資源簡介

廣東省茂名市龍嶺教育共同體2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級中考模擬質(zhì)量檢測三數(shù)學(xué)
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．
1．（2025·茂南模擬）下列各數(shù)中，最小的是（　?。?br/>A． B．3 C． D．
2．（2025·茂南模擬）自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄.11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　?。?br/>A．元 B．元
C．元 D．元
3．（2025·茂南模擬）若是方程的一個解，則m的值為（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．（2025·茂南模擬）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C．且 D．且
5．（2025·茂南模擬）下列幾何圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正五邊形
6．（2025·茂南模擬）如圖，在中，，，是的外角，則的度數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2025·茂南模擬）在今年“十一”期間，小康和小明兩家準(zhǔn)備從華山、華陽古鎮(zhèn)，太白山三個著名景點中分別選擇一個景點旅游，他們兩家去同一景點旅游的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·茂南模擬）定義：．已知，，則（　?。?br/>A． B．8 C． D．32
9．（2025·茂南模擬）如圖，在菱形中，，對角線交于點O，E為的中點，連接，則的度數(shù)為（　?。?br/>A． B． C． D．
10．（2025·茂南模擬）如圖，的半徑為，以圓外一點為圓心，畫半徑為的弧，將截成弧長相等的兩部分，則兩點的距離為（　　）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·茂南模擬）計算：　 ?。?br/>12．（2025·茂南模擬）因式分解：　 ?。?br/>13．（2025·茂南模擬）分式方程的解為　 ?。?br/>14．（2025·茂南模擬）如圖，為的直徑．平分，與交于點，．若，則的面積為　 ?。?br/>15．（2025·茂南模擬）如圖，半圓的直徑長為8，點C，D是半圓的三等分點，連接，，過點C作，垂足為E，則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br/>三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·茂南模擬）計算：．
17．（2025·茂南模擬）化簡．下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號）
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
18．（2025·茂南模擬）如圖：在平行四邊形中，點F在上，且．
（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中），
（2）求證：四邊形為菱形．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·茂南模擬）高州荔枝以品種多、品質(zhì)優(yōu)、口感佳和歷史悠久而馳名中外．在銷售掛綠荔枝過程中，每千克售價不低于40元且不高于80元，商家發(fā)現(xiàn)銷售量y（千克）與每千克售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)該商家掛綠荔枝的銷售額為（元），當(dāng)每千克售價定為多少元時，銷售額最大？最大銷售額是多少？
20．（2025·茂南模擬）某校就“人工智能的知曉程度”對全校學(xué)生進行問卷測試．現(xiàn)從該校八、九年級中各隨機抽取10名學(xué)生的測試得分，并進行整理、描述和分析（得分用x表示，共分為四個等級：不了解；比較了解；了解；非常了解），下面給出了部分信息：
八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；
九年級被抽取的學(xué)生測試得分的數(shù)據(jù)：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年級被抽取的學(xué)生得分統(tǒng)計表
年級 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
八年級
九年級
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中__________，__________，__________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為在此次問卷測試中，該校哪個年級被抽取的學(xué)生對人工智能的知曉程度更高 請說明理由 (寫出一條理由即可)；
（3）該校八年級有1500名學(xué)生，九年級有1600名學(xué)生，估計此次問卷測試中，這兩個年級學(xué)生對人工智能“非常了解”的共有多少名
21．（2025·茂南模擬）綜合與實踐：制作無蓋正三棱柱紙盒
如圖1，正方形紙片的邊長為12，在正方形內(nèi)部作等邊三角形，連接．
（1）求證：．
（2）如圖2，在等邊三角形的三個角處分別截去一個彼此全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒（紙盒厚度忽略不計）．
①該紙盒的高為x，用含x的代數(shù)式表示該紙盒底面的邊長，并確定x的取值范圍．
②該紙盒的側(cè)面積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·茂南模擬）如圖（1），在中，是直徑，為弦，，相交于點，直線與相切于點B，且．
（1）求證：點是的中點．
（2）如圖（2），是的直徑，連接，，線段上存在一點，滿足，求證：．
（3）如圖（3），將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的大?。?br/>23．（2025·茂南模擬）如圖1，矩形的兩個頂點，分別落在，軸上，頂點，位于第一象限，對角線，交于點，，，若雙曲線經(jīng)過點，．
（1）求的值；
（2）點，分別在射線、射線上，滿足，，求的度數(shù)；
（3）如圖2，若拋物線的頂點是線段上一動點，與軸交于點，，過點作軸于點，當(dāng)取得最大值時，求此時的面積．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】有理數(shù)的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：，
∴這幾個數(shù)，最小，
故選：A．
【分析】直接比較大小即可求出答案.
2．【答案】D
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案為：D.
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).
3．【答案】D
【知識點】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵是方程的一個解，
∴，解得，
故答案為：D．
【分析】根據(jù)方程解的定義“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”，將x=1代入原方程可得關(guān)于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
4．【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：代數(shù)式有意義，
，．
解得∶且．
故選：D．
【分析】
根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行解答即可．
5．【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：等邊三角形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故A錯誤；
B：平行四邊形為中心對稱圖形，但不為軸對稱圖形，故B正確；
C：菱形及為中心對稱圖形也為軸對稱圖形，故C錯誤；
D：正五邊形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故D錯誤；
故答案為：B．
【分析】軸對稱是把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線稱對，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。
中心對稱是一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這個點對稱，也稱這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心。根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的特點逐一判斷即可．
6．【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；鄰補角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化為：
即：
解得：
故答案為：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根據(jù)鄰補角可求出∠DAC的度數(shù).
