資源簡介

浙江省舟山市定海二中教育集團2025年中考三模數學試題
一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分．請選出各題中唯一的正確選項，不選、多選、錯選，均不得分）
1．（2025·定海模擬）下列說法正確的是（　　）
A．2025的相反數是
B．2025的倒數是
C．算術平方根等于它本身的數是0和1
D．絕對值等于相反數的數是0
【答案】C
【知識點】有理數的倒數；相反數的意義與性質；絕對值的概念與意義；算術平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反數是-2025，原選項錯誤，不符合題意；
B、2025的倒數是，原選項錯誤，不符合題意；
C、算術平方根等于它本身的數是0和1，正確，符合題意；
D、絕對值等于相反數的數是非正數，選項錯誤，不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據相反數，倒數，平方根，絕對值的相關概念及計算判定即可.
2．（2025·定海模擬）如圖是由兩個圓柱組成的幾何體，其主視圖是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：A、此平面圖形是該幾何體的主視圖，故A符合題意；
B、此平面圖形是該幾何體的俯視圖，故B不符合題意；
C、D均不是該圖形的三視圖，故C、D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】由主視圖是從物體的正前方觀察得到的視圖可得答案.
3．（2025·定海模擬）2025年全國兩會順利召開，在政府工作報告中提到，2024年糧食產量首次躍上1.4萬億斤新臺階、畝產提升10.1斤．將1400000000000用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案為：B.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.
4．（2025·定海模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】單項式乘單項式；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、與不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用只有同類型才能合并，可對A進行判斷；利用完全平方公式可對B進行判斷；利用冪的乘方法則可對C進行判斷；利用單項式乘單項式法則可對D進行判斷.
5．（2025·定海模擬）已知不等式組有解，則a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：∵不等式組有解，
∴
∴a的取值范圍是．
故答案為：A．
【分析】由不等式組有解可得，再利用不等式組取解集的方法“小大大小中間找”確定a的范圍即可．
6．（2025·定海模擬）據網絡平臺數據，截至2025年5月5日，電影《哪吒之魔童鬧海》總票房突破158億元，排名全球電影票房榜第五，則（　　）．
A．想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇全面調查
B．想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查
C．隨機抽一個學生，看過《哪吒》是必然事件
D．隨機抽一個學生，看過《哪吒》是不可能事件
【答案】B
【知識點】全面調查與抽樣調查；事件的分類
【解析】【解答】解：A.想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查，則不符合題意，
B.想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查，則符合題意，
C.隨機抽一個學生，看過《哪吒》是隨機事件，則不符合題意，
D.隨機抽一個學生，看過《哪吒》是隨機事件，則不符合題意，
故答案為：B.
【分析】事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的；在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件.
7．（2025·定海模擬）如圖，在平面直角坐標系中，如果點的位置用表示，點的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：根據題意，建立平面直角坐標系如下圖：
∴表示的位置是點．
故答案為：A．
【分析】根據點和點N的位置坐標可以建立滿足題意的平面直角坐標系，即可確定對應的點．
8．（2025·定海模擬）月球車工作時所需的電能都是由太陽能電池板提供的．當太陽光線垂直照射在太陽光板上時，接收的太陽光能最多，某一時刻太陽光的照射角度如圖所示，如果要使此時接收的太陽光能最多，那么應將太陽光板繞支點順時針旋轉的最小角度為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：將太陽光板繞支點P順時針旋轉到位置時，太陽光，，
，，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】利用垂直的定義得，同時可證，利用平行線的性質得到的度數，進而求出的度數.
9．（2025·定海模擬）如圖，已知，分別是反比例函數與，且軸，點的坐標為，分別過點，作軸于點，軸于點．若四邊形的面積為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義
【解析】【解答】解：如圖，延長交軸于點，
∵點的坐標為在反比例函數上，
∴，
∵軸，軸，軸，
∴軸，
∴，
∴四邊形、四邊形、四邊形均是矩形，
∵點在反比例函數圖象上，點P在反比例函數圖象上，
∴，
∵四邊形的面積為，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】延長交軸于點，將點P的坐標代入可求出k1的值，利用矩形的判定可證四邊形，四邊形，四邊形均是矩形，再利用反比例函數系數的幾何意義推出，最后求出符合題意的的值.
