資源簡介

廣東省清遠市連州中學2025年中考一模數學試題
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·連州模擬）中國傳統紋飾圖案不但蘊含了豐富的文化，而且大多數圖案還具有對稱美．下列紋飾圖案中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是中心對稱圖形， 故選項錯誤，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，故選項正確，符合題意．
故選：D．
【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義即：把一個圖形繞某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形定義逐項判斷即可．
2．（2025·連州模擬）某型號手機作為首款搭載純鴻蒙系統和自主芯片的手機，在開放預約購買后，引起全民的追捧，截止發布會前，預約購買人數達到334萬，那么用科學記數法表示334萬為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：334萬，
故選：B．
【分析】
本題考查科學記數法表示較大的數，將一個數表示為的形式，其中為整數，n的值比位數少1.這種記數方法叫做科學記數法，關鍵是確定a、n的值。
3．（2025·連州模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
【分析】
本題主要考查了積的乘方計算，冪的乘方，同底數冪乘除法計算，根據對應的計算法則分別計算出每個選項中式子的結果即可得到答案．
4．（2025·連州模擬）若代數式 在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．且
【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故選：D．
【分析】利用二次根式有意義的條件：被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不等于0，可得到關于x的不等式組，然后解不等式組求出x的取值范圍.
5．（2025·連州模擬）根據惠州市教育局的體育中考政策，男子1000米、女子800米是體育中考必考項目，而跳繩是選考項目．九年級（1）班共有40人選考了跳繩，以下是其中10人的模考跳繩成績，那么成績的中位數和眾數分別是（　　）
跳繩成績/個 170 176 182 184 200
人數 1 1 3 4 1
A．182，185 B．183，184 C．185，182 D．184，183
【答案】B
【知識點】中位數；眾數
【解析】解：
把10人的跳繩成績排列如下：170，176，182，182，182，184，184，184，184，200
則其中位數為5、6個數據的平均數，即中位數，
由表可知成績為184的人數最多，
∴成績的眾數，
故選：B．
【分析】
本題考查了眾數和中位數的知識；找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩根數的平均數）為中位數，從而完成求解．
6．（2025·連州模擬）將一副三角板如圖放置，使點在上，，則的度數為（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【答案】D
【知識點】角的運算；平行線的性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選D．
【分析】根據題意得到，，再根據平行線的性質兩直線平行，內錯角相等得到，最后利用三角形內角和求出，．
7．（2025·連州模擬）如圖，電路圖上有3個開關A，B，C和一個小燈泡，同時閉合開關A，C或同時閉合開關B，C都可以使小燈泡發光．下列操作中，使“小燈泡發光”的事件是隨機事件的是（　　）
A．不閉合開關 B．只閉合1個開關
C．只閉合2個開關 D．閉合3個開關
【答案】C
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】
A：不閉合開關
若不閉合任何開關，則電路中沒有電流，小燈泡一定不會發光，屬于不可能事件，因此選項A不符合題意。
B：只閉合1個開關
若只閉合一個開關（如A、B或C），此時無法滿足同時閉合A和C或同時閉合B和C的條件，小燈泡必然不會發光，屬于不可能事件，因此選項B不符合題意。
C：只閉合2個開關
若只閉合2個開關，存在兩種情況：
閉合A和C：此時滿足條件，小燈泡發光。屬于必然事件
閉合B和C：此時也滿足條件，小燈泡發光。屬于必然事件
閉合A和B：此時不滿足條件，小燈泡不發光。屬于不可能事件
由于閉合兩個開關可能為A和C、B和C或A和B，其中兩種情況會發光，一種不會，因此“小燈泡發光”是否發生取決于具體閉合的開關組合，屬于隨機事件，選項C符合題意。
D：閉合3個開關
若閉合所有三個開關（A、B、C），此時A和C同時閉合、B和C同時閉合均滿足條件，小燈泡必然發光，屬于必然事件，因此選項D不符合題意。
故答案為：C
【分析】
根據事件的定義，判斷各選項操作下小燈泡是否發光的情況，進而確定是否為隨機事件。
8．（2025·連州模擬）如圖所示，點A，B，C對應的刻度分別為1，3，5，將線段繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形的邊上時，記為點，則此時線段掃過的圖形的面積為（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】D
【知識點】扇形面積的計算；求特殊角的三角函數值
【解析】【解答】解：由圖可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
線段掃過的圖形為扇形，此扇形的半徑為，
∴，
故選：D．
【分析】由題意可知，AC掃過的圖形為一個扇形，半徑為4，需求出圓心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA掃過的面積。
9．（2025·連州模擬）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x，y的二元一次方程組中符合題意的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】一元一次方程的實際應用-古代數學問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：，
故答案為：C.
【分析】由題意“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，可列出二元一次方程組，即可得解.
