資源簡介

廣東省湛江市雷州市第四中學教育集團2025年中考三模聯考數學試題
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025·雷州模擬）的相反數是（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2025·雷州模擬）下列幾何圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正五邊形
3．（2025·雷州模擬）抗日戰爭時期，我國“四萬萬同胞”同仇敵愾，經過十四年艱苦卓絕的抗戰，終于取得了最后的勝利．數據“四萬萬”即用科學記數法可以表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·雷州模擬）隨著人們對環境的日益重視，騎行單車這種“低碳”出行方式已融入人們的日常生活，如圖是某單車車架的示意圖，線段分別為前叉、下管和立管（點C在上），EF為后下叉，已知，，，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·雷州模擬）如圖，經過平面直角坐標系的原點O，交x軸于點B(-4，0)，交y軸于點C(0，3)，點D為第二象限內圓上一點.則∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·雷州模擬）解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（　　）
A．x B． C． D．
7．（2025·雷州模擬）甲、乙兩人在相同的條件下，各射擊10次，經計算：甲射擊成績的平均數是8環，方差是1.1；乙射擊成績的平均數是8環，方差是1.5.下列說法中不一定正確的是（　　）
A．甲、乙的總環數相同 B．甲的成績比乙的成績穩定
C．乙的成績比甲的成績波動大 D．甲、乙成績的眾數相同
8．（2025·雷州模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·雷州模擬）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為，則不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
10．（2025·雷州模擬）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別．某校建立了一個身份識別系統，圖2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數字從左到右依次記為，，，，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，如圖2第一行數字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班學生，那么表示9班學生的識別圖案是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分．）
11．（2025·雷州模擬）將拋物線向上平移2個單位長度得到的拋物線表達式為　 　．
12．（2025·雷州模擬）引入新數i，新數i滿足分配律、結合律、交換律，已知 ，則 　 　.
13．（2025·雷州模擬）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長為5，則該圓錐的側面積為　 　．
14．（2025·雷州模擬）若式子有意義，則實數x的取值范圍是　 　
15．（2025·雷州模擬）如圖，在正方形中，先以點為圓心，長為半徑畫弧，再以為直徑作半圓，交前弧于點，連接，．若，則圖中陰影部分的面積為　 　．
三、解答題（一）（本題共3小題，每小題7分，共21分）
16．（2025·雷州模擬）計算：．
17．（2025·雷州模擬）先化簡，再求值：，其中．
18．（2025·雷州模擬）如圖，中，．
（1）尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
四、解答題（二）（本題共3小題，每小題9分，共27分．）
19．（2025·雷州模擬）某校道德與法治學科實踐小組就近期人們比較關注的五個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航；C．Harmony OS系統；D．電動汽車；E．光伏產品”，對學生進行了隨機抽樣調查，每人只能從中選擇一個本人最關注的話題，根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
請結合統計圖中的信息，解決下列問題：
（1）實踐小組在這次活動中，調查的學生共有 人；最關注話題扇形統計圖中的 ，話題D所在扇形的圓心角是 度；
（2）將圖中的最關注話題條形統計圖補充完整；
（3）實踐小組進行專題討論時，甲、乙兩個小組從三個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航；C．Harmony OS系統”中抽簽（不放回）選一項進行發言．請利用樹狀圖或表格，求出兩個小組分別選擇A，B話題發言的概率．
20．（2025·雷州模擬）某職業學校開設了智能機器人編程的校本課程，為了更好地教學，學校購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多100元，用1000元購買A型機器人模型和用600元購買B型機器人模型的數量相同．
（1）求A型、B型機器人模型的單價分別是多少元？
（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共20臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少？最少花費是多少元？
21．（2025·雷州模擬）綜合與實踐：制作無蓋正三棱柱紙盒
如圖1，正方形紙片的邊長為12，在正方形內部作等邊三角形，連接．
（1）求證：．
（2）如圖2，在等邊三角形的三個角處分別截去一個彼此全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒（紙盒厚度忽略不計）．
①該紙盒的高為x，用含x的代數式表示該紙盒底面的邊長，并確定x的取值范圍．
②該紙盒的側面積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
五、解答題（三）（本題共2小題，22題13分，23題14分，共27分．）
22．（2025·雷州模擬）如圖1，是的外接圓，是直徑，弦與交于點，與交于點，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，，求劣弧的長；
（3）如圖2，，于點，交于點，繞點順時針旋轉得到，點恰好在線段上，求證：．
23．（2025·雷州模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，MN⊥x軸交BC于點N，當點M運動到某一位置時，線段MN的長度最大，求此時點M的坐標及線段MN的長度；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點（F在E右側），若P點是⊙B上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰，使（P、A、D三點為逆時針順序），連接FD．
①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，請直接寫出B點的對應點的坐標；
②求FD長度的取值范圍．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解：的相反數是2．
故選：C．
【分析】
只有符號不同的兩個數互為相反數．
2．【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：等邊三角形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故A錯誤；
B：平行四邊形為中心對稱圖形，但不為軸對稱圖形，故B正確；
C：菱形及為中心對稱圖形也為軸對稱圖形，故C錯誤；
D：正五邊形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故D錯誤；
故答案為：B．
【分析】軸對稱是把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線稱對，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。
中心對稱是一個圖形繞著某一點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這個點對稱，也稱這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心。根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的特點逐一判斷即可．
3．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：根據題意得
．
故選：C.
