資源簡介

廣西壯族自治區(qū)南寧市2025年初中畢業(yè)班質(zhì)量調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分．每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．）
1．（2025·南寧模擬）-3的絕對值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】A
【知識點(diǎn)】絕對值及有理數(shù)的絕對值
【解析】【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算；根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答．
【解答】-3的絕對值是|-3|=3；
故選：A
【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根的定義、絕對值的定義．注意一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．
2．（2025·南寧模擬）下列圖形是平面圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】平面圖形的初步認(rèn)識
【解析】【解答】解：、是立體圖形，不合題意；
、是立體圖形，不合題意；
、是立體圖形，不合題意；
、是平面圖形，符合題意；
故答案為：．
【分析】根據(jù)平面圖形的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
3．（2025·南寧模擬）國家能源局發(fā)布數(shù)據(jù)，截至2024年底，全國累計(jì)發(fā)電裝機(jī)容量約為3350000000千瓦，將3350000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：，
故選：C．
【分析】
本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個較大的數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)且比位數(shù)少1，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
4．（2025·南寧模擬）下列交通指示標(biāo)志的圖案是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
B．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
C．可以找到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，是軸對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；
D．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：C．
【分析】軸對稱圖形是指一個圖形可以沿著一條直線（ 對稱軸） 折疊， 使得直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合.
5．（2025·南寧模擬）若是關(guān)于x的方程的解，則a的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】A
【知識點(diǎn)】已知一元一次方程的解求參數(shù)
【解析】解：∵是關(guān)于x的方程的解，
∴，
∴，
故選：A．
【分析】
本題主要考查了一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出a的值即可得到答案．
6．（2025·南寧模擬）如圖，已知直線，被直線所截，則的同位角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】同位角的概念
【解析】【解答】解：因?yàn)楹褪青徰a(bǔ)角，
所以A不符合題意；
因?yàn)楹褪峭唤牵?br/>所以B符合題意；
因?yàn)楹筒皇峭唤牵?br/>所以C不符合題意；
因?yàn)楹筒皇峭唤牵?br/>所以D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)同位角的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
7．（2025·南寧模擬）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍(lán)色，從中任意取出一件正好是藍(lán)色的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍(lán)色，
∴從中任意取出一件正好是藍(lán)色的概率為，
故選：C
【分析】
本題考查了概率，對于一個事件A，其概率P(A)的計(jì)算公式為：據(jù)此可以解答
8．（2025·南寧模擬）已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式，解不等式即可求出答案.
9．（2025·南寧模擬）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點(diǎn)】圓周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直徑，，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半即可求出答案.
10．（2025·南寧模擬）下列計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A．，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
B.，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
C.，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
D.，計(jì)算正確，符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據(jù)冪的乘方，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則和同底數(shù)冪的乘法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
11．（2025·南寧模擬）隨著電影《哪吒2之魔童鬧海》的熱映，與之相關(guān)某漫畫冊的銷量也急劇上升．某書店分兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，第二次的總價比第一次多20000元，且兩次進(jìn)價都是40元/套．設(shè)該書店第一次購進(jìn)x套，第二次購進(jìn)y套，根據(jù)題意，所列方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：∵該書店第一次購進(jìn)x套，第二次購進(jìn)y套，兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，兩次進(jìn)價都是40元/套．第二次的總價比第一次多20000元，
∴．
故選：C．
【分析】根絕“兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，兩次進(jìn)價都是40元/套．第二次的總價比第一次多20000元”列方程組即可求解.
12．（2025·南寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．則關(guān)于方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
【解析】【解答】解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵是一次函數(shù)向下平移了個單位，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第三象限的交點(diǎn)為，
∴關(guān)于方程的解是，
故答案為：D．
【分析】由圖象可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，結(jié)合反比例函數(shù)的對稱性即可求出答案.
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）
13．（2025·南寧模擬）若分式 有意義，則 的取值范圍是　 　 .
