資源簡介

廣東省東莞市東城區東莞中學2024—2025學年下學期七年級數學期中考試試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025七下·東莞期中）下列各數中，是無理數的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·東莞期中）甲骨文是我國古代的一種文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移來分析其形成過程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·東莞期中）點P（3，﹣4）在平面直角坐標系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025七下·東莞期中）下列各式中，計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·東莞期中）用代入法解方程組時，將②代入①正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·東莞期中）如圖，點在的延長線上，下列條件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·東莞期中）如圖，將直尺和的三角尺疊放在一起，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·東莞期中）如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數突出的齒．將其放在平面直角坐標系中，葉片“頂部”兩點的坐標分別為，則葉桿“底部”點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·東莞期中）一個正方形的面積是8，估計它的邊長大小在（　　）
A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．4與5之間
10．（2025七下·東莞期中）已知二元一次方程組，則的值為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（2025七下·東莞期中） 的相反數是　 　.
12．（2025七下·東莞期中）一個正數的兩個平方根為和，則的值為　 　．
13．（2025七下·東莞期中）是方程的解，則　 　．
14．（2025七下·東莞期中）在平面直角坐標系中，點在第二象限，到軸，軸的距離分別為，則點的坐標為　 　．
15．（2025七下·東莞期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，則　 　．
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025七下·東莞期中）計算：
17．（2025七下·東莞期中）解方程組：.
18．（2025七下·東莞期中）如圖，直線AB，CD相交于O，若，OA平分，求．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025七下·東莞期中）如圖，將三角形整體向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到三角形．
（1）畫出平移后的圖形三角形，并寫出三角形各頂點的坐標；
（2）求出三角形的面積．
20．（2025七下·東莞期中）根據如表素材，探索完成任務．
背景 為了迎接2024年杭州茶文化“西湖悅讀節”，某班級開展知識競賽活動，去奶茶店購買A、B兩種款式的奶茶作為獎品．
素材 若買10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若買15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
問題解決
任務1 問A款奶茶和B款奶茶的銷售單價各是多少元？
任務2 如果購買A、B兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花200元，請問購買方案分別是：___________________________________________________
21．（2025七下·東莞期中）閱讀下列材料，完成相應任務．
臺球中的數學
如圖1是臺球桌面實物圖，圖2是抽象出的數學圖形，一個球在桌面上的點處滾向桌邊，碰到上的點后反彈，再碰到邊上的點后，再次反彈進入底袋點．已知長方形桌面中，，，．
（1）如圖2，求證：；
（2）如圖3，若球在桌面的點處，經過兩次反彈后碰到邊上的點處，，請你判斷與的位置關系，并說明理由．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025七下·東莞期中）【問題初探】
（）數學活動課上，王老師給出如下問題：如圖，，點在，之間且點在點右側，求證：；
【類比探究】
（）李明對王老師給出的問題進行了改編：如圖，，點在，之間且點在點左側，直接寫出，，之間的數量關系；
【學以致用】
（）如圖是超市購物車，圖是其側面示意圖，已知，，測量得知，，求的度數．
23．（2025七下·東莞期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，且，滿足．
（1）直接寫出，，的坐標：_____，_____，_____；
（2）平移線段得到線段，連接，則四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積；
（3）在（2）的條件下，點在四邊形內部，滿足．
（提示：，分別表示三角形，三角形的面積）
①求，滿足的數量關系；
②若，求點的坐標．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：、是整數，屬于有理數，不合題意；
、是整數，屬于有理數，不合題意；
、是無理數，符合題意；
、是分數，屬于有理數，不合題意；
故答案為：．
【分析】利用無理數的定義（無限不循環小數稱為無理數）逐個分析判斷求解即可.
2．【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不變性可知，四個圖形中只有C選項中的圖形是經過平移得到的，
故答案為：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動 ）逐項分析判斷即可.