【分析】學記數法的表示方法是將一個數較大的數表示為的形式，（其中，位數少1），根據科學記數法的形式來求解．
4．【答案】B
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
故選：B．
【分析】根據直線平行性質即可求出答案.
5．【答案】A
【知識點】勾股定理；圓周角定理；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：如下圖所示，連接BC，
∵⊙A過原點O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根據勾股定理可得：，
又∵同弧所對圓周角相等，∠CDO與∠OBC均為所對圓周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案為：A．
【分析】連接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的長度，根據同弧所對圓周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根據sin∠CDO=sin∠OBC=計算即可求解．
6．【答案】C
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最簡公分母是，
方程兩邊都乘同一個整式去分母是，
故答案為：C．
【分析】根據解分式方程的去分母，找出最簡公分母，結合題意即可求解.
7．【答案】D
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射擊成績的方差是 1.1，乙射擊成績的方差是 1.5，且平均數都是8環，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射擊成績比乙穩定，乙射擊成績的波動比甲較大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的總環數相同，
故A、B、C選項都正確，
但甲、乙射擊成績的眾數不一定相同.
故D錯誤；
故答案為：D.
【分析】在數據的總個數及平均數一樣的情況下，方差越大，數據的波動就越大，成績越不穩定， 而眾數就是一組數據中出現次數最多的數據，據此即可一一判斷得出答案.
8．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；完全平方公式及運用；單項式除以單項式；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是正確的；
故選：D
【分析】根據同底數冪相乘，積的乘方，完全平方公式，單項式除以單項式逐項進行判斷即可求出答案.
9．【答案】A
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：由題意得不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象下方時自變量的取值范圍，
∴不等式的解集為或，
故答案為：A．
【分析】借助圖象得到一次函數圖象在反比例函數圖象下方時自變量x的取值范圍即可解題．
10．【答案】C
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：由題知，
，即A選項的識別圖案表示6班學生．
故A選項不符合題意．
，即B選項的識別圖案表示10班學生．
故B選項不符合題意．
，即C選項的識別圖案表示9班學生．
故C選項符合題意．
，即D選項的識別圖案表示7班學生．
故D選項不符合題意．
故選：C．
【分析】根據題意逐項列式計算即可求出答案.
11．【答案】
【知識點】二次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移2個單位長度得到拋物線的表達式為．故答案為：．
【分析】掌握平移的規律“左加右減，上加下減”．根據平移規律即可求出新拋物線的解析式。
12．【答案】2
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【解答】解： .
故答案為：2.
【分析】首先利用平方差公式將待求式子展開，再將i2=-1代入計算，可求出結果.
13．【答案】
【知識點】圓錐的計算
【解析】【解答】解：該圓錐的側面積為．
故答案為：．
【分析】根據圓錐的側面積公式即可求出答案.
14．【答案】且
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：∵式子有意義，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案為：且
【分析】根據二次根式有意義的調節結合分式有意義的條件得到x+1≥0，x-2≠0，進而化簡即可求解.
15．【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；扇形面積的計算；幾何圖形的面積計算-割補法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖，作于H，則，
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設，，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】作于H，則，根據圓周角定理可得， 再根據角之間的關系可得， 根據全等三角形判定定理可得， 則， 設，， 根據勾股定理建立方程，解方程可得， 再根據，結合圓，三角形面積即可求出答案.