10．（2025·連州模擬）如圖1，中，，，．點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖2所示，則的值為（　　）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【知識點】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
當點在上時，
，，，
，
，
即，
，
，
，
當時，，
如圖，當點在上時，
，，
又，
，
，
即，
，
，
當時，，
．
故選：B．
【分析】
分點在和上兩種情況進行討論，再利用相似三角形求出對應情況下的底和高進而求出面積的表達式，即可求出結果．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·連州模擬）分解因式3x3-12x=　 　
【答案】3x（x+2）（x-2）
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：3x3-12x
=3x（x2-4）--（提取公因式）
=3x（x-2）（x+2）．
【分析】注意將提取公因式與乘法公式綜合應用，將整式提取公因式后再次利用公式分
12．（2025·連州模擬）已知點和點關于原點對稱，則　 　．
【答案】
【知識點】關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點與點關于原點對稱，
∴，，
則．
故答案為：．
【分析】
此題主要考查了關于原點對稱點的定義，關于原點對稱點定義：若點 ( ， )關于原點對的點為 '，則 '的坐標為( ， )。 直接利用關于原點對稱點的定義得出a，b的值，即可得出答案．
13．（2025·連州模擬）不等式組的解集是　 　．
【答案】
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
故答案為：．
【分析】
本題主要考查了解一元一次不等式組，分別求出兩個不等式的解，然后求出其解集即可．求解集的方法遵循“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了”原則。
14．（2025·連州模擬）關于的方程無解，則反比例函數的圖象在第　 　象限．
【答案】一、三
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；反比例函數的圖象；反比例函數的性質；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵關于的方程無解，
，
解得：，
∴反比例函數圖象在第一，三象限，
故答案為：一，三．
【分析】
本題考查了一元二次方程根的判別式，反比例函數的性質．根據一元二次方程根的判別式，求得K的取值范圍，再判斷反比例函數圖象所在象限即可．
15．（2025·連州模擬）如圖，正方形的邊長為4，動點，分別從點，同時出發，以相同的速度分別沿向移動，當點到達點時，運動停止，過點作的垂線，垂足為，連接，則長的最小值為　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜邊上的中線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：如圖，連接BD交EF于點O，
根據題意可得DE=BF，
四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即點O是正方形中心，
∴BD=
連接CO，取CO的中點M，連接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中點，OM=MC=PM=
當三點B、P、M共線時，BP最小，最小值為BM-PM=．
故答案為：．
【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的兩邊之差小于第三邊等定理．
如圖，連接BD交EF于點O，連接CO，取CO的中點M，連接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS證明△EOD≌△FOB，說明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中點，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 當B、P、M三點共線時，BP最小，最小值為BM-PM.
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·連州模擬）計算：．
【答案】解：原式
．
【知識點】負整數指數冪；二次根式的性質與化簡；化簡含絕對值有理數；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】本題考查了特殊角三角函數值、絕對值、二次根式、負整數指數冪的混合運算．先代入特殊角的三角函數值，再利用二次根式、絕對值、的性質化簡，再加減即可．
17．（2025·連州模擬）計算：，其中滿足方程．
【答案】解：
解方程
．
．
當時，原式．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；分式有無意義的條件；分式的化簡求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程、分式的化簡求值和分式有意義的條件．先求一元二次方程的根，再化簡分式，結合分式有意義的條件得到x的值，再代入化簡計算即可．
18．（2025·連州模擬）如圖，在中，，其中．
（1）請用尺規作圖在線段上找點，使得；（不要求寫作法）
（2）在（1）的條件下，求的長．
【答案】（1）解：如圖所示，作∠B=∠ACD，交AB于點D，點D即為所作點．
（2）解：AD=AB-BD=5-BD
∵△ACD∽△ABC
∴
即，
解得：BD=．
【知識點】尺規作圖-作一個角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】本題考查了尺規作圖和相似三角形的性質.
（1）根據兩個對應角分別相等的兩個三角形相似，由于∠A=∠A 只要作出∠B=∠ACD即可。具體作法
①以∠B的頂點為圓心，任意半徑畫弧，交∠B的兩邊于兩點M，N。②以∠C的頂點為圓心以相同半徑畫弧，交∠C的兩邊于兩點PQ，.③用圓規量取已知角中弧AB的長度，保持圓規張開的寬度不變，將圓規針尖放在點p，畫弧交之前的弧于點E，④連接CE并延長交AB于D.如圖
（2）AD=AB-BD=5-BD，根據相似列比例式即可求解．
（1）解：如圖所示，作，交于點，點即為所作點．
（2）解：，
，
即，
解得：．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·連州模擬）為了更好地打響惠州品牌的名聲，惠州市文體局舉辦了惠州第一屆“樂跑山水惠州，盡享東坡文華”馬拉松賽事．作為惠州本地的第一屆馬拉松賽事，全民都積極踴躍參與，而小明和小強也如愿中簽并加入了馬拉松賽事．文體局為了舉辦一場體驗感更強的賽事，賽事沿路采取交通管制，對于參加賽事的運動員采取接駁點統一接送的措施．小強和小明家距離接駁上車點較近的都是以下4個停靠點：下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店．
（1）求小強和小明在同一個停靠點上車的概率；
（2）馬拉松的“PB”是指刷新自己的最好成績，賽后隨機采訪了15人，其中5人表示“PB”了，若本次參加馬拉松賽事的有3000人，請估算本次馬拉松賽事“PB”的人數．
【答案】（1）解：用分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠點，用樹狀圖表示結果如下：
由樹狀圖可知，出現等可能的結果共有16種，其中小明和小強在同一停靠點上車（事件記為）的結果共有4種，
則
；
（2）解：估計本次馬拉松賽事“PB”的人數為人．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體.
