資源簡介

廣東省清遠市連州市第二中學2025年中考數學模擬（一）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·連州模擬）的倒數是（　　）
A． B． C．-20 D．20
2．（2025·連州模擬）2024年4月24日，“中國航天日”主場活動啟動儀式上，武漢、襄陽、宜昌、孝感、咸寧、黃岡、十堰、荊門8個城市簽約空天信息產業項目，項目投資總額達631.25億元.631.25億用科學記數法表示為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·連州模擬）要使分式有意義，的取值應滿足（　　）
A． B． C． D．且
4．（2025·連州模擬）已知正邊形的一個外角為，則邊形的內角和是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·連州模擬）2024年巴黎奧運會于當地時間2024年7月26日開幕，8月11日閉幕，美國、中國、日本、澳大利亞、法國分別以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，則這組數據的眾數是（　　）
A．40 B．20 C．18 D．16
6．（2025·連州模擬）拋物線與軸相交的坐標為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·連州模擬）下列圖形是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·連州模擬）如圖，在中，延長至點，使，連接，取的中點，連接．當的面積為12時，的面積為（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
9．（2025·連州模擬）一元二次方程的兩根為，則（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·連州模擬）拋物線如圖所示，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，下列結論：①；②；③對于任意實數，都有；④當時，．其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·連州模擬）計算：　 　
12．（2025·連州模擬）如圖，，是的切線，，為切點，若，則　 　．
13．（2025·連州模擬）不等式組的正整數解為　 　．
14．（2025·連州模擬）廣東惠東海龜國家級自然保護區是目前中國大陸唯一的海龜產卵繁殖地．世界上現存海龜共7種，我國則有綠海龜、玳瑁、蠵龜、太平洋麗龜和棱皮龜5種．若5種海龜的數量大致相等，則惠東海龜國家級自然保護區研究人員在保護區遇到棱皮龜的概率是　 　．
15．（2025·連州模擬）在歐幾里得的《幾何原本》中提到，形如的方程的圖解法是：如圖，以和為直角邊作，再在斜邊上截取，則的長為所求方程的正根．若關于的一元二次方程，當圖中，那么的值為　 　．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·連州模擬）計算：．
17．（2025·連州模擬）一次函數與反比例函數的圖象都經過點，求一次函數和反比例函數的解析式．
18．（2025·連州模擬）如圖，菱形的對角線相交于點．
（1）實踐與操作：作邊上的垂直平分線，交于點，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）應用與證明：若，求的長．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·連州模擬）在2024年貴州文旅“四免一多一減”優惠活動中，廣東省居民享受貴州全省國有A級旅游景區門票免費優惠．小明一家打算在貴陽、銅仁、黔東南、黔西南四個城市中挑選一個地方進行旅游，他們給不同的城市進行評分如下表所示：
城市 自然景觀 人文歷史 酒店住宿 交通
貴陽 6 7 10 8
銅仁 5 10 6 7
黔東南 15.0 8 5.8 6
黔西南 10 7 7 6
（1）如果四項同等重要，小明家將選擇哪個城市去游玩？
（2）如果自然景觀、人文歷史、酒店住宿和交通按照的權重，那么小明家將選擇哪個城市進行游玩？
（3）小明的鄰居小紅家也有同樣的出游打算，目的地也在貴陽、銅仁、黔東南、黔西南四個城市中挑選，那么小明家和小紅家選擇去同一個城市的概率是多少？請用樹狀圖或列表表示出來并求解．
20．（2025·連州模擬）足球被稱為“世界第一運動”，精彩賽事讓許多球迷回味不已．
（1）若球賽以小組為單位進行單循環制，組共比賽了場，則組有多少支球隊？
（2）在（1）的條件下，若球賽以積分形式決定球隊是否晉級，勝一場積分，平一場積分，負一場積分．某球隊在組目標是積分，則該球隊勝、平、負的場數分別可以是多少？請列舉說明．
21．（2025·連州模擬）如圖，內接于是的直徑，是的切線交的延長線于點于點是上的動點（不與點，重合），連接并延長到點，連接．
（1）求的度數；
（2）求證：平分；
（3）若，求四邊形面積的最大值．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·連州模擬）【知識技能】
（1）如圖1，把紙對折，使與重合，得到折痕，再沿著折疊得到，找出一個與相等的角為___________；
【數學理解】
（2）如圖2，延長交于點，過點作的垂線交于點，求證：；
【拓展探索】
（3）①試判斷四邊形的形狀為___________；
②若紙的長、寬比為，求的值．
23．（2025·連州模擬）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．過點的直線與軸交于點，與拋物線交于點，連接，已知．
（1）求的長．
（2）求的面積．
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】有理數的倒數；有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：，（）×（）=1．所以-4×5的倒數是
故選：A．
【分析】
本題主要考查了有理數乘法、倒數的定義(乘積為1的兩個數互為倒數）。先根據有理數乘法法則計算，然后再求倒數即可．
2．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：億．
故選：C．
【分析】
先把億作單位的數改寫成用1（個）作單位，然后用科學記數法表示較大的數，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n是比位數少1的正整數.
