資源簡介

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暑假練習
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成對數據的統計分析
)
一、單選題．
1．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法正確的是（ ）
A．若的觀測值為，我們有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系，那么在100個吸煙的人中必有99人患有肺病
B．若從統計量中求出有95%的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有5%的可能性使得推斷出現錯誤
C．從獨立性檢驗可知有99%的把握認為吸煙與患肺病有關系時，我們說某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病
D．以上三種說法都不正確
2．對四組數據進行統計，獲得以下散點圖，關于其線性相關系數比較，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某調查者在調查中獲知某公司近年來科研費用支出（萬元）與公司所獲得利潤（萬元）的統計資料如下表：
序號 科研費用支出 利潤
合計
則利潤關于科研費用支出的經驗回歸方程為（ ）
參考公式：，．
A． B． C． D．
4．某公司年月至月空調銷售完成情況如圖所示，其中為月份，為銷售量，下面四個回歸方程類型中，最適合作為銷售量和月份的回歸方程類型的是（ ）
A． B． C． D．
5．有兩個分類變量X，Y，其列聯表如下所示，
a
其中a，均為大于5的整數，若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為X，Y有關，則a的值為（ ）
A．8 B．9 C．8或9 D．6或8
6．下列有關線性回歸分析的六個命題：
①在回歸直線方程中，當解釋變量x增加1個單位時，預報變量平均減少個單位
②回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線
③當相關性系數時，兩個變量正相關
④如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數r就越接近于1
⑤殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高
⑥甲、乙兩個模型的相關指數分別約為和，則模型乙的擬合效果更好
其中真命題的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
7．已知變量y關于x的非線性經驗回歸方程為，其一組數據如下表所示：
x 1 2 3 4
y e
若，則預測y的值可能為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題．
8．下列結論正確的是（ ）
A．函數關系是一種確定性關系
B．相關關系是一種非確定性關系
C．在研究身高與年齡的關系時，散點圖中可用橫軸表示年齡，縱軸表示身高
D．散點圖能準確反映變量間的關系
9．設某大學的女生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關關系，根據一組樣本數據，用最小二乘法建立的回歸直線方程為，則下列結論中正確的是（ ）
A．與具有正的線性相關關系
B．若該大學女生的平均身高為，則平均體重約為
C．若該大學某女生身高增加，則其體重約增加
D．若該大學某女生身高為，則可斷定其體重必為
10．下列說法，其中正確的是（ ）
A．對于獨立性檢驗，的值越大，說明兩事件相關程度越大
B．以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則c，k的值分別是和
C．某中學有高一學生400人，高二學生300人，高三學生200人，學校團委欲用分層抽樣的方法抽取18名學生進行問卷調查，則高一學生被抽到的概率最大
D．通過回歸直線及回歸系數可以精確反映變量的取值和變化趨勢
11．為了增強學生的身體素質，提高適應自然環境、克服困難的能力，某校在課外活動中新增了一項登山活動，并對“學生喜歡登山和性別是否有關”做了一次調查，得到如圖所示的等高條形統計圖，則下列說法中正確的有（ ）
A．被調查的學生中喜歡登山的男生人數比不喜歡登山的女生人數多
B．被調查的男生中喜歡登山的人數比不喜歡登山的人數多
C．是否有99%的把握認為喜歡登山和性別有關不會受到被調查的男女生人數影響
D．是否有99%的把握認為喜歡登山和性別有關會受到被調查的男女生人數影響
12．在檢驗A與B是否有關的過程中，根據所得數據算得的值，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則認為A與B獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過
B．若，則認為A與B獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過
C．若，則認為A與B不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過