【答案】
【知識點(diǎn)】分式有無意義的條件
【解析】【解答】由題意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案為：x≠1.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行求解即可得
14．（2025·南寧模擬）因式分解： 　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案為： ．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可.
15．（2025·南寧模擬）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離是　 　.
【答案】
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】作 軸于 ，則 ， .
則根據(jù)勾股定理，得 .
故答案為： .
【分析】根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出點(diǎn)P到x軸和y軸的距離，再利用勾股定理求出OP的長。
16．（2025·南寧模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，則的最小值為　 　．
【答案】
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，將沿翻折得到
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)重合時，的最小值為，
故答案為：．
【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得AC，再根據(jù)折疊性質(zhì)可得，則，根據(jù)勾股定理可得AM，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得BM，再根據(jù)勾股定理可得BD，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得即可求出答案.
三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2025·南寧模擬）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：
【答案】解：（1）原式
；
（2）由①得，，
由②得，，
∴這個不等式組的解集是
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算減法即可得到答案；
（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
18．（2025·南寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個正方形小方格的邊長都是一個單位長度，的三個頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．
（1）將向下平移4個單位長度，請你畫出平移后得到的；
（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，請你畫出；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)運(yùn)動路徑的長．
【答案】（1）解：如圖所示，即為所求：
（2）解：如圖所示，即為所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以點(diǎn)運(yùn)動路徑的長為
【知識點(diǎn)】弧長的計(jì)算；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；
（3）利用勾股定理求出的長，再利用扇形的弧長公式即可求解．
（1）解：如圖所示，即為所求：
（2）解：如圖所示，即為所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以點(diǎn)運(yùn)動路徑的長為．
19．（2025·南寧模擬）在某次物理實(shí)驗(yàn)中，楠楠將一個試驗(yàn)小物件靜止地放在斜面上，其受力情況分析如圖所示，重力的方向豎直向下，其方向線交于點(diǎn)，交水平面于點(diǎn)，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向線與平行，已知斜面的坡角．
（1）求摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)；
（2）若在此次實(shí)驗(yàn)中，，，求小物件的鉛垂高（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)為
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次實(shí)驗(yàn)中小物件的鉛垂高約為
【知識點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣坡度坡角問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠AEC，再根據(jù)直線平行性質(zhì)即可求出答案.
（2）根據(jù)正弦定義可得DE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)為．
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次實(shí)驗(yàn)中小物件的鉛垂高約為．
20．（2025·南寧模擬）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)
背景 我國是水資源最為緊缺的國家之一，然而在日常生活中，水龍頭漏水造成水資源浪費(fèi)現(xiàn)象仍較為突出．某校園內(nèi)有一個漏水的水龍頭，數(shù)學(xué)活動小組要探究其漏水造成的浪費(fèi)情況．同學(xué)們用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面接水，探究量筒中的總水量（毫升）是否為時間（分鐘）的函數(shù)？
素材 每隔1分鐘記錄量筒中的總水量，但因操作延誤，開始計(jì)時時量筒中已有少量水，因而得到如下表的一組數(shù)據(jù)： 時間（分鐘）12345…總水量（毫升）1015202530…
問題探究和問題解決
任務(wù)1 請?jiān)谙聢D的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出上表每對數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)．
任務(wù)2 請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)和所描的點(diǎn)，判斷和（、為常數(shù)）哪一個能正確反映總水量與時間的函數(shù)關(guān)系？請求出這個關(guān)系式．
任務(wù)3 ①同學(xué)們繼續(xù)觀察，當(dāng)量簡中的水剛好有65毫升時，所需時間是多少分鐘？ ②照這個漏水速度，請預(yù)測此水龍頭1小時會浪費(fèi)多少毫升水？ ③請你根據(jù)以上的探索和結(jié)論，提一條關(guān)于水龍頭節(jié)水管理方面的建議．
【答案】解：任務(wù)1：如圖，描點(diǎn)如下：
任務(wù)2：由數(shù)據(jù)和畫圖可知（k，b為常數(shù)）才能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系；
點(diǎn)和都在此函數(shù)的圖象上
解得：，
；
任務(wù)3：①當(dāng)時，則
解得：，
當(dāng)量筒中的水剛好有65毫升時，所需時間為12分鐘；
②每分鐘浪費(fèi)的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分鐘浪費(fèi)的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龍頭1小時會浪費(fèi)300毫升水；