7．【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：設(shè)表示華山、表示華陽古鎮(zhèn)、表示太白山，列表如下：
共有9種情況，他們兩家去同一景點旅游共有3中情況，
∴；
故答案為：B.
【分析】設(shè)A表示華山、B表示華陽古鎮(zhèn)、C表示太白山，列出表格，找出總情況數(shù)以及他們兩家去同一景點旅游的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式進行計算.
8．【答案】B
【知識點】因式分解的應(yīng)用；分式的加減法；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故選：B
【分析】
先利用新定義和分式減法得到，再對所求式子進行因式分解并整體代入計算即可．
9．【答案】C
【知識點】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O為的中點，
∵E為的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】由菱形的每一條對角線平分一組對角求得，由菱形的對角線互相垂直得，由菱形的對角線互相平分得點O是BD的中點，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊得到，由二直線平行，同位角相等求得，最后根據(jù)∠AOE=∠AOD+∠DOE列式計算即可.
10．【答案】C
【知識點】垂徑定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：如圖，
∵將截成弧長相等的兩部分，
∴CD為直徑，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案為：．
【分析】由將截成弧長相等的兩部分得為直徑，根據(jù)題意可得，，則垂直平分，然后根據(jù)勾股定理即可求解．
11．【答案】9
【知識點】有理數(shù)的除法法則
【解析】【解答】解：，
故答案為：9.
【分析】根據(jù)兩數(shù)相除，同號得正，并把絕對值相除，進行計算即可.
12．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】先提取各項的公因式2a，再運用平方差公式繼續(xù)分解到每一個因式都不能再分解為止.
13．【答案】
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
等號兩邊乘以（x-2)x得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解；
故答案為：．
【分析】本題考查解分式方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，進行檢驗即可．
14．【答案】
【知識點】三角形的面積；含30°角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：∵為的直徑，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案為： ．
【分析】
先利用圓周角定理的推論，求得∠ACB=90°，然后利用角平分線的意義求得∠DBC=30°，接著利用含有30度角的直角三角形的性質(zhì)求得EC，再求出的面積．
15．【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；扇形面積的計算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖，連接，過D點作于F，
∵ 點C，D是半圓的三等分點，
∴，且每段弧所對的圓周角是，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積
∵，
∴是等邊三角形，
∵半圓的直徑長為8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積；
故答案為： ．
【分析】 連接OD，過D點作DF⊥OB于F， 由圓心角、弧、弦的關(guān)系可得BD=AC，∠CAB=∠BOD=60°，從而用AAS判斷出△ACE≌△BDF，由全等三角形面積相等得S△ACE=S△BDF，從而可推出S陰影=；由有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形得△BOD是等邊三角形，由等邊三角形的三線合一得OF=BF=2，再利用勾股定理算出DF，最后根據(jù)扇形及三角形面積計算公式列式計算即可.
16．【答案】解：

【知識點】實數(shù)的絕對值；實數(shù)的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數(shù)的混合運算
【解析】【分析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值進行計算即可．
17．【答案】（1）②，③
（2）解：甲同學(xué)的解法：
原式
；
乙同學(xué)的解法：
原式
．
【知識點】分式的混合運算
【解析】【(解答】（1）解：根據(jù)解題過程可知，甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，
故答案為：②，③；
【分析】（1）根據(jù)所給的解題過程可得甲是先通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，乙是用括號外的因式與括號內(nèi)的每一個加數(shù)相乘，據(jù)此可得答案；
（2）甲同學(xué)的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，同時利用平方差公式將括號外因式的分子分解因式，進而計算分式乘法，約分化簡即可；乙同學(xué)的解法：根據(jù)乘法分配律用括號外的因式與括號內(nèi)的每一個加數(shù)相乘，再把所得的積相加，進而利用平方差公式將每一個加數(shù)中的第二個因式分解因式，進而計算分式乘法，約分化簡，最后合并同類項即可．
18．【答案】（1）解：如圖所示：AE就是所求的∠BAD的角平分線；
（2）證明：由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）由平行四邊形的對邊相等及已知可得AB=CD=AF，以點A為圓心，AF為半徑，畫弧，分別與AD、AB交于點F和B，再以點F和B為圓心，大于FB為半徑畫弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于一點過這點及點A作射線，交BC于點E，則AE就是所求的∠BAD的角平分線；
（2）由平行四邊形的對邊平行且相等得AD∥BC，AB=CD，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠FAE=∠AEB，結(jié)合角平分線的定義可推出∠BAE=∠AEB，由等角對等邊得AB=BE，則BE=AF，由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形ABEF是平行四邊形，進而根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論.