10．（2025·定海模擬）如圖，正方形的對角線、相交于點，且，正方形的頂點與點重合，邊與重合，將正方形繞點順時針旋轉，與邊交于點，與邊交于點，連接交于點，在整個運動過程中，則點經過的路徑長是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知識點】正方形的判定與性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-ASA；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖，取中點，
∵正方形的對角線、相交于點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵當 正方形繞點順時針旋轉 時，，
∴此時，
又，，
四邊形是正方形，
，即點G與點H重合，
，
；
點是與的交點，是定線段，，
點G在線段上運動，
∴在整個運動過程中，
當與重合，點G，點E與點C重合，有最大值，
當時，點G與點H重合，有最小值，
當邊與重合，點G，點F與點C重合，有最大值，
點G在整個運動過程中，由點C運動到點H，再由點H運動到點C，
點經過的路徑長是，
點經過的路徑長是，
故答案為：A．
【分析】取中點，利用正方形的性質證明，得到，當時，易證此時四邊形是正方形，此時，即點G與點H重合，有最小值，利用正方形的性質求出；由點是與的交點，是定線段，得到點G在線段上運動，在整個運動過程中，當邊與重合，點G，點E與點C重合，當時，點G與點H重合，當邊與重合，點G，點F與點C重合，故點G在整個運動過程中，由點C運動到點H，再由點H運動到點C，即點經過的路徑長是，即可得出結果．
二、填空題（本題有6小題，每題3分，共18分）
11．（2025·定海模擬）因式分解：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案為：x(x-2025).
【分析】提取公因式x進行因式分解即可.
12．（2025·定海模擬）已知是關于，的二元一次方程組的一組解，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：∵是關于，的二元一次方程組的一組解，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【分析】把代入得出m和n的值，代入即可得出答案.
13．（2025·定海模擬）如圖，內接于，，點在上，平分．若，則　 　．
【答案】55
【知識點】垂徑定理；圓內接四邊形的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：如圖所示，設交于點，連接，則四邊形是圓的內接四邊形，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴∠AED=∠BED，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為： ．
【分析】如圖所示，設交于點，連接，則四邊形是圓的內接四邊形，根據等邊對等角得∠C的度數，再根據圓內接四邊形的性質得到，根據垂徑定理可推出，即可求解．
14．（2025·定海模擬）騎自行車可以放松心情，是一種非常好的“黃金有氧運動”．騎行過程中，如果車座高度不合適，會使騎行者踩踏費力，甚至造成膝蓋磨損．有一種測量方法：雙腿（不穿鞋）站立，測量檔部離地面的距離（單位：），得出的數據乘0.883就是相應的騎行時最合適的長度（由長度為的立管和可調節的坐桿組成，如圖所示）．若設長度最合適時坐桿的長度為，則與之間的關系式為　 　．
【答案】
【知識點】一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故答案為：．
【分析】由可得．
15．（2025·定海模擬）已知，滿足，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】二次根式有無意義的條件；絕對值的非負性；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵有意義，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案為：．
【分析】利用二次根式被開方數的非負性可計算出a的值，再將a的值代入 求出b的值，最后將a、b代入代數式，即可求解．
16．（2025·定海模擬）數學興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形．這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫隙，且對角互補的四邊形．若，則的值為　 　．
【答案】
【知識點】七巧板與拼圖制作；三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：和都是等腰直角三角形，
，
四邊形是對角互補的四邊形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
和都是直角三角形，
，
．
，
設，則，
，
，解得：，
．
故答案為：.
【分析】根據題意利用等腰三角形性質得，可推出，即．進而推出，再由相似三角形判定得，可得，再按比例設未知數，進而利用相似三角形性質即可求的值 ．
三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，第24題12分，共72分）
17．（2025·定海模擬）計算：．
【答案】解：原式
．
【知識點】零指數冪；負整數指數冪；二次根式的混合運算；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】先同時計算非零實數的零指數冪、特殊角的三角函數值，負整數指數冪，和二次根式的乘法運算，然后再進行加減計算即可得出答案.
18．（2025·定海模擬）已知，求代數式的值．
【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值-整體代入
【解析】【分析】先將分式化簡，然后再根據變形得的值，代入求解即可．
19．（2025·定海模擬）如圖，在中，交的延長線于點E，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）F為的中點，連接，．已知，，求的長．
【答案】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
，
∴四邊形是矩形．
（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，
，
為的中點，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質；矩形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再結合∠AEB=90°，證出四邊形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的長即可.