3．【答案】C
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：∵分式有意義，
∴，
得．
故選：C．
【分析】根據分局分式的意義：分母不為0，列式計算即可．
4．【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12（條）
∴該正多邊形是正十二邊形，
∴其內角和為．
故選： D．
【分析】本題主要考查了正多邊形內角和和外角和綜合，由于正多邊形的外角和為360度，每個內角30°，據此可求出正多邊形的邊數，再根據正邊形的內角和為計算求解即可．
5．【答案】A
【知識點】眾數
【解析】【解答】解：由題意可得，出現的次數最多，故眾數為，
故選：A．
【分析】
本題考查了眾數．眾數是一組數據中出現次數最多的數值。一組數據可能有一個眾數，也可能有多個眾數，或者沒有眾數。據此可以作出選擇。
6．【答案】B
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：在中，令，則，
∴拋物線與軸相交的坐標為，
或y=(x+4)(x-2)=，與軸相交的坐標為，
故選：B．
【分析】
本題主要考查了求拋物線與y軸的交點坐標，令，求出此時的函數值即可得到答案．或把y=(x+4)(x-2)化成一般形式其中C值就是就是與y軸的交點。
7．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
C．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．
8．【答案】D
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：，
∴是的中線，
∴，
又是的中點，
．
故選：D．
【分析】
本題主要考查了三角形中位線的性質，掌握三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分成為解題的關鍵．根據三角形中位線的性質可得，同理可得．
9．【答案】B
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的兩根為，
∴
∴
．
故選：B．
【分析】若是的兩個實數根，則，據此代值計算即可得到答案．
10．【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【解答】解：觀察拋物線的圖像可知：拋物線的開口向下，
∴，
∵與軸的交點在原點上方可，
∴，
∴，即①正確；
∵拋物線與軸交于，頂點（1，m），可知對稱軸為直線
∴拋物線與x軸的另一交點為，
∴當時，；
當時，，
∴兩式相減可得，即②正確；
∵拋物線頂點坐標為，開口向下，
∴為最大值，
∴對于任意實數，都有，即③錯誤；
④由圖象可得，當時，，即④正確．
綜上，正確的有3個．
故選：C．
【分析】
本題主要考查了二次函數圖象的性質、二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象與不等式的關系等知識點。根據圖象開口向上可知，與軸的交點在原點上方可知，據此可判斷①；因為拋物線與軸交于，對稱軸為直線，所以另一交點為，則、兩式相減可得，可判斷②；拋物線頂點坐標為，開口向下，則為最大值，對于任意實數，都有，據此可判斷③；由圖象可得當時，，據此可判定④．

11．【答案】1
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】原式=.
故答案為：1.
【分析】
本題考查了分式的加減運算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。分式運算的結果要化為最簡分式或者整式.根據同分母的分式相加減的法則計算即可.
12．【答案】
【知識點】切線的性質；解直角三角形—邊角關系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：連接，
∵是的切線，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
則，
則．
故答案為：．
【分析】
該題考查切線的性質，解直角三角形，角平分線的判定，根據切線的性質得出OB⊥PB，解直角三角形，從而得出∠OPB=30°，即可求解．
13．【答案】1，2，3
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式組的解集為，
∴正整數解為1，2，3．
故答案為：1，2，3．
【分析】先分別求出各不等式的解，然后確定不等式組的解集，最后確定正整數解即可．
14．【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：根據題意可得，惠東海龜國家級自然保護區研究人員在保護區遇到棱皮龜的概率是，
故答案為：．
【分析】
該題考查了概率計算，根據題意結合概率公式 ：P(A)=A包含的基本事件數/基本事件總數計算即可
15．【答案】12
【知識點】一元二次方程的其他應用；勾股定理
【解析】【解答】解：由題意得，，
，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得
由于BC=，m＞0
∴，
故答案為：12．
【分析】
本題主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根據題意可得，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
16．【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；二次根式的化簡求值；求特殊角的三角函數值；化簡含絕對值有理數
【解析】【分析】
根據特殊角的三角函數值，絕對值的性質、負指數冪的運算法則、平方根，實數的運算法則來求解．
17．【答案】解：反比例函數的圖象經過點，
反比例函數的解析式為．
一次函數的圖象經過點
，
解得．
一次函數的解析式為．
綜上一次函數解析式：
反比例函數解析式：
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】本題考查了求反比例函數的解析式、求一次函數的解析式，利用待定系數法求解即可。
18．【答案】（1）解：如圖所示，EF即為所求．
（2）解：由（1）得EF垂直平分AB，
∵AF=2.EF=1
∴．
四邊形ABCD是菱形，
∴△ABD是等邊三角形．
∴AB=AD=BD
在Rt△AEF中，
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；菱形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】該題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，尺規作線段垂直平分線等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點（1）考查尺規作線段垂直平分線的方法．分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，連接兩弧的交點的直線即為AB的垂直平分線。
（2）由（1）得EF垂直平分AB，在Rt△AEF中，解直角三角形求出∠FAE=30°，從而證明△ABD是正三角形，AB=AD=BD，再根據勾股定理求出AE=，繼而求出AB.
