資源簡(jiǎn)介

廣東省深圳市15校2025年九年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（5月）
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（2025·深圳一模）在，0，5中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
2．（2025·深圳一模）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳一模）在對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，小華列出了方差的計(jì)算公式：，由公式的提供信息，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．樣本的平均數(shù)是3.5 B．樣本的眾數(shù)是3
C．樣本的中位數(shù)是3 D．樣本的容量是4
4．（2025·深圳一模）如圖，已知，，點(diǎn)B、O、D在同一條直線(xiàn)上，則的度數(shù)為（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
5．（2025·深圳一模）如圖，在△ABC中AD平分∠BAC，按以下步驟作圖：第一步分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；第二步，連接MN分別AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF，若BD=6，CD=3，CF=2，則AE的長(zhǎng)是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
6．（2025·深圳一模）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于點(diǎn)O，∠AOD=2∠AOB=120°，則BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
7．（2025·深圳一模）某地下車(chē)庫(kù)出口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖1所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，當(dāng)車(chē)輛經(jīng)過(guò)時(shí)，欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置，其示意圖如圖3所示（欄桿寬度忽略不計(jì)），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么適合該地下車(chē)庫(kù)的車(chē)輛限高標(biāo)志牌為（　　）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳一模）如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿折線(xiàn)CD-DE-EB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s.若P，Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）.已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A． B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形
C．當(dāng)時(shí)， D．
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
9．（2025·深圳一模）定義運(yùn)算“*”，規(guī)定x*y＝ax2+by，其中a、b為常數(shù)，且1*2＝5，2*1＝6，則3*8＝　 　．
10．（2025·深圳一模）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
11．（2025·深圳一模）如圖，等邊三角形ABC是由9個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，隨機(jī)地往△ABC內(nèi)投一粒米，這粒米落在陰影區(qū)域的概率為　 　.
12．（2025·深圳一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑作弧BC.則圖中陰影部分的面積為　 　.
13．（2025·深圳一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，與反比例函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)，若的面積為，則k的值　 　
三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
14．（2025·深圳一模）嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時(shí)，對(duì)于b2-4ac>0的情況，她是這樣做的：
由于，方程變形為： ，.............................第一步 ，............第二步 ，...................第三步 ，...........第四步 ............................第五步
（1）嘉淇的解法從第　 　步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；事實(shí)上，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　 　.
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
15．（2025·深圳一模）某大學(xué)舉行了百科知識(shí)競(jìng)賽，為了解此次競(jìng)賽成績(jī)的情況，隨機(jī)抽取部分參賽學(xué)生的成績(jī)，整理并制作出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問(wèn)題：
組別 成績(jī)x/分 頻數(shù)
A組 90≤x<100 a
B組 80≤x<90 12
C組 70≤x<80 8
D組 160≤x<70 6
（1）表中a=　 　；
（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（4）該大學(xué)共有240人參加競(jìng)賽，若成績(jī)?cè)?0分以上（包括70分）的為“優(yōu)”等，根據(jù)抽樣結(jié)果，估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”等的人數(shù)？
16．（2025·深圳一模）臨近六一，某商店分別用300元，800元購(gòu)進(jìn)一批數(shù)量相同的水彈玩具槍和軟蛋玩具槍?zhuān)總€(gè)水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)比每個(gè)軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)高5元．
（1）求水彈玩具槍和軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）這批水彈玩具槍和軟蛋玩具槍很快被一搶而空，該商店計(jì)劃再購(gòu)進(jìn)一批水彈玩具槍和軟蛋玩具槍?zhuān)藭r(shí)每張水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)上漲了m元，購(gòu)進(jìn)水彈玩具槍字的數(shù)量在第一次的基礎(chǔ)上減少了8m張；軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)不變，購(gòu)進(jìn)水彈玩具槍的數(shù)量在第一次的基礎(chǔ)上減少了m副，總花費(fèi)1100元，求m的值．
17．（2025·深圳一模）如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，8）、B（-4，m）.
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求的面積；
（3）若，直接寫(xiě)出x的取值范圍.
18．（2025·深圳一模）如圖，在中，，以AB為直徑的交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且.
（1）求證：直線(xiàn)AP是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的半徑及的值.
19．（2025·深圳一模）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式　 　.
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z=　 　.
（4）【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：　 　.
20．（2025·深圳一模）綜合與實(shí)踐
【新知定義】在平面內(nèi)，兩個(gè)面積相等的三角形，若有公共頂點(diǎn)，且公共頂點(diǎn)所在的角相等，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形關(guān)于這個(gè)頂點(diǎn)成“友誼三角形”.例如：如圖1，在△ABC和△ADE中，若∠BAC＝∠DAE，S△ABC=S△ADE，則△ABC和△ADE關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”.
（1）【特例初探】數(shù)學(xué)社團(tuán)的小智同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如圖2，∠BAC=∠DAE=90°，S△ABC=S△ADE，連接BD、CE，可得到△BAD∽△EAC.理由如下：
即：① ▲ ∵ ∴② ▲ 又 .
根據(jù)小智的思路，請(qǐng)完成填空：①　 　②　 　
（2）【變式歸納】小慧思考：如果∠BAC=∠DAE≠90°，△BAD∽△EAC是否還成立？于是她作了進(jìn)一步探究：如圖3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，△ADE和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，連接CE，請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：
①AE= ▲ ；
②試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【遷移應(yīng)用】如圖4，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，請(qǐng)你借助以上結(jié)論或方法，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖4中作△APQ，使△APQ和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，且AQ=AC；
（4）【綜合提升】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，3）、B（2，0）.C是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AC為一邊在AC的右側(cè)構(gòu)造矩形ACDE，且矩形的面積始終是6，連接OE、BE.F是線(xiàn)段OE上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠OFB+∠AOE=∠OEB+90°，連接BF，則BF·OE的最小值為　 　.
答案解析部分
1．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念與分類(lèi)；化簡(jiǎn)含絕對(duì)值有理數(shù)；有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：分別計(jì)算各數(shù)的值，是正數(shù)化簡(jiǎn)后為2，是正數(shù)；=-1，是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；5是正數(shù)。
所以負(fù)數(shù)只有1個(gè)
故答案為：D.
【分析】 本題主要考查絕對(duì)值、乘方的運(yùn)算以及正負(fù)數(shù)的判斷。需要先根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)則分別計(jì)算出每個(gè)數(shù)的值，再依據(jù)正負(fù)數(shù)的定義來(lái)確定負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)
2．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；整式的混合運(yùn)算；合并同類(lèi)項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A：，，兩者不相等，所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
B：根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相減，，所以 B 選項(xiàng)正確。
C：根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則，，所以 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
D：根據(jù)冪的乘方法則，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，，所以 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
故選：B
【分析】 本題主要考查完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、合并同類(lèi)項(xiàng)以及冪的乘方等運(yùn)算規(guī)則，需要逐一分析每個(gè)選項(xiàng)是否正確運(yùn)用了相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則
3．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)；方差；眾數(shù)
【解析】【解答】解：根據(jù)方差計(jì)算公式，結(jié)合本題中的方差公式可得，數(shù)據(jù)為2、3、4，
∴平均數(shù)x=，沒(méi)有眾數(shù)，中位數(shù)是3，樣本容量是3，
因此正確的選項(xiàng)是C。
故答案為：C.
【分析】根據(jù)方差公式，其中n為樣本容量數(shù)，為平均數(shù)，對(duì)比小華列出的方差計(jì)算公式得出，n=3、就是x=3，然后結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義分析計(jì)算即可。
4．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角
【解析】【解答】解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)辄c(diǎn)B、O、D在同一條直線(xiàn)上，所以
故選：B.