（1）解：如圖所示：
（2）證明：由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
19．【答案】（1）解：由題圖可設(shè)，
且該函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，
解得
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意得，
，
當(dāng)時，w有最大值，最大值為3920．
答：當(dāng)每千克售價定為56元時，銷售額最大，最大銷售額為3920元．
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）由圖象可得銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，從而設(shè)所求函數(shù)解析式為y=kx+b(k、b為常量，且k≠0)，然后將點（40，90）與點（80，40）分別代入，可得關(guān)于字母k、b的二元一次方程組，解該方程組求出k、b的值，即可得到所求的函數(shù)解析式；
（2）銷售額等于銷售量乘以售價，據(jù)此即可列出銷售額關(guān)于售價的函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)所得二次函數(shù)性質(zhì)即可解答．
（1）解：由題圖可設(shè)，
且該函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，
解得
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意得，
，
當(dāng)時，w有最大值，最大值為3920．
答：當(dāng)每千克售價定為56元時，銷售額最大，最大銷售額為3920元．
20．【答案】（1）82，78，20
（2）八年級學(xué)生對人工智能的知曉程度更高，理由如下（寫出一條理由即可）：
①因為八年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)79；
②因為八年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)78．
（3）（名）
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；常用統(tǒng)計量的選擇；分析數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）解：將8年級抽取學(xué)生的得分從低到高排列，則第5個和第6個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)則為中位數(shù)，
八年級“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；八年級“不了解”的數(shù)據(jù)有；
八年級“比較了解”的數(shù)據(jù)有；
∴第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，
所以中位數(shù)，
九年級學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，
，
∵八年級“非常了解”的人數(shù)有，
∴，
∴；
故答案為：82，78，20；
【分析】
（1）由題可推得八年級被抽取的學(xué)生測試得分中第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，從而可得中位數(shù)的值，由九年級被抽取的學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，可得的值，由八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“非常了解”的人數(shù)有人，可得的值；
（2）從中位數(shù)或眾數(shù)的角度出發(fā)回答即可；
（3）由九年級與八年級的總?cè)藬?shù)分別乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由題意得，八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；
而八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“不了解”的數(shù)據(jù)有；
八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“比較了解”的數(shù)據(jù)有；
∴第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，
所以中位數(shù)，
九年級被抽取的學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，
，
∵八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“非常了解”的人數(shù)有，
∴，
∴；
故答案為：82，78，20；
（2）解：八年級學(xué)生對人工智能的知曉程度更高，理由如下（寫出一條理由即可）：
①因為八年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)79；
②因為八年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)78．
（3）解：（名）．
答：估計此次問卷測試中，這兩個年級學(xué)生對人工智能“非常了解”的共有名．
21．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，△ABE是等邊三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如圖所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL
∵∠OAG=30°，設(shè)OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴紙盒底面邊長為：12-2x （0＜x＜2）；
②紙盒側(cè)面積存在最大值，設(shè)紙盒側(cè)面積為y，
則
當(dāng)時，y取得最大值
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；二次函數(shù)-面積問題
【解析】【分析】本題主要考查正方形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，（1）根據(jù)正方形，等邊三角形的性質(zhì)證明△DAE≌△CBE（SAS），即可求證DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL，設(shè)OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范圍。
② 該紙盒的側(cè)面積 是三個長為(12-2x)，寬為x的矩形。二次函數(shù)當(dāng)a＜0，x=h時最大值是K.利用二次函數(shù)最值的方法求出最大值。
（1）證明：∵四邊形為正方形
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如圖所示，作的角平分線交于點，作的角平分線交于點，兩角平分線交于點，則，
∴，則，
∴，
同理，，
∴，
由題意可得，，
∴，
∴，