（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四邊形是菱形，
．
是等邊三角形．
．
19．【答案】（1）解：
貴陽平均分
銅仁平均分
黔東南平均分
黔西南平均分
∵
∴小明家將選擇貴陽游玩．
（2）解：貴陽加權平均數
銅仁加權平均數
黔東南加權平均數 黔西南 加權平均數
∵，
∴小明家將選擇黔西南游玩．
（3）解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中選擇去同一個城市的結果有4種，所以選擇去同一個城市的概率是．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；平均數及其計算；加權平均數及其計算
【解析】【分析】（1）分別計算出平均分，比較即可得解；
（2）分別計算出加權平均數，比較即可得解；
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：設貴陽為城市，銅仁為城市，黔東南為城市，黔西南為城市D．
四個城市的平均分為
A：，
B：，
C：，
D：，
∵，
∴小明家將選擇貴陽游玩．
（2）解：根據題意得：
A：，
B．，
C：，
D．，
∵，
∴小明家將選擇黔西南游玩．
（3）解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中選擇去同一個城市的結果有4種，所以選擇去同一個城市的概率是．
20．【答案】（1）解：設組有支球隊，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：組有支球隊；
（2）由（1）知A組共有9支球隊，則每支隊伍比賽8場．
設該球隊勝了場，平了場，則負了場．
依題意得：
化簡得：，
當時，此時
當時，B=1，此時
答：該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：其一：勝場、平場、負場；其二勝場、平場、負場．
【知識點】一元二次方程的其他應用；二元一次不定方程
【解析】【分析】本題考查了一元二次方程和二元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，并正確找出等量關系．
（1）設A組有支球隊，每支球隊賽(x-1)場，根據題意列方程即可求解；
（2）由（1）知A組共有9支球隊，則每支隊伍比賽8場．設該球隊勝了場，平了場，則負了場，根據總積分得16分，列方程即可求解．
（1）解：設組有支球隊，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：組有支球隊；
（2）由（1）知組共有支球隊，則每支隊伍比賽場．
設該球隊勝了場，平了場，則負了場．
依題意得：，
化簡得：，
當時，，此時；
當時，，此時．
答：該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：勝場、平場、負場；勝場、平場、負場．
21．【答案】（1）解：四邊形ABPC是內接四邊形，
（2）證明：∵AB是圓的直徑，DC是圓的切線。∠BAC=60°
∴∠ABC=∠ACE=30°
在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠ACE=60°，
∠EAD=180°-∠BAC-∠EAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC
∴AE平分∠DAC
（3）解：
過P點作PM⊥BC交BC于G.如圖
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，AE=1
∴AC=2
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2
∴AB=4
只有P點運動到弧BC 的中點時三角形PBC的面積最大，此時PG為BC的垂直平分線.