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
，
∴四邊形是矩形．
（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，
，
為的中點，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．（2025·定海模擬）某校舉辦了數學知識競賽，從七、八年級各隨機抽取了10名學生的競賽成績（百分制），進行整理，描述和分析如下：成績得分用表示（為整數）共分成四組：．；．；．；．．
七年級10名學生的成績是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年級10名學生的成績在組中的數據是：90，94，94．
抽取的七、八年級學生成績統計表：
年級 平均數 中位數 眾數
七年級
八年級 92 94 100
根據以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出圖表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中數據可推出，八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有______人．
（3）若八年級參加競賽的學生共100人，估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數．
【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數為人．
【知識點】平均數及其計算；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出現次數最多的為，
∴；
故答案為：；
（2）∵八年級學生成績的中位數為：94，
∴第5個和第6個數據均為，
又∵八年級10名學生的成績在組中的數據為90，94，94，
∴八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有（人）；
故答案為：4．
【分析】（1）根據中位數，眾數和平均數的概念進行求解即可；
（2）根據中位數進行判斷即可；
（3）利用樣本估算總體的思想進行求解即可．
（1）解：；
；
出現次數最多的為，
∴；
故答案為：；
（2）∵八年級學生成績的中位數為：94，
得到第5個和第6個均為，
而八年級10名學生的成績在組中的數據為90，94，94，
故八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有（人）；
故答案為：4．
（3）（人）；
答：估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數為人．
21．（2025·定海模擬）如圖1所示是一種簡易手機支架，由底座、支撐板和托架組成，將手機放置在托架上，圖2是其簡易結構圖．現測量托架長長，支撐板長，可繞點轉動，可繞點轉動．
（1）若水平視線與的夾角，，求的度數；
（2）當，時，求點到底座的距離．（結果精確到0.1，參考：）
【答案】（1）如圖，過點作，
，
又，
，
，
；
（2）過點作，過點作于，交于，作于，
，
∴∠HKL=∠ALK=∠AHK=90°
∴四邊形ALKH是矩形，
在中，，
，
，
(cm)，
，
，
，
在中．，
(cm)，
(cm)，
cm.
答：點到底座的距離為．
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【分析】（1）過作，根據平行線的性質和豬蹄模型可推出，即可求的度數；
（2）過點作，過點作于，交于，作于，利用有三個直角的四邊形是矩形可推出四邊形ALKH是矩形，可得，由30°的直角邊等于斜邊的一半，可求得，由，求得，在中．根據，
（1）解：過作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：過點作，過點作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：點到底座的距離為．
22．（2025·定海模擬）閱讀理解：
定義：若分式和分式滿足（為正整數），則稱是的“差分式”．
例如：我們稱是的“差分式”，
解答下列問題：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代數式表示）；
②若 的值為正整數，為正整數，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中為正數），求的值．
【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值為正整數，為正整數，
∴當時，，則；
當時，，則；
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，不符合題意，舍去；
∴的值為或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵為正數，
∴，
∴的值為．
【知識點】分式的加減法；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案為：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案為：.