∴紙盒底面邊長為：；
②紙盒側(cè)面積存在最大值，設(shè)紙盒側(cè)面積為y，
則，
當(dāng)時，y取得最大值．
22．【答案】（1）證明：直線與相切于點B，為直徑，
，
，
即，
點F是的中點；
（2）證明：如圖，連接，
由（1）可知，
為直徑，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
面積點F到的距離點到的距離，
當(dāng)點F到的距離最大時，的面積取得最大值．
如圖，分析可知，當(dāng)時，點到的距離最大，此時的面積最大．
，
．
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線垂直經(jīng)過切點的半徑得∠ABM=90°，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠CFB=90°，根據(jù)垂直定義得AB⊥EC，進而根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BD，由直徑所對的圓周角是直角得∠DAC=90°，由直角三角形兩銳角互余及同角的余角相等得∠ACE=∠DAB，根據(jù)角的構(gòu)成、三角形外角相等可推出∠DGB=∠DBO，由同弧所對的圓周角相等得∠ACO=∠ABD，則∠ABD=∠BGD，由等角對等邊得DG=DB，然后利用SAS判斷出△OBD≌△OAC，得到AC=BD，從而等量代換可得結(jié)論；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得EC=E'C'，根據(jù)等底等高三角形面積相等得到當(dāng)點F到E'C'的距離最大時，△E'FC'的面積取得最大值，即C'E'∥EC時，F(xiàn)到E'C'的距離最大時，△E'FC'的面積取得最大值，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)．
（1）證明：直線與相切于點B，為直徑，
，
，
即，
點F是的中點．
（2）如圖，連接，
由（1）可知，
為直徑，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
面積點F到的距離點到的距離，
當(dāng)點F到的距離最大時，的面積取得最大值．
如圖（2），分析可知，當(dāng)時，點到的距離最大，此時的面積最大．
，
．
23．【答案】（1）解：如圖1，ABCD是矩形，∠ABC=90°
作CE⊥y軸于點E，
∵OA=6，OB=4
∴B(0，4)，A(6，0)
∵∠BEC=∠AOB=90°
∠ECB+∠EBC=90°
∠ECB+∠ABO=90°
∴∠ECB=∠ABO
tan∠ ABO=tan∠ECB=
∴BE：EC=3：2
設(shè)CE=2a，BE=3a
C(2a，4+3a)，A(6，0)
G是AB的中點
G(a+3，2+1.5a)
雙曲線經(jīng)過C、G
即
2a(4+3a)=(a+3)(2+1.5a)
解得：，（舍去），
∴C(2，7) ，G(4，3.5)
K=xy=14
∴K=14
（2）解：由（1）得，A(6，0)，B(0，4)，C(2，7)
矩形ABCD，
∴∠CDN=90°
∵CM⊥MN
∴∠CMN=90°
∴∠CDN+CMN=180°
∴C、D、N、M四點共圓，CN是圓Q的直徑
又∵CN⊥DM，
∴CN平分DM
∴三角形MCD是等腰三角形，CD=CM
AB=CD=CM=2，CB=
sin∠CMB=
∴∠CMB=30°
CN是圓的直徑，∠CMN=90°
∴∠AMN=90°-30°=60°
∵MA⊥DN
∴∠MNA=90°-60°=30°
∵C、D、N、M四點共圓
∠MND+∠DCM=180°
∴∠DCM=180°-30°=150°
∴∠MCN=∠DCM=75°
（3）解：由（1）得，A(6，0)，C(2，7)，G(4，3.5)，
拋物線
頂點，
∴
頂點P是線段AC上一動點，
，
令，則
則，
拋物線與軸交于點K，L，
當(dāng)時，有最大值4，此時PH=2，
此時
=2
此時的面積為2
【知識點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；二次函數(shù)的最值；垂徑定理；四點共圓模型
【解析】【分析】（1）作CE⊥y軸于點E，根據(jù)一線三直角模型證∠ECB=∠ABO。解直角三角形得到BE：EC=3：2，設(shè)CE=2a，BE=3a，則C(2a，4+3a)，根據(jù)中點公式求出G(a+3，2+1.5a).雙曲線經(jīng)過C、G，把C、G坐標(biāo)代入中建立方程求出a=1，繼而求出C(2，7)，K=xy=14，問題得到解決。（2）根據(jù)四邊形對角互補判斷C、D、N、M四點共圓，CN是圓Q的直徑。根據(jù)垂徑定理得到CD=CM
解Rt△CBM，求出∠CMB=30°，CN是圓的直徑，∠CMN=90°，得到∠AMN=60°，MA⊥DN，得到∠MNA=30°。C、D、N、M四點共圓對角互補得到∠DCM=150°。而∠MCN=∠DCM=75°
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點，求出二次函數(shù)與X軸的交點坐標(biāo)K(，0)， L(，0）繼而求出，結(jié)合軸得到，則有，可知當(dāng)時，取得最大值，再利用三角形的面積公式即可求出此時的面積．
（1）解：如圖1，作軸于點，
，，
，，
矩形，
，，
，
軸，
，
，
，
又，
，
，即，
，
設(shè)，則，
，
又，，
，
雙曲線經(jīng)過點，，
，
解得：，（舍去），
，，
代入到得，，
的值為14．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
矩形，
，，，
，
，
，
四點共圓，記圓心為，且為圓的直徑，
又，
平分，
垂直平分，
，，
又，
，
，
，，
，
又，
，
，
在中，，
，
四點共圓，
，
，
的度數(shù)為．
（3）解：由（1）得，，，，
拋物線，
頂點，
頂點是線段上一動點，
，
軸，
，
令，則，
則，，
拋物線與軸交于點，，
，
，
當(dāng)時，有最大值4，此時，
此時
，
此時的面積為2．
1 / 1廣東省茂名市龍嶺教育共同體2024-2025學(xué)年下學(xué)期九年級中考模擬質(zhì)量檢測三數(shù)學(xué)
一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．
1．（2025·茂南模擬）下列各數(shù)中，最小的是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知識點】有理數(shù)的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：，
∴這幾個數(shù)，最小，
故選：A．
【分析】直接比較大小即可求出答案.
2．（2025·茂南模擬）自2025年1月11日，全球上線以來，這款中國AI應(yīng)用以驚人的速度改寫了行業(yè)格局，1月28日單日下載峰值沖至11040000次，創(chuàng)下全球AI應(yīng)用單日下載量新紀(jì)錄.11040000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（　　）
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】D
【知識點】科學(xué)記數(shù)法表示大于10的數(shù)
【解析】【解答】解： 11040000=1.104×107
故答案為：D.
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù).