（1）用A、B、C、D分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠。點畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及小強和小明在同一個停靠點上車的結果數，再利用概率公式可得出答案；
（2）根據“賽后隨機采訪了15人，其中5人表示“PB”了”先求出樣本中“PB”的占比，然后估算本次馬拉松賽事“PB”的人數．
（1）解：用分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠點，用樹狀圖表示結果如下：
由樹狀圖可知，出現等可能的結果共有16種，其中小明和小強在同一停靠點上車（事件記為）的結果共有4種，
則；
（2）解：估計本次馬拉松賽事“PB”的人數為人．
20．（2025·連州模擬）如圖1是一輛高空作業升降車在某次工作時的實景圖，圖2是它的示意圖．已知點A，B，C，D，E，F，G在同一平面內，四邊形為矩形，點B，C在地面l上，，是可以伸縮的起重臂，轉動點E到l的距離為2米．當米，米，，時，求操作平臺G到l的距離．
【答案】解：如圖，過點G作于點H，過點F分別作于點M，交BC于點P，于點N，
則，
在中，，，
∴，
∵點E到地面l的距離為2米，四邊形為矩形，點B，C在地面l上，
∴，，四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平臺G到l的距離為米
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【分析】過點G作于點H，過點F分別作于點M，交BC于點P，于點N，在中，利用解直角三角形求出FM的長；易證四邊形和四邊形是矩形，利用矩形的性質可求出MP，NH的長，同時可求出∠GFN的度數，然后在中，利用解直角三角形求出GN的長，根據GH=GN+NH，代入計算求出GH的長即可.
21．（2025·連州模擬）請閱讀材料，并完成下列問題．
阿基米德折弦定理
阿基米德，偉大的數學家之一，其與牛頓、高斯并成為三大數學王子．在《阿基米德全集》中記載了阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦，其中是的中點，過點向作交于點，則就是折弦的中點，即．
（1）下面是用“截長法”證明的部分過程．
證明：如圖2，在上截取，連接．
是的中點，
．
．
．．．
請根據上面的證明思路，寫出證明的剩余部分．
（2）在圖1中，若，求的半徑．
【答案】（1）證明：
在中，∠A=∠C，（同弧所對的圓周角相等）
在△ABD和△CED，
∠A=∠C
AB=EC
AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=ED，
又∵DM⊥BC，
∴BM=ME，（等腰三角形三線合一）
∴CM=EC+EM=AB+BM．
（2）解：如圖，過點O作OF⊥DM于點F，OG⊥BC于點G，連接DO、CO、MO
由（1）可知
∵OG⊥BC于點G，
∴CG=BG=4，(垂徑定理）
MG=MC-CG=1
在△DMO和△CMO 中
DM=CM=5，DO=CO，MO=MO
∴△DMO≌△CMO (SSS)
∴∠OMD=∠OMC=45°，∠MOG=90°-45°=45°
∴MG=OG=1
在Rt△COG中
∴
故圓的半徑是．
【知識點】勾股定理；垂徑定理的實際應用；等腰三角形的性質-三線合一；圓周角定理的推論
【解析】【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握同弧所對弦相等、同弧所對的圓周角相等，垂徑定理、全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，合理作出輔助線是關鍵．
（1）根據題意利用SAS可證△ABD≌△CED，可得BD=ED，得到△BDE是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一，得到BM=ME，由CM=EC+EM=AB+BM即可求證；
（2）如圖，過點O作OF⊥DM于點F，OG⊥BC于點G，連接DO、CO、MO，根據問題1的結論和已知條件及垂徑定理，可以求出CG、MG.再根據SSS證明△DMO≌△CMO，求出∠OMG=∠GMO=∠=45°
因而得到MG=OG.然后在Rt△COG中利用勾股定理求出OC(半徑）的長度。
（1）證明：是的中點，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如圖，過點作于點，于點，連接，，，
由（1）可知，
過圓心且，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·連州模擬）如圖，正方形的邊長是是邊的中點，是邊上的一個動點，將沿著折疊，使得點落在點，連接．
（1）點在運動過程中，求的最小值；
（2）點在運動過程中，求面積的最小值；
（3）當是等腰三角形時，請直接寫出的長度．
【答案】（1）解：如圖1，以點E為圓心、AE長為半徑作圓E，則B在圓E上，連接DE與圓E的交點為B，當E、B、D在同一條直線上，此時DB有最小值．
∴DB=DE-EB=
所以DB最小值是
（2）解：當點F運動到點C時，此時點B距離AD最短．此時△ADB的面積最小如圖2，過點B作MN∥BC分別交AB，CD于點M，N，四邊形AMND和四邊形BMNC是矩形，
∴MN=AD=4
∵∠BMN=∠CNM=90°，∠B=∠EB C=90°
∠MBE+∠NBC=90°，∠MBE+∠MEB=90°
∴∠MEB=∠NBC
∴△MEB∽NBC(AA)
設AM=DN=x，則ME=2-x， NC=4-x，
解得．
面積的最小值為．
（3）1或2
【知識點】勾股定理的應用；正方形的判定與性質；圓的相關概念；翻折變換（折疊問題）
【解析】【分析】本題考查了正方形的性質與判定，折疊的性質，圓的性質，勾股定理，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質，難度較大，屬中考壓軸題．（1）以點E為圓心、AE長為半徑作圓E，則B在圓E上，連接DE與圓E的交點為B，當E、B、D在同一條直線上，此時DB有最小值．在Rt△AED中勾股定理求出DE，而DB=DE-EB即可求解。
（2）當點F運動到點C時，此時點B距離AD最短．此時△ADB的面積最小，如圖2，過點B作MN∥BC分別交AB，CD于點M，N. 用一線三直角模型證明△MEB∽NBC得到
設△ADB的高為x，根據比例關系， MB，NB的長度用含有x的代數式表示出來，根據 MB+NB=4，求出x的值，繼而求出△ADB面積的最小值。
（3）分①當AD=BD=4時和②當AB=DB時兩種情況求解即可．
①當AD=BD=4時，利用SSS證明△ADE≌△BDE，得到∠DAE=∠DBE=90°，有折疊知∠FBE=90°
即可說明D、B，F共線，設BF=x，有含有x的式子表示FC、DF，在直角三角形CDF中利用勾股定理求出x的值，
②當AB=DB時，B在AD的垂直平分線上，證明AEBH、EBFB均為正方形，BF=BE=2
（3） 由AE=EB=2，可知在△AEB中，AB＜AE+EB=4．AD=4，故AB＜4
若△AEB為等腰三角形，則只能為以下兩種情況：
①當AD=BD=4時，連接DE，如圖
AE=BE=BD，AD=BD ED=ED
∴△ADE≌△BDE．
∠DAE=∠DBE=90°．
由折疊可知∠FBE=90°，
∴∠FBD=∠FBE+∠EBD=180°
∴D、B、D三點共線．
設BF=FB=x，則CF=4-x DF=BF+BD=4+x．
由，得，
解得，
∴BF=1．
②當AB=DB時，B在AD的垂直平分線上，如圖
AH=2，
B到AB的距離是2
此時AEBH、EBFB是正方形，B是正方形的中心.