3．【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵3＞0，﹣4＜0，
∴點P（3，﹣4）所在的象限是第四象限．
故答案為：D．
【分析】根據各象限內點的坐標特征解答即可。
4．【答案】D
【知識點】二次根式的性質與化簡；開平方（求平方根）；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
B．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
C．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
D．，故該選項計算正確，符合題意；
故選：D．
【分析】
本題考查了平方根，算術平方根和立方根的定義，利用平方根，算術平方根，立方根定義判斷即可。
5．【答案】C
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：將②代入①得：，
故答案為：C.
【分析】利用代入消元法的計算方法及步驟分析求解即可.
6．【答案】C
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
B、，根據同位角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
C、，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，無法判定，故此選項符合題意；
D、，根據同旁內角互補，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
故答案為：C．
【分析】利用同位角相等的兩條直線平行、同位角相等的兩條直線平行或同旁內角互補的兩條直線平行的判定方法分析求解即可.
7．【答案】B
【知識點】兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：如圖，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故選：B
【分析】
此題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等即可得到答案．
8．【答案】B
【知識點】點的坐標；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】解：如圖所示，
∴，
故答案為：B．
【分析】先根據點A、B的坐標建立平面直角坐標系，再根據平面直角坐標系直接求出點C的坐標即可.
9．【答案】B
【知識點】無理數的估值；求算術平方根
【解析】【解答】解：設正方形邊長為，
由正方形的面積為8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的邊長在2與3之間，故B正確．
故答案為：B．
【分析】設正方形邊長為，先利用正方形的面積求出，再利用估算無理數大小的方法分析求解即可.
10．【答案】B
【知識點】加減消元法解二元一次方程組；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：，
①②，得，
即，
∴，
故答案為：．
【分析】利用加減消元法可得，再求出即可.
11．【答案】
【知識點】相反數及有理數的相反數
【解析】【解答】-3的相反數是3.
【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數即可得出答案。
12．【答案】1
【知識點】解一元一次方程；平方根的性質
【解析】【解答】解：∵一個正數的兩個平方根為和，
∴，
解得：，
故答案為：1．
【分析】利用平方根的定義及性質可得，再求出m的值即可.
13．【答案】2
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】已知是方程的解，
將代入方程中，得到，即，
解得：，
故答案為：2．
【分析】
本題考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解．把已知的方程的解代入ax+y=1中，得到關于的一元一次方程，再求解該方程得出的值
14．【答案】
【知識點】點的坐標；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，
又∵點到軸，軸的距離分別為，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，
∴點的坐標為，
故答案為：．
【分析】利用點坐標與象限的關系可得點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，再結合點到軸，軸的距離分別為，最后求出點M的坐標即可.
15．【答案】30
【知識點】三角形外角的概念及性質；鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如圖所示，延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案為：30．
【分析】
本題主要考查平行線的性質、平角性質、三角形的外角的性質。延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，由平角性質得平行線的性質可得∴∠CAN=55°，由平行線性質得∠CFD=55°，由外角的性質可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
16．【答案】解：原式．
【知識點】有理數的加、減混合運算；求算術平方根；立方根的概念與表示；開立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用二次根式和立方根的性質分析化簡，再計算即可.
17．【答案】解：，①-②得：3y=3，
解得：y=1，
將y=1代入①中可得：x=3，
∴方程組的解為：

【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】本題考查解二元一次方程組，用加減消元法解二元一次方程組即可
18．【答案】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴設∠EOC=x，∠EOD=2x，
故x+2x=180°，
解得：x=60°，
可得：∠COE=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【知識點】對頂角及其性質；鄰補角；角平分線的概念
【解析】【分析】本題主要考查了角平分線、鄰補角、對頂角定義和性質，根據∠EOC：∠EOD=1：2，求出∠COE=60°，根據OA平分∠EOC，求出∠AOC，由于∠BOD與∠AOC是對頂角，所以∠BOD=∠AOC．
19．【答案】（1）解：如圖所示，三角形即為所求，
由圖可得，，，；
（2）解：三角形的面積．
【知識點】三角形的面積；作圖﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用點坐標平移的特征（上加下減、左減右加）找出點A、B、C的對應點，再連接并直接求出點A'、B'、C'的坐標即可；
（2）利用三角形的面積公式列出算式求解即可.