③建議水龍頭要定期檢查，對漏水的水龍頭要及時更換．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)即可；
任務(wù)2：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)和所描的點(diǎn)，（k、b為常數(shù)）能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系；再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；
任務(wù)3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分鐘浪費(fèi)的水，再求60分鐘浪費(fèi)的水；
③答案不唯一，合理即可．
21．（2025·南寧模擬）隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，AI＋已成為推動全球創(chuàng)新和經(jīng)濟(jì)增長的重要力量．某校為了培養(yǎng)能夠適應(yīng)未來社會的創(chuàng)新人才，擬開設(shè)“AI交互設(shè)計(jì)”“AI工程實(shí)踐”“AI綜合技能”“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”“AI軌跡普及”五項(xiàng)人工智能社團(tuán)課程．為了解學(xué)生對上述五項(xiàng)社團(tuán)課程的興趣情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題．
（1）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“AI軌跡普及”的百分比是 ，表示“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)為 度．
（3）學(xué)校對有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)場測試（滿分100分），并將成績統(tǒng)計(jì)如下：
成績/分 83 87 90 92 95 97
人數(shù) 2 4 6 8 3 1
則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 分，中位數(shù)是 分，眾數(shù)是 分．
（4）若該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，請你估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有多少人？
【答案】（1）解：∵總?cè)藬?shù)為：（人），
∵“AI綜合技能”占比，
∴“AI綜合技能”人數(shù)：（人），
∴條形圖補(bǔ)全如下：
（2）
（3）
（4）解：∵該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，
∴參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生：（人），
答：估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人
【知識點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【解答】（2）解：∵根據(jù)條形圖可知“AI軌跡普及”人數(shù)為：人，
由（1）知：總?cè)藬?shù)為人，
∴“AI軌跡普及”的百分比：，
∵“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”人數(shù)為人，
∴“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)：，
故答案為：；
（3）解：∵根據(jù)圖表可得：
平均數(shù)為：（分），
∵共有人數(shù)：，
∴中位數(shù)為第和分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即：（分），
∵分人數(shù)最多，即分為眾數(shù)，
故答案為：；
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖先求出總?cè)藬?shù)，再利用占比計(jì)算出“AI綜合技能”數(shù)據(jù)，繼而補(bǔ)全圖形即可；
（2）利用“AI軌跡普及”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即為占比，先求出“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比后再乘以即可；
（3）先計(jì)算總分?jǐn)?shù)再除以總?cè)藬?shù)即可為平均分，先將分?jǐn)?shù)進(jìn)行排序后即可求出中位數(shù)，觀察表格人數(shù)最多的即為分?jǐn)?shù)的眾數(shù)；
（4）根據(jù)“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比，再乘以總?cè)藬?shù)即為答案．
（1）解：∵總?cè)藬?shù)為：（人），
∵“AI綜合技能”占比，
∴“AI綜合技能”人數(shù)：（人），
∴條形圖補(bǔ)全如下：
（2）解：∵根據(jù)條形圖可知“AI軌跡普及”人數(shù)為：人，
由（1）知：總?cè)藬?shù)為人，
∴“AI軌跡普及”的百分比：，
∵“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”人數(shù)為人，
∴“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)：，
故答案為：；
（3）解：∵根據(jù)圖表可得：
平均數(shù)為：（分），
∵共有人數(shù)：，
∴中位數(shù)為第和分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即：（分），
∵分人數(shù)最多，即分為眾數(shù)，
故答案為：；
（4）解：∵該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，
∴參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生：（人），
答：估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人．
22．（2025·南寧模擬）綜合與實(shí)踐
【問題情境】如圖1，貼窗花是我國特有的喜慶文化之一，我們可以從寓意團(tuán)圓平安的窗花圖案中抽象出一個由兩個同心圓構(gòu)成的幾何圖形（共同的圓心稱為中心），如圖2，我們稱這種圖形為“環(huán)花”．
【實(shí)踐探究】設(shè)直線與“環(huán)花”從左到右依次交于點(diǎn)，，，．
（1）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過中心時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖3，當(dāng)直線不經(jīng)過中心時，請證明（1）中的結(jié)論仍然成立；
【問題深化】
（3）如圖4，當(dāng)把“環(huán)花”中的兩個圓形換成兩個相似的菱形時（中心點(diǎn)是這兩個菱形對角線的公共交點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)均在對角線上），類似地形成了“方花”，直線不經(jīng)中心時，與“方花”從左到右依次交于點(diǎn)，，，，求的值．
【答案】解：∵，，
∴，
∴．
（2）
證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）
解：如圖，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
同理可得，，，