BF=BE=2，
綜上，BF的長度為1或2．
（1）如圖1，以點為圓心、長為半徑作圓，則在圓上，連接與圓的交點為，則此時有最小值．
是中點，
．
，
．
．
的最小值為．
（2）當點運動到點時，此時點距離最短．
如圖2，過點作分別交于點，四邊形和四邊形是矩形，
∴．
由，得．
，
．
．
．
設，則，
．
，
，
解得．
．
面積的最小值為．
（3）由，可知在中，．
而，故．
若為等腰三角形，則只能為以下兩種情況：
①當時，連接，
，
．
．
由折疊可知，
．
三點共線．
設，則．
由，得，
解得，
．
②當時，則點在的垂直平分線上，
點到的距離為．
，此時四邊形為正方形．
．
綜上，的長度為1或2．
23．（2025·連州模擬）在平面直角坐標系中，若一個點到兩坐標軸的距離相等，則該點稱為“雁點”，如等稱為“雁點”．若拋物線過點和，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若是拋物線上的“雁點”，求的面積．
（3）若是軸下方拋物線上一點，連接，以點為直角頂點構造等腰直角三角形，是否存在點，使得剛好為“雁點”？若存在，請直接寫出所有點的坐標．
【答案】（1）解：把和代入拋物線得
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：當時，則，解得
點A的坐標為，點B的坐標為．
．
設，由為拋物線上的“雁點”，
當
解得：
點的坐標為或
或
當
點C坐標或
的值為或或．
（3）存在，點的坐標為或或
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；二次函數-面積問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①當點C在點P左側時，過點P作軸的平行線MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別為M、N，如圖所示．
已知，設，
若，則．
則，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此時．
若，同理可求得或．
②當點在點右側時
若，同理可求得，不滿足點在軸下方，舍去；
若，同理可求得此時，
點的坐標為．
綜上，點的坐標為或或．
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，解二元一次方程組，三角形面積，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．
（1）根據待定系數法即可求解，把和代入拋物線求出b、C值即可求出拋物線的解析式。
（2）求出點的坐標為，點的坐標為，設，由為拋物線上的“雁點”，得或，求出點的坐標，再根據求解即可．（3）當點C在點P左側時，過點P作軸的平行線MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別為M、N，如圖所示．B(2，0)，設
①若C(m，m)，找出M、N的坐標，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根據一線三直角證明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程組求出p的值，繼而求出P點坐標。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐標。
當點C在點P右側時，①若C(m，m)，同理求出P點坐標，②若C(m，-m)，同理求出P點坐標
（1）解：拋物線過點和，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：當時，則，
解得，
點的坐標為，點的坐標為．
．
設，由為拋物線上的“雁點”，
得或，
解得：，
點的坐標為或或或．
，
的值為或或．
（3）解：存在．
①當點在點左側時，過點作軸的平行線，再作，垂足分別為，如圖所示．
已知，設，
若，則．
則，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此時．
若，同理可求得或．
②當點在點右側時，
若，同理可求得，不滿足點在軸下方，舍去；
若，同理可求得此時，
點的坐標為．
綜上，點的坐標為或或．
1 / 1廣東省清遠市連州中學2025年中考一模數學試題
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·連州模擬）中國傳統紋飾圖案不但蘊含了豐富的文化，而且大多數圖案還具有對稱美．下列紋飾圖案中是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·連州模擬）某型號手機作為首款搭載純鴻蒙系統和自主芯片的手機，在開放預約購買后，引起全民的追捧，截止發布會前，預約購買人數達到334萬，那么用科學記數法表示334萬為（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·連州模擬）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·連州模擬）若代數式 在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．且
5．（2025·連州模擬）根據惠州市教育局的體育中考政策，男子1000米、女子800米是體育中考必考項目，而跳繩是選考項目．九年級（1）班共有40人選考了跳繩，以下是其中10人的模考跳繩成績，那么成績的中位數和眾數分別是（　　）
跳繩成績/個 170 176 182 184 200
人數 1 1 3 4 1
A．182，185 B．183，184 C．185，182 D．184，183
6．（2025·連州模擬）將一副三角板如圖放置，使點在上，，則的度數為（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
7．（2025·連州模擬）如圖，電路圖上有3個開關A，B，C和一個小燈泡，同時閉合開關A，C或同時閉合開關B，C都可以使小燈泡發光．下列操作中，使“小燈泡發光”的事件是隨機事件的是（　　）