16．【答案】解：
＝1+4-+2×
＝1+4-+1+
＝6．
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先算0指數、負指數、絕對值、特殊角的三角函數值，再去括號。算乘法，最后依次計算即可求解
17．【答案】解：原式
；
當時，原式．
【知識點】分式的混合運算；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】根據分式的混合運算化簡，再將x=3代入即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
【知識點】矩形的判定；旋轉的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】
（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點O，連接，則線段即為所求；
（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論．
（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
19．【答案】（1）200，25，36
（2）解：由圖可知：
選中C的學生為：（人），
補全的條形統計圖如圖所示：
（3）解：設兩個小組選擇A、B話題發言的事件為A
畫樹狀圖如下：
共有6個等可能的結果，每種結果出現的可能性相同，而事件A的結果有2個，
∴P(A)=．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：調查的學生共有：（人），
選擇D的人數百分率為：
，
a=25
故答案為：200，25，36；
【分析】（1）先根據總數=頻數÷百分率，計算出總數，求出D的百分率和圓心角，最后求a
(2)根據C組的百分率，先求出C組的人數，補全條形圖即可
（3）設設兩個小組選擇A、B話題發言的事件為A，畫出樹狀圖，列出所有結果，根據概率公式計算即可.
20．【答案】（1）解：設A型機器人模型單價是元，則B型機器人模型單價是元．
根據題意，得，
解這個方程，得．
經檢驗，是原方程的根，且符合題意．．
答：A型機器人模型單價是250元，B型機器人模型單價是150元．
（2）解：設購買A型機器人模型臺，則購買B型機器人模型臺，購買A型和B型機器人模型共花費元，
由題意得：，解得．
，即，
，隨的增大而增大．
當時，，此時．
答：購買A型機器人模型5臺和B型機器人模型15臺時花費最少，最少花費是2800元．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A型機器人模型單價是元，則B型機器人模型單價是元，根據用1000元購買A型機器人模型和用600元購買B型機器人模型的數量相同，建立方程，解方程接口求出答案
（2）設購買A型機器人模型臺，則購買B型機器人模型臺，購買A型和B型機器人模型共花費元，列不等式求解的范圍，再求出函數關系式，結合一次函數的性質即可求出答案.
21．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，△ABE是等邊三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如圖所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL
∵∠OAG=30°，設OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴紙盒底面邊長為：12-2x （0＜x＜2）；
②紙盒側面積存在最大值，設紙盒側面積為y，
則
當時，y取得最大值
【知識點】等邊三角形的性質；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；二次函數-面積問題
【解析】【分析】本題主要考查正方形，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，（1）根據正方形，等邊三角形的性質證明△DAE≌△CBE（SAS），即可求證DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL，設OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范圍。
② 該紙盒的側面積 是三個長為(12-2x)，寬為x的矩形。二次函數當a＜0，x=h時最大值是K.利用二次函數最值的方法求出最大值。
（1）證明：∵四邊形為正方形
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如圖所示，作的角平分線交于點，作的角平分線交于點，兩角平分線交于點，則，
∴，則，
∴，
同理，，
∴，
由題意可得，，
∴，
∴，
∴紙盒底面邊長為：；
②紙盒側面積存在最大值，設紙盒側面積為y，
則，
當時，y取得最大值．
22．【答案】（1）證明：∵ AC是的直徑；
∴∠APC=∠OPC+∠APO=90°，
∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA
∠CPH=∠CAP
∴∠OPA=∠CPH，
∴∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°
OP是圓的半徑
∴PH是的切線
（2）解：∵BE=1，CE=2∴BC=2+1=3，
∵OP⊥BC，
∴CQ==，
在△PCE和△QCP中
∠BCP=∠BCP
∠APC=∠CQB
∴△PCE∽△QCP
∴，
∴∠QCP=30°，
∠QPC=60°
∴△是等邊三角形，
∠OPC=60°
OC=CP=
∠CAP=30°
∴劣弧PC的長為
劣弧PC的長為
（3）解：過點F、G作BC的垂線，垂足分別為M、N，
由旋轉的性質知∠FEG=90° EF=EG，
∵∠FEM+∠GEN=90°
∠NGE+∠GEN=90°
∴∠FEM=∠NGE
∠FME=∠GNE=90°
∴△FEM≌△EGN，
GN=EM，EN=FM
∵AC是的直徑，
∴∠ABC=90°
BD垂直AC，∠ADB=90°
∠ABD=∠ACB
AB∥FM
∠ABD=∠BFM
tan∠ACB=
即NC=2GN
∴NC=2EM
tan∠BFM=
即FM=2BM
∴EN=2BM
∴CE=EN+NC=2BM+2EM=2(BM+EM)=2BE
∴CE=2BE
【知識點】切線的判定；弧長的計算；旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理求得∠APC=∠OPC+∠APO=90°，再證明∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°，且OP是半徑，即可證明PH是的切線；（2）利用垂徑定理求得CQ==，利用AA證明△PCE∽△QCP，求得CP，利用特殊角的三角函數值求得∠QCP=30°，推出△OPC是等邊三角形，求出∠CAP=30°，圓的半徑是.再根據求弧長的公式求出劣弧PC的長度。
(3)過點F、G作BC的垂線，垂足分別為M、N，根據一線三直角證明△FEM≌△EGN，得.CN=EM，EN=FM由于AD⊥AC，AB⊥BC，PM⊥BC、CN⊥BC，得到∠ACB=∠ABD=∠BFM，可知tan∠BFM=，得到FM=2BM=EN，tan∠ACB=，得NC=2GN=2EM，而CE=EN+NC，BE=BM+EM，代入化簡得到CE=2BE.