∵四邊形與四邊形均為菱形，為它們的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知識點(diǎn)】三角形全等的判定；菱形的性質(zhì)；垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【分析】（1）根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（3）連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，則，，同理可得，，，再根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，，則，，，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
23．（2025·南寧模擬）探究與拓展
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是此函數(shù)圖象在軸上方部分的動點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示．
（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，和圖2中的值；
（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)僅在函數(shù)圖象上點(diǎn)至點(diǎn)之間的部分運(yùn)動時，連接，交于點(diǎn)，則是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值并直接寫出此時的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
（2）解：當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
（3）解：如圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，
∴四邊形為平行四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
記點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值為，
的值為9
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；二次函數(shù)-線段定值（及比值）的存在性問題
【解析】【解答】（1）解：∵二次函數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，解得：，，
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
二次函數(shù)，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
（3）∵當(dāng)n=3時，取最大值為
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3
∴
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得 二次函數(shù)的解析式為， 根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為， 再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
（2）當(dāng)時，建立方程，解方程可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入解析式可得直線的解析式為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得的最大值為，求出此時n的值，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
（1）解：∵二次函數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，解得：，，
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
二次函數(shù)，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
（2）當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）如圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，
∴四邊形為平行四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
記點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值為，
此時的值為9．
1 / 1廣西壯族自治區(qū)南寧市2025年初中畢業(yè)班質(zhì)量調(diào)研(二)數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分．每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．）
1．（2025·南寧模擬）-3的絕對值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．
2．（2025·南寧模擬）下列圖形是平面圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南寧模擬）國家能源局發(fā)布數(shù)據(jù)，截至2024年底，全國累計(jì)發(fā)電裝機(jī)容量約為3350000000千瓦，將3350000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南寧模擬）下列交通指示標(biāo)志的圖案是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南寧模擬）若是關(guān)于x的方程的解，則a的值是（　　）
A． B．0 C．2 D．3
6．（2025·南寧模擬）如圖，已知直線，被直線所截，則的同位角是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·南寧模擬）小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍(lán)色，從中任意取出一件正好是藍(lán)色的概率為（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·南寧模擬）已知關(guān)于的一元二次方程：有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南寧模擬）如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·南寧模擬）下列計(jì)算正確的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·南寧模擬）隨著電影《哪吒2之魔童鬧海》的熱映，與之相關(guān)某漫畫冊的銷量也急劇上升．某書店分兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，第二次的總價比第一次多20000元，且兩次進(jìn)價都是40元/套．設(shè)該書店第一次購進(jìn)x套，第二次購進(jìn)y套，根據(jù)題意，所列方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·南寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．則關(guān)于方程的解是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．）
13．（2025·南寧模擬）若分式 有意義，則 的取值范圍是　 　 .
14．（2025·南寧模擬）因式分解： 　 　．
15．（2025·南寧模擬）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離是　 　.