【分析】（1）根據材料提示進行計算即可求解；
（2）根據“差分式”的計算方法可得，利用分式的混合運算即可求出C；
（3）根據“差分式”的計算方法可得，利用分式的混合運算，乘法公式的運算可得，結合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案為：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，為正整數，
∴當時，，則；
當時，，則；
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，不符合題意，舍去；
∴的值為或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵為正數，
∴，
∴的值為．
23．（2025·定海模擬）項目式學習
背景 我國是水資源最為緊缺的國家之一，然而在日常生活中，水龍頭漏水造成水資源浪費現象仍較為突出．某校園內有一個漏水的水龍頭，數學活動小組要探究其漏水造成的浪費情況．同學們用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面接水，探究量筒中的總水量（毫升）是否為時間（分鐘）的函數？
素材 每隔1分鐘記錄量筒中的總水量，但因操作延誤，開始計時時量筒中已有少量水，因而得到如下表的一組數據： 時間（分鐘）12345…總水量（毫升）1015202530…
問題探究和問題解決
任務1 請在下圖的平面直角坐標系內描出上表每對數據所對應的點．
任務2 請根據上表中的數據和所描的點，判斷和（、為常數）哪一個能正確反映總水量與時間的函數關系？請求出這個關系式．
任務3 ①同學們繼續觀察，當量簡中的水剛好有65毫升時，所需時間是多少分鐘？ ②照這個漏水速度，請預測此水龍頭1小時會浪費多少毫升水？ ③請你根據以上的探索和結論，提一條關于水龍頭節水管理方面的建議．
【答案】解：任務1：如圖，描點如下：
任務2：由數據和畫圖可知（k，b為常數）才能正確反映總水量y與時間t的函數關系；
點和都在此函數的圖象上
解得：，
；
任務3：①當時，則
解得：，
當量筒中的水剛好有65毫升時，所需時間為12分鐘；
②每分鐘浪費的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分鐘浪費的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龍頭1小時會浪費300毫升水；
③建議水龍頭要定期檢查，對漏水的水龍頭要及時更換．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；描點法畫函數圖象；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數的應用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數解析式是解題的關鍵．
任務1：根據表格數據描點即可；
任務2：根據上表中的數據和所描的點，（k、b為常數）能正確反映總水量y與時間t的函數關系；再利用待定系數法求解解析式即可；
任務3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分鐘浪費的水，再求60分鐘浪費的水；
③答案不唯一，合理即可．
24．（2025·定海模擬）如圖1，點在正方形的邊上．將線段繞點順時針旋轉得到線段．邊分別與相交于點．
（1）證明：．
（2）如圖2，連接，與線段分別相交于點．
①猜想與的數量關系，并說明理由；
②設正方形的邊長為，求線段的長（用字母和表示）．
【答案】（1）證明：∵正方形，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，，
∴，
∵，均為所對角，
∴點A、B、E、P四點共圓，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；結論得證.
②延長CB到點Q，使BQ=DH，連接AQ，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知識點】三角形全等及其性質；正方形的性質；旋轉的性質；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根據正方形的性質及各角之間的關系得出，再由相似三角形的判定即可證明；
（2）①由正方形的性質得∠CBD=45°，再由旋轉的性質得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圓內接四邊形的判定可得點A、B、E、P四點共圓，確定，再由等腰直角三角形的性質即可得出結果；
（2）②延長CB到點Q，使BQ=DH，連接AQ，先利用SAS證明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可證明∠QAE=∠HAE.再利用SAS證明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.證明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的長.
（1）證明：∵正方形，
∴，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根據題意得：，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，，
∴，
∵，均為所對角，
∴點A、B、E、P四點共圓，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的邊長為，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省舟山市定海二中教育集團2025年中考三模數學試題
一、選擇題（本題有10小題，每題3分，共30分．請選出各題中唯一的正確選項，不選、多選、錯選，均不得分）
1．（2025·定海模擬）下列說法正確的是（　　）
A．2025的相反數是
B．2025的倒數是
C．算術平方根等于它本身的數是0和1
D．絕對值等于相反數的數是0
2．（2025·定海模擬）如圖是由兩個圓柱組成的幾何體，其主視圖是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·定海模擬）2025年全國兩會順利召開，在政府工作報告中提到，2024年糧食產量首次躍上1.4萬億斤新臺階、畝產提升10.1斤．將1400000000000用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·定海模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·定海模擬）已知不等式組有解，則a的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·定海模擬）據網絡平臺數據，截至2025年5月5日，電影《哪吒之魔童鬧海》總票房突破158億元，排名全球電影票房榜第五，則（　　）．