（1）解：如圖所示，三角形即為所求，由圖可得，，，；
（2）解：三角形的面積．
20．【答案】解：任務1、設A款奶茶的銷售單價是x元，B款奶茶的銷售單價是y元，由題意得：
解得：，
答：A款奶茶的銷售單價是10元，B款奶茶的銷售單價是12元；
任務2、設購買A款奶茶m杯，購買B款奶茶n杯，
由題意得：
整理得：，
均為正整數，
∴或或，
∴有3種購買方案：（1）A款奶茶14杯，購買B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，購買B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，購買B款奶茶15杯．
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；二元一次方程組的實際應用-方案選擇題問題；二元一次不定方程
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用．
任務1：設A款奶茶的銷售單價是x元，B款奶茶的銷售單價是y元，根據若買10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若買15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程組，解方程組即可；
任務2，設購買A款奶茶m杯，購買B款奶茶n杯，根據購買A、B兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花200元，列出二元一次方程，求出正整數解即可．
21．【答案】（1）證明：，
，
又，，
，
，，
，
.
（2）解：．理由：
由題意可知，，
，
，
，，
，
．
【知識點】平行線的應用-證明問題
【解析】【分析】（1）先利用平行線的性質可得∠2=∠3，再利用等量代換可得，再利用角的運算和等量代換可得，最后證出即可；
（2）先利用角的運算和等量代換可得，再證出即可．
（1）證明：，
，
又，，
，
，，
，
；
（2）解：．理由：
由題意可知，，
，
，
，，
，
．
22．【答案】（）證明：如圖，
過點作，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如圖，過點作，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如圖，過點作，過點作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】角的運算；平行公理及推論；平行線的性質；平行線的應用-求角度
【解析】【分析】（1）過點作，則，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得；
（2）過點作，則，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得；
（3）過點作，過點作，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得．
23．【答案】（1），，
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四邊形的面積為.
（3）解：①設，
，，，
，
∵平移線段至線段，
∴，
∵，，，
，
，
②由①得，
由圖可得：，
，
，
，
，則，
．
【知識點】三角形的面積；坐標與圖形變化﹣平移；一元一次方程的實際應用-幾何問題；幾何圖形的面積計算-割補法；平行四邊形的面積
【解析】【解答】（1）解：∵，滿足，
∴，，
解得：，，
∴，，.
【分析】（1）先利用非負數之和為0的性質求出a、b的值，再求出點A、B、C的坐標即可；
（2）先求出AC和OB的長，再利用平行四邊形的面積公式求解即可；
（3）①設，根據“，，”可得，再求出即可；
②先求出，再利用割補法可得，再結合，列出方程，求出m的值，最后求出點Q的坐標即可.
（1）解：∵，滿足，
∴，，
解得，，
∴，，；
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四邊形的面積為；
（3）解：①設，
，，，
，
∵平移線段至線段，
∴，
∵，，
∵，
，
，
②由①得，
由圖可得：，
，
，
，
，則，
．
1 / 1廣東省東莞市東城區東莞中學2024—2025學年下學期七年級數學期中考試試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025七下·東莞期中）下列各數中，是無理數的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】無理數的概念
【解析】【解答】解：、是整數，屬于有理數，不合題意；
、是整數，屬于有理數，不合題意；
、是無理數，符合題意；
、是分數，屬于有理數，不合題意；
故答案為：．
【分析】利用無理數的定義（無限不循環小數稱為無理數）逐個分析判斷求解即可.