（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴劣弧的長為；
（3）解：過點、作的垂線，垂足分別為、，
由旋轉的性質知，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
23．【答案】解：（1）∵直線與軸、軸分別交于，兩點，
∴當時，，所以，
當時，，所以，
∵拋物線經過，兩點，
∴，，解得，
∴拋物線解析式為．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直線BC的解析式為：，
設，則，
∴，
∴，
∴當時，的最大值為，
∴當M運動到 時，線段MN的長度最大為．
（3）①；
②連接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴當點在⊙B上運動時，點在以為圓心，半徑為的圓上，
∴作射線，與⊙交于，兩點，
情況一：當交點為時，為最小值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
情況二：當交點為時，為最大值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
綜上．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；坐標系中的兩點距離公式；圓與函數的綜合；二次函數-線段周長問題
【解析】【解答】（3）①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征可得，，再根據待定系數法將點A，C坐標代入拋物線解析式即可求出答案.
（2）根據x軸上點的縱坐標特征可得，求出直線BC的解析式為：，設，則，根據l兩點間距離可得，結合二次函數性質即可求出答案.
（3）①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，根據旋轉性質即可求出答案.
②根據全等三角形判定定理可得，則，即當點在⊙B上運動時，點在以為圓心，半徑為的圓上，作射線，與⊙交于，兩點，分情況討論：當交點為時，為最小值，即，根據邊之間的關系可得AF，再根據勾股定理即可求出答案；當交點為時，為最大值，已知，，，根據邊之間的關系可得AF，再根據勾股定理即可求出答案；
1 / 1廣東省湛江市雷州市第四中學教育集團2025年中考三模聯考數學試題
一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）
1．（2025·雷州模擬）的相反數是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知識點】相反數的意義與性質
【解析】【解答】解：的相反數是2．
故選：C．
【分析】
只有符號不同的兩個數互為相反數．
2．（2025·雷州模擬）下列幾何圖形中，是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（　　）
A．等邊三角形 B．平行四邊形 C．菱形 D．正五邊形
【答案】B
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A：等邊三角形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故A錯誤；
B：平行四邊形為中心對稱圖形，但不為軸對稱圖形，故B正確；
C：菱形及為中心對稱圖形也為軸對稱圖形，故C錯誤；
D：正五邊形為軸對稱圖形，但不為中心對稱圖形，故D錯誤；
故答案為：B．
【分析】軸對稱是把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這條直線稱對，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。
中心對稱是一個圖形繞著某一點旋轉180，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關于這個點對稱，也稱這兩個圖形中心對稱，這個點叫做對稱中心。根據中心對稱圖形與軸對稱圖形的特點逐一判斷即可．
3．（2025·雷州模擬）抗日戰爭時期，我國“四萬萬同胞”同仇敵愾，經過十四年艱苦卓絕的抗戰，終于取得了最后的勝利．數據“四萬萬”即用科學記數法可以表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：根據題意得
．
故選：C.
【分析】學記數法的表示方法是將一個數較大的數表示為的形式，（其中，位數少1），根據科學記數法的形式來求解．
4．（2025·雷州模擬）隨著人們對環境的日益重視，騎行單車這種“低碳”出行方式已融入人們的日常生活，如圖是某單車車架的示意圖，線段分別為前叉、下管和立管（點C在上），EF為后下叉，已知，，，，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行線的性質
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
，
∵，
，
故選：B．
【分析】根據直線平行性質即可求出答案.