A．想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇全面調查
B．想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查
C．隨機抽一個學生，看過《哪吒》是必然事件
D．隨機抽一個學生，看過《哪吒》是不可能事件
7．（2025·定海模擬）如圖，在平面直角坐標系中，如果點的位置用表示，點的位置用表示，那么表示的位置是（　　）
A．點 B．點 C．點 D．點
8．（2025·定海模擬）月球車工作時所需的電能都是由太陽能電池板提供的．當太陽光線垂直照射在太陽光板上時，接收的太陽光能最多，某一時刻太陽光的照射角度如圖所示，如果要使此時接收的太陽光能最多，那么應將太陽光板繞支點順時針旋轉的最小角度為（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·定海模擬）如圖，已知，分別是反比例函數與，且軸，點的坐標為，分別過點，作軸于點，軸于點．若四邊形的面積為，則的值為（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·定海模擬）如圖，正方形的對角線、相交于點，且，正方形的頂點與點重合，邊與重合，將正方形繞點順時針旋轉，與邊交于點，與邊交于點，連接交于點，在整個運動過程中，則點經過的路徑長是（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空題（本題有6小題，每題3分，共18分）
11．（2025·定海模擬）因式分解：　 　．
12．（2025·定海模擬）已知是關于，的二元一次方程組的一組解，則的值為　 　．
13．（2025·定海模擬）如圖，內接于，，點在上，平分．若，則　 　．
14．（2025·定海模擬）騎自行車可以放松心情，是一種非常好的“黃金有氧運動”．騎行過程中，如果車座高度不合適，會使騎行者踩踏費力，甚至造成膝蓋磨損．有一種測量方法：雙腿（不穿鞋）站立，測量檔部離地面的距離（單位：），得出的數據乘0.883就是相應的騎行時最合適的長度（由長度為的立管和可調節的坐桿組成，如圖所示）．若設長度最合適時坐桿的長度為，則與之間的關系式為　 　．
15．（2025·定海模擬）已知，滿足，則的值為　 　．
16．（2025·定海模擬）數學興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰和等腰，③和④分別是和，⑤是正方形．這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫隙，且對角互補的四邊形．若，則的值為　 　．
三、解答題（本題有8小題，第17～21題每題8分，第22、23題每題10分，第24題12分，第24題12分，共72分）
17．（2025·定海模擬）計算：．
18．（2025·定海模擬）已知，求代數式的值．
19．（2025·定海模擬）如圖，在中，交的延長線于點E，．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）F為的中點，連接，．已知，，求的長．
20．（2025·定海模擬）某校舉辦了數學知識競賽，從七、八年級各隨機抽取了10名學生的競賽成績（百分制），進行整理，描述和分析如下：成績得分用表示（為整數）共分成四組：．；．；．；．．
七年級10名學生的成績是：82，86，86，88，90，96，96，96，100，100．
八年級10名學生的成績在組中的數據是：90，94，94．
抽取的七、八年級學生成績統計表：
年級 平均數 中位數 眾數
七年級
八年級 92 94 100
根據以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出圖表中，的值：______，______，______．
（2）由表格中數據可推出，八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有______人．
（3）若八年級參加競賽的學生共100人，估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數．
21．（2025·定海模擬）如圖1所示是一種簡易手機支架，由底座、支撐板和托架組成，將手機放置在托架上，圖2是其簡易結構圖．現測量托架長長，支撐板長，可繞點轉動，可繞點轉動．
（1）若水平視線與的夾角，，求的度數；
（2）當，時，求點到底座的距離．（結果精確到0.1，參考：）
22．（2025·定海模擬）閱讀理解：
定義：若分式和分式滿足（為正整數），則稱是的“差分式”．
例如：我們稱是的“差分式”，
解答下列問題：
（1）分式是分式的“ 差分式”．
（2）分式 是分式的“差分式”．
① （含的代數式表示）；
②若 的值為正整數，為正整數，求的值．
（3）已知，分式是的“差分式”（其中為正數），求的值．
23．（2025·定海模擬）項目式學習
背景 我國是水資源最為緊缺的國家之一，然而在日常生活中，水龍頭漏水造成水資源浪費現象仍較為突出．某校園內有一個漏水的水龍頭，數學活動小組要探究其漏水造成的浪費情況．同學們用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面接水，探究量筒中的總水量（毫升）是否為時間（分鐘）的函數？
素材 每隔1分鐘記錄量筒中的總水量，但因操作延誤，開始計時時量筒中已有少量水，因而得到如下表的一組數據： 時間（分鐘）12345…總水量（毫升）1015202530…
問題探究和問題解決
任務1 請在下圖的平面直角坐標系內描出上表每對數據所對應的點．
任務2 請根據上表中的數據和所描的點，判斷和（、為常數）哪一個能正確反映總水量與時間的函數關系？請求出這個關系式．
任務3 ①同學們繼續觀察，當量簡中的水剛好有65毫升時，所需時間是多少分鐘？ ②照這個漏水速度，請預測此水龍頭1小時會浪費多少毫升水？ ③請你根據以上的探索和結論，提一條關于水龍頭節水管理方面的建議．
24．（2025·定海模擬）如圖1，點在正方形的邊上．將線段繞點順時針旋轉得到線段．邊分別與相交于點．
（1）證明：．
（2）如圖2，連接，與線段分別相交于點．
①猜想與的數量關系，并說明理由；
②設正方形的邊長為，求線段的長（用字母和表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】有理數的倒數；相反數的意義與性質；絕對值的概念與意義；算術平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：A、2025的相反數是-2025，原選項錯誤，不符合題意；
B、2025的倒數是，原選項錯誤，不符合題意；
C、算術平方根等于它本身的數是0和1，正確，符合題意；
D、絕對值等于相反數的數是非正數，選項錯誤，不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據相反數，倒數，平方根，絕對值的相關概念及計算判定即可.