3．（2025·茂南模擬）若是方程的一個解，則m的值為（　?。?br/>A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知識點】已知一元二次方程的根求參數(shù)
【解析】【解答】解：∵是方程的一個解，
∴，解得，
故答案為：D．
【分析】根據(jù)方程解的定義“使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是方程的解”，將x=1代入原方程可得關(guān)于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
4．（2025·茂南模擬）若代數(shù)式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：代數(shù)式有意義，
，．
解得∶且．
故選：D．
【分析】
根據(jù)二次根式和分式有意義的條件進行解答即可．
5．（2025·茂南模擬）下列幾何圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　?。?br/>A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正五邊形
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：等邊三角形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故A錯誤；
B：平行四邊形為中心對稱圖形，但不為軸對稱圖形，故B正確；
C：菱形及為中心對稱圖形也為軸對稱圖形，故C錯誤；
D：正五邊形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故D錯誤；
故答案為：B．
【分析】軸對稱是把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線稱對，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。
中心對稱是一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這個點對稱，也稱這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心。根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的特點逐一判斷即可．
6．（2025·茂南模擬）如圖，在中，，，是的外角，則的度數(shù)是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】三角形內(nèi)角和定理；鄰補角
【解析】【解答】解：在中，可得：
又
可化為：
即：
解得：
故答案為：C．
【分析】由已知可得∠C=∠B=∠BAC-15°，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理建立方程可求出∠BAC=70°，最后根據(jù)鄰補角可求出∠DAC的度數(shù).
7．（2025·茂南模擬）在今年“十一”期間，小康和小明兩家準(zhǔn)備從華山、華陽古鎮(zhèn)，太白山三個著名景點中分別選擇一個景點旅游，他們兩家去同一景點旅游的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：設(shè)表示華山、表示華陽古鎮(zhèn)、表示太白山，列表如下：
共有9種情況，他們兩家去同一景點旅游共有3中情況，
∴；
故答案為：B.
【分析】設(shè)A表示華山、B表示華陽古鎮(zhèn)、C表示太白山，列出表格，找出總情況數(shù)以及他們兩家去同一景點旅游的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式進行計算.
8．（2025·茂南模擬）定義：．已知，，則（　?。?br/>A． B．8 C． D．32
【答案】B
【知識點】因式分解的應(yīng)用；分式的加減法；求代數(shù)式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
故選：B
【分析】
先利用新定義和分式減法得到，再對所求式子進行因式分解并整體代入計算即可．
9．（2025·茂南模擬）如圖，在菱形中，，對角線交于點O，E為的中點，連接，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵在菱形中，，
∴，，O為的中點，
∵E為的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】由菱形的每一條對角線平分一組對角求得，由菱形的對角線互相垂直得，由菱形的對角線互相平分得點O是BD的中點，根據(jù)三角形中位線平行于第三邊得到，由二直線平行，同位角相等求得，最后根據(jù)∠AOE=∠AOD+∠DOE列式計算即可.
10．（2025·茂南模擬）如圖，的半徑為，以圓外一點為圓心，畫半徑為的弧，將截成弧長相等的兩部分，則兩點的距離為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】垂徑定理；線段垂直平分線的判定
【解析】【解答】解：如圖，
∵將截成弧長相等的兩部分，
∴CD為直徑，
∴AC=AD=4，BC=BD=
∴AB垂直平分CD，
∴，∠ABC=∠ABD=90°
∴，
故答案為：．
【分析】由將截成弧長相等的兩部分得為直徑，根據(jù)題意可得，，則垂直平分，然后根據(jù)勾股定理即可求解．
二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．
11．（2025·茂南模擬）計算：　 　．
【答案】9
【知識點】有理數(shù)的除法法則
【解析】【解答】解：，
故答案為：9.
【分析】根據(jù)兩數(shù)相除，同號得正，并把絕對值相除，進行計算即可.
12．（2025·茂南模擬）因式分解：　 ?。?br/>【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】先提取各項的公因式2a，再運用平方差公式繼續(xù)分解到每一個因式都不能再分解為止.
13．（2025·茂南模擬）分式方程的解為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
等號兩邊乘以（x-2)x得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解；
故答案為：．
【分析】本題考查解分式方程，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后，進行檢驗即可．
14．（2025·茂南模擬）如圖，為的直徑．平分，與交于點，．若，則的面積為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】三角形的面積；含30°角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：∵為的直徑，
∴，
∵平分，，
∴∠DBC=30°，
在Rt△CEB中，tan30°==，
∵BC=2，
∴EC=，
∴=.
故答案為： ．
【分析】
先利用圓周角定理的推論，求得∠ACB=90°，然后利用角平分線的意義求得∠DBC=30°，接著利用含有30度角的直角三角形的性質(zhì)求得EC，再求出的面積．
15．（2025·茂南模擬）如圖，半圓的直徑長為8，點C，D是半圓的三等分點，連接，，過點C作，垂足為E，則圖中陰影部分的面積為　 ?。?br/>【答案】
【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；扇形面積的計算；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖，連接，過D點作于F，
∵ 點C，D是半圓的三等分點，
∴，且每段弧所對的圓周角是，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積
∵，
∴是等邊三角形，
∵半圓的直徑長為8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴圖中陰影部分的面積；
故答案為： ．
【分析】 連接OD，過D點作DF⊥OB于F， 由圓心角、弧、弦的關(guān)系可得BD=AC，∠CAB=∠BOD=60°，從而用AAS判斷出△ACE≌△BDF，由全等三角形面積相等得S△ACE=S△BDF，從而可推出S陰影=；由有一個內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形得△BOD是等邊三角形，由等邊三角形的三線合一得OF=BF=2，再利用勾股定理算出DF，最后根據(jù)扇形及三角形面積計算公式列式計算即可.
