驗，a＝1，b＝－1符合題意．
(2)證明：由(1)可知，f(x)＝ex－x＋1.
要證f(x)>ex－x，只需證ex－x＋1>ex－x，即ex－ex＋1>0.
令g(x)＝ ex－ex＋1，則g′(x)＝ ex－e，
令g′(x)＝0，解得x＝1，
隨著x的變化，g′(x)，g(x)的變化情況如表所示.
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
g′(x) － 0 ＋
g(x) ? 1 ?
所以x＝1時，g(x)有極小值即最小值g(1)＝e1－e×1＋1＝1>0.
故f(x)>ex－x成立．
13．解：(1)當(dāng)a＝－2時，f(x)＝x3－4x，
f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
當(dāng)x<－2或x>2時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
當(dāng)－2故f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝－＋8＝，在x＝2處取得極小值f(2)＝－8＝－.
綜上，f(x)的極大值為，極小值為－.
(2) f(x)＝x3＋x2＋2ax，x∈[－2a，a]，故f′(x)＝x2＋(a＋2)x＋2a＝(x＋2)(x＋a)，x∈[－2a，a]，令f′(x)＝0得x＝－a或x＝－2，因為a∈(0,2)，當(dāng)－2a≥－2，即00，所以f(－2a)< f(a)，所以f(x)max＝a3＋3a2；當(dāng)－2a<－2，即1所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}，
因為f(－2)＝－＋2a＋4－4a＝－2a＋<－，f(a)＝a3＋a3＋a2＋2a2＝a3＋3a2>，所以f(x)max＝a3＋3a2.綜上，f(x)max＝a3＋3a2.
14．解：(1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝＋sin x，
則f′(x)＝＋cos x，
當(dāng)x∈(－∞，0]時，0又因為cos x≤1，所以當(dāng)x∈(－∞，0]時，f′(x)＝＋cos x≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，f′(x)＝0，所以f(x)在x∈(－∞，0]上是單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(0)＝1.
(2)f′(x)＝＋cos x，
因為x∈，所以cos x>0，ex>0，
①當(dāng)a≤0時，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，沒有極值點，
②當(dāng)a>0時，易知f′(x)＝＋cos x在內(nèi)單調(diào)遞增，因為f′＝－a·e<0，f′(0)＝－a＋1，當(dāng)a≥1時，x∈，f′(x)≤f′(0)＝－a＋1≤0，
所以f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，沒有極值點；當(dāng)00，所以存在x0∈使f′(x0)＝0，當(dāng)x∈時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(x0,0)時，f′(x)>0，所以f(x)在x＝x0處取得極小值，x0為極小值點．
綜上可知，若函數(shù)f(x)在上存在極值點，則實數(shù)a∈(0,1)．
1 / 2

展開更多......

收起↑