5．（2025·雷州模擬）如圖，經過平面直角坐標系的原點O，交x軸于點B(-4，0)，交y軸于點C(0，3)，點D為第二象限內圓上一點.則∠CDO的正弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；圓周角定理；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：如下圖所示，連接BC，
∵⊙A過原點O，且∠BOC=90°，OB=4，OC=3，
∴根據勾股定理可得：，
又∵同弧所對圓周角相等，∠CDO與∠OBC均為所對圓周角，
∴∠CDO=∠OBC，故sin∠CDO=sin∠OBC=，
故答案為：A．
【分析】連接BC，且∠BOC=90°，用勾股定理求出BC的長度，根據同弧所對圓周角相等可得sin∠CDO=sin∠OBC，然后根據sin∠CDO=sin∠OBC=計算即可求解．
6．（2025·雷州模擬）解分式方程時，將方程兩邊都乘同一個整式，得到一個一元一次方程，這個整式是（　　）
A．x B． C． D．
【答案】C
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：分式方程的最簡公分母是，
方程兩邊都乘同一個整式去分母是，
故答案為：C．
【分析】根據解分式方程的去分母，找出最簡公分母，結合題意即可求解.
7．（2025·雷州模擬）甲、乙兩人在相同的條件下，各射擊10次，經計算：甲射擊成績的平均數是8環，方差是1.1；乙射擊成績的平均數是8環，方差是1.5.下列說法中不一定正確的是（　　）
A．甲、乙的總環數相同 B．甲的成績比乙的成績穩定
C．乙的成績比甲的成績波動大 D．甲、乙成績的眾數相同
【答案】D
【知識點】平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：∵甲射擊成績的方差是 1.1，乙射擊成績的方差是 1.5，且平均數都是8環，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲射擊成績比乙穩定，乙射擊成績的波動比甲較大，
∵甲、乙射靶 10 次，
∴甲、乙射中的總環數相同，
故A、B、C選項都正確，
但甲、乙射擊成績的眾數不一定相同.
故D錯誤；
故答案為：D.
【分析】在數據的總個數及平均數一樣的情況下，方差越大，數據的波動就越大，成績越不穩定， 而眾數就是一組數據中出現次數最多的數據，據此即可一一判斷得出答案.
8．（2025·雷州模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；完全平方公式及運用；單項式除以單項式；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故該選項是錯誤的；
B、，故該選項是錯誤的；
C、，故該選項是錯誤的；
D、，故該選項是正確的；
故選：D
【分析】根據同底數冪相乘，積的乘方，完全平方公式，單項式除以單項式逐項進行判斷即可求出答案.
9．（2025·雷州模擬）如圖，一次函數與反比例函數的圖象相交于A，B兩點，點A的橫坐標為2，點B的橫坐標為，則不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解：由題意得不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象下方時自變量的取值范圍，
∴不等式的解集為或，
故答案為：A．
【分析】借助圖象得到一次函數圖象在反比例函數圖象下方時自變量x的取值范圍即可解題．
10．（2025·雷州模擬）利用如圖1的二維碼可以進行身份識別．某校建立了一個身份識別系統，圖2是某個學生的識別圖案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，將第一行數字從左到右依次記為，，，，那么可以轉換為該生所在班級序號，其序號為，如圖2第一行數字從左到右依次為0，1，0，1，序號為，表示該生為5班學生，那么表示9班學生的識別圖案是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：由題知，
，即A選項的識別圖案表示6班學生．
故A選項不符合題意．
，即B選項的識別圖案表示10班學生．
故B選項不符合題意．
，即C選項的識別圖案表示9班學生．
故C選項符合題意．
，即D選項的識別圖案表示7班學生．
故D選項不符合題意．
故選：C．
【分析】根據題意逐項列式計算即可求出答案.
二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分．）
11．（2025·雷州模擬）將拋物線向上平移2個單位長度得到的拋物線表達式為　 　．
【答案】
【知識點】二次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：將拋物線向上平移2個單位長度得到拋物線的表達式為．故答案為：．
【分析】掌握平移的規律“左加右減，上加下減”．根據平移規律即可求出新拋物線的解析式。
12．（2025·雷州模擬）引入新數i，新數i滿足分配律、結合律、交換律，已知 ，則 　 　.