【分析】 本題主要考查角的計(jì)算，涉及到直角和平角的概念，需要根據(jù)已知角的度數(shù)和角之間的關(guān)系來(lái)計(jì)算所求角的度數(shù)
5．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；相似三角形的判定；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由作圖步驟可知，MN是AD的垂直平分線(xiàn)
所以AE = DE，AF = DF
因?yàn)锳D平分∠BAC，
所以EAD=CAD，
又因?yàn)锳E = DE，
所以 EAD=EDA，
進(jìn)而CAD=EDA，所以DEAC，
同理DF AB，所以四邊形AEDF是菱形，AE = AF
因?yàn)镈EAC，所以，則
已知BD = 6，CD = 3，所以BC=BD + CD=9，
設(shè)AE = AF = x，則AC=x + 2，DE = x，可得，
解得x = 4，即AE = 4
故選：A.
【分析】 本題主要考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，需要根據(jù)作圖步驟得出相關(guān)線(xiàn)段和角的關(guān)系，再通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系來(lái)求解.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：首先，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，
所以O(shè)A = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因?yàn)锳OD = 2AOB)
又因?yàn)镺A = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等邊三角形
則OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根據(jù)勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故選：C.
【分析】本題圍繞矩形性質(zhì)（對(duì)角線(xiàn)相等且平分）、等邊三角形判定（有一個(gè)角為60 ° 的等腰三角形是等邊三角形 ）以及勾股定理展開(kāi)，利用矩形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系得出等邊三角形，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求邊.
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H
因?yàn)椋裕ㄠ徰a(bǔ)角性質(zhì)）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因?yàn)锳B = 1.2米，
所以車(chē)輛限高為AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故選：C.
【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用核心是通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解線(xiàn)段長(zhǎng)度。
輔助線(xiàn)作用：作，將分散的線(xiàn)段和角度關(guān)系集中到中，把 限高轉(zhuǎn)化為AB與EG的和，簡(jiǎn)化問(wèn)題
角度推導(dǎo)：利用AEF與 AEG的鄰補(bǔ)角關(guān)系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，為三角函數(shù)計(jì)算提供條件
三角函數(shù)應(yīng)用：在中，根據(jù)正弦函數(shù)定義，用AE和sin37計(jì)算EG，最終得出限高.
8．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)；矩形的性質(zhì)；通過(guò)函數(shù)圖象獲取信息；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；已知某個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值
【解析】【解答】解：通過(guò)圖象信息確定點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)
首先，觀察圖象可知點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 為6s，在DE上運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為4s，點(diǎn)Q在BC上 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12s。因此，我們可以得出CD=6cm， DE=4cm， BC=12cm
A：利用矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)確定AE的長(zhǎng)度
由于AD=BC，所以AD=12cm，從而得出AE=AD-DE=12cm-4cm=8cm，故選項(xiàng)A錯(cuò).
B：利用三角函數(shù)和已知邊長(zhǎng)計(jì)算BM和QM的長(zhǎng)度，并判斷PBQ是 否為等腰三角形
當(dāng)t=12s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在BE上，此時(shí)BP=20-12-8cm
過(guò)點(diǎn)P作PMBC于點(diǎn)M，
在直角三角形BPM中，cosPBM=
又因PBM=AEB，
在直角三角形ABE中，
，所以，解 得BM=6.4cm
因此，QM=BC-BM=12cm-6.4cm=5.6cm.
由于BPBC所以不是等腰三角形
故選項(xiàng)B 正確
C：利用三角形面積公式和正弦的定義計(jì)算三角形BPQ的面積y
當(dāng)10≤t≤12時(shí)，點(diǎn)P在BE上，BP=20-(t-10)=20-t.
此時(shí)，三角形BPQ的面積 ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤 .
D：利用勾股定理計(jì)算BE的長(zhǎng)度，并利用正弦的定義計(jì)算sinEBP的值
在直角三角形ABE中，AE=8cm， AB=CD=6cm，
根據(jù)勾股定理計(jì)算B的長(zhǎng)度，得到BE==10cm
因此，sinEBP=sinAEB=，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤
故選：B.
【分析】本題考查函數(shù)圖象與幾何運(yùn)動(dòng)綜合，需結(jié)合矩形性質(zhì)、三角形面積公式、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)：
1.階段劃分：根據(jù)P、Q運(yùn)動(dòng)路徑，將t分為（P在CD，Q在BC ）、 （P在DE，Q在C ）、（P在EB，Q在BC ）三個(gè)階段，結(jié)合圖象轉(zhuǎn)折點(diǎn)分析邊長(zhǎng)。
2.關(guān)鍵計(jì)算：利用時(shí)的面積公式求CD；
結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間求DE、AE、BC等邊長(zhǎng)；
對(duì)t = 12時(shí)的PBQ，通過(guò)邊長(zhǎng)計(jì)算判斷是否等腰；
推導(dǎo)時(shí)的面積函數(shù)解析式；
用勾股定理求EB，結(jié)合三角函數(shù)定義求sinEBC.
9．【答案】25
【知識(shí)點(diǎn)】解二元一次方程；定義新運(yùn)算
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得： ，
解得： ，
即x*y＝ax2+by＝x2+2y
∴3*8＝32+2×8＝25，
故答案為：25．
【分析】將已知的兩個(gè)等式按照新定義運(yùn)算的規(guī)定分別代入，從而得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組得出a、b的值，然后將a、b的值代回到規(guī)定的代數(shù)式中，再將3*8按規(guī)定的運(yùn)算求值即可。
10．【答案】180°
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對(duì)應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注，如圖所示，設(shè)正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1.
∵ 如圖是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格
∴
∵正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案為：180°.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，從而得知，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到，繼而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
11．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【解析】【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蜛BC由9個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，陰影部分有5個(gè)小等邊三角形，根據(jù)概率公式，可得概率為
故填：.
【分析】 本題考查幾何概率，利用 概率 = 陰影區(qū)域面積與總面積的比值 求解。由于所有小等邊三角形面積相等，只需數(shù)出陰影小三角形個(gè)數(shù)和總個(gè)數(shù)，其比值就是米落在陰影區(qū)域的概率，體現(xiàn)了 用頻率估計(jì)概率中面積比與概率的關(guān)系.
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；直角三角形的性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：先求AB和BC的長(zhǎng)度：在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ，
則，AB = 2AC = 4.
由勾股定理得BC=
因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，所以BD = AD = CD=AB = 2（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半
BDC = 120（∠A=60°，CD = AD，所以ACD = 60，則 BCD = 30 ， BDC = 120 ）
計(jì)算扇形BDC和的面積：
扇形BDC的面積
的面積（D是AB中點(diǎn) ），
，
所以
陰影部分面積，
故填：.
【分析】本題考查直角三角形與扇形面積綜合，需結(jié)合直角三角形性質(zhì)（斜邊中線(xiàn)、角度關(guān)系 ）、扇形面積公式求解。通過(guò)求出扇形BDC和BDC的面積，用扇形面積減去三角形面積得到陰影部分面積，體現(xiàn) 割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形面積的思路.
13．【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；三角形的面積；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：設(shè)E(2，)，F(xiàn)(2)，為直角三角形，面積
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本題考查正方形圖像與反比例函數(shù)綜合，利用正方形邊長(zhǎng)表示E、F坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式列方程求解k。通過(guò)坐標(biāo)關(guān)系確定的直角邊長(zhǎng)度，建立方程體現(xiàn)函數(shù)與幾何圖形的融合，核心是用代數(shù)方法解決幾何面積問(wèn)題.
14．【答案】（1）四；
（2）解：∵，
∴，即，
則，
∴，.
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及應(yīng)用
【解析】【解答】（1）在配方法推導(dǎo)求根公式的第四步，對(duì)開(kāi)方時(shí)，應(yīng)得到，嘉淇只取了正號(hào)，所以從第四步開(kāi)始出錯(cuò)；根據(jù)完整推導(dǎo)，求根公式為
.