16．（2025·南寧模擬）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，連接，則的最小值為　 　．
三、解答題（本大題共7小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2025·南寧模擬）（1）計(jì)算：；
（2）解不等式組：
18．（2025·南寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個正方形小方格的邊長都是一個單位長度，的三個頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上．
（1）將向下平移4個單位長度，請你畫出平移后得到的；
（2）將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到的，請你畫出；
（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)運(yùn)動路徑的長．
19．（2025·南寧模擬）在某次物理實(shí)驗(yàn)中，楠楠將一個試驗(yàn)小物件靜止地放在斜面上，其受力情況分析如圖所示，重力的方向豎直向下，其方向線交于點(diǎn)，交水平面于點(diǎn)，支持力的方向垂直于，摩擦力的方向線與平行，已知斜面的坡角．
（1）求摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)；
（2）若在此次實(shí)驗(yàn)中，，，求小物件的鉛垂高（結(jié)果取整數(shù)）．
（參考數(shù)據(jù)：，，）
20．（2025·南寧模擬）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)
背景 我國是水資源最為緊缺的國家之一，然而在日常生活中，水龍頭漏水造成水資源浪費(fèi)現(xiàn)象仍較為突出．某校園內(nèi)有一個漏水的水龍頭，數(shù)學(xué)活動小組要探究其漏水造成的浪費(fèi)情況．同學(xué)們用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面接水，探究量筒中的總水量（毫升）是否為時間（分鐘）的函數(shù)？
素材 每隔1分鐘記錄量筒中的總水量，但因操作延誤，開始計(jì)時時量筒中已有少量水，因而得到如下表的一組數(shù)據(jù)： 時間（分鐘）12345…總水量（毫升）1015202530…
問題探究和問題解決
任務(wù)1 請?jiān)谙聢D的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出上表每對數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點(diǎn)．
任務(wù)2 請根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)和所描的點(diǎn)，判斷和（、為常數(shù)）哪一個能正確反映總水量與時間的函數(shù)關(guān)系？請求出這個關(guān)系式．
任務(wù)3 ①同學(xué)們繼續(xù)觀察，當(dāng)量簡中的水剛好有65毫升時，所需時間是多少分鐘？ ②照這個漏水速度，請預(yù)測此水龍頭1小時會浪費(fèi)多少毫升水？ ③請你根據(jù)以上的探索和結(jié)論，提一條關(guān)于水龍頭節(jié)水管理方面的建議．
21．（2025·南寧模擬）隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，AI＋已成為推動全球創(chuàng)新和經(jīng)濟(jì)增長的重要力量．某校為了培養(yǎng)能夠適應(yīng)未來社會的創(chuàng)新人才，擬開設(shè)“AI交互設(shè)計(jì)”“AI工程實(shí)踐”“AI綜合技能”“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”“AI軌跡普及”五項(xiàng)人工智能社團(tuán)課程．為了解學(xué)生對上述五項(xiàng)社團(tuán)課程的興趣情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．
請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題．
（1）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整．
（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，“AI軌跡普及”的百分比是 ，表示“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)為 度．
（3）學(xué)校對有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)場測試（滿分100分），并將成績統(tǒng)計(jì)如下：
成績/分 83 87 90 92 95 97
人數(shù) 2 4 6 8 3 1
則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 分，中位數(shù)是 分，眾數(shù)是 分．
（4）若該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，請你估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有多少人？
22．（2025·南寧模擬）綜合與實(shí)踐
【問題情境】如圖1，貼窗花是我國特有的喜慶文化之一，我們可以從寓意團(tuán)圓平安的窗花圖案中抽象出一個由兩個同心圓構(gòu)成的幾何圖形（共同的圓心稱為中心），如圖2，我們稱這種圖形為“環(huán)花”．
【實(shí)踐探究】設(shè)直線與“環(huán)花”從左到右依次交于點(diǎn)，，，．
（1）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過中心時，請直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖3，當(dāng)直線不經(jīng)過中心時，請證明（1）中的結(jié)論仍然成立；
【問題深化】
（3）如圖4，當(dāng)把“環(huán)花”中的兩個圓形換成兩個相似的菱形時（中心點(diǎn)是這兩個菱形對角線的公共交點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)均在對角線上），類似地形成了“方花”，直線不經(jīng)中心時，與“方花”從左到右依次交于點(diǎn)，，，，求的值．
23．（2025·南寧模擬）探究與拓展