【答案】2
【知識點】平方差公式及應用
【解析】【解答】解： .
故答案為：2.
【分析】首先利用平方差公式將待求式子展開，再將i2=-1代入計算，可求出結果.
13．（2025·雷州模擬）若圓錐的底面圓半徑為4，母線長為5，則該圓錐的側面積為　 　．
【答案】
【知識點】圓錐的計算
【解析】【解答】解：該圓錐的側面積為．
故答案為：．
【分析】根據圓錐的側面積公式即可求出答案.
14．（2025·雷州模擬）若式子有意義，則實數x的取值范圍是　 　
【答案】且
【知識點】分式有無意義的條件；二次根式有無意義的條件
【解析】【解答】解：∵式子有意義，
∴x+1≥0，x-2≠0，
∴x≥-1且x≠2，
故答案為：且
【分析】根據二次根式有意義的調節結合分式有意義的條件得到x+1≥0，x-2≠0，進而化簡即可求解.
15．（2025·雷州模擬）如圖，在正方形中，先以點為圓心，長為半徑畫弧，再以為直徑作半圓，交前弧于點，連接，．若，則圖中陰影部分的面積為　 　．
【答案】
【知識點】三角形全等及其性質；勾股定理；扇形面積的計算；幾何圖形的面積計算-割補法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如圖，作于H，則，
∵是直徑，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設，，
在中，由勾股定理得，，即，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】作于H，則，根據圓周角定理可得， 再根據角之間的關系可得， 根據全等三角形判定定理可得， 則， 設，， 根據勾股定理建立方程，解方程可得， 再根據，結合圓，三角形面積即可求出答案.
三、解答題（一）（本題共3小題，每小題7分，共21分）
16．（2025·雷州模擬）計算：．
【答案】解：
＝1+4-+2×
＝1+4-+1+
＝6．
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】先算0指數、負指數、絕對值、特殊角的三角函數值，再去括號。算乘法，最后依次計算即可求解
17．（2025·雷州模擬）先化簡，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
當時，原式．
【知識點】分式的混合運算；分式的化簡求值-直接代入
【解析】【分析】根據分式的混合運算化簡，再將x=3代入即可求出答案.
18．（2025·雷州模擬）如圖，中，．
（1）尺規作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉得到，連接，．求證：四邊形是矩形．
【答案】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
【知識點】矩形的判定；旋轉的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】
（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點O，連接，則線段即為所求；
（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結合矩形的判定可得結論．
（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）證明：如圖，
∵由作圖可得：，由旋轉可得：，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為矩形．
四、解答題（二）（本題共3小題，每小題9分，共27分．）
19．（2025·雷州模擬）某校道德與法治學科實踐小組就近期人們比較關注的五個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航；C．Harmony OS系統；D．電動汽車；E．光伏產品”，對學生進行了隨機抽樣調查，每人只能從中選擇一個本人最關注的話題，根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
請結合統計圖中的信息，解決下列問題：
（1）實踐小組在這次活動中，調查的學生共有 人；最關注話題扇形統計圖中的 ，話題D所在扇形的圓心角是 度；
（2）將圖中的最關注話題條形統計圖補充完整；
（3）實踐小組進行專題討論時，甲、乙兩個小組從三個話題：“A.5G通訊；B．北斗導航；C．Harmony OS系統”中抽簽（不放回）選一項進行發言．請利用樹狀圖或表格，求出兩個小組分別選擇A，B話題發言的概率．
【答案】（1）200，25，36
（2）解：由圖可知：
選中C的學生為：（人），
補全的條形統計圖如圖所示：
（3）解：設兩個小組選擇A、B話題發言的事件為A
畫樹狀圖如下：
共有6個等可能的結果，每種結果出現的可能性相同，而事件A的結果有2個，
∴P(A)=．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】（1）解：調查的學生共有：（人），
選擇D的人數百分率為：
，
a=25
故答案為：200，25，36；
【分析】（1）先根據總數=頻數÷百分率，計算出總數，求出D的百分率和圓心角，最后求a
(2)根據C組的百分率，先求出C組的人數，補全條形圖即可
（3）設設兩個小組選擇A、B話題發言的事件為A，畫出樹狀圖，列出所有結果，根據概率公式計算即可.