在Rt△BPG中，
∠BPC=120°，∠BPG=60°，
BG=
tan∠BPG=
∴
【知識點】垂徑定理；圓周角定理；圓內接四邊形的性質；切線的性質
【解析】【分析】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，銳角三角函數，勾股定理，角平分線定義、垂徑定理。熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠BAC=∠BPF=60°。
（2）根據圓周角性質求出∠ACE=30°，因而得到∠EAC=60°，根據平角定義求出∠EAD=60°，再根據角平分線定義得到AE平分∠DAC
（3）過P點作PM⊥BC交BC于G.四邊形ABPC的面積=三角形ABC的面積+三角形PBC的面積。由于三角形ABC的面積固定，只有P點運動到弧BC 的中點時三角形PBC的面積最大，此時PG為BC的垂直平分線。解含有30°的直角三角形求出AC、BC，繼而求出三角形ABC的面積。同理求出PG，繼而求出三角形PBC的面積。再把三角形ABC的面積+三角形PBC的面積得到四邊形ABPC面積的最大值。
（1）解：四邊形是內接四邊形，
∴，
∵，
．
（2）證明：如圖，連接．
是的切線，
∴，
．
又在中，，
是等邊三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直徑，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如圖，過點作于點．
在中，為動點，為底邊，當垂直平分時，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
22．【答案】解：（1）∠GCE
（2）證明：由題意得，四邊形ABCD是矩形，
∴
由折疊可知∠D=∠EGC=∠EMH=90°，CD=CG=MH
∴∠HGC=180°-∠EGC=90°
在△MEH和△GHC中
∠EMH=∠HGC
∠MEH=∠GHC=90°
MH=CG
∴△EMH≌△HGC(AAS)
（3）①矩形
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根據（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.設矩形ABCD的長是a，寬是a. 令G=HF=x，
，CG=DC=a，
在Rt△HCG中，
，即
【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】解答：（1）
由于△EDC沿EC折疊得到△EGC，∴∠DCE=∠GCE
故答案為：∠GCE
(3)
①矩形，
∵MD∥HC，CD∥MH
∴四邊形MHCD是平行四邊形，
∠D=90°，
∴四邊形MHCD是矩形；
【分析】本題考查了矩形與折疊，解直角三角形，全等三角形的判定與性質，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
（1）由折疊的性質可知∠DCE=∠ECG；
（2）四邊形ABCD是矩形，由對折性質可知，∠MEH=∠FHE，∠D=∠EGC=∠EMH=90°，MH=AB，由折疊可得CG=DC，則CG=MH，即可通過AAS證明全等；
（3）①MHCD為矩形；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形。
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根據（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.設矩形ABCD的長是a，寬是a. 令G=HF=x，，CG=DC=a，在Rt△HCG中，利用勾股定理求出x.最后用求出其值。
23．【答案】（1）解；∵OE=2OA=2CO
點A坐標為(-2，0)，點E坐標為(0，-4)，C點坐標（0，2）．
將A(-2，0)，E(0，-4)分別代入中
得
解得
拋物線解析式為
在中，當時，則
解得
點B坐標(4，0)，
∴OB=4．
（2）解；設直線BD的解析式為，直線經過B、C兩點
把點B(4，0)，C(0，2)代入，得解得
直線BD的解析式為．
聯立
解得
；
（3）解：∵拋物線解析式為，∴對稱軸為直線
∵OA=2，OE=4，
∴
設，
①當PA=PE時，
解得a=-1，
；
②當PA=AE時，
解得
或；
③當PE=AE時，
解得
或
綜上，點P的坐標為或或或或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數-面積問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，兩點距離計算公式，等腰三角形的定義等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．（1）根據OE=2OA=4，先求出點A和點E的坐標，再利用待定系數法求出拋物線解析式，進而求出點B的坐標，即可得到答案；
（2）先求出點C坐標，再求出直線BC解析式，進而求出點D的坐標，最后根據三角形面積計算公式求解即可；
（3）先求出拋物線的對稱軸，然后分PA=PE、PE=AE、PA=AE三種情況，根據兩點距離計算公式建立方程求解即可．
（1）解；，
∴，
點坐標為點坐標為．
將點分別代入中得
解得
拋物線解析式為．
在中，當時，則，
解得，
點坐標為，
∴．
（2）解；設直線的解析式為，
∴，
．
把點代入，得解得
直線的解析式為．
聯立
解得
；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴對稱軸為直線，
∵，
∴．
設，
①當時，，
解得，
；
②當時，，
解得
或；
③當時，，
解得
或．
綜上，點的坐標為或或或或．
1 / 1廣東省清遠市連州市第二中學2025年中考數學模擬（一）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·連州模擬）的倒數是（　　）
A． B． C．-20 D．20
【答案】A
【知識點】有理數的倒數；有理數的乘法法則
【解析】【解答】解：，（）×（）=1．所以-4×5的倒數是
故選：A．
【分析】
本題主要考查了有理數乘法、倒數的定義(乘積為1的兩個數互為倒數）。先根據有理數乘法法則計算，然后再求倒數即可．
2．（2025·連州模擬）2024年4月24日，“中國航天日”主場活動啟動儀式上，武漢、襄陽、宜昌、孝感、咸寧、黃岡、十堰、荊門8個城市簽約空天信息產業項目，項目投資總額達631.25億元.631.25億用科學記數法表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：億．
故選：C．
【分析】
先把億作單位的數改寫成用1（個）作單位，然后用科學記數法表示較大的數，科學記數法的表現形式為的形式，其中，n是比位數少1的正整數.