【分析】(1)配方法推導(dǎo)求根公式需嚴(yán)格遵循開(kāi)方的雙重性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性；求根公式是解一元二次方程的重要工具，其推導(dǎo)過(guò)程融合了轉(zhuǎn)化思想（將二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方式 ）與分類(lèi)討論思想（考慮開(kāi)方的正負(fù)情況 ），是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)與方程關(guān)系的基礎(chǔ)
(2)解 x2-2x-24=0 ，先通過(guò)移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊得，再在等式兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方()進(jìn)行配方，得到，然后對(duì)等式兩邊開(kāi)平方，得到，最后分別求解得到.
15．【答案】（1）14
（2）解：補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示
（3）解：，
答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為；
（4）解：人，
答：該校240人參加競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”等的人數(shù)為204人.
【知識(shí)點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本的頻數(shù)估計(jì)總體的頻數(shù)
【解析】【解答】（1）總?cè)藬?shù)為12÷30% = 40
A組人數(shù)頻數(shù)為：a=40-12-8-6=14
【分析】（1）由B組頻數(shù)12及占比30%，用 總?cè)藬?shù) = B組頻數(shù) ÷B組頻率 算出總?cè)藬?shù)為12÷30% = 40；再用 A組頻數(shù)a =總?cè)藬?shù) - 其他組頻數(shù)和，即a = 40 - 6 - 8 - 12 = 14
（2）已知A組頻數(shù)14，在直方圖 90≤x<100 區(qū)間，畫(huà)出高度對(duì)應(yīng)14的矩形，使直方圖完整呈現(xiàn)各組頻數(shù)分布，直方圖通過(guò)矩形高度直觀展示頻數(shù)，補(bǔ)全時(shí)需精準(zhǔn)對(duì)應(yīng)頻數(shù)與成績(jī)區(qū)間，是數(shù)據(jù)可視化的體現(xiàn)，幫助直觀理解數(shù)據(jù)分布特征
（3）扇形圓心角 = 360該組頻率，先求C組頻率（C組頻數(shù)8÷ 總?cè)藬?shù)40 = 0.2），再代入得，扇形統(tǒng)計(jì)圖用圓心角反映組別的比例，頻率是連接頻數(shù)與圓心角的橋梁，體現(xiàn) 比例與角度 的轉(zhuǎn)化，核心是理解扇形統(tǒng)計(jì)圖的本質(zhì)（用角度表示比例 ）
（4）先算樣本中 70分以上B、C、A組 頻數(shù)和為12 + 8 + 14 = 34，其頻率為34÷40；再用 總體人數(shù)240×該頻率，即人，估計(jì)全校 優(yōu) 等人數(shù)，運(yùn)用 樣本估計(jì)總體 思想，通過(guò)樣本中 優(yōu)等的頻率，推斷總體中 優(yōu) 等人數(shù)，是統(tǒng)計(jì)推斷的核心應(yīng)用，體現(xiàn)樣本對(duì)總體的代表性?xún)r(jià)值.
16．【答案】（1）解：設(shè)一個(gè)軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為x元，一個(gè)水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)為元，，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解且符合題意，
所以一個(gè)軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為3元，一個(gè)水蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)為8元，
答：一個(gè)軟彈玩具槍進(jìn)價(jià)為3元，一個(gè)水蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)為8元；
（2）解：第一次購(gòu)進(jìn)軟彈玩具槍?zhuān)◤垼?br/>第一次購(gòu)進(jìn)水蛋玩具槍?zhuān)ǜ保?br/>根據(jù)題意可得，，
解得，
答：m的值為2.
【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的解及檢驗(yàn)；列分式方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題；分式方程的實(shí)際應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）設(shè)水彈玩具槍進(jìn)價(jià)為x+5元，軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù) 數(shù)量相同 列方程，解得x = 3，則水彈進(jìn)價(jià)3元，軟蛋進(jìn)價(jià)8元，利用 數(shù)量 = 總價(jià) ÷ 單價(jià)，結(jié)合 數(shù)量相同 建立分式方程，體現(xiàn)方程思想，注意進(jìn)價(jià)關(guān)系的正確設(shè)定，分式方程需檢驗(yàn)，保證解的合理性，是商業(yè)情境中成本與數(shù)量關(guān)系的典型應(yīng)用
（2）先算第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)量（水彈：300÷3 = 100；軟蛋：800÷8 = 100 ），再根據(jù) 新進(jìn)價(jià)、新數(shù)量、總花費(fèi)列方程，解得m = 2，以 第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)據(jù) 為基礎(chǔ)，結(jié)合 進(jìn)價(jià)上漲、數(shù)量變化、總花費(fèi) 構(gòu)建一元二次方程，體現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化中的數(shù)量關(guān)系；關(guān)鍵是準(zhǔn)確表示新進(jìn)價(jià)、新數(shù)量，通過(guò)方程求解參數(shù)，是商業(yè)采購(gòu)中 成本 - 數(shù)量 - 總價(jià) 關(guān)系的延伸應(yīng)用，需注意運(yùn)算準(zhǔn)確性.
17．【答案】（1）解：點(diǎn)A(1，8)在反比例函數(shù)上，
∵，
∴.
點(diǎn)B(-4，m)在反比例函數(shù)上，
∴，
∴，
∴B(-4，-2).
點(diǎn)A(1，8)、B(-4，-2)在一次函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：，
∴.
答：一次函數(shù)表達(dá)式為，反比例函數(shù)表達(dá)式為.
（2）解：設(shè)直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)C，如圖，
由直線(xiàn)AB：，
令，則，
∴.
∴.
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，.
∴
=
=，
=15，
答：的面積是15.
（3）解：x的取值范圍為：或.
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【解答】（3）觀察函數(shù)圖象，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)為A(1，8)、B(-4，-2)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，對(duì)應(yīng)的x取值范圍是或
【分析】（1）利用 函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，先通過(guò)A點(diǎn)坐標(biāo)求反比例函數(shù)的，再用反比例函數(shù)求B點(diǎn)坐標(biāo)，最后用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)列方程組求一次函數(shù)的和b
（2）利用 分割法，將AOB分為AOC和BOC，以O(shè)C為公共底，AF、BE為高，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算；關(guān)鍵是找到直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)C，確定底和高的長(zhǎng)度
（3）依據(jù) 函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，交點(diǎn)是函數(shù)值相等的分界點(diǎn)，觀察圖象中一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的區(qū)間，確定x的范圍.
18．【答案】（1）證明：如圖，連接 D
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°-90°=90°，即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半徑，
∴PA是⊙O的切線(xiàn).
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，
由(1)可得，
∵，
，
，即的半徑為5.
∵，，
∴，
∴，
，
，
，
，，
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線(xiàn)的判定；圓的綜合題；解直角三角形；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】（1）本題需綜合運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理、切線(xiàn)判定定理。關(guān)鍵步驟是通過(guò)等腰三角形三線(xiàn)合一 和 角度等量代換，證明AB⊥AP，從而滿(mǎn)足切線(xiàn)判定條件；核心邏輯是利用已知角度關(guān)系∠BAD=∠P和直角三角形的性質(zhì)∠BAD+∠B=90°推導(dǎo)垂直關(guān)系
（2）本題需結(jié)合三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形求解.
關(guān)鍵步驟：利用（1）的結(jié)論AD⊥BC、∠BAD=∠P，通過(guò)三角函數(shù)求出AD，進(jìn)而用勾股定理求AB（即直徑 ），得半徑；構(gòu)造直角三角形，通過(guò)作輔助線(xiàn)，利用 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例或相似三角形，求出AE和CE的長(zhǎng)度，最終計(jì)算.
19．【答案】（1）解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）解：∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴112=a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2=121-76=45，
∴a2+b2+c2的值為45；
（3）9
（4）解：x3-x=x(x-1)(x+1).