D．若，則認為A與B不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過
三、解答題．
13．某社區對居民參加體育活動進行隨機調查，參與調查的60歲以下和60歲以上的（含60歲）人數如下表：
60歲以下 60歲以上（含60歲）
男性居民 30 40
女性居民 50 20
（1）判斷能否有的把握認為參加體育活動與性別有關；
（2）用分層抽樣方法，在60歲以下的居民中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記抽到的男性居民數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．
附：
k
，其中．
14．近期新冠病毒奧密克戎毒株全球蔓延，傳染性更強、潛伏期更短、防控難度更大．為落實動態清零政策下的常態化防疫，某高中學校開展了每周的核酸抽檢工作：周一至周五，每天中午13：00開始，當天安排450位師生核酸檢測，五天時間全員覆蓋．
（1）該校教職工有410人，高二學生有620人，高三學生有610人，
①用分層抽樣的方法，求高一學生每天抽檢人數；
②高一年級共15個班，該年級每天抽檢的學生有兩種安排方案，方案一：集中來自部分班級；方案二：分散來自所有班級．你認為哪種方案更合理，并給出理由．
（2）學校開展核酸抽檢的第一周，周一至周五核酸抽檢用時記錄如下：
第天 1 2 3 4 5
用時（小時）
①計算變量和的相關系數（精確到），并說明兩變量線性相關的強弱；
②根據①中的計算結果，判定變量和是正相關，還是負相關，并給出可能的原因．
參考數據和公式：，相關系數．
15．A，B是河道分布密集、水患嚴重的西部兩鄰縣，從2015年開始，沿海C市對A縣對口整治河道，C市2015年對A縣河道整治投入40億元，以后河道整治投入逐年減少億元（a是常數，）．B縣則由當地市級機關下派第一書記，單位承包到鎮（鄉）河道，實行河長負責，市民承包到河段的責任制，下表是從2015年到2019年，對B縣以年為單位的河道整治投入額：
投入年份 2015 2016 2017 2018 2019
年分代號t 1 2 3 4 5
年河道整治投入額y（億元） 30 24 22 18 16
（1）用最小二乘法求對B縣的河道整治投入額y與投入年份代號t的回歸方程；
（2）①A，B兩縣人口分別為58萬和42萬，請比較對A，B兩縣從2015年至2020年這6年人均河道整治投入的大小（對B縣2020年的河道整治投入取回歸方程的估計值）．
②統計得出兩縣2020年河道整治是否達標與人均河道整治投入額分布列聯表（人數單位：萬人）：
未達標 達標 合計
6年的人均河道整治投入不低于3億元/萬人 20 38 58
6年的人均河道整治投入低于3億元/萬人 24 18 42
合計 44 56 100
結合此表，是否有把握認為河道整治達標與對當地市民的河道整治投入有關？
參考公式及數據：，，，．
，．
檢驗臨界值表：
16．隨著科技進步，近年來，我國新能源汽車產業迅速發展．以下是中國汽車工業協會2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數據：
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代碼x 1 2 3 4 5 6
新能源乘用車年銷售量y（萬輛） 50 78 126 121 137 352
（1）根據表中數據，求出y關于x的線性回歸方程；（結果保留整數）
（2）若用模型擬合y與x的關系，可得回歸方程為，經計算該模型和第（1）問中模型的（為相關指數）分別為和，請分別利用這兩個模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值；
（3）你認為（2）中用哪個模型得到的預測值更可靠？請說明理由．
參考數據：設，其中．
144 841 380 528
參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
(
答案與解析
)
一、單選題．
1．【答案】B
【解析】對于A，的觀測值時，有的把握認為吸煙與患肺病有關系，不是指“在100個吸煙的人中必有99人患有肺病”，故A錯誤；
對于B，根據獨立性原理知，從統計量中求出有的把握認為吸煙與患肺病有關系，是指有的可能性使得判斷出現錯誤，B正確；
對于C，從獨立性檢驗可知有的把握認為吸煙與患肺病有關系時，不能說某人吸煙，那么他有的可能性患有肺病，C錯誤，
故選B．
2．【答案】B
【解析】由題中的散點圖可以看出，圖1和圖3是正相關，相關系數大于0，
則，，
圖2和圖4是負相關，相關系數小于0，則，，
圖3和圖4的點相對于圖1和圖2更加集中，所以相關性較強，所以更接近于1，更接近于，
由此可得，故選B．
3．【答案】A
【解析】由表格數據知：，，
，，
所求經驗回歸方程為，故選A．
4．【答案】B
【解析】對于A，散點顯然不符合一次函數的大致圖象，A錯誤；
對于B，散點的增長幅度符合二次函數的圖象特征，B正確；
對于C，以和月份為例，，，無法有一個固定的常數，使得對應的值與散點對應的值相符，即散點圖不符合指數函數模型，C錯誤；
對于D，散點的增長幅度不符合對數函數的大致圖象，D錯誤，
故選B．
5．【答案】C
【解析】因為且，，所以或7或8或9，
根據公式，得，
即，
當時，；
當時，；
當時，；
當時，，
即當或9時滿足題意，故選C．
6．【答案】B