3．（2025·連州模擬）要使分式有意義，的取值應滿足（　　）
A． B． C． D．且
【答案】C
【知識點】分式有無意義的條件
【解析】【解答】解：∵分式有意義，
∴，
得．
故選：C．
【分析】根據分局分式的意義：分母不為0，列式計算即可．
4．（2025·連州模擬）已知正邊形的一個外角為，則邊形的內角和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】多邊形內角與外角
【解析】【解答】解：∵360°÷30°=12（條）
∴該正多邊形是正十二邊形，
∴其內角和為．
故選： D．
【分析】本題主要考查了正多邊形內角和和外角和綜合，由于正多邊形的外角和為360度，每個內角30°，據此可求出正多邊形的邊數，再根據正邊形的內角和為計算求解即可．
5．（2025·連州模擬）2024年巴黎奧運會于當地時間2024年7月26日開幕，8月11日閉幕，美國、中國、日本、澳大利亞、法國分別以金牌40枚、40枚、20枚、18枚、16枚位列金牌榜前5位，則這組數據的眾數是（　　）
A．40 B．20 C．18 D．16
【答案】A
【知識點】眾數
【解析】【解答】解：由題意可得，出現的次數最多，故眾數為，
故選：A．
【分析】
本題考查了眾數．眾數是一組數據中出現次數最多的數值。一組數據可能有一個眾數，也可能有多個眾數，或者沒有眾數。據此可以作出選擇。
6．（2025·連州模擬）拋物線與軸相交的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：在中，令，則，
∴拋物線與軸相交的坐標為，
或y=(x+4)(x-2)=，與軸相交的坐標為，
故選：B．
【分析】
本題主要考查了求拋物線與y軸的交點坐標，令，求出此時的函數值即可得到答案．或把y=(x+4)(x-2)化成一般形式其中C值就是就是與y軸的交點。
7．（2025·連州模擬）下列圖形是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；
B．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
C．是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；
D．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，符合題意．
故選：D．
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．根據中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐項判斷即可．
8．（2025·連州模擬）如圖，在中，延長至點，使，連接，取的中點，連接．當的面積為12時，的面積為（　　）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．6
【答案】D
【知識點】三角形的面積；三角形的中線
【解析】【解答】解：，
∴是的中線，
∴，
又是的中點，
．
故選：D．
【分析】
本題主要考查了三角形中位線的性質，掌握三角形的中位線將三角形分成面積相等的兩部分成為解題的關鍵．根據三角形中位線的性質可得，同理可得．
9．（2025·連州模擬）一元二次方程的兩根為，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的兩根為，
∴
∴
．
故選：B．
【分析】若是的兩個實數根，則，據此代值計算即可得到答案．
10．（2025·連州模擬）拋物線如圖所示，拋物線與軸交于點，頂點坐標為，下列結論：①；②；③對于任意實數，都有；④當時，．其中正確的個數是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數與不等式（組）的綜合應用
【解析】【解答】解：觀察拋物線的圖像可知：拋物線的開口向下，
∴，
∵與軸的交點在原點上方可，
∴，
∴，即①正確；
∵拋物線與軸交于，頂點（1，m），可知對稱軸為直線
∴拋物線與x軸的另一交點為，
∴當時，；
當時，，
∴兩式相減可得，即②正確；
∵拋物線頂點坐標為，開口向下，
∴為最大值，
∴對于任意實數，都有，即③錯誤；
④由圖象可得，當時，，即④正確．
綜上，正確的有3個．
故選：C．
【分析】
本題主要考查了二次函數圖象的性質、二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象與不等式的關系等知識點。根據圖象開口向上可知，與軸的交點在原點上方可知，據此可判斷①；因為拋物線與軸交于，對稱軸為直線，所以另一交點為，則、兩式相減可得，可判斷②；拋物線頂點坐標為，開口向下，則為最大值，對于任意實數，都有，據此可判斷③；由圖象可得當時，，據此可判定④．

二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·連州模擬）計算：　 　
【答案】1
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】原式=.
故答案為：1.
【分析】
本題考查了分式的加減運算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。分式運算的結果要化為最簡分式或者整式.根據同分母的分式相加減的法則計算即可.