2．【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：A、此平面圖形是該幾何體的主視圖，故A符合題意；
B、此平面圖形是該幾何體的俯視圖，故B不符合題意；
C、D均不是該圖形的三視圖，故C、D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】由主視圖是從物體的正前方觀察得到的視圖可得答案.
3．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：1400000000000=1.4×1012，
故答案為：B.
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.
4．【答案】D
【知識點】單項式乘單項式；完全平方公式及運用；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】解：A、與不是同類項，不能合并，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故答案為：D．
【分析】利用只有同類型才能合并，可對A進行判斷；利用完全平方公式可對B進行判斷；利用冪的乘方法則可對C進行判斷；利用單項式乘單項式法則可對D進行判斷.
5．【答案】A
【知識點】一元一次不等式組的含參問題
【解析】【解答】解：∵不等式組有解，
∴
∴a的取值范圍是．
故答案為：A．
【分析】由不等式組有解可得，再利用不等式組取解集的方法“小大大小中間找”確定a的范圍即可．
6．【答案】B
【知識點】全面調查與抽樣調查；事件的分類
【解析】【解答】解：A.想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查，則不符合題意，
B.想要調查全校師生有多少人看過《哪吒》，選擇抽樣調查，則符合題意，
C.隨機抽一個學生，看過《哪吒》是隨機事件，則不符合題意，
D.隨機抽一個學生，看過《哪吒》是隨機事件，則不符合題意，
故答案為：B.
【分析】事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的；在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件.
7．【答案】A
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：根據題意，建立平面直角坐標系如下圖：
∴表示的位置是點．
故答案為：A．
【分析】根據點和點N的位置坐標可以建立滿足題意的平面直角坐標系，即可確定對應的點．
8．【答案】D
【知識點】兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：將太陽光板繞支點P順時針旋轉到位置時，太陽光，，
，，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】利用垂直的定義得，同時可證，利用平行線的性質得到的度數，進而求出的度數.
9．【答案】D
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義
【解析】【解答】解：如圖，延長交軸于點，
∵點的坐標為在反比例函數上，
∴，
∵軸，軸，軸，
∴軸，
∴，
∴四邊形、四邊形、四邊形均是矩形，
∵點在反比例函數圖象上，點P在反比例函數圖象上，
∴，
∵四邊形的面積為，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案為：．
【分析】延長交軸于點，將點P的坐標代入可求出k1的值，利用矩形的判定可證四邊形，四邊形，四邊形均是矩形，再利用反比例函數系數的幾何意義推出，最后求出符合題意的的值.
10．【答案】A
【知識點】正方形的判定與性質；旋轉的性質；三角形全等的判定-ASA；四邊形-動點問題
【解析】【解答】解：如圖，取中點，
∵正方形的對角線、相交于點，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∵當 正方形繞點順時針旋轉 時，，
∴此時，
又，，
四邊形是正方形，
，即點G與點H重合，
，
；
點是與的交點，是定線段，，
點G在線段上運動，
∴在整個運動過程中，
當與重合，點G，點E與點C重合，有最大值，
當時，點G與點H重合，有最小值，
當邊與重合，點G，點F與點C重合，有最大值，
點G在整個運動過程中，由點C運動到點H，再由點H運動到點C，
點經過的路徑長是，
點經過的路徑長是，
故答案為：A．
【分析】取中點，利用正方形的性質證明，得到，當時，易證此時四邊形是正方形，此時，即點G與點H重合，有最小值，利用正方形的性質求出；由點是與的交點，是定線段，得到點G在線段上運動，在整個運動過程中，當邊與重合，點G，點E與點C重合，當時，點G與點H重合，當邊與重合，點G，點F與點C重合，故點G在整個運動過程中，由點C運動到點H，再由點H運動到點C，即點經過的路徑長是，即可得出結果．
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=x(x-2025)，
故答案為：x(x-2025).