如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是此函數(shù)圖象在軸上方部分的動點(diǎn)，連接，．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，關(guān)于的函數(shù)圖象如圖2所示．
（1）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，和圖2中的值；
（2）當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)僅在函數(shù)圖象上點(diǎn)至點(diǎn)之間的部分運(yùn)動時，連接，交于點(diǎn)，則是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值并直接寫出此時的值；若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點(diǎn)】絕對值及有理數(shù)的絕對值
【解析】【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算；根據(jù)算術(shù)平方根的定義進(jìn)行解答．
【解答】-3的絕對值是|-3|=3；
故選：A
【點(diǎn)評】本題考查了算術(shù)平方根的定義、絕對值的定義．注意一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根．
2．【答案】D
【知識點(diǎn)】平面圖形的初步認(rèn)識
【解析】【解答】解：、是立體圖形，不合題意；
、是立體圖形，不合題意；
、是立體圖形，不合題意；
、是平面圖形，符合題意；
故答案為：．
【分析】根據(jù)平面圖形的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解：，
故選：C．
【分析】
本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個較大的數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)且比位數(shù)少1，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
4．【答案】C
【知識點(diǎn)】軸對稱圖形
【解析】【解答】解：A．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
B．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
C．可以找到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，是軸對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；
D．找不到對稱軸，使圖形兩側(cè)能夠完全重合，不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
故答案為：C．
【分析】軸對稱圖形是指一個圖形可以沿著一條直線（ 對稱軸） 折疊， 使得直線兩側(cè)的圖形能夠完全重合.
5．【答案】A
【知識點(diǎn)】已知一元一次方程的解求參數(shù)
【解析】解：∵是關(guān)于x的方程的解，
∴，
∴，
故選：A．
【分析】
本題主要考查了一元一次方程的解的定義，解一元一次方程，一元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出a的值即可得到答案．
6．【答案】B
【知識點(diǎn)】同位角的概念
【解析】【解答】解：因?yàn)楹褪青徰a(bǔ)角，
所以A不符合題意；
因?yàn)楹褪峭唤牵?br/>所以B符合題意；
因?yàn)楹筒皇峭唤牵?br/>所以C不符合題意；
因?yàn)楹筒皇峭唤牵?br/>所以D不符合題意．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)同位角的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
7．【答案】C
【知識點(diǎn)】概率公式
【解析】【解答】解：∵小亮的衣柜里有3件上衣，其中有1件是黃色和2件是藍(lán)色，
∴從中任意取出一件正好是藍(lán)色的概率為，
故選：C
【分析】
本題考查了概率，對于一個事件A，其概率P(A)的計(jì)算公式為：據(jù)此可以解答
8．【答案】B
【知識點(diǎn)】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
故答案為：B．
【分析】根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則判別式，解不等式即可求出答案.
9．【答案】B
【知識點(diǎn)】圓周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直徑，，
∴．
故答案為：B．
【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角是圓心角的一半即可求出答案.
10．【答案】D
【知識點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；完全平方公式及運(yùn)用；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；冪的乘方運(yùn)算
【解析】【解答】解：A．，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
B.，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
C.，原選項(xiàng)計(jì)算錯誤，不符合題意；
D.，計(jì)算正確，符合題意；
故答案為：D．
【分析】根據(jù)冪的乘方，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則和同底數(shù)冪的乘法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求出答案.
11．【答案】C
【知識點(diǎn)】列二元一次方程組
【解析】【解答】解：∵該書店第一次購進(jìn)x套，第二次購進(jìn)y套，兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，兩次進(jìn)價都是40元/套．第二次的總價比第一次多20000元，
∴．
故選：C．
【分析】根絕“兩次購進(jìn)該漫畫冊共3500套，兩次進(jìn)價都是40元/套．第二次的總價比第一次多20000元”列方程組即可求解.