12．（2025·連州模擬）如圖，，是的切線，，為切點，若，則　 　．
【答案】
【知識點】切線的性質；解直角三角形—邊角關系；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：連接，
∵是的切線，
∴．
又，
平分，
在中，，
∴，
則，
則．
故答案為：．
【分析】
該題考查切線的性質，解直角三角形，角平分線的判定，根據切線的性質得出OB⊥PB，解直角三角形，從而得出∠OPB=30°，即可求解．
13．（2025·連州模擬）不等式組的正整數解為　 　．
【答案】1，2，3
【知識點】一元一次不等式組的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式組的解集為，
∴正整數解為1，2，3．
故答案為：1，2，3．
【分析】先分別求出各不等式的解，然后確定不等式組的解集，最后確定正整數解即可．
14．（2025·連州模擬）廣東惠東海龜國家級自然保護區是目前中國大陸唯一的海龜產卵繁殖地．世界上現存海龜共7種，我國則有綠海龜、玳瑁、蠵龜、太平洋麗龜和棱皮龜5種．若5種海龜的數量大致相等，則惠東海龜國家級自然保護區研究人員在保護區遇到棱皮龜的概率是　 　．
【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：根據題意可得，惠東海龜國家級自然保護區研究人員在保護區遇到棱皮龜的概率是，
故答案為：．
【分析】
該題考查了概率計算，根據題意結合概率公式 ：P(A)=A包含的基本事件數/基本事件總數計算即可
15．（2025·連州模擬）在歐幾里得的《幾何原本》中提到，形如的方程的圖解法是：如圖，以和為直角邊作，再在斜邊上截取，則的長為所求方程的正根．若關于的一元二次方程，當圖中，那么的值為　 　．
【答案】12
【知識點】一元二次方程的其他應用；勾股定理
【解析】【解答】解：由題意得，，
，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得
由于BC=，m＞0
∴，
故答案為：12．
【分析】
本題主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根據題意可得，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·連州模擬）計算：．
【答案】解：
【知識點】負整數指數冪；二次根式的化簡求值；求特殊角的三角函數值；化簡含絕對值有理數
【解析】【分析】
根據特殊角的三角函數值，絕對值的性質、負指數冪的運算法則、平方根，實數的運算法則來求解．
17．（2025·連州模擬）一次函數與反比例函數的圖象都經過點，求一次函數和反比例函數的解析式．
【答案】解：反比例函數的圖象經過點，
反比例函數的解析式為．
一次函數的圖象經過點
，
解得．
一次函數的解析式為．
綜上一次函數解析式：
反比例函數解析式：
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【分析】本題考查了求反比例函數的解析式、求一次函數的解析式，利用待定系數法求解即可。
18．（2025·連州模擬）如圖，菱形的對角線相交于點．
（1）實踐與操作：作邊上的垂直平分線，交于點，交于點；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）應用與證明：若，求的長．
【答案】（1）解：如圖所示，EF即為所求．
（2）解：由（1）得EF垂直平分AB，
∵AF=2.EF=1
∴．
四邊形ABCD是菱形，
∴△ABD是等邊三角形．
∴AB=AD=BD
在Rt△AEF中，
【知識點】線段垂直平分線的性質；等邊三角形的判定與性質；含30°角的直角三角形；菱形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】該題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，尺規作線段垂直平分線等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點（1）考查尺規作線段垂直平分線的方法．分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，連接兩弧的交點的直線即為AB的垂直平分線。
（2）由（1）得EF垂直平分AB，在Rt△AEF中，解直角三角形求出∠FAE=30°，從而證明△ABD是正三角形，AB=AD=BD，再根據勾股定理求出AE=，繼而求出AB.