【解析】對于①，根據回歸系數的含義，可得回歸直線方程中，當解釋變量x增加1個單位時，預報變量平均減少個單位，故①正確；
對于②，回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線，不正確．回歸直線也可能不過任何一個點；故②不正確；
對于③，當相關性系數時，兩個變量正相關，故③正確；
對于④，如果兩個變量的相關性越強，則相關性系數的絕對值就越接近于，故④不正確；
對于⑤，殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越低，故⑤不正確；
對于⑥，甲、乙兩個模型的分別約為和，則模型甲的擬合效果更好，故⑥不正確，
則正確的個數為2，故選B．
7．【答案】C
【解析】由題意，將兩邊同時取對數，得，
設，則
1 2 3 4
1 3 4 5
，，
由，得，解得，
所以，
所以當時，，故選C．
二、多選題．
8．【答案】ABC
【解析】對于A：因為函數關系是確定關系，所以A正確；
對于B：因為相關關系是非確定性關系，所以B正確；
對于C：兩個變量轉換成數據后，一個對應點的橫坐標，一個對應點的縱坐標，所以C正確；
對于D：散點圖只能大致反映變量間的關系，所以D錯誤，
故選ABC．
9．【答案】ABC
【解析】根據與的線性回歸方程為，其中，說明與具有正的線性相關關系，A正確；
回歸直線過樣本點的中心，由，B正確；
由回歸方程知，若該大學某女生身高增加，則其體重約增加，故C正確；
若該大學某女生身高為，則可預測其體重約為，不可斷定其體重必為，D錯誤，
故選ABC．
10．【答案】AB
【解析】由獨立性檢驗得A說法是正確的；
B中模型兩邊取對數得，
由線性方程得，知c，k的值分別是，，
故B說法正確；
根據簡單隨機抽樣，每個個體被抽到的概率相同，故C錯誤；
回歸直線及回歸系數是預測變量的取值和變化趨勢，并不是精確反映，故D錯誤，
故選AB．
11．【答案】BD
【解析】因為不知道被調查的學生中，男生與女生的人數，所以不能確定喜歡登山的男生人數比不喜歡登山的女生人數多，因此選項A不正確；
由統計圖中可以確定被調查的男生中喜歡登山的人數的百分比為，所以被調查的男生中喜歡登山的人數比不喜歡登山的人數多，因此選項B正確；
因為不知道被調查的學生中，男生與女生的人數，所以不能由卡方公式進行計算判斷，所以選項C不正確，選項D正確，
故選BD．
12．【答案】ABC
【解析】當時，我們認為A與B不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過，只有D說法正確，
故選ABC．
三、解答題．
13．【答案】（1）有的把握認為；（2）分布列見解析，期望為．
【解析】（1）由題意可得，
故有把握認為參加體育活動與性別有關．
（2）以下居民共人，其中男性人，女性人，
用分層抽樣的方法從中抽人，則男性有人，女性有人，
從這位男性和位女性中隨機抽取3人，抽到的男性居民數可能有，，，，
故X的所有可能取值為，，，，
，，
，，
的分布列如下：
．
14．【答案】（1）①人；②方案二，理由見解析；（2）①，線性相關性很強；②負相關，理由見解析．
【解析】（1）解：①高一學生每天抽檢人數為（人）．
②方案二更合理，因為新冠病毒奧密克戎毒株傳染性更強、潛伏期更短，分散抽檢可以全面檢測年級中每班學生的狀況，更有利于防控篩查工作．
（2）解：①，，
所以，
，，
變量和的相關系數為，
因為，可知兩變量線性相關性很強．
②由可知變量和是負相關，可能的原因：隨著抽檢工作的開展，學校相關管理協調工作效率提高，因此用時縮短．
15．【答案】（1）；（2）①對A縣的人均河道整治投入大于對B縣的人均河道整治投入；②有的把握．
【解析】（1）由表可知，，，
∵，，∴，
∴，
所以，所求回歸方程為．
（2）①由條件可知，對A縣的河道整治總投入（億元），
∴這6年對A縣人均河道整治投入為（億元/萬人）．
對B縣2020年的河道整治投入為（億元），
∴對B縣的河道整治總投入為（億元），
∴這6年對B縣人均河道整治投入為（億元/萬人）．
所以，對A縣的人均河道整治投入大于對B縣的人均河道整治投入．
②由列聯表知，，
所以，有的把握認為河道整治達標與當地市民的河道整治投入有關．
16．【答案】（1）；（2）當回歸方程為時，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值是萬輛；當回歸方程為時，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值是萬輛．（3）由于相關指數越接近于，兩個變量之間的關系就強，相應的擬合程度也越好，所以模型得到的預測值更可靠．
【解析】（1）由表中數據得，
，，，
，
，，
y關于x的線性回歸方程為．
（2）由（1）知，y關于x的線性回歸方程為，
當時，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值（萬輛）；
對于回歸方程，
當時，2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值：
（萬輛）．
（3）依題意：模型和第（1）問中模型的（為相關指數）分別為和，
由于相關指數越接近于，兩個變量之間的關系就強，相應的擬合程度也越好，
所以模型得到的預測值更可靠．

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