20．（2025·雷州模擬）某職業學校開設了智能機器人編程的校本課程，為了更好地教學，學校購買了A，B兩種型號的機器人模型．A型機器人模型單價比B型機器人模型單價多100元，用1000元購買A型機器人模型和用600元購買B型機器人模型的數量相同．
（1）求A型、B型機器人模型的單價分別是多少元？
（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共20臺，購買B型機器人模型不超過A型機器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優惠．問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最少？最少花費是多少元？
【答案】（1）解：設A型機器人模型單價是元，則B型機器人模型單價是元．
根據題意，得，
解這個方程，得．
經檢驗，是原方程的根，且符合題意．．
答：A型機器人模型單價是250元，B型機器人模型單價是150元．
（2）解：設購買A型機器人模型臺，則購買B型機器人模型臺，購買A型和B型機器人模型共花費元，
由題意得：，解得．
，即，
，隨的增大而增大．
當時，，此時．
答：購買A型機器人模型5臺和B型機器人模型15臺時花費最少，最少花費是2800元．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設A型機器人模型單價是元，則B型機器人模型單價是元，根據用1000元購買A型機器人模型和用600元購買B型機器人模型的數量相同，建立方程，解方程接口求出答案
（2）設購買A型機器人模型臺，則購買B型機器人模型臺，購買A型和B型機器人模型共花費元，列不等式求解的范圍，再求出函數關系式，結合一次函數的性質即可求出答案.
21．（2025·雷州模擬）綜合與實踐：制作無蓋正三棱柱紙盒
如圖1，正方形紙片的邊長為12，在正方形內部作等邊三角形，連接．
（1）求證：．
（2）如圖2，在等邊三角形的三個角處分別截去一個彼此全等的四邊形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒（紙盒厚度忽略不計）．
①該紙盒的高為x，用含x的代數式表示該紙盒底面的邊長，并確定x的取值范圍．
②該紙盒的側面積是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，△ABE是等邊三角形
∴AD=BC，AE=BE，∠EAB=∠EBA=60°
∠DAE=90°-∠EAB=30°
∠CBE=90°-∠EBA=30°
∴△DAE≌△CBE（SAS）
∴DE=CE
（2）解：①如圖所示，△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL
∵∠OAG=30°，設OG=x，
∴AG=BK=
AB=AG+OL+BK=OL+2x
∴OL=12-2x
12＞OL＞0，即12-2x＞0
求出0＜x＜2
∴紙盒底面邊長為：12-2x （0＜x＜2）；
②紙盒側面積存在最大值，設紙盒側面積為y，
則
當時，y取得最大值
【知識點】等邊三角形的性質；正方形的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應邊的關系；二次函數-面積問題
【解析】【分析】本題主要考查正方形，等邊三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，（1）根據正方形，等邊三角形的性質證明△DAE≌△CBE（SAS），即可求證DE=CE；
（2）
①△ABE是正三角形，AB=12， 作AB邊上的高EN，作BE邊上的高AM，紙盒的高是OG，紙盒的底面邊長是OL，設OG=x，解Rt△AOG，求出 AG=KB=.而AB=AG+OL+BK=OL+2x=12.即可求出OL=12-2x， 0＜12-2x＜12.可求出x的取值范圍。
② 該紙盒的側面積 是三個長為(12-2x)，寬為x的矩形。二次函數當a＜0，x=h時最大值是K.利用二次函數最值的方法求出最大值。
（1）證明：∵四邊形為正方形
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
（2）解：①如圖所示，作的角平分線交于點，作的角平分線交于點，兩角平分線交于點，則，
∴，則，
∴，
同理，，
∴，
由題意可得，，
∴，
∴，
∴紙盒底面邊長為：；
②紙盒側面積存在最大值，設紙盒側面積為y，
則，
當時，y取得最大值．
五、解答題（三）（本題共2小題，22題13分，23題14分，共27分．）
22．（2025·雷州模擬）如圖1，是的外接圓，是直徑，弦與交于點，與交于點，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，，求劣弧的長；
（3）如圖2，，于點，交于點，繞點順時針旋轉得到，點恰好在線段上，求證：．
【答案】（1）證明：∵ AC是的直徑；
∴∠APC=∠OPC+∠APO=90°，
∵OA=OP
∴∠OAP=∠OPA
∠CPH=∠CAP
∴∠OPA=∠CPH，
∴∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°
OP是圓的半徑
∴PH是的切線
（2）解：∵BE=1，CE=2∴BC=2+1=3，