（1）解：如圖所示，即為所求．
（2）解：由（1）得垂直平分，
∴
在中，．
∵，
∴
∴．
四邊形是菱形，
．
是等邊三角形．
．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·連州模擬）在2024年貴州文旅“四免一多一減”優惠活動中，廣東省居民享受貴州全省國有A級旅游景區門票免費優惠．小明一家打算在貴陽、銅仁、黔東南、黔西南四個城市中挑選一個地方進行旅游，他們給不同的城市進行評分如下表所示：
城市 自然景觀 人文歷史 酒店住宿 交通
貴陽 6 7 10 8
銅仁 5 10 6 7
黔東南 15.0 8 5.8 6
黔西南 10 7 7 6
（1）如果四項同等重要，小明家將選擇哪個城市去游玩？
（2）如果自然景觀、人文歷史、酒店住宿和交通按照的權重，那么小明家將選擇哪個城市進行游玩？
（3）小明的鄰居小紅家也有同樣的出游打算，目的地也在貴陽、銅仁、黔東南、黔西南四個城市中挑選，那么小明家和小紅家選擇去同一個城市的概率是多少？請用樹狀圖或列表表示出來并求解．
【答案】（1）解：
貴陽平均分
銅仁平均分
黔東南平均分
黔西南平均分
∵
∴小明家將選擇貴陽游玩．
（2）解：貴陽加權平均數
銅仁加權平均數
黔東南加權平均數 黔西南 加權平均數
∵，
∴小明家將選擇黔西南游玩．
（3）解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中選擇去同一個城市的結果有4種，所以選擇去同一個城市的概率是．
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；平均數及其計算；加權平均數及其計算
【解析】【分析】（1）分別計算出平均分，比較即可得解；
（2）分別計算出加權平均數，比較即可得解；
（3）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可．
（1）解：設貴陽為城市，銅仁為城市，黔東南為城市，黔西南為城市D．
四個城市的平均分為
A：，
B：，
C：，
D：，
∵，
∴小明家將選擇貴陽游玩．
（2）解：根據題意得：
A：，
B．，
C：，
D．，
∵，
∴小明家將選擇黔西南游玩．
（3）解：畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中選擇去同一個城市的結果有4種，所以選擇去同一個城市的概率是．
20．（2025·連州模擬）足球被稱為“世界第一運動”，精彩賽事讓許多球迷回味不已．
（1）若球賽以小組為單位進行單循環制，組共比賽了場，則組有多少支球隊？
（2）在（1）的條件下，若球賽以積分形式決定球隊是否晉級，勝一場積分，平一場積分，負一場積分．某球隊在組目標是積分，則該球隊勝、平、負的場數分別可以是多少？請列舉說明．
【答案】（1）解：設組有支球隊，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：組有支球隊；
（2）由（1）知A組共有9支球隊，則每支隊伍比賽8場．
設該球隊勝了場，平了場，則負了場．
依題意得：
化簡得：，
當時，此時
當時，B=1，此時
答：該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：其一：勝場、平場、負場；其二勝場、平場、負場．
【知識點】一元二次方程的其他應用；二元一次不定方程
【解析】【分析】本題考查了一元二次方程和二元一次方程的應用，解題的關鍵是理解題意，并正確找出等量關系．
（1）設A組有支球隊，每支球隊賽(x-1)場，根據題意列方程即可求解；
（2）由（1）知A組共有9支球隊，則每支隊伍比賽8場．設該球隊勝了場，平了場，則負了場，根據總積分得16分，列方程即可求解．
（1）解：設組有支球隊，
依題意得：，
解得：，（舍去）．
答：組有支球隊；
（2）由（1）知組共有支球隊，則每支隊伍比賽場．
設該球隊勝了場，平了場，則負了場．
依題意得：，
化簡得：，
當時，，此時；
當時，，此時．
答：該球隊勝、平、負的場數可以有種情況：勝場、平場、負場；勝場、平場、負場．
21．（2025·連州模擬）如圖，內接于是的直徑，是的切線交的延長線于點于點是上的動點（不與點，重合），連接并延長到點，連接．
（1）求的度數；
（2）求證：平分；
（3）若，求四邊形面積的最大值．
【答案】（1）解：四邊形ABPC是內接四邊形，
（2）證明：∵AB是圓的直徑，DC是圓的切線。∠BAC=60°
∴∠ABC=∠ACE=30°
在Rt△AEC中
∠EAC=90°-∠ACE=60°，
∠EAD=180°-∠BAC-∠EAC=60°，
∴∠EAD=∠EAC
∴AE平分∠DAC
（3）解：
過P點作PM⊥BC交BC于G.如圖
在Rt△AEC中，∠ACE=30°，AE=1
∴AC=2
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2
∴AB=4
只有P點運動到弧BC 的中點時三角形PBC的面積最大，此時PG為BC的垂直平分線.