三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．
16．（2025·茂南模擬）計算：．
【答案】解：

【知識點】實數(shù)的絕對值；實數(shù)的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數(shù)的混合運算
【解析】【分析】根據(jù)乘方、算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪、絕對值進行計算即可．
17．（2025·茂南模擬）化簡．下面是甲、乙兩同學(xué)的部分運算過程：
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同學(xué)解法的依據(jù)是________，乙同學(xué)解法的依據(jù)是________；（填序號）
①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法分配律；④乘法交換律．
（2）請選擇一種解法，寫出完整的解答過程．
【答案】（1）②，③
（2）解：甲同學(xué)的解法：
原式
；
乙同學(xué)的解法：
原式
．
【知識點】分式的混合運算
【解析】【(解答】（1）解：根據(jù)解題過程可知，甲同學(xué)解法的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，乙同學(xué)解法的依據(jù)是乘法分配律，
故答案為：②，③；
【分析】（1）根據(jù)所給的解題過程可得甲是先通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，乙是用括號外的因式與括號內(nèi)的每一個加數(shù)相乘，據(jù)此可得答案；
（2）甲同學(xué)的解法：先根據(jù)分式的基本性質(zhì)，通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，同時利用平方差公式將括號外因式的分子分解因式，進而計算分式乘法，約分化簡即可；乙同學(xué)的解法：根據(jù)乘法分配律用括號外的因式與括號內(nèi)的每一個加數(shù)相乘，再把所得的積相加，進而利用平方差公式將每一個加數(shù)中的第二個因式分解因式，進而計算分式乘法，約分化簡，最后合并同類項即可．
18．（2025·茂南模擬）如圖：在平行四邊形中，點F在上，且．
（1）用直尺和圓規(guī)作的平分線交于點E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中），
（2）求證：四邊形為菱形．
【答案】（1）解：如圖所示：AE就是所求的∠BAD的角平分線；
（2）證明：由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
【知識點】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；尺規(guī)作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）由平行四邊形的對邊相等及已知可得AB=CD=AF，以點A為圓心，AF為半徑，畫弧，分別與AD、AB交于點F和B，再以點F和B為圓心，大于FB為半徑畫弧，兩弧在∠BAD內(nèi)交于一點過這點及點A作射線，交BC于點E，則AE就是所求的∠BAD的角平分線；
（2）由平行四邊形的對邊平行且相等得AD∥BC，AB=CD，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠FAE=∠AEB，結(jié)合角平分線的定義可推出∠BAE=∠AEB，由等角對等邊得AB=BE，則BE=AF，由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得四邊形ABEF是平行四邊形，進而根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論.
（1）解：如圖所示：
（2）證明：由尺規(guī)作的角平分線的過程可得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．
19．（2025·茂南模擬）高州荔枝以品種多、品質(zhì)優(yōu)、口感佳和歷史悠久而馳名中外．在銷售掛綠荔枝過程中，每千克售價不低于40元且不高于80元，商家發(fā)現(xiàn)銷售量y（千克）與每千克售價（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)該商家掛綠荔枝的銷售額為（元），當(dāng)每千克售價定為多少元時，銷售額最大？最大銷售額是多少？
【答案】（1）解：由題圖可設(shè)，
且該函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，
解得
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意得，
，
當(dāng)時，w有最大值，最大值為3920．
答：當(dāng)每千克售價定為56元時，銷售額最大，最大銷售額為3920元．
【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-銷售問題
【解析】【分析】（1）由圖象可得銷售量y（千克）與每千克售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，從而設(shè)所求函數(shù)解析式為y=kx+b(k、b為常量，且k≠0)，然后將點（40，90）與點（80，40）分別代入，可得關(guān)于字母k、b的二元一次方程組，解該方程組求出k、b的值，即可得到所求的函數(shù)解析式；
（2）銷售額等于銷售量乘以售價，據(jù)此即可列出銷售額關(guān)于售價的函數(shù)關(guān)系式，進而根據(jù)所得二次函數(shù)性質(zhì)即可解答．
（1）解：由題圖可設(shè)，
且該函數(shù)圖象經(jīng)過點，
，
解得
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：由題意得，
，
當(dāng)時，w有最大值，最大值為3920．
答：當(dāng)每千克售價定為56元時，銷售額最大，最大銷售額為3920元．
20．（2025·茂南模擬）某校就“人工智能的知曉程度”對全校學(xué)生進行問卷測試．現(xiàn)從該校八、九年級中各隨機抽取10名學(xué)生的測試得分，并進行整理、描述和分析（得分用x表示，共分為四個等級：不了解；比較了解；了解；非常了解），下面給出了部分信息：
八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；
九年級被抽取的學(xué)生測試得分的數(shù)據(jù)：63，64，78，78，78，80，84，86，92，95．
八、九年級被抽取的學(xué)生得分統(tǒng)計表
年級 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
八年級
九年級
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中__________，__________，__________；
（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為在此次問卷測試中，該校哪個年級被抽取的學(xué)生對人工智能的知曉程度更高 請說明理由 (寫出一條理由即可)；
（3）該校八年級有1500名學(xué)生，九年級有1600名學(xué)生，估計此次問卷測試中，這兩個年級學(xué)生對人工智能“非常了解”的共有多少名
【答案】（1）82，78，20
（2）八年級學(xué)生對人工智能的知曉程度更高，理由如下（寫出一條理由即可）：
①因為八年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)79；
②因為八年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)78．
（3）（名）
【知識點】扇形統(tǒng)計圖；常用統(tǒng)計量的選擇；分析數(shù)據(jù)的集中趨勢（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）；用樣本所占百分比估計總體數(shù)量
【解析】【解答】解：（1）解：將8年級抽取學(xué)生的得分從低到高排列，則第5個和第6個分?jǐn)?shù)的平均數(shù)則為中位數(shù)，
八年級“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；八年級“不了解”的數(shù)據(jù)有；
八年級“比較了解”的數(shù)據(jù)有；
∴第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，
所以中位數(shù)，
九年級學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，
，
∵八年級“非常了解”的人數(shù)有，
∴，
∴；
故答案為：82，78，20；
【分析】
（1）由題可推得八年級被抽取的學(xué)生測試得分中第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，從而可得中位數(shù)的值，由九年級被抽取的學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，可得的值，由八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“非常了解”的人數(shù)有人，可得的值；
（2）從中位數(shù)或眾數(shù)的角度出發(fā)回答即可；
（3）由九年級與八年級的總?cè)藬?shù)分別乘以“非常了解”的占比，再求和即可.