∵OP⊥BC，
∴CQ==，
在△PCE和△QCP中
∠BCP=∠BCP
∠APC=∠CQB
∴△PCE∽△QCP
∴，
∴∠QCP=30°，
∠QPC=60°
∴△是等邊三角形，
∠OPC=60°
OC=CP=
∠CAP=30°
∴劣弧PC的長為
劣弧PC的長為
（3）解：過點F、G作BC的垂線，垂足分別為M、N，
由旋轉的性質知∠FEG=90° EF=EG，
∵∠FEM+∠GEN=90°
∠NGE+∠GEN=90°
∴∠FEM=∠NGE
∠FME=∠GNE=90°
∴△FEM≌△EGN，
GN=EM，EN=FM
∵AC是的直徑，
∴∠ABC=90°
BD垂直AC，∠ADB=90°
∠ABD=∠ACB
AB∥FM
∠ABD=∠BFM
tan∠ACB=
即NC=2GN
∴NC=2EM
tan∠BFM=
即FM=2BM
∴EN=2BM
∴CE=EN+NC=2BM+2EM=2(BM+EM)=2BE
∴CE=2BE
【知識點】切線的判定；弧長的計算；旋轉的性質；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理求得∠APC=∠OPC+∠APO=90°，再證明∠OPH=∠OPC+∠CPH=90°，且OP是半徑，即可證明PH是的切線；（2）利用垂徑定理求得CQ==，利用AA證明△PCE∽△QCP，求得CP，利用特殊角的三角函數值求得∠QCP=30°，推出△OPC是等邊三角形，求出∠CAP=30°，圓的半徑是.再根據求弧長的公式求出劣弧PC的長度。
(3)過點F、G作BC的垂線，垂足分別為M、N，根據一線三直角證明△FEM≌△EGN，得.CN=EM，EN=FM由于AD⊥AC，AB⊥BC，PM⊥BC、CN⊥BC，得到∠ACB=∠ABD=∠BFM，可知tan∠BFM=，得到FM=2BM=EN，tan∠ACB=，得NC=2GN=2EM，而CE=EN+NC，BE=BM+EM，代入化簡得到CE=2BE.
（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴劣弧的長為；
（3）解：過點、作的垂線，垂足分別為、，
由旋轉的性質知，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
23．（2025·雷州模擬）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與x軸，y軸分別交于A、C兩點，拋物線經過A、C兩點，與x軸的另一交點為B．
（1）求拋物線解析式；
（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，MN⊥x軸交BC于點N，當點M運動到某一位置時，線段MN的長度最大，求此時點M的坐標及線段MN的長度；
（3）如圖2，以B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于E、F兩點（F在E右側），若P點是⊙B上一動點，連接PA，以PA為腰作等腰，使（P、A、D三點為逆時針順序），連接FD．
①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，請直接寫出B點的對應點的坐標；
②求FD長度的取值范圍．
【答案】解：（1）∵直線與軸、軸分別交于，兩點，
∴當時，，所以，
當時，，所以，
∵拋物線經過，兩點，
∴，，解得，
∴拋物線解析式為．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直線BC的解析式為：，
設，則，
∴，
∴，
∴當時，的最大值為，
∴當M運動到 時，線段MN的長度最大為．
（3）①；
②連接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴當點在⊙B上運動時，點在以為圓心，半徑為的圓上，
∴作射線，與⊙交于，兩點，
情況一：當交點為時，為最小值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
情況二：當交點為時，為最大值，
即，
已知，，，
∴，，
∴在中， ，
即，
∴；
綜上．
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式；坐標系中的兩點距離公式；圓與函數的綜合；二次函數-線段周長問題
【解析】【解答】（3）①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【分析】（1）根據坐標軸上點的坐標特征可得，，再根據待定系數法將點A，C坐標代入拋物線解析式即可求出答案.
（2）根據x軸上點的縱坐標特征可得，求出直線BC的解析式為：，設，則，根據l兩點間距離可得，結合二次函數性質即可求出答案.
（3）①將線段AB繞A點順時針旋轉90°，根據旋轉性質即可求出答案.
②根據全等三角形判定定理可得，則，即當點在⊙B上運動時，點在以為圓心，半徑為的圓上，作射線，與⊙交于，兩點，分情況討論：當交點為時，為最小值，即，根據邊之間的關系可得AF，再根據勾股定理即可求出答案；當交點為時，為最大值，已知，，，根據邊之間的關系可得AF，再根據勾股定理即可求出答案；
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