【分析】提取公因式x進行因式分解即可.
12．【答案】
【知識點】已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】解：∵是關于，的二元一次方程組的一組解，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【分析】把代入得出m和n的值，代入即可得出答案.
13．【答案】55
【知識點】垂徑定理；圓內接四邊形的性質；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中對應角的關系；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：如圖所示，設交于點，連接，則四邊形是圓的內接四邊形，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴∠AED=∠BED，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案為： ．
【分析】如圖所示，設交于點，連接，則四邊形是圓的內接四邊形，根據等邊對等角得∠C的度數，再根據圓內接四邊形的性質得到，根據垂徑定理可推出，即可求解．
14．【答案】
【知識點】一次函數的其他應用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故答案為：．
【分析】由可得．
15．【答案】
【知識點】二次根式有無意義的條件；絕對值的非負性；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵有意義，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
故答案為：．
【分析】利用二次根式被開方數的非負性可計算出a的值，再將a的值代入 求出b的值，最后將a、b代入代數式，即可求解．
16．【答案】
【知識點】七巧板與拼圖制作；三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：和都是等腰直角三角形，
，
四邊形是對角互補的四邊形，
，
，即．
是直角三角形，
．
；
和都是直角三角形，
，
．
，
設，則，
，
，解得：，
．
故答案為：.
【分析】根據題意利用等腰三角形性質得，可推出，即．進而推出，再由相似三角形判定得，可得，再按比例設未知數，進而利用相似三角形性質即可求的值 ．
17．【答案】解：原式
．
【知識點】零指數冪；負整數指數冪；二次根式的混合運算；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】先同時計算非零實數的零指數冪、特殊角的三角函數值，負整數指數冪，和二次根式的乘法運算，然后再進行加減計算即可得出答案.
18．【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知識點】分式的化簡求值-整體代入
【解析】【分析】先將分式化簡，然后再根據變形得的值，代入求解即可．
19．【答案】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
，
∴四邊形是矩形．
（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，
，
為的中點，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知識點】勾股定理；平行四邊形的判定與性質；矩形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【分析】（1）先證出四邊形是平行四邊形，再結合∠AEB=90°，證出四邊形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的長即可.
（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
∴四邊形是平行四邊形，
又，
，
∴四邊形是矩形．
（2）解：由（1）得四邊形是矩形，，
，
為的中點，
，
∵
，
由勾股定理得．
20．【答案】（1）
（2）4
（3）（人）；
答：估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數為人．
【知識點】平均數及其計算；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）；
；
∵出現次數最多的為，
∴；
故答案為：；
（2）∵八年級學生成績的中位數為：94，
∴第5個和第6個數據均為，
又∵八年級10名學生的成績在組中的數據為90，94，94，
∴八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有（人）；
故答案為：4．
【分析】（1）根據中位數，眾數和平均數的概念進行求解即可；
（2）根據中位數進行判斷即可；
（3）利用樣本估算總體的思想進行求解即可．
（1）解：；
；
出現次數最多的為，
∴；
故答案為：；
（2）∵八年級學生成績的中位數為：94，
得到第5個和第6個均為，
而八年級10名學生的成績在組中的數據為90，94，94，
故八年級這10名同學中，成績在組（）的人數有（人）；
故答案為：4．
（3）（人）；
答：估計八年級參加競賽成績在組（）的學生人數為人．
21．【答案】（1）如圖，過點作，
，
又，
，
，
；
（2）過點作，過點作于，交于，作于，
，
∴∠HKL=∠ALK=∠AHK=90°
∴四邊形ALKH是矩形，
在中，，
，
，
(cm)，
，
，
，
在中．，
(cm)，
(cm)，
cm.