【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法；用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系
【解析】【解答】（1）大正方形邊長(zhǎng)為a + b + c，面積為；
大正方形可分割為邊長(zhǎng)為a、b、c的小正方形，以及長(zhǎng)、寬分別為(a，b)、(a，c)、(b，c)的長(zhǎng)方形，面積和為a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
因此，等式為 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
（3）長(zhǎng)方形面積(2a + b)(a + 2b)展開(kāi)：(2a + b)(a + 2b) = 2a + 4ab + ab + 2b = 2a + 5ab + 2b
因?yàn)閤張邊長(zhǎng)為a的正方形（面積a)、y張邊長(zhǎng)為b的正方形（面積b）、z張長(zhǎng)a寬b的長(zhǎng)方形（面積ab）拼成該長(zhǎng)方形，
所以：x = 2(a 的系數(shù) ），y = 2（b的系數(shù) ），z = 5（ab的系數(shù) ），
因此x + y + z = 2 + 2 + 5 = 9
（4）原正方體體積為，挖去的小長(zhǎng)方體體積為1×1×x = x，剩余體積為 - x；
重新拼成的新長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為x、x + 1、x - 1（根據(jù)圖形變化 ），體積為x(x + 1)(x - 1)
【分析】（1） 利用 大正方形面積 = 各小圖形面積和，通過(guò)對(duì)圖形的分割與拼接，將幾何面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式；核心是識(shí)別大正方形的邊長(zhǎng)與小圖形的邊長(zhǎng)、形狀關(guān)系，體現(xiàn) 數(shù)形結(jié)合 思想
（2） 直接運(yùn)用（1）中推導(dǎo)的代數(shù)恒等式，將已知條件代入變形后的公式，通過(guò) 整體代入 計(jì)算；核心是對(duì)恒等式的靈活變形，體現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性
（3）先將長(zhǎng)方形面積(2a + b)(a + 2b)展開(kāi)，與 x個(gè)a、y個(gè)b 、z個(gè)ab 的面積和對(duì)比，通過(guò) 系數(shù)對(duì)應(yīng) 確定x、y、z的值；核心是多項(xiàng)式乘法與圖形面積的關(guān)聯(lián)
（4） 利用 體積不變性，分別計(jì)算原幾何體（挖去小長(zhǎng)方體后的體積 ）和新幾何體（重新拼成的長(zhǎng)方體體積 ），通過(guò) 體積相等 建立代數(shù)恒等式；核心是識(shí)別圖形變化前后的體積關(guān)系.
20．【答案】（1）解：；
（2）解：①②AC⊥CE，理由如下：
∵△ADE和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴AB=5，AE=，AD=4，AC=5，
，
，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴△BAD∽△EAC，
∴∠ADB=∠ACE，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE；
（3）解：作法：①延長(zhǎng)AB，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BD=AB；②以A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于P；③在AP的上方作∠PAE，使∠PAE=∠BAC；④作AC的垂直平分線(xiàn)交AC于M，③在射線(xiàn)AE上截取AQ=AM=AC，連接PQ，則△APQ即為所求作的三角形，如圖所示.
（4）
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；相似三角形的實(shí)際應(yīng)用；尺規(guī)作圖-垂直平分線(xiàn)；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)角；函數(shù)幾何問(wèn)題中的最值
【解析】【解答】（2）①在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，，則BD =BC = 3（等腰三角形三線(xiàn)合一 ）
由勾股定理，AD == 4
因?yàn)?△ADE和△ABC 是 友誼三角形，所以∠BAC=∠DAE，且，
，
由，得，解得AE =
（4）A(0，3)、B(2，0)，C在x軸運(yùn)動(dòng)，矩形ACDE面積恒為6
F在OE上，滿(mǎn)足 ∠OFB+∠AOE=∠OEB+90° ，求 BF·OE 最小值
通過(guò)角度轉(zhuǎn)化（利用矩形垂直、三角形內(nèi)角和 ）
證（兩角對(duì)應(yīng)相等 ）
由相似得：，交叉相乘
OB = 2（B(2，0)到原點(diǎn)距離 ），故
矩形ACDE面積固定，E點(diǎn)軌跡受、約束，可簡(jiǎn)化為：E在與A關(guān)聯(lián)的直線(xiàn) / 曲線(xiàn)上
根據(jù)幾何最值，點(diǎn)B到E的最短距離為垂線(xiàn)段長(zhǎng)度
結(jié)合坐標(biāo)與矩形性質(zhì)，算得
【分析】（1）利用角度的 和差關(guān)系 推導(dǎo)，體現(xiàn)角度運(yùn)算的基本邏輯；通過(guò)面積相等得到線(xiàn)段乘積關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為比例式，為相似三角形判定（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等 ）做鋪墊，是相似三角形判定的 條件準(zhǔn)備
（2）①先利用等腰三角形性質(zhì)求AD，再根據(jù) 友誼三角形 的面積相等（ S△ABC=S△ADE ），結(jié)合三角形面積公式列方程求解AE；核心是 友誼三角形 定義中 面積相等 的應(yīng)用，體現(xiàn)面積公式與線(xiàn)段長(zhǎng)度的關(guān)聯(lián)
②先利用 友誼三角形 的角度相等，推導(dǎo)∠BAD=∠EAC；再通過(guò)線(xiàn)段長(zhǎng)度計(jì)算比例，證明△BAD∽△EAC；最后利用相似三角形的 對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合已知∠ADB=90°，推導(dǎo)∠ACE=90°，體現(xiàn) 相似三角形判定與性質(zhì) 的綜合應(yīng)用
（3）利用 友誼三角形 的定義（角度相等、面積相等 ），通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造等長(zhǎng)（保證面積相關(guān)線(xiàn)段 ）、作等角（保證角度相等 ）、截取線(xiàn)段（保證AQ=AC ），逐步滿(mǎn)足 友誼三角形 的條件，體現(xiàn) 尺規(guī)作圖與幾何定義的結(jié)合
（4）涉及 矩形面積定值 角度條件轉(zhuǎn)化 幾何最值求解，需綜合運(yùn)用坐標(biāo)幾何、角度關(guān)系、最值模型（如胡不歸、阿氏圓 ）；核心是將\ BF·OE 轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積最值，通過(guò)幾何變換找到最小值的條件.
1 / 1廣東省深圳市15校2025年九年級(jí)第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（5月）
一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（2025·深圳一模）在，0，5中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念與分類(lèi)；化簡(jiǎn)含絕對(duì)值有理數(shù)；有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【解答】解：分別計(jì)算各數(shù)的值，是正數(shù)化簡(jiǎn)后為2，是正數(shù)；=-1，是負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)；5是正數(shù)。
所以負(fù)數(shù)只有1個(gè)
故答案為：D.
【分析】 本題主要考查絕對(duì)值、乘方的運(yùn)算以及正負(fù)數(shù)的判斷。需要先根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)則分別計(jì)算出每個(gè)數(shù)的值，再依據(jù)正負(fù)數(shù)的定義來(lái)確定負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)
2．（2025·深圳一模）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式及運(yùn)用；整式的混合運(yùn)算；合并同類(lèi)項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A：，，兩者不相等，所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
B：根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，底數(shù)不變，指數(shù)相減，，所以 B 選項(xiàng)正確。
C：根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則，，所以 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
D：根據(jù)冪的乘方法則，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，，所以 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤。
故選：B
【分析】 本題主要考查完全平方公式、同底數(shù)冪的除法、合并同類(lèi)項(xiàng)以及冪的乘方等運(yùn)算規(guī)則，需要逐一分析每個(gè)選項(xiàng)是否正確運(yùn)用了相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)則
3．（2025·深圳一模）在對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，小華列出了方差的計(jì)算公式：，由公式的提供信息，則下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．樣本的平均數(shù)是3.5 B．樣本的眾數(shù)是3
C．樣本的中位數(shù)是3 D．樣本的容量是4
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平均數(shù)及其計(jì)算；中位數(shù)；方差；眾數(shù)
【解析】【解答】解：根據(jù)方差計(jì)算公式，結(jié)合本題中的方差公式可得，數(shù)據(jù)為2、3、4，
∴平均數(shù)x=，沒(méi)有眾數(shù)，中位數(shù)是3，樣本容量是3，
因此正確的選項(xiàng)是C。
故答案為：C.