A．不閉合開關 B．只閉合1個開關
C．只閉合2個開關 D．閉合3個開關
8．（2025·連州模擬）如圖所示，點A，B，C對應的刻度分別為1，3，5，將線段繞點C按順時針方向旋轉，當點A首次落在矩形的邊上時，記為點，則此時線段掃過的圖形的面積為（　　）
A． B．6 C． D．
9．（2025·連州模擬）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，則下列關于x，y的二元一次方程組中符合題意的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2025·連州模擬）如圖1，中，，，．點從點出發沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖2所示，則的值為（　　）
A．54 B．52 C．50 D．48
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·連州模擬）分解因式3x3-12x=　 　
12．（2025·連州模擬）已知點和點關于原點對稱，則　 　．
13．（2025·連州模擬）不等式組的解集是　 　．
14．（2025·連州模擬）關于的方程無解，則反比例函數的圖象在第　 　象限．
15．（2025·連州模擬）如圖，正方形的邊長為4，動點，分別從點，同時出發，以相同的速度分別沿向移動，當點到達點時，運動停止，過點作的垂線，垂足為，連接，則長的最小值為　 　．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·連州模擬）計算：．
17．（2025·連州模擬）計算：，其中滿足方程．
18．（2025·連州模擬）如圖，在中，，其中．
（1）請用尺規作圖在線段上找點，使得；（不要求寫作法）
（2）在（1）的條件下，求的長．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·連州模擬）為了更好地打響惠州品牌的名聲，惠州市文體局舉辦了惠州第一屆“樂跑山水惠州，盡享東坡文華”馬拉松賽事．作為惠州本地的第一屆馬拉松賽事，全民都積極踴躍參與，而小明和小強也如愿中簽并加入了馬拉松賽事．文體局為了舉辦一場體驗感更強的賽事，賽事沿路采取交通管制，對于參加賽事的運動員采取接駁點統一接送的措施．小強和小明家距離接駁上車點較近的都是以下4個停靠點：下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店．
（1）求小強和小明在同一個停靠點上車的概率；
（2）馬拉松的“PB”是指刷新自己的最好成績，賽后隨機采訪了15人，其中5人表示“PB”了，若本次參加馬拉松賽事的有3000人，請估算本次馬拉松賽事“PB”的人數．
20．（2025·連州模擬）如圖1是一輛高空作業升降車在某次工作時的實景圖，圖2是它的示意圖．已知點A，B，C，D，E，F，G在同一平面內，四邊形為矩形，點B，C在地面l上，，是可以伸縮的起重臂，轉動點E到l的距離為2米．當米，米，，時，求操作平臺G到l的距離．
21．（2025·連州模擬）請閱讀材料，并完成下列問題．
阿基米德折弦定理
阿基米德，偉大的數學家之一，其與牛頓、高斯并成為三大數學王子．在《阿基米德全集》中記載了阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦，其中是的中點，過點向作交于點，則就是折弦的中點，即．
（1）下面是用“截長法”證明的部分過程．
證明：如圖2，在上截取，連接．
是的中點，
．
．
．．．
請根據上面的證明思路，寫出證明的剩余部分．
（2）在圖1中，若，求的半徑．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·連州模擬）如圖，正方形的邊長是是邊的中點，是邊上的一個動點，將沿著折疊，使得點落在點，連接．
（1）點在運動過程中，求的最小值；
（2）點在運動過程中，求面積的最小值；
（3）當是等腰三角形時，請直接寫出的長度．
23．（2025·連州模擬）在平面直角坐標系中，若一個點到兩坐標軸的距離相等，則該點稱為“雁點”，如等稱為“雁點”．若拋物線過點和，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）若是拋物線上的“雁點”，求的面積．
（3）若是軸下方拋物線上一點，連接，以點為直角頂點構造等腰直角三角形，是否存在點，使得剛好為“雁點”？若存在，請直接寫出所有點的坐標．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、不是中心對稱圖形， 故選項錯誤，不符合題意；
B、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
C、不是中心對稱圖形，故選項錯誤，不符合題意；
D、是中心對稱圖形，故選項正確，符合題意．
故選：D．
【分析】本題考查了中心對稱圖形的定義即：把一個圖形繞某個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，根據中心對稱圖形定義逐項判斷即可．
2．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：334萬，
故選：B．
【分析】
本題考查科學記數法表示較大的數，將一個數表示為的形式，其中為整數，n的值比位數少1.這種記數方法叫做科學記數法，關鍵是確定a、n的值。
3．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
【分析】
本題主要考查了積的乘方計算，冪的乘方，同底數冪乘除法計算，根據對應的計算法則分別計算出每個選項中式子的結果即可得到答案．
4．【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：由題意得，x+1≥0且x≠0，
解得x≥-1且x≠0．
故選：D．
【分析】利用二次根式有意義的條件：被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不等于0，可得到關于x的不等式組，然后解不等式組求出x的取值范圍.