在Rt△BPG中，
∠BPC=120°，∠BPG=60°，
BG=
tan∠BPG=
∴
【知識點】垂徑定理；圓周角定理；圓內接四邊形的性質；切線的性質
【解析】【分析】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，銳角三角函數，勾股定理，角平分線定義、垂徑定理。熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）根據圓內接四邊形的性質可得∠BAC=∠BPF=60°。
（2）根據圓周角性質求出∠ACE=30°，因而得到∠EAC=60°，根據平角定義求出∠EAD=60°，再根據角平分線定義得到AE平分∠DAC
（3）過P點作PM⊥BC交BC于G.四邊形ABPC的面積=三角形ABC的面積+三角形PBC的面積。由于三角形ABC的面積固定，只有P點運動到弧BC 的中點時三角形PBC的面積最大，此時PG為BC的垂直平分線。解含有30°的直角三角形求出AC、BC，繼而求出三角形ABC的面積。同理求出PG，繼而求出三角形PBC的面積。再把三角形ABC的面積+三角形PBC的面積得到四邊形ABPC面積的最大值。
（1）解：四邊形是內接四邊形，
∴，
∵，
．
（2）證明：如圖，連接．
是的切線，
∴，
．
又在中，，
是等邊三角形，
∴．
，
，
，
∴，
是等腰三角形．
，
平分．
（3）解：由（2）得在中，，，
．
是直徑，
是直角三角形，且．
∴，
∴，
．
如圖，過點作于點．
在中，為動點，為底邊，當垂直平分時，的值最大，
∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
，
∴．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·連州模擬）【知識技能】
（1）如圖1，把紙對折，使與重合，得到折痕，再沿著折疊得到，找出一個與相等的角為___________；
【數學理解】
（2）如圖2，延長交于點，過點作的垂線交于點，求證：；
【拓展探索】
（3）①試判斷四邊形的形狀為___________；
②若紙的長、寬比為，求的值．
【答案】解：（1）∠GCE
（2）證明：由題意得，四邊形ABCD是矩形，
∴
由折疊可知∠D=∠EGC=∠EMH=90°，CD=CG=MH
∴∠HGC=180°-∠EGC=90°
在△MEH和△GHC中
∠EMH=∠HGC
∠MEH=∠GHC=90°
MH=CG
∴△EMH≌△HGC(AAS)
（3）①矩形
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根據（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.設矩形ABCD的長是a，寬是a. 令G=HF=x，
，CG=DC=a，
在Rt△HCG中，
，即
【知識點】勾股定理；矩形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；三角形全等的判定-AAS；求正切值
【解析】解答：（1）
由于△EDC沿EC折疊得到△EGC，∴∠DCE=∠GCE
故答案為：∠GCE
(3)
①矩形，
∵MD∥HC，CD∥MH
∴四邊形MHCD是平行四邊形，
∠D=90°，
∴四邊形MHCD是矩形；
【分析】本題考查了矩形與折疊，解直角三角形，全等三角形的判定與性質，熟練掌握各知識點并靈活運用是解題的關鍵．
（1）由折疊的性質可知∠DCE=∠ECG；
（2）四邊形ABCD是矩形，由對折性質可知，∠MEH=∠FHE，∠D=∠EGC=∠EMH=90°，MH=AB，由折疊可得CG=DC，則CG=MH，即可通過AAS證明全等；
（3）①MHCD為矩形；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形。
②由于MHFE是矩形，ME=FH.根據（2）知△EMH≌△HGC。得到HG=EM=HF.設矩形ABCD的長是a，寬是a. 令G=HF=x，，CG=DC=a，在Rt△HCG中，利用勾股定理求出x.最后用求出其值。
23．（2025·連州模擬）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．過點的直線與軸交于點，與拋物線交于點，連接，已知．
（1）求的長．
（2）求的面積．
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點，使以，，為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）解；∵OE=2OA=2CO
點A坐標為(-2，0)，點E坐標為(0，-4)，C點坐標（0，2）．
將A(-2，0)，E(0，-4)分別代入中
得
解得
拋物線解析式為
在中，當時，則
解得
點B坐標(4，0)，
∴OB=4．
（2）解；設直線BD的解析式為，直線經過B、C兩點
把點B(4，0)，C(0，2)代入，得解得
直線BD的解析式為．
聯立
解得
；
（3）解：∵拋物線解析式為，∴對稱軸為直線
∵OA=2，OE=4，
∴
設，
①當PA=PE時，
解得a=-1，
；
②當PA=AE時，
解得
或；
③當PE=AE時，
解得
或
綜上，點P的坐標為或或或或
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數-面積問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，兩點距離計算公式，等腰三角形的定義等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．（1）根據OE=2OA=4，先求出點A和點E的坐標，再利用待定系數法求出拋物線解析式，進而求出點B的坐標，即可得到答案；
（2）先求出點C坐標，再求出直線BC解析式，進而求出點D的坐標，最后根據三角形面積計算公式求解即可；
（3）先求出拋物線的對稱軸，然后分PA=PE、PE=AE、PA=AE三種情況，根據兩點距離計算公式建立方程求解即可．
（1）解；，
∴，
點坐標為點坐標為．
將點分別代入中得
解得
拋物線解析式為．
在中，當時，則，
解得，
點坐標為，
∴．
（2）解；設直線的解析式為，
∴，
．
把點代入，得解得
直線的解析式為．
聯立
解得
；
（3）解：∵拋物線解析式為，
∴對稱軸為直線，
∵，
∴．
設，
①當時，，
解得，
；
②當時，，
解得
或；
③當時，，
解得
或．
綜上，點的坐標為或或或或．
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