（1）解：由題意得，八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“了解”的數(shù)據(jù)：82，82，82，89；
而八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“不了解”的數(shù)據(jù)有；
八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“比較了解”的數(shù)據(jù)有；
∴第5個，第6個數(shù)據(jù)分別是：82，82，
所以中位數(shù)，
九年級被抽取的學(xué)生測試得分中78出現(xiàn)的次數(shù)最多，
，
∵八年級被抽取的學(xué)生測試得分中“非常了解”的人數(shù)有，
∴，
∴；
故答案為：82，78，20；
（2）解：八年級學(xué)生對人工智能的知曉程度更高，理由如下（寫出一條理由即可）：
①因為八年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的中位數(shù)79；
②因為八年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)82大于九年級學(xué)生測試得分的眾數(shù)78．
（3）解：（名）．
答：估計此次問卷測試中，這兩個年級學(xué)生對人工智能“非常了解”的共有名．
21．（2025·茂南模擬）綜合與實踐：制作無蓋正三棱柱紙盒
如圖1，正方形紙片的邊長為12，在正方形內(nèi)部作等邊三角形，連接．
（1）求證：．
（2）如圖2，在等邊三角形的三個角處分別截去一個彼此全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒（紙盒厚度忽略不計）．
①該紙盒的高為x，用含x的代數(shù)式表示該紙盒底面的邊長，并確定x的取值范圍．
②該紙盒的側(cè)面積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，△ABE是等邊三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如圖所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL
∵∠OAG=30°，設(shè)OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴紙盒底面邊長為：12-2x （0＜x＜2）；
②紙盒側(cè)面積存在最大值，設(shè)紙盒側(cè)面積為y，
則
當(dāng)時，y取得最大值
【知識點】等邊三角形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應(yīng)邊的關(guān)系；二次函數(shù)-面積問題
【解析】【分析】本題主要考查正方形，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，（1）根據(jù)正方形，等邊三角形的性質(zhì)證明△DAE≌△CBE（SAS），即可求證DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL，設(shè)OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范圍。
② 該紙盒的側(cè)面積 是三個長為(12-2x)，寬為x的矩形。二次函數(shù)當(dāng)a＜0，x=h時最大值是K.利用二次函數(shù)最值的方法求出最大值。
（1）證明：∵四邊形為正方形
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如圖所示，作的角平分線交于點，作的角平分線交于點，兩角平分線交于點，則，
∴，則，
∴，
同理，，
∴，
由題意可得，，
∴，
∴，
∴紙盒底面邊長為：；
②紙盒側(cè)面積存在最大值，設(shè)紙盒側(cè)面積為y，
則，
當(dāng)時，y取得最大值．
五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．
22．（2025·茂南模擬）如圖（1），在中，是直徑，為弦，，相交于點，直線與相切于點B，且．
（1）求證：點是的中點．
（2）如圖（2），是的直徑，連接，，線段上存在一點，滿足，求證：．
（3）如圖（3），將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的大小．
【答案】（1）證明：直線與相切于點B，為直徑，
，
，
即，
點F是的中點；
（2）證明：如圖，連接，
由（1）可知，
為直徑，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
面積點F到的距離點到的距離，
當(dāng)點F到的距離最大時，的面積取得最大值．
如圖，分析可知，當(dāng)時，點到的距離最大，此時的面積最大．
，
．