5．【答案】B
【知識點】中位數；眾數
【解析】解：
把10人的跳繩成績排列如下：170，176，182，182，182，184，184，184，184，200
則其中位數為5、6個數據的平均數，即中位數，
由表可知成績為184的人數最多，
∴成績的眾數，
故選：B．
【分析】
本題考查了眾數和中位數的知識；找中位數要把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數（或兩根數的平均數）為中位數，從而完成求解．
6．【答案】D
【知識點】角的運算；平行線的性質；三角形內角和定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選D．
【分析】根據題意得到，，再根據平行線的性質兩直線平行，內錯角相等得到，最后利用三角形內角和求出，．
7．【答案】C
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】
A：不閉合開關
若不閉合任何開關，則電路中沒有電流，小燈泡一定不會發光，屬于不可能事件，因此選項A不符合題意。
B：只閉合1個開關
若只閉合一個開關（如A、B或C），此時無法滿足同時閉合A和C或同時閉合B和C的條件，小燈泡必然不會發光，屬于不可能事件，因此選項B不符合題意。
C：只閉合2個開關
若只閉合2個開關，存在兩種情況：
閉合A和C：此時滿足條件，小燈泡發光。屬于必然事件
閉合B和C：此時也滿足條件，小燈泡發光。屬于必然事件
閉合A和B：此時不滿足條件，小燈泡不發光。屬于不可能事件
由于閉合兩個開關可能為A和C、B和C或A和B，其中兩種情況會發光，一種不會，因此“小燈泡發光”是否發生取決于具體閉合的開關組合，屬于隨機事件，選項C符合題意。
D：閉合3個開關
若閉合所有三個開關（A、B、C），此時A和C同時閉合、B和C同時閉合均滿足條件，小燈泡必然發光，屬于必然事件，因此選項D不符合題意。
故答案為：C
【分析】
根據事件的定義，判斷各選項操作下小燈泡是否發光的情況，進而確定是否為隨機事件。
8．【答案】D
【知識點】扇形面積的計算；求特殊角的三角函數值
【解析】【解答】解：由圖可知：AC=A’C=4，BC=2，
∴，
∴，
線段掃過的圖形為扇形，此扇形的半徑為，
∴，
故選：D．
【分析】由題意可知，AC掃過的圖形為一個扇形，半徑為4，需求出圓心角∠BCA’在Rt△BCA’中，BC=2，CA=4，求出利用即可求出CA掃過的面積。
9．【答案】C
【知識點】一元一次方程的實際應用-古代數學問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：，
故答案為：C.
【分析】由題意“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，可列出二元一次方程組，即可得解.
10．【答案】B
【知識點】勾股定理；A字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得，，
當點在上時，
，，，
，
，
即，
，
，
，
當時，，
如圖，當點在上時，
，，
又，
，
，
即，
，
，
當時，，
．
故選：B．
【分析】
分點在和上兩種情況進行討論，再利用相似三角形求出對應情況下的底和高進而求出面積的表達式，即可求出結果．
11．【答案】3x（x+2）（x-2）
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：3x3-12x
=3x（x2-4）--（提取公因式）
=3x（x-2）（x+2）．
【分析】注意將提取公因式與乘法公式綜合應用，將整式提取公因式后再次利用公式分
12．【答案】
【知識點】關于原點對稱的點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵點與點關于原點對稱，
∴，，
則．
故答案為：．
【分析】
此題主要考查了關于原點對稱點的定義，關于原點對稱點定義：若點 ( ， )關于原點對的點為 '，則 '的坐標為( ， )。 直接利用關于原點對稱點的定義得出a，b的值，即可得出答案．
13．【答案】
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【解答】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：．
故答案為：．
【分析】
本題主要考查了解一元一次不等式組，分別求出兩個不等式的解，然后求出其解集即可．求解集的方法遵循“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了”原則。
14．【答案】一、三
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；反比例函數的圖象；反比例函數的性質；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵關于的方程無解，
，
解得：，
∴反比例函數圖象在第一，三象限，
故答案為：一，三．
【分析】
本題考查了一元二次方程根的判別式，反比例函數的性質．根據一元二次方程根的判別式，求得K的取值范圍，再判斷反比例函數圖象所在象限即可．
15．【答案】
【知識點】勾股定理；正方形的性質；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜邊上的中線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：如圖，連接BD交EF于點O，
根據題意可得DE=BF，
四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFO=∠DEO，∠EDO=∠FBO
∴△EOD≌△FOB
∴BO=DO，
即點O是正方形中心，
∴BD=
連接CO，取CO的中點M，連接BM．
∴BO=DO=CO=.OM=
在Rt△OBM中
∴
在Rt△OPC中，M是CO的中點，OM=MC=PM=
當三點B、P、M共線時，BP最小，最小值為BM-PM=．
故答案為：．
【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的兩邊之差小于第三邊等定理．
如圖，連接BD交EF于點O，連接CO，取CO的中點M，連接BM．利用勾股定理求出BD，然后利用AAS證明△EOD≌△FOB，說明O是正方形的中心，得到BO=CO=DO，在Rt△OPC中，M是CO的中點，OM=MC=PM=，在Rt△OBM中，利用勾股定理求出BM， 當B、P、M三點共線時，BP最小，最小值為BM-PM.
16．【答案】解：原式
．
【知識點】負整數指數冪；二次根式的性質與化簡；化簡含絕對值有理數；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】本題考查了特殊角三角函數值、絕對值、二次根式、負整數指數冪的混合運算．先代入特殊角的三角函數值，再利用二次根式、絕對值、的性質化簡，再加減即可．
17．【答案】解：
解方程
．
．
當時，原式．
【知識點】完全平方公式及運用；平方差公式及應用；分式有無意義的條件；分式的化簡求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】此題考查了解一元二次方程、分式的化簡求值和分式有意義的條件．先求一元二次方程的根，再化簡分式，結合分式有意義的條件得到x的值，再代入化簡計算即可．
18．【答案】（1）解：如圖所示，作∠B=∠ACD，交AB于點D，點D即為所作點．
（2）解：AD=AB-BD=5-BD
∵△ACD∽△ABC
∴
即，
解得：BD=．
【知識點】尺規作圖-作一個角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】本題考查了尺規作圖和相似三角形的性質.