2．（2025七下·東莞期中）甲骨文是我國古代的一種文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，能大致用平移來分析其形成過程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解：由平移的不變性可知，四個圖形中只有C選項中的圖形是經過平移得到的，
故答案為：C．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面內，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動 ）逐項分析判斷即可.
3．（2025七下·東莞期中）點P（3，﹣4）在平面直角坐標系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵3＞0，﹣4＜0，
∴點P（3，﹣4）所在的象限是第四象限．
故答案為：D．
【分析】根據各象限內點的坐標特征解答即可。
4．（2025七下·東莞期中）下列各式中，計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次根式的性質與化簡；開平方（求平方根）；求算術平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】A．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
B．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
C．，故該選項計算錯誤，不符合題意；
D．，故該選項計算正確，符合題意；
故選：D．
【分析】
本題考查了平方根，算術平方根和立方根的定義，利用平方根，算術平方根，立方根定義判斷即可。
5．（2025七下·東莞期中）用代入法解方程組時，將②代入①正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：將②代入①得：，
故答案為：C.
【分析】利用代入消元法的計算方法及步驟分析求解即可.
6．（2025七下·東莞期中）如圖，點在的延長線上，下列條件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
B、，根據同位角相等，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
C、，根據內錯角相等，兩直線平行可判定，無法判定，故此選項符合題意；
D、，根據同旁內角互補，兩直線平行可判定，故此選項不合題意；
故答案為：C．
【分析】利用同位角相等的兩條直線平行、同位角相等的兩條直線平行或同旁內角互補的兩條直線平行的判定方法分析求解即可.
7．（2025七下·東莞期中）如圖，將直尺和的三角尺疊放在一起，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：如圖，
∵AB∥CD，∠3=45°，∠1=23°
∴∠2=∠1+∠3=23°+45°=68°
故選：B
【分析】
此題考查了平行線的性質，根據兩直線平行，內錯角相等即可得到答案．
8．（2025七下·東莞期中）如圖是一片楓葉標本，其形狀呈“掌狀五裂型”，裂片具有少數突出的齒．將其放在平面直角坐標系中，葉片“頂部”兩點的坐標分別為，則葉桿“底部”點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】點的坐標；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】解：如圖所示，
∴，
故答案為：B．
【分析】先根據點A、B的坐標建立平面直角坐標系，再根據平面直角坐標系直接求出點C的坐標即可.
9．（2025七下·東莞期中）一個正方形的面積是8，估計它的邊長大小在（　　）
A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．4與5之間
【答案】B
【知識點】無理數的估值；求算術平方根
【解析】【解答】解：設正方形邊長為，
由正方形的面積為8得：，
又，
，
，
，
，
即正方形的邊長在2與3之間，故B正確．
故答案為：B．
【分析】設正方形邊長為，先利用正方形的面積求出，再利用估算無理數大小的方法分析求解即可.
10．（2025七下·東莞期中）已知二元一次方程組，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】加減消元法解二元一次方程組；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：，
①②，得，
即，
∴，
故答案為：．
【分析】利用加減消元法可得，再求出即可.
二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）
11．（2025七下·東莞期中） 的相反數是　 　.
【答案】
【知識點】相反數及有理數的相反數
【解析】【解答】-3的相反數是3.
【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數即可得出答案。
12．（2025七下·東莞期中）一個正數的兩個平方根為和，則的值為　 　．
【答案】1
【知識點】解一元一次方程；平方根的性質
【解析】【解答】解：∵一個正數的兩個平方根為和，
∴，
解得：，
故答案為：1．
【分析】利用平方根的定義及性質可得，再求出m的值即可.