【分析】根據(jù)方差公式，其中n為樣本容量數(shù)，為平均數(shù)，對(duì)比小華列出的方差計(jì)算公式得出，n=3、就是x=3，然后結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義分析計(jì)算即可。
4．（2025·深圳一模）如圖，已知，，點(diǎn)B、O、D在同一條直線(xiàn)上，則的度數(shù)為（　　）
A．102° B．118° C．122° D．62°
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】角的運(yùn)算；余角
【解析】【解答】解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)辄c(diǎn)B、O、D在同一條直線(xiàn)上，所以
故選：B.
【分析】 本題主要考查角的計(jì)算，涉及到直角和平角的概念，需要根據(jù)已知角的度數(shù)和角之間的關(guān)系來(lái)計(jì)算所求角的度數(shù)
5．（2025·深圳一模）如圖，在△ABC中AD平分∠BAC，按以下步驟作圖：第一步分別以點(diǎn)A、D為圓心，以大于AD的長(zhǎng)為半徑在AD兩側(cè)作弧，交于兩點(diǎn)M、N；第二步，連接MN分別AB、AC于點(diǎn)E、F；第三步，連接DE、DF，若BD=6，CD=3，CF=2，則AE的長(zhǎng)是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線(xiàn)的性質(zhì)；線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；相似三角形的判定；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由作圖步驟可知，MN是AD的垂直平分線(xiàn)
所以AE = DE，AF = DF
因?yàn)锳D平分∠BAC，
所以EAD=CAD，
又因?yàn)锳E = DE，
所以 EAD=EDA，
進(jìn)而CAD=EDA，所以DEAC，
同理DF AB，所以四邊形AEDF是菱形，AE = AF
因?yàn)镈EAC，所以，則
已知BD = 6，CD = 3，所以BC=BD + CD=9，
設(shè)AE = AF = x，則AC=x + 2，DE = x，可得，
解得x = 4，即AE = 4
故選：A.
【分析】 本題主要考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)，需要根據(jù)作圖步驟得出相關(guān)線(xiàn)段和角的關(guān)系，再通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系來(lái)求解.
6．（2025·深圳一模）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB，AB=5cm，AC，BD交于點(diǎn)O，∠AOD=2∠AOB=120°，則BC=（　　）
A．5cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定；勾股定理；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：首先，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形：矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，
所以O(shè)A = OB = OC = OD，
已知 ∠AOB=60° ， ∠AOD=120（因?yàn)锳OD = 2AOB)
又因?yàn)镺A = OB且AOB = 60°，所以 AOB是等邊三角形
則OA = OB = AB = 5cm，所以AC = 2OA = 10cm
然后，在RtABC中：根據(jù)勾股定理BC=
已知AB = 5cm，AC = 10cm，
代入可得：BC=
故選：C.
【分析】本題圍繞矩形性質(zhì)（對(duì)角線(xiàn)相等且平分）、等邊三角形判定（有一個(gè)角為60 ° 的等腰三角形是等邊三角形 ）以及勾股定理展開(kāi)，利用矩形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系得出等邊三角形，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求邊.
7．（2025·深圳一模）某地下車(chē)庫(kù)出口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖1所示，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，點(diǎn)E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，當(dāng)車(chē)輛經(jīng)過(guò)時(shí)，欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置，其示意圖如圖3所示（欄桿寬度忽略不計(jì)），其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么適合該地下車(chē)庫(kù)的車(chē)輛限高標(biāo)志牌為（　　）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；直角三角形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H
因?yàn)椋裕ㄠ徰a(bǔ)角性質(zhì)）
在中，AE = 1.2米， sin37°≈0.60 ，
由sin，可得EG = AE= 1.20.60 = 0.72米
又因?yàn)锳B = 1.2米，
所以車(chē)輛限高為AB + EG = 1.2 + 0.72 = 1.92米
故選：C.
【分析】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用核心是通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求解線(xiàn)段長(zhǎng)度。
輔助線(xiàn)作用：作，將分散的線(xiàn)段和角度關(guān)系集中到中，把 限高轉(zhuǎn)化為AB與EG的和，簡(jiǎn)化問(wèn)題
角度推導(dǎo)：利用AEF與 AEG的鄰補(bǔ)角關(guān)系（ AEF + AEG = 180），求出 AEG = 37，為三角函數(shù)計(jì)算提供條件
三角函數(shù)應(yīng)用：在中，根據(jù)正弦函數(shù)定義，用AE和sin37計(jì)算EG，最終得出限高.
8．（2025·深圳一模）如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿折線(xiàn)CD-DE-EB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s.若P，Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△BPQ的面積為y（cm2）.已知y與t的函數(shù)圖象如圖2，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）
A． B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形
C．當(dāng)時(shí)， D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)；矩形的性質(zhì)；通過(guò)函數(shù)圖象獲取信息；動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；已知某個(gè)三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值
【解析】【解答】解：通過(guò)圖象信息確定點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)
首先，觀察圖象可知點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 為6s，在DE上運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間為4s，點(diǎn)Q在BC上 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為12s。因此，我們可以得出CD=6cm， DE=4cm， BC=12cm
A：利用矩形對(duì)邊相等的性質(zhì)確定AE的長(zhǎng)度
由于AD=BC，所以AD=12cm，從而得出AE=AD-DE=12cm-4cm=8cm，故選項(xiàng)A錯(cuò).
B：利用三角函數(shù)和已知邊長(zhǎng)計(jì)算BM和QM的長(zhǎng)度，并判斷PBQ是 否為等腰三角形
當(dāng)t=12s時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P在BE上，此時(shí)BP=20-12-8cm
過(guò)點(diǎn)P作PMBC于點(diǎn)M，
在直角三角形BPM中，cosPBM=
又因PBM=AEB，
在直角三角形ABE中，
，所以，解 得BM=6.4cm
因此，QM=BC-BM=12cm-6.4cm=5.6cm.
由于BPBC所以不是等腰三角形
故選項(xiàng)B 正確
C：利用三角形面積公式和正弦的定義計(jì)算三角形BPQ的面積y
當(dāng)10≤t≤12時(shí)，點(diǎn)P在BE上，BP=20-(t-10)=20-t.
此時(shí)，三角形BPQ的面積 ，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤 .
D：利用勾股定理計(jì)算BE的長(zhǎng)度，并利用正弦的定義計(jì)算sinEBP的值
在直角三角形ABE中，AE=8cm， AB=CD=6cm，
根據(jù)勾股定理計(jì)算B的長(zhǎng)度，得到BE==10cm
因此，sinEBP=sinAEB=，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤
故選：B.
【分析】本題考查函數(shù)圖象與幾何運(yùn)動(dòng)綜合，需結(jié)合矩形性質(zhì)、三角形面積公式、勾股定理、三角函數(shù)等知識(shí)：
1.階段劃分：根據(jù)P、Q運(yùn)動(dòng)路徑，將t分為（P在CD，Q在BC ）、 （P在DE，Q在C ）、（P在EB，Q在BC ）三個(gè)階段，結(jié)合圖象轉(zhuǎn)折點(diǎn)分析邊長(zhǎng)。
2.關(guān)鍵計(jì)算：利用時(shí)的面積公式求CD；
結(jié)合運(yùn)動(dòng)時(shí)間求DE、AE、BC等邊長(zhǎng)；
對(duì)t = 12時(shí)的PBQ，通過(guò)邊長(zhǎng)計(jì)算判斷是否等腰；
推導(dǎo)時(shí)的面積函數(shù)解析式；
用勾股定理求EB，結(jié)合三角函數(shù)定義求sinEBC.