答：點到底座的距離為．
【知識點】解直角三角形的其他實際應用
【解析】【分析】（1）過作，根據平行線的性質和豬蹄模型可推出，即可求的度數；
（2）過點作，過點作于，交于，作于，利用有三個直角的四邊形是矩形可推出四邊形ALKH是矩形，可得，由30°的直角邊等于斜邊的一半，可求得，由，求得，在中．根據，
（1）解：過作，
，
，
，
，
，
；
（2）解：過點作，過點作于，交于，作于，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
在中．，
，
．
答：點到底座的距離為．
22．【答案】（1）
（2）①；
②由①得，
∴，
又∵ 的值為正整數，為正整數，
∴當時，，則；
當時，，則；
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，不符合題意，舍去；
∴的值為或；
（3）∵分式是的“差分式”
∴，
，且，
∴，
∵為正數，
∴，
∴的值為．
【知識點】分式的加減法；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：（1），
故答案為：；
（2）①∵分式 是分式的“差分式”
∴，
整理，得，
解得，；
故答案為：.
【分析】（1）根據材料提示進行計算即可求解；
（2）根據“差分式”的計算方法可得，利用分式的混合運算即可求出C；
（3）根據“差分式”的計算方法可得，利用分式的混合運算，乘法公式的運算可得，結合，由此即可求解．
（1）解：，
故答案為：；
（2）解：①，
∴，
解得，；
②，為正整數，
∴當時，，則；
當時，，則；
當時，，不符合題意，舍去；
當時，，不符合題意，舍去；
∴的值為或；
（3）解：，
，且，
∴，
∵為正數，
∴，
∴的值為．
23．【答案】解：任務1：如圖，描點如下：
任務2：由數據和畫圖可知（k，b為常數）才能正確反映總水量y與時間t的函數關系；
點和都在此函數的圖象上
解得：，
；
任務3：①當時，則
解得：，
當量筒中的水剛好有65毫升時，所需時間為12分鐘；
②每分鐘浪費的水（15-10）÷（2-1）=5（毫升），60分鐘浪費的水5×60=300（毫升）
照此漏水速度，此水龍頭1小時會浪費300毫升水；
③建議水龍頭要定期檢查，對漏水的水龍頭要及時更換．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；描點法畫函數圖象；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【分析】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數的應用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數解析式是解題的關鍵．
任務1：根據表格數據描點即可；
任務2：根據上表中的數據和所描的點，（k、b為常數）能正確反映總水量y與時間t的函數關系；再利用待定系數法求解解析式即可；
任務3：①把代入解析式即可得到答案；
②先求出每分鐘浪費的水，再求60分鐘浪費的水；
③答案不唯一，合理即可．
24．【答案】（1）證明：∵正方形，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①，理由如下；
①∵正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，，
∴，
∵，均為所對角，
∴點A、B、E、P四點共圓，
∵∠ABC=90°，
∴，
∴；結論得證.
②延長CB到點Q，使BQ=DH，連接AQ，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABE=∠ADH=90°，AB//CD，
∴∠ABQ=90°=∠ADH，
∴△ABQ≌△ADH (SAS)，
∴∠QAB=∠HAD，AQ=AH.
由①得，
∴∠QAB+∠BAE=∠HAD+∠BAE=90°－∠EAH=45°，
∴∠QAE=∠HAE.
又∵AQ=AH，AE=AE，
∴△AEQ≌△AEH (SAS)，
∴EH=QE.
∵AB//CD，
∴△DHP∽△BAP，
∴，
∴，
∴EH=QE=QB+BE=DH+BE，
∴EH=3λ+a.
【知識點】三角形全等及其性質；正方形的性質；旋轉的性質；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根據正方形的性質及各角之間的關系得出，再由相似三角形的判定即可證明；
（2）①由正方形的性質得∠CBD=45°，再由旋轉的性質得△AEF是等腰直角三角形，于是可得，利用圓內接四邊形的判定可得點A、B、E、P四點共圓，確定，再由等腰直角三角形的性質即可得出結果；
（2）②延長CB到點Q，使BQ=DH，連接AQ，先利用SAS證明△ABQ≌△ADH，可得∠QAB=∠HAD，AQ=AH，于是可證明∠QAE=∠HAE.再利用SAS證明△AEQ≌△AEH，可得EH=QE.證明△DHP∽△BAP，可得，于是可利用EH=QE=DH+BE，求得EH的長.
（1）證明：∵正方形，
∴，
∴，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①根據題意得：，
∵將線段繞點順時針旋轉得到線段，，
∴，
∵，均為所對角，
∴點A、B、E、P四點共圓，
∵，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∵正方形的邊長為，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
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