（1）根據兩個對應角分別相等的兩個三角形相似，由于∠A=∠A 只要作出∠B=∠ACD即可。具體作法
①以∠B的頂點為圓心，任意半徑畫弧，交∠B的兩邊于兩點M，N。②以∠C的頂點為圓心以相同半徑畫弧，交∠C的兩邊于兩點PQ，.③用圓規量取已知角中弧AB的長度，保持圓規張開的寬度不變，將圓規針尖放在點p，畫弧交之前的弧于點E，④連接CE并延長交AB于D.如圖
（2）AD=AB-BD=5-BD，根據相似列比例式即可求解．
（1）解：如圖所示，作，交于點，點即為所作點．
（2）解：，
，
即，
解得：．
19．【答案】（1）解：用分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠點，用樹狀圖表示結果如下：
由樹狀圖可知，出現等可能的結果共有16種，其中小明和小強在同一停靠點上車（事件記為）的結果共有4種，
則
；
（2）解：估計本次馬拉松賽事“PB”的人數為人．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】本題考查列表法與樹狀圖法、用樣本估計總體.
（1）用A、B、C、D分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠。點畫樹狀圖得出所有等可能的結果數以及小強和小明在同一個停靠點上車的結果數，再利用概率公式可得出答案；
（2）根據“賽后隨機采訪了15人，其中5人表示“PB”了”先求出樣本中“PB”的占比，然后估算本次馬拉松賽事“PB”的人數．
（1）解：用分別表示下埔公交站、濱江公園公交站、花邊嶺廣場公交站、金華悅酒店四個停靠點，用樹狀圖表示結果如下：
由樹狀圖可知，出現等可能的結果共有16種，其中小明和小強在同一停靠點上車（事件記為）的結果共有4種，
則；
（2）解：估計本次馬拉松賽事“PB”的人數為人．
20．【答案】解：如圖，過點G作于點H，過點F分別作于點M，交BC于點P，于點N，
則，
在中，，，
∴，
∵點E到地面l的距離為2米，四邊形為矩形，點B，C在地面l上，
∴，，四邊形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平臺G到l的距離為米
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【分析】過點G作于點H，過點F分別作于點M，交BC于點P，于點N，在中，利用解直角三角形求出FM的長；易證四邊形和四邊形是矩形，利用矩形的性質可求出MP，NH的長，同時可求出∠GFN的度數，然后在中，利用解直角三角形求出GN的長，根據GH=GN+NH，代入計算求出GH的長即可.
21．【答案】（1）證明：
在中，∠A=∠C，（同弧所對的圓周角相等）
在△ABD和△CED，
∠A=∠C
AB=EC
AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=ED，
又∵DM⊥BC，
∴BM=ME，（等腰三角形三線合一）
∴CM=EC+EM=AB+BM．
（2）解：如圖，過點O作OF⊥DM于點F，OG⊥BC于點G，連接DO、CO、MO
由（1）可知
∵OG⊥BC于點G，
∴CG=BG=4，(垂徑定理）
MG=MC-CG=1
在△DMO和△CMO 中
DM=CM=5，DO=CO，MO=MO
∴△DMO≌△CMO (SSS)
∴∠OMD=∠OMC=45°，∠MOG=90°-45°=45°
∴MG=OG=1
在Rt△COG中
∴
故圓的半徑是．
【知識點】勾股定理；垂徑定理的實際應用；等腰三角形的性質-三線合一；圓周角定理的推論
【解析】【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握同弧所對弦相等、同弧所對的圓周角相等，垂徑定理、全等三角形的判定和性質，勾股定理的運用，合理作出輔助線是關鍵．
（1）根據題意利用SAS可證△ABD≌△CED，可得BD=ED，得到△BDE是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一，得到BM=ME，由CM=EC+EM=AB+BM即可求證；
（2）如圖，過點O作OF⊥DM于點F，OG⊥BC于點G，連接DO、CO、MO，根據問題1的結論和已知條件及垂徑定理，可以求出CG、MG.再根據SSS證明△DMO≌△CMO，求出∠OMG=∠GMO=∠=45°
因而得到MG=OG.然后在Rt△COG中利用勾股定理求出OC(半徑）的長度。
（1）證明：是的中點，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如圖，過點作于點，于點，連接，，，
由（1）可知，
過圓心且，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：如圖1，以點E為圓心、AE長為半徑作圓E，則B在圓E上，連接DE與圓E的交點為B，當E、B、D在同一條直線上，此時DB有最小值．
∴DB=DE-EB=
所以DB最小值是
（2）解：當點F運動到點C時，此時點B距離AD最短．此時△ADB的面積最小如圖2，過點B作MN∥BC分別交AB，CD于點M，N，四邊形AMND和四邊形BMNC是矩形，
∴MN=AD=4
∵∠BMN=∠CNM=90°，∠B=∠EB C=90°
∠MBE+∠NBC=90°，∠MBE+∠MEB=90°
∴∠MEB=∠NBC
∴△MEB∽NBC(AA)
設AM=DN=x，則ME=2-x， NC=4-x，
解得．
面積的最小值為．
（3）1或2