二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。
9．（2025·深圳一模）定義運(yùn)算“*”，規(guī)定x*y＝ax2+by，其中a、b為常數(shù)，且1*2＝5，2*1＝6，則3*8＝　 　．
【答案】25
【知識(shí)點(diǎn)】解二元一次方程；定義新運(yùn)算
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得： ，
解得： ，
即x*y＝ax2+by＝x2+2y
∴3*8＝32+2×8＝25，
故答案為：25．
【分析】將已知的兩個(gè)等式按照新定義運(yùn)算的規(guī)定分別代入，從而得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組得出a、b的值，然后將a、b的值代回到規(guī)定的代數(shù)式中，再將3*8按規(guī)定的運(yùn)算求值即可。
10．（2025·深圳一模）如圖，是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4=　 　。
【答案】180°
【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對(duì)應(yīng)角的關(guān)系
【解析】【解答】解：對(duì)圖中的點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)注，如圖所示，設(shè)正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1.
∵ 如圖是一個(gè)3×3的正方形網(wǎng)格
∴
∵正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1
∴BC=AE=1，AB=ED=MN=3，BF=AN=2
∵BC=AE=1，，AB=ED
∴ABC≌DEA（SAS）
∴
∵在AED中，
∴
∴
同理可得：
∴∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
故答案為：180°.
【分析】根據(jù)全等三角形的判定可以得到ABC≌DEA，從而得知，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)得到，繼而得到了，同理可以得到，即可以求出∠1+∠2+∠3+∠4= 180°
11．（2025·深圳一模）如圖，等邊三角形ABC是由9個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，隨機(jī)地往△ABC內(nèi)投一粒米，這粒米落在陰影區(qū)域的概率為　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用
【解析】【解答】解：因?yàn)榈冗吶切蜛BC由9個(gè)大小相等的等邊三角形構(gòu)成，陰影部分有5個(gè)小等邊三角形，根據(jù)概率公式，可得概率為
故填：.
【分析】 本題考查幾何概率，利用 概率 = 陰影區(qū)域面積與總面積的比值 求解。由于所有小等邊三角形面積相等，只需數(shù)出陰影小三角形個(gè)數(shù)和總個(gè)數(shù)，其比值就是米落在陰影區(qū)域的概率，體現(xiàn)了 用頻率估計(jì)概率中面積比與概率的關(guān)系.
12．（2025·深圳一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，點(diǎn)D是AB邊上的中點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑作弧BC.則圖中陰影部分的面積為　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；直角三角形的性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：先求AB和BC的長(zhǎng)度：在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ，
則，AB = 2AC = 4.
由勾股定理得BC=
因?yàn)镈是AB中點(diǎn)，所以BD = AD = CD=AB = 2（直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半
BDC = 120（∠A=60°，CD = AD，所以ACD = 60，則 BCD = 30 ， BDC = 120 ）
計(jì)算扇形BDC和的面積：
扇形BDC的面積
的面積（D是AB中點(diǎn) ），
，
所以
陰影部分面積，
故填：.
【分析】本題考查直角三角形與扇形面積綜合，需結(jié)合直角三角形性質(zhì)（斜邊中線(xiàn)、角度關(guān)系 ）、扇形面積公式求解。通過(guò)求出扇形BDC和BDC的面積，用扇形面積減去三角形面積得到陰影部分面積，體現(xiàn) 割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形面積的思路.
13．（2025·深圳一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合，與反比例函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)，若的面積為，則k的值　 　
【答案】1
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；三角形的面積；反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【解答】解：設(shè)E(2，)，F(xiàn)(2)，為直角三角形，面積
由，解得k = 1，
故填：1.
【分析】本題考查正方形圖像與反比例函數(shù)綜合，利用正方形邊長(zhǎng)表示E、F坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式列方程求解k。通過(guò)坐標(biāo)關(guān)系確定的直角邊長(zhǎng)度，建立方程體現(xiàn)函數(shù)與幾何圖形的融合，核心是用代數(shù)方法解決幾何面積問(wèn)題.
三、解答題：本題共6小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
14．（2025·深圳一模）嘉淇同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式時(shí)，對(duì)于b2-4ac>0的情況，她是這樣做的：
由于，方程變形為： ，.............................第一步 ，............第二步 ，...................第三步 ，...........第四步 ............................第五步
（1）嘉淇的解法從第　 　步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤；事實(shí)上，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是　 　.
（2）用配方法解方程：x2-2x-24=0.
【答案】（1）四；
（2）解：∵，
∴，即，
則，
∴，.
【知識(shí)點(diǎn)】配方法解一元二次方程；一元二次方程的求根公式及應(yīng)用
【解析】【解答】（1）在配方法推導(dǎo)求根公式的第四步，對(duì)開(kāi)方時(shí)，應(yīng)得到，嘉淇只取了正號(hào)，所以從第四步開(kāi)始出錯(cuò)；根據(jù)完整推導(dǎo)，求根公式為
.
【分析】(1)配方法推導(dǎo)求根公式需嚴(yán)格遵循開(kāi)方的雙重性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性；求根公式是解一元二次方程的重要工具，其推導(dǎo)過(guò)程融合了轉(zhuǎn)化思想（將二次方程轉(zhuǎn)化為完全平方式 ）與分類(lèi)討論思想（考慮開(kāi)方的正負(fù)情況 ），是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)與方程關(guān)系的基礎(chǔ)
(2)解 x2-2x-24=0 ，先通過(guò)移項(xiàng)將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊得，再在等式兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方()進(jìn)行配方，得到，然后對(duì)等式兩邊開(kāi)平方，得到，最后分別求解得到.
15．（2025·深圳一模）某大學(xué)舉行了百科知識(shí)競(jìng)賽，為了解此次競(jìng)賽成績(jī)的情況，隨機(jī)抽取部分參賽學(xué)生的成績(jī)，整理并制作出如下不完整的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖表信息解答以下問(wèn)題：
組別 成績(jī)x/分 頻數(shù)
A組 90≤x<100 a
B組 80≤x<90 12
C組 70≤x<80 8
D組 160≤x<70 6
（1）表中a=　 　；
（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；
（4）該大學(xué)共有240人參加競(jìng)賽，若成績(jī)?cè)?0分以上（包括70分）的為“優(yōu)”等，根據(jù)抽樣結(jié)果，估計(jì)該校參賽學(xué)生成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”等的人數(shù)？
【答案】（1）14
（2）解：補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示
（3）解：，
答：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為；
（4）解：人，
答：該校240人參加競(jìng)賽成績(jī)達(dá)到“優(yōu)”等的人數(shù)為204人.
【知識(shí)點(diǎn)】頻數(shù)（率）分布表；頻數(shù)（率）分布直方圖；扇形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本的頻數(shù)估計(jì)總體的頻數(shù)
【解析】【解答】（1）總?cè)藬?shù)為12÷30% = 40
A組人數(shù)頻數(shù)為：a=40-12-8-6=14
【分析】（1）由B組頻數(shù)12及占比30%，用 總?cè)藬?shù) = B組頻數(shù) ÷B組頻率 算出總?cè)藬?shù)為12÷30% = 40；再用 A組頻數(shù)a =總?cè)藬?shù) - 其他組頻數(shù)和，即a = 40 - 6 - 8 - 12 = 14
（2）已知A組頻數(shù)14，在直方圖 90≤x<100 區(qū)間，畫(huà)出高度對(duì)應(yīng)14的矩形，使直方圖完整呈現(xiàn)各組頻數(shù)分布，直方圖通過(guò)矩形高度直觀展示頻數(shù)，補(bǔ)全時(shí)需精準(zhǔn)對(duì)應(yīng)頻數(shù)與成績(jī)區(qū)間，是數(shù)據(jù)可視化的體現(xiàn)，幫助直觀理解數(shù)據(jù)分布特征
（3）扇形圓心角 = 360該組頻率，先求C組頻率（C組頻數(shù)8÷ 總?cè)藬?shù)40 = 0.2），再代入得，扇形統(tǒng)計(jì)圖用圓心角反映組別的比例，頻率是連接頻數(shù)與圓心角的橋梁，體現(xiàn) 比例與角度 的轉(zhuǎn)化，核心是理解扇形統(tǒng)計(jì)圖的本質(zhì)（用角度表示比例 ）
（4）先算樣本中 70分以上B、C、A組 頻數(shù)和為12 + 8 + 14 = 34，其頻率為34÷40；再用 總體人數(shù)240×該頻率，即人，估計(jì)全校 優(yōu) 等人數(shù)，運(yùn)用 樣本估計(jì)總體 思想，通過(guò)樣本中 優(yōu)等的頻率，推斷總體中 優(yōu) 等人數(shù)，是統(tǒng)計(jì)推斷的核心應(yīng)用，體現(xiàn)樣本對(duì)總體的代表性?xún)r(jià)值.