12．【答案】D
【知識點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
【解析】【解答】解：一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∵是一次函數(shù)向下平移了個單位，根據(jù)反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第三象限的交點(diǎn)為，
∴關(guān)于方程的解是，
故答案為：D．
【分析】由圖象可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，結(jié)合反比例函數(shù)的對稱性即可求出答案.
13．【答案】
【知識點(diǎn)】分式有無意義的條件
【解析】【解答】由題意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案為：x≠1.
【分析】根據(jù)分式有意義的條件進(jìn)行求解即可得
14．【答案】
【知識點(diǎn)】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 ，
故答案為： ．
【分析】直接利用完全平方公式分解即可.
15．【答案】
【知識點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；勾股定理
【解析】【解答】作 軸于 ，則 ， .
則根據(jù)勾股定理，得 .
故答案為： .
【分析】根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可求出點(diǎn)P到x軸和y軸的距離，再利用勾股定理求出OP的長。
16．【答案】
【知識點(diǎn)】含30°角的直角三角形；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，將沿翻折得到
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)重合時，的最小值為，
故答案為：．
【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得AC，再根據(jù)折疊性質(zhì)可得，則，根據(jù)勾股定理可得AM，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得BM，再根據(jù)勾股定理可得BD，再根據(jù)邊之間的關(guān)系可得即可求出答案.
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）由①得，，
由②得，，
∴這個不等式組的解集是
【知識點(diǎn)】解一元一次不等式組；實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算（含開方）
【解析】【分析】（1）先計(jì)算算術(shù)平方根和零指數(shù)冪，再計(jì)算乘除法，最后計(jì)算減法即可得到答案；
（2）先求出每個不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．
18．【答案】（1）解：如圖所示，即為所求：
（2）解：如圖所示，即為所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以點(diǎn)運(yùn)動路徑的長為
【知識點(diǎn)】弧長的計(jì)算；作圖﹣平移；作圖﹣旋轉(zhuǎn)
【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；
（3）利用勾股定理求出的長，再利用扇形的弧長公式即可求解．
（1）解：如圖所示，即為所求：
（2）解：如圖所示，即為所求：
（3）解：由勾股定理得，
所以點(diǎn)運(yùn)動路徑的長為．
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)為
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次實(shí)驗(yàn)中小物件的鉛垂高約為
【知識點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用﹣坡度坡角問題
【解析】【分析】（1）根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠AEC，再根據(jù)直線平行性質(zhì)即可求出答案.
（2）根據(jù)正弦定義可得DE，再根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
答：摩擦力的方向與重力的方向的夾角的度數(shù)為．
（2）解：在中，，
∵，
∴．
∵，
∴
．
答：在此次實(shí)驗(yàn)中小物件的鉛垂高約為．
20．【答案】解：任務(wù)1：如圖，描點(diǎn)如下：
任務(wù)2：由數(shù)據(jù)和畫圖可知（k，b為常數(shù)）才能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系；
點(diǎn)和都在此函數(shù)的圖象上
解得：，
；
任務(wù)3：①當(dāng)時，則
解得：，
當(dāng)量筒中的水剛好有65毫升時，所需時間為12分鐘；
②每分鐘浪費(fèi)的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分鐘浪費(fèi)的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龍頭1小時會浪費(fèi)300毫升水；
③建議水龍頭要定期檢查，對漏水的水龍頭要及時更換．
【知識點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；描點(diǎn)法畫函數(shù)圖象；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)的應(yīng)用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
任務(wù)1：根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點(diǎn)即可；
任務(wù)2：根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)和所描的點(diǎn)，（k、b為常數(shù)）能正確反映總水量y與時間t的函數(shù)關(guān)系；再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；
任務(wù)3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分鐘浪費(fèi)的水，再求60分鐘浪費(fèi)的水；
③答案不唯一，合理即可．
21．【答案】（1）解：∵總?cè)藬?shù)為：（人），
∵“AI綜合技能”占比，
∴“AI綜合技能”人數(shù)：（人），
∴條形圖補(bǔ)全如下：
（2）
（3）
（4）解：∵該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，
∴參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生：（人），
答：估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人
【知識點(diǎn)】扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；用樣本所占百分比估計(jì)總體數(shù)量
【解析】【解答】（2）解：∵根據(jù)條形圖可知“AI軌跡普及”人數(shù)為：人，
由（1）知：總?cè)藬?shù)為人，
∴“AI軌跡普及”的百分比：，