【知識點】勾股定理的應用；正方形的判定與性質；圓的相關概念；翻折變換（折疊問題）
【解析】【分析】本題考查了正方形的性質與判定，折疊的性質，圓的性質，勾股定理，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質，難度較大，屬中考壓軸題．（1）以點E為圓心、AE長為半徑作圓E，則B在圓E上，連接DE與圓E的交點為B，當E、B、D在同一條直線上，此時DB有最小值．在Rt△AED中勾股定理求出DE，而DB=DE-EB即可求解。
（2）當點F運動到點C時，此時點B距離AD最短．此時△ADB的面積最小，如圖2，過點B作MN∥BC分別交AB，CD于點M，N. 用一線三直角模型證明△MEB∽NBC得到
設△ADB的高為x，根據比例關系， MB，NB的長度用含有x的代數式表示出來，根據 MB+NB=4，求出x的值，繼而求出△ADB面積的最小值。
（3）分①當AD=BD=4時和②當AB=DB時兩種情況求解即可．
①當AD=BD=4時，利用SSS證明△ADE≌△BDE，得到∠DAE=∠DBE=90°，有折疊知∠FBE=90°
即可說明D、B，F共線，設BF=x，有含有x的式子表示FC、DF，在直角三角形CDF中利用勾股定理求出x的值，
②當AB=DB時，B在AD的垂直平分線上，證明AEBH、EBFB均為正方形，BF=BE=2
（3） 由AE=EB=2，可知在△AEB中，AB＜AE+EB=4．AD=4，故AB＜4
若△AEB為等腰三角形，則只能為以下兩種情況：
①當AD=BD=4時，連接DE，如圖
AE=BE=BD，AD=BD ED=ED
∴△ADE≌△BDE．
∠DAE=∠DBE=90°．
由折疊可知∠FBE=90°，
∴∠FBD=∠FBE+∠EBD=180°
∴D、B、D三點共線．
設BF=FB=x，則CF=4-x DF=BF+BD=4+x．
由，得，
解得，
∴BF=1．
②當AB=DB時，B在AD的垂直平分線上，如圖
AH=2，
B到AB的距離是2
此時AEBH、EBFB是正方形，B是正方形的中心.
BF=BE=2，
綜上，BF的長度為1或2．
（1）如圖1，以點為圓心、長為半徑作圓，則在圓上，連接與圓的交點為，則此時有最小值．
是中點，
．
，
．
．
的最小值為．
（2）當點運動到點時，此時點距離最短．
如圖2，過點作分別交于點，四邊形和四邊形是矩形，
∴．
由，得．
，
．
．
．
設，則，
．
，
，
解得．
．
面積的最小值為．
（3）由，可知在中，．
而，故．
若為等腰三角形，則只能為以下兩種情況：
①當時，連接，
，
．
．
由折疊可知，
．
三點共線．
設，則．
由，得，
解得，
．
②當時，則點在的垂直平分線上，
點到的距離為．
，此時四邊形為正方形．
．
綜上，的長度為1或2．
23．【答案】（1）解：把和代入拋物線得
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：當時，則，解得
點A的坐標為，點B的坐標為．
．
設，由為拋物線上的“雁點”，
當
解得：
點的坐標為或
或
當
點C坐標或
的值為或或．
（3）存在，點的坐標為或或
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；二次函數-面積問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【解答】
（3）解：存在．
①當點C在點P左側時，過點P作軸的平行線MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別為M、N，如圖所示．
已知，設，
若，則．
則，，，，
∵∠MCP+∠MPC=∠MPC+∠BPN=90°
∴∠MCP=∠BPN
∠CMP=∠PNB=90°
PC=PD
∴△CMP≌△PNB，
，
即，
解得，
此時．
若，同理可求得或．
②當點在點右側時
若，同理可求得，不滿足點在軸下方，舍去；
若，同理可求得此時，
點的坐標為．
綜上，點的坐標為或或．
【分析】本題考查二次函數的綜合應用，涉及待定系數法，解二元一次方程組，三角形面積，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．
（1）根據待定系數法即可求解，把和代入拋物線求出b、C值即可求出拋物線的解析式。
（2）求出點的坐標為，點的坐標為，設，由為拋物線上的“雁點”，得或，求出點的坐標，再根據求解即可．（3）當點C在點P左側時，過點P作軸的平行線MN，再作CM⊥MN，BN⊥MN，垂足分別為M、N，如圖所示．B(2，0)，設
①若C(m，m)，找出M、N的坐標，用含有p、m的式子表示BN、PM、NP、CM。再根據一線三直角證明△CMP≌△PNB，得到BN=PM，PN=CM建立方程組求出p的值，繼而求出P點坐標。
②若C(m，-m)，同理求出P的坐標。
當點C在點P右側時，①若C(m，m)，同理求出P點坐標，②若C(m，-m)，同理求出P點坐標
（1）解：拋物線過點和，
，
解得，
拋物線的解析式為．
（2）解：當時，則，
解得，
點的坐標為，點的坐標為．
．
設，由為拋物線上的“雁點”，
得或，
解得：，
點的坐標為或或或．
，
的值為或或．
（3）解：存在．
①當點在點左側時，過點作軸的平行線，再作，垂足分別為，如圖所示．
已知，設，
若，則．
則，，，，
∵，
∴，
，
即，
解得，
此時．
若，同理可求得或．
②當點在點右側時，
若，同理可求得，不滿足點在軸下方，舍去；
若，同理可求得此時，
點的坐標為．
綜上，點的坐標為或或．
1 / 1

展開更多......

收起↑