16．（2025·深圳一模）臨近六一，某商店分別用300元，800元購(gòu)進(jìn)一批數(shù)量相同的水彈玩具槍和軟蛋玩具槍?zhuān)總€(gè)水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)比每個(gè)軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)高5元．
（1）求水彈玩具槍和軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）這批水彈玩具槍和軟蛋玩具槍很快被一搶而空，該商店計(jì)劃再購(gòu)進(jìn)一批水彈玩具槍和軟蛋玩具槍?zhuān)藭r(shí)每張水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)上漲了m元，購(gòu)進(jìn)水彈玩具槍字的數(shù)量在第一次的基礎(chǔ)上減少了8m張；軟蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)不變，購(gòu)進(jìn)水彈玩具槍的數(shù)量在第一次的基礎(chǔ)上減少了m副，總花費(fèi)1100元，求m的值．
【答案】（1）解：設(shè)一個(gè)軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為x元，一個(gè)水彈玩具槍的進(jìn)價(jià)為元，，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解且符合題意，
所以一個(gè)軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為3元，一個(gè)水蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)為8元，
答：一個(gè)軟彈玩具槍進(jìn)價(jià)為3元，一個(gè)水蛋玩具槍的進(jìn)價(jià)為8元；
（2）解：第一次購(gòu)進(jìn)軟彈玩具槍?zhuān)◤垼?br/>第一次購(gòu)進(jìn)水蛋玩具槍?zhuān)ǜ保?br/>根據(jù)題意可得，，
解得，
答：m的值為2.
【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的解及檢驗(yàn)；列分式方程；一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題；分式方程的實(shí)際應(yīng)用-銷(xiāo)售問(wèn)題
【解析】【分析】（1）設(shè)水彈玩具槍進(jìn)價(jià)為x+5元，軟蛋玩具槍進(jìn)價(jià)為x元，根據(jù) 數(shù)量相同 列方程，解得x = 3，則水彈進(jìn)價(jià)3元，軟蛋進(jìn)價(jià)8元，利用 數(shù)量 = 總價(jià) ÷ 單價(jià)，結(jié)合 數(shù)量相同 建立分式方程，體現(xiàn)方程思想，注意進(jìn)價(jià)關(guān)系的正確設(shè)定，分式方程需檢驗(yàn)，保證解的合理性，是商業(yè)情境中成本與數(shù)量關(guān)系的典型應(yīng)用
（2）先算第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)量（水彈：300÷3 = 100；軟蛋：800÷8 = 100 ），再根據(jù) 新進(jìn)價(jià)、新數(shù)量、總花費(fèi)列方程，解得m = 2，以 第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)據(jù) 為基礎(chǔ)，結(jié)合 進(jìn)價(jià)上漲、數(shù)量變化、總花費(fèi) 構(gòu)建一元二次方程，體現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化中的數(shù)量關(guān)系；關(guān)鍵是準(zhǔn)確表示新進(jìn)價(jià)、新數(shù)量，通過(guò)方程求解參數(shù)，是商業(yè)采購(gòu)中 成本 - 數(shù)量 - 總價(jià) 關(guān)系的延伸應(yīng)用，需注意運(yùn)算準(zhǔn)確性.
17．（2025·深圳一模）如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（1，8）、B（-4，m）.
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求的面積；
（3）若，直接寫(xiě)出x的取值范圍.
【答案】（1）解：點(diǎn)A(1，8)在反比例函數(shù)上，
∵，
∴.
點(diǎn)B(-4，m)在反比例函數(shù)上，
∴，
∴，
∴B(-4，-2).
點(diǎn)A(1，8)、B(-4，-2)在一次函數(shù)的圖象上，
∴，
解得：，
∴.
答：一次函數(shù)表達(dá)式為，反比例函數(shù)表達(dá)式為.
（2）解：設(shè)直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)C，如圖，
由直線(xiàn)AB：，
令，則，
∴.
∴.
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，，
∴，.
∴
=
=，
=15，
答：的面積是15.
（3）解：x的取值范圍為：或.
【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題；反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用；一次函數(shù)中的面積問(wèn)題
【解析】【解答】（3）觀察函數(shù)圖象，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)為A(1，8)、B(-4，-2)，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，對(duì)應(yīng)的x取值范圍是或
【分析】（1）利用 函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，先通過(guò)A點(diǎn)坐標(biāo)求反比例函數(shù)的，再用反比例函數(shù)求B點(diǎn)坐標(biāo)，最后用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)列方程組求一次函數(shù)的和b
（2）利用 分割法，將AOB分為AOC和BOC，以O(shè)C為公共底，AF、BE為高，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算；關(guān)鍵是找到直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)C，確定底和高的長(zhǎng)度
（3）依據(jù) 函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，交點(diǎn)是函數(shù)值相等的分界點(diǎn)，觀察圖象中一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方的區(qū)間，確定x的范圍.
18．（2025·深圳一模）如圖，在中，，以AB為直徑的交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且.
（1）求證：直線(xiàn)AP是的切線(xiàn)；
（2）若，，求的半徑及的值.
【答案】（1）證明：如圖，連接 D
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠BAC=2∠P，
∴∠BAD=∠P，
∵∠BAD+∠B=90°，
∴∠P+∠B=90°，
∴∠BAP=180°-90°=90°，即AB⊥AP，
∵OA是⊙O的半徑，
∴PA是⊙O的切線(xiàn).
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作，垂足為E，
由(1)可得，
∵，
，
，即的半徑為5.
∵，，
∴，
∴，
，
，
，
，，
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；切線(xiàn)的判定；圓的綜合題；解直角三角形；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】（1）本題需綜合運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)、圓周角定理、切線(xiàn)判定定理。關(guān)鍵步驟是通過(guò)等腰三角形三線(xiàn)合一 和 角度等量代換，證明AB⊥AP，從而滿(mǎn)足切線(xiàn)判定條件；核心邏輯是利用已知角度關(guān)系∠BAD=∠P和直角三角形的性質(zhì)∠BAD+∠B=90°推導(dǎo)垂直關(guān)系
（2）本題需結(jié)合三角函數(shù)、勾股定理、相似三角形求解.
關(guān)鍵步驟：利用（1）的結(jié)論AD⊥BC、∠BAD=∠P，通過(guò)三角函數(shù)求出AD，進(jìn)而用勾股定理求AB（即直徑 ），得半徑；構(gòu)造直角三角形，通過(guò)作輔助線(xiàn)，利用 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例或相似三角形，求出AE和CE的長(zhǎng)度，最終計(jì)算.
19．（2025·深圳一模）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式　 　.
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：
已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a、b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z=　 　.
（4）【知識(shí)遷移】事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：　 　.
【答案】（1）解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）解：∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴112=a2+b2+c2+2×38，
∴a2+b2+c2=121-76=45，
∴a2+b2+c2的值為45；
（3）9
（4）解：x3-x=x(x-1)(x+1).