∵“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”人數(shù)為人，
∴“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)：，
故答案為：；
（3）解：∵根據(jù)圖表可得：
平均數(shù)為：（分），
∵共有人數(shù)：，
∴中位數(shù)為第和分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即：（分），
∵分人數(shù)最多，即分為眾數(shù)，
故答案為：；
【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖先求出總?cè)藬?shù)，再利用占比計(jì)算出“AI綜合技能”數(shù)據(jù)，繼而補(bǔ)全圖形即可；
（2）利用“AI軌跡普及”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即為占比，先求出“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比后再乘以即可；
（3）先計(jì)算總分?jǐn)?shù)再除以總?cè)藬?shù)即可為平均分，先將分?jǐn)?shù)進(jìn)行排序后即可求出中位數(shù)，觀察表格人數(shù)最多的即為分?jǐn)?shù)的眾數(shù)；
（4）根據(jù)“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比，再乘以總?cè)藬?shù)即為答案．
（1）解：∵總?cè)藬?shù)為：（人），
∵“AI綜合技能”占比，
∴“AI綜合技能”人數(shù)：（人），
∴條形圖補(bǔ)全如下：
（2）解：∵根據(jù)條形圖可知“AI軌跡普及”人數(shù)為：人，
由（1）知：總?cè)藬?shù)為人，
∴“AI軌跡普及”的百分比：，
∵“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”人數(shù)為人，
∴“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)：，
故答案為：；
（3）解：∵根據(jù)圖表可得：
平均數(shù)為：（分），
∵共有人數(shù)：，
∴中位數(shù)為第和分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即：（分），
∵分人數(shù)最多，即分為眾數(shù)，
故答案為：；
（4）解：∵該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，
∴參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生：（人），
答：估計(jì)最有意向參加“AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人．
22．【答案】解：∵，，
∴，
∴．
（2）
證明：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，，
∴，
∴．
（3）
解：如圖，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，，
同理可得，，，
∵四邊形與四邊形均為菱形，為它們的中心，
∴，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
【知識點(diǎn)】三角形全等的判定；菱形的性質(zhì)；垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用
【解析】【分析】（1）根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可求出答案.
（3）連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形判定定理可得四邊形是平行四邊形，則，，同理可得，，，再根據(jù)菱形性質(zhì)可得，，，則，，，再根據(jù)全等三角形判定定理可得，則，即可求出答案.
23．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
（2）解：當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
（3）解：如圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，
∴四邊形為平行四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
記點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值為，
的值為9
【知識點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例；二次函數(shù)-線段定值（及比值）的存在性問題
【解析】【解答】（1）解：∵二次函數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，解得：，，
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
二次函數(shù)，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
（3）∵當(dāng)n=3時，取最大值為
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3
∴
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得 二次函數(shù)的解析式為， 根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為， 再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
（2）當(dāng)時，建立方程，解方程可得，再代入解析式即可求出答案.
（3）連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)B，C坐標(biāo)代入解析式可得直線的解析式為，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得的最大值為，求出此時n的值，再根據(jù)三角形面積即可求出答案.
（1）解：∵二次函數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，解得：，，
∵二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
二次函數(shù)，當(dāng)時，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，
∴，
當(dāng)時，，
∴；
（2）當(dāng)時，，解得：，
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；
當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，
，
此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）如圖，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，
∴四邊形為平行四邊形，
設(shè)直線的解析式為，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
記點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的最大值為，
此時的值為9．
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