13．（2025七下·東莞期中）是方程的解，則　 　．
【答案】2
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】已知是方程的解，
將代入方程中，得到，即，
解得：，
故答案為：2．
【分析】
本題考查二元一次方程的解的概念以及一元一次方程的求解．把已知的方程的解代入ax+y=1中，得到關于的一元一次方程，再求解該方程得出的值
14．（2025七下·東莞期中）在平面直角坐標系中，點在第二象限，到軸，軸的距離分別為，則點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】點的坐標；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，
又∵點到軸，軸的距離分別為，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，
∴點的坐標為，
故答案為：．
【分析】利用點坐標與象限的關系可得點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，再結合點到軸，軸的距離分別為，最后求出點M的坐標即可.
15．（2025七下·東莞期中）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，則　 　．
【答案】30
【知識點】三角形外角的概念及性質；鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如圖所示，延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案為：30．
【分析】
本題主要考查平行線的性質、平角性質、三角形的外角的性質。延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，由平角性質得平行線的性質可得∴∠CAN=55°，由平行線性質得∠CFD=55°，由外角的性質可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025七下·東莞期中）計算：
【答案】解：原式．
【知識點】有理數的加、減混合運算；求算術平方根；立方根的概念與表示；開立方（求立方根）
【解析】【分析】先利用二次根式和立方根的性質分析化簡，再計算即可.
17．（2025七下·東莞期中）解方程組：.
【答案】解：，①-②得：3y=3，
解得：y=1，
將y=1代入①中可得：x=3，
∴方程組的解為：

【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】本題考查解二元一次方程組，用加減消元法解二元一次方程組即可
18．（2025七下·東莞期中）如圖，直線AB，CD相交于O，若，OA平分，求．
【答案】解：∵∠EOC：∠EOD=1：2，
∴設∠EOC=x，∠EOD=2x，
故x+2x=180°，
解得：x=60°，
可得：∠COE=60°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=30°，
∴∠BOD=∠AOC=30°．
【知識點】對頂角及其性質；鄰補角；角平分線的概念
【解析】【分析】本題主要考查了角平分線、鄰補角、對頂角定義和性質，根據∠EOC：∠EOD=1：2，求出∠COE=60°，根據OA平分∠EOC，求出∠AOC，由于∠BOD與∠AOC是對頂角，所以∠BOD=∠AOC．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025七下·東莞期中）如圖，將三角形整體向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度得到三角形．
（1）畫出平移后的圖形三角形，并寫出三角形各頂點的坐標；
（2）求出三角形的面積．
【答案】（1）解：如圖所示，三角形即為所求，
由圖可得，，，；
（2）解：三角形的面積．
【知識點】三角形的面積；作圖﹣平移
【解析】【分析】（1）先利用點坐標平移的特征（上加下減、左減右加）找出點A、B、C的對應點，再連接并直接求出點A'、B'、C'的坐標即可；
（2）利用三角形的面積公式列出算式求解即可.
（1）解：如圖所示，三角形即為所求，由圖可得，，，；
（2）解：三角形的面積．
20．（2025七下·東莞期中）根據如表素材，探索完成任務．
背景 為了迎接2024年杭州茶文化“西湖悅讀節”，某班級開展知識競賽活動，去奶茶店購買A、B兩種款式的奶茶作為獎品．
素材 若買10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若買15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元．
問題解決
任務1 問A款奶茶和B款奶茶的銷售單價各是多少元？
任務2 如果購買A、B兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花200元，請問購買方案分別是：___________________________________________________
【答案】解：任務1、設A款奶茶的銷售單價是x元，B款奶茶的銷售單價是y元，由題意得：
解得：，
答：A款奶茶的銷售單價是10元，B款奶茶的銷售單價是12元；
任務2、設購買A款奶茶m杯，購買B款奶茶n杯，
由題意得：
整理得：，
均為正整數，
∴或或，
∴有3種購買方案：（1）A款奶茶14杯，購買B款奶茶5杯；（2）A款奶茶8杯，購買B款奶茶10杯；（3）A款奶茶2杯，購買B款奶茶15杯．
【知識點】二元一次方程組的實際應用-銷售問題；二元一次方程組的實際應用-方案選擇題問題；二元一次不定方程
【解析】【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用．
任務1：設A款奶茶的銷售單價是x元，B款奶茶的銷售單價是y元，根據若買10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若買15杯A型奶茶，10杯B型奶茶，共需270元．列出二元一次方程組，解方程組即可；
任務2，設購買A款奶茶m杯，購買B款奶茶n杯，根據購買A、B兩種款式的奶茶（兩種都要），剛好花200元，列出二元一次方程，求出正整數解即可．
21．（2025七下·東莞期中）閱讀下列材料，完成相應任務．
臺球中的數學
如圖1是臺球桌面實物圖，圖2是抽象出的數學圖形，一個球在桌面上的點處滾向桌邊，碰到上的點后反彈，再碰到邊上的點后，再次反彈進入底袋點．已知長方形桌面中，，，．
（1）如圖2，求證：；
（2）如圖3，若球在桌面的點處，經過兩次反彈后碰到邊上的點處，，請你判斷與的位置關系，并說明理由．
【答案】（1）證明：，
，
又，，
，
，，
，
.