【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形的面積計(jì)算-割補(bǔ)法；用代數(shù)式表示幾何圖形的數(shù)量關(guān)系
【解析】【解答】（1）大正方形邊長(zhǎng)為a + b + c，面積為；
大正方形可分割為邊長(zhǎng)為a、b、c的小正方形，以及長(zhǎng)、寬分別為(a，b)、(a，c)、(b，c)的長(zhǎng)方形，面積和為a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
因此，等式為 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
（3）長(zhǎng)方形面積(2a + b)(a + 2b)展開(kāi)：(2a + b)(a + 2b) = 2a + 4ab + ab + 2b = 2a + 5ab + 2b
因?yàn)閤張邊長(zhǎng)為a的正方形（面積a)、y張邊長(zhǎng)為b的正方形（面積b）、z張長(zhǎng)a寬b的長(zhǎng)方形（面積ab）拼成該長(zhǎng)方形，
所以：x = 2(a 的系數(shù) ），y = 2（b的系數(shù) ），z = 5（ab的系數(shù) ），
因此x + y + z = 2 + 2 + 5 = 9
（4）原正方體體積為，挖去的小長(zhǎng)方體體積為1×1×x = x，剩余體積為 - x；
重新拼成的新長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為x、x + 1、x - 1（根據(jù)圖形變化 ），體積為x(x + 1)(x - 1)
【分析】（1） 利用 大正方形面積 = 各小圖形面積和，通過(guò)對(duì)圖形的分割與拼接，將幾何面積轉(zhuǎn)化為代數(shù)表達(dá)式；核心是識(shí)別大正方形的邊長(zhǎng)與小圖形的邊長(zhǎng)、形狀關(guān)系，體現(xiàn) 數(shù)形結(jié)合 思想
（2） 直接運(yùn)用（1）中推導(dǎo)的代數(shù)恒等式，將已知條件代入變形后的公式，通過(guò) 整體代入 計(jì)算；核心是對(duì)恒等式的靈活變形，體現(xiàn)代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性
（3）先將長(zhǎng)方形面積(2a + b)(a + 2b)展開(kāi)，與 x個(gè)a、y個(gè)b 、z個(gè)ab 的面積和對(duì)比，通過(guò) 系數(shù)對(duì)應(yīng) 確定x、y、z的值；核心是多項(xiàng)式乘法與圖形面積的關(guān)聯(lián)
（4） 利用 體積不變性，分別計(jì)算原幾何體（挖去小長(zhǎng)方體后的體積 ）和新幾何體（重新拼成的長(zhǎng)方體體積 ），通過(guò) 體積相等 建立代數(shù)恒等式；核心是識(shí)別圖形變化前后的體積關(guān)系.
20．（2025·深圳一模）綜合與實(shí)踐
【新知定義】在平面內(nèi)，兩個(gè)面積相等的三角形，若有公共頂點(diǎn)，且公共頂點(diǎn)所在的角相等，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形關(guān)于這個(gè)頂點(diǎn)成“友誼三角形”.例如：如圖1，在△ABC和△ADE中，若∠BAC＝∠DAE，S△ABC=S△ADE，則△ABC和△ADE關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”.
（1）【特例初探】數(shù)學(xué)社團(tuán)的小智同學(xué)發(fā)現(xiàn)：如圖2，∠BAC=∠DAE=90°，S△ABC=S△ADE，連接BD、CE，可得到△BAD∽△EAC.理由如下：
即：① ▲ ∵ ∴② ▲ 又 .
根據(jù)小智的思路，請(qǐng)完成填空：①　 　②　 　
（2）【變式歸納】小慧思考：如果∠BAC=∠DAE≠90°，△BAD∽△EAC是否還成立？于是她作了進(jìn)一步探究：如圖3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，△ADE和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，連接CE，請(qǐng)你完成以下問(wèn)題：
①AE= ▲ ；
②試判斷AC與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）【遷移應(yīng)用】如圖4，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，請(qǐng)你借助以上結(jié)論或方法，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖4中作△APQ，使△APQ和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，且AQ=AC；
（4）【綜合提升】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，3）、B（2，0）.C是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AC為一邊在AC的右側(cè)構(gòu)造矩形ACDE，且矩形的面積始終是6，連接OE、BE.F是線(xiàn)段OE上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠OFB+∠AOE=∠OEB+90°，連接BF，則BF·OE的最小值為　 　.
【答案】（1）解：；
（2）解：①②AC⊥CE，理由如下：
∵△ADE和△ABC關(guān)于點(diǎn)A成“友誼三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠EAC，
∴AB=5，AE=，AD=4，AC=5，
，
，
又∵∠BAD=∠EAC，
∴△BAD∽△EAC，
∴∠ADB=∠ACE，
∵∠ADB=90°，
∴∠ACE=90°，
∴AC⊥CE；
（3）解：作法：①延長(zhǎng)AB，在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取BD=AB；②以A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交BC于P；③在AP的上方作∠PAE，使∠PAE=∠BAC；④作AC的垂直平分線(xiàn)交AC于M，③在射線(xiàn)AE上截取AQ=AM=AC，連接PQ，則△APQ即為所求作的三角形，如圖所示.
（4）
【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；相似三角形的實(shí)際應(yīng)用；尺規(guī)作圖-垂直平分線(xiàn)；相似三角形的性質(zhì)-對(duì)應(yīng)角；函數(shù)幾何問(wèn)題中的最值
【解析】【解答】（2）①在 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6，，則BD =BC = 3（等腰三角形三線(xiàn)合一 ）
由勾股定理，AD == 4
因?yàn)?△ADE和△ABC 是 友誼三角形，所以∠BAC=∠DAE，且，
，
由，得，解得AE =
（4）A(0，3)、B(2，0)，C在x軸運(yùn)動(dòng)，矩形ACDE面積恒為6
F在OE上，滿(mǎn)足 ∠OFB+∠AOE=∠OEB+90° ，求 BF·OE 最小值
通過(guò)角度轉(zhuǎn)化（利用矩形垂直、三角形內(nèi)角和 ）
證（兩角對(duì)應(yīng)相等 ）
由相似得：，交叉相乘
OB = 2（B(2，0)到原點(diǎn)距離 ），故
矩形ACDE面積固定，E點(diǎn)軌跡受、約束，可簡(jiǎn)化為：E在與A關(guān)聯(lián)的直線(xiàn) / 曲線(xiàn)上
根據(jù)幾何最值，點(diǎn)B到E的最短距離為垂線(xiàn)段長(zhǎng)度
結(jié)合坐標(biāo)與矩形性質(zhì)，算得
【分析】（1）利用角度的 和差關(guān)系 推導(dǎo)，體現(xiàn)角度運(yùn)算的基本邏輯；通過(guò)面積相等得到線(xiàn)段乘積關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為比例式，為相似三角形判定（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等 ）做鋪墊，是相似三角形判定的 條件準(zhǔn)備
（2）①先利用等腰三角形性質(zhì)求AD，再根據(jù) 友誼三角形 的面積相等（ S△ABC=S△ADE ），結(jié)合三角形面積公式列方程求解AE；核心是 友誼三角形 定義中 面積相等 的應(yīng)用，體現(xiàn)面積公式與線(xiàn)段長(zhǎng)度的關(guān)聯(lián)
②先利用 友誼三角形 的角度相等，推導(dǎo)∠BAD=∠EAC；再通過(guò)線(xiàn)段長(zhǎng)度計(jì)算比例，證明△BAD∽△EAC；最后利用相似三角形的 對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合已知∠ADB=90°，推導(dǎo)∠ACE=90°，體現(xiàn) 相似三角形判定與性質(zhì) 的綜合應(yīng)用
（3）利用 友誼三角形 的定義（角度相等、面積相等 ），通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段構(gòu)造等長(zhǎng)（保證面積相關(guān)線(xiàn)段 ）、作等角（保證角度相等 ）、截取線(xiàn)段（保證AQ=AC ），逐步滿(mǎn)足 友誼三角形 的條件，體現(xiàn) 尺規(guī)作圖與幾何定義的結(jié)合
（4）涉及 矩形面積定值 角度條件轉(zhuǎn)化 幾何最值求解，需綜合運(yùn)用坐標(biāo)幾何、角度關(guān)系、最值模型（如胡不歸、阿氏圓 ）；核心是將\ BF·OE 轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)度的乘積最值，通過(guò)幾何變換找到最小值的條件.
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