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的切線垂直經(jīng)過切點的半徑得∠ABM=90°，由二直線平行，內(nèi)錯角相等得∠CFB=90°，根據(jù)垂直定義得AB⊥EC，進而根據(jù)垂徑定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BD，由直徑所對的圓周角是直角得∠DAC=90°，由直角三角形兩銳角互余及同角的余角相等得∠ACE=∠DAB，根據(jù)角的構(gòu)成、三角形外角相等可推出∠DGB=∠DBO，由同弧所對的圓周角相等得∠ACO=∠ABD，則∠ABD=∠BGD，由等角對等邊得DG=DB，然后利用SAS判斷出△OBD≌△OAC，得到AC=BD，從而等量代換可得結(jié)論；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得EC=E'C'，根據(jù)等底等高三角形面積相等得到當(dāng)點F到E'C'的距離最大時，△E'FC'的面積取得最大值，即C'E'∥EC時，F(xiàn)到E'C'的距離最大時，△E'FC'的面積取得最大值，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)．
（1）證明：直線與相切于點B，為直徑，
，
，
即，
點F是的中點．
（2）如圖，連接，
由（1）可知，
為直徑，
，
，
．
又，
．
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，
，
面積點F到的距離點到的距離，
當(dāng)點F到的距離最大時，的面積取得最大值．
如圖（2），分析可知，當(dāng)時，點到的距離最大，此時的面積最大．
，
．
23．（2025·茂南模擬）如圖1，矩形的兩個頂點，分別落在，軸上，頂點，位于第一象限，對角線，交于點，，，若雙曲線經(jīng)過點，．
（1）求的值；
（2）點，分別在射線、射線上，滿足，，求的度數(shù)；
（3）如圖2，若拋物線的頂點是線段上一動點，與軸交于點，，過點作軸于點，當(dāng)取得最大值時，求此時的面積．
【答案】（1）解：如圖1，ABCD是矩形，∠ABC=90°
作CE⊥y軸于點E，
∵OA=6，OB=4
∴B(0，4)，A(6，0)
∵∠BEC=∠AOB=90°
∠ECB+∠EBC=90°
∠ECB+∠ABO=90°
∴∠ECB=∠ABO
tan∠ ABO=tan∠ECB=
∴BE：EC=3：2
設(shè)CE=2a，BE=3a
C(2a，4+3a)，A(6，0)
G是AB的中點
G(a+3，2+1.5a)
雙曲線經(jīng)過C、G
即
2a(4+3a)=(a+3)(2+1.5a)
解得：，（舍去），
∴C(2，7) ，G(4，3.5)
K=xy=14
∴K=14
（2）解：由（1）得，A(6，0)，B(0，4)，C(2，7)
矩形ABCD，
∴∠CDN=90°
∵CM⊥MN
∴∠CMN=90°
∴∠CDN+CMN=180°
∴C、D、N、M四點共圓，CN是圓Q的直徑
又∵CN⊥DM，
∴CN平分DM
∴三角形MCD是等腰三角形，CD=CM
AB=CD=CM=2，CB=
sin∠CMB=
∴∠CMB=30°
CN是圓的直徑，∠CMN=90°
∴∠AMN=90°-30°=60°
∵MA⊥DN
∴∠MNA=90°-60°=30°
∵C、D、N、M四點共圓
∠MND+∠DCM=180°
∴∠DCM=180°-30°=150°
∴∠MCN=∠DCM=75°
（3）解：由（1）得，A(6，0)，C(2，7)，G(4，3.5)，
拋物線
頂點，
∴
頂點P是線段AC上一動點，
，
令，則
則，
拋物線與軸交于點K，L，
當(dāng)時，有最大值4，此時PH=2，
此時
=2
此時的面積為2
【知識點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；二次函數(shù)的最值；垂徑定理；四點共圓模型
【解析】【分析】（1）作CE⊥y軸于點E，根據(jù)一線三直角模型證∠ECB=∠ABO。解直角三角形得到BE：EC=3：2，設(shè)CE=2a，BE=3a，則C(2a，4+3a)，根據(jù)中點公式求出G(a+3，2+1.5a).雙曲線經(jīng)過C、G，把C、G坐標(biāo)代入中建立方程求出a=1，繼而求出C(2，7)，K=xy=14，問題得到解決。（2）根據(jù)四邊形對角互補判斷C、D、N、M四點共圓，CN是圓Q的直徑。根據(jù)垂徑定理得到CD=CM
解Rt△CBM，求出∠CMB=30°，CN是圓的直徑，∠CMN=90°，得到∠AMN=60°，MA⊥DN，得到∠MNA=30°。C、D、N、M四點共圓對角互補得到∠DCM=150°。而∠MCN=∠DCM=75°
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到頂點，求出二次函數(shù)與X軸的交點坐標(biāo)K(，0)， L(，0）繼而求出，結(jié)合軸得到，則有，可知當(dāng)時，取得最大值，再利用三角形的面積公式即可求出此時的面積．
（1）解：如圖1，作軸于點，
，，
，，
矩形，
，，
，
軸，
，
，
，
又，
，
，即，
，
設(shè)，則，
，
又，，
，
雙曲線經(jīng)過點，，
，
解得：，（舍去），
，，
代入到得，，
的值為14．
（2）解：由（1）得，，，，
，，
矩形，
，，，
，
，
，
四點共圓，記圓心為，且為圓的直徑，
又，
平分，
垂直平分，
，，
又，
，
，
，，
，
又，
，
，
在中，，
，
四點共圓，
，
，
的度數(shù)為．
（3）解：由（1）得，，，，
拋物線，
頂點，
頂點是線段上一動點，
，
軸，
，
令，則，
則，，
拋物線與軸交于點，，
，
，
當(dāng)時，有最大值4，此時，
此時
，
此時的面積為2．
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