（2）解：．理由：
由題意可知，，
，
，
，，
，
．
【知識點】平行線的應用-證明問題
【解析】【分析】（1）先利用平行線的性質可得∠2=∠3，再利用等量代換可得，再利用角的運算和等量代換可得，最后證出即可；
（2）先利用角的運算和等量代換可得，再證出即可．
（1）證明：，
，
又，，
，
，，
，
；
（2）解：．理由：
由題意可知，，
，
，
，，
，
．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025七下·東莞期中）【問題初探】
（）數學活動課上，王老師給出如下問題：如圖，，點在，之間且點在點右側，求證：；
【類比探究】
（）李明對王老師給出的問題進行了改編：如圖，，點在，之間且點在點左側，直接寫出，，之間的數量關系；
【學以致用】
（）如圖是超市購物車，圖是其側面示意圖，已知，，測量得知，，求的度數．
【答案】（）證明：如圖，
過點作，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）如圖，過點作，則，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（）如圖，過點作，過點作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】角的運算；平行公理及推論；平行線的性質；平行線的應用-求角度
【解析】【分析】（1）過點作，則，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得；
（2）過點作，則，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得；
（3）過點作，過點作，先利用平行線的性質可得，再利用角的運算和等量代換可得．
23．（2025七下·東莞期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，，且，滿足．
（1）直接寫出，，的坐標：_____，_____，_____；
（2）平移線段得到線段，連接，則四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積；
（3）在（2）的條件下，點在四邊形內部，滿足．
（提示：，分別表示三角形，三角形的面積）
①求，滿足的數量關系；
②若，求點的坐標．
【答案】（1），，
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四邊形的面積為.
（3）解：①設，
，，，
，
∵平移線段至線段，
∴，
∵，，，
，
，
②由①得，
由圖可得：，
，
，
，
，則，
．
【知識點】三角形的面積；坐標與圖形變化﹣平移；一元一次方程的實際應用-幾何問題；幾何圖形的面積計算-割補法；平行四邊形的面積
【解析】【解答】（1）解：∵，滿足，
∴，，
解得：，，
∴，，.
【分析】（1）先利用非負數之和為0的性質求出a、b的值，再求出點A、B、C的坐標即可；
（2）先求出AC和OB的長，再利用平行四邊形的面積公式求解即可；
（3）①設，根據“，，”可得，再求出即可；
②先求出，再利用割補法可得，再結合，列出方程，求出m的值，最后求出點Q的坐標即可.
（1）解：∵，滿足，
∴，，
解得，，
∴，，；
（2）解：由（1）得，，
∴求平行四邊形的面積為；
（3）解：①設，
，，，
，
∵平移線段至線段，
∴，
∵，，
∵，
，
，
②由①得，
由圖可得：，
，
，
，
，則，
．
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