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7.1.4 隨機事件的運算
第七章 概率
1.通過具體的實例理解交事件(或積事件)、并事件(或和事件)、互斥事件和對立事件的概念.
2.能結合實例進行隨機事件的交、并運算.
在試驗中，一些隨機事件往往存在一定的聯系，給定兩個隨機事件，它們可能具有相同的樣本點，也可能沒有，也可能它們的樣本點加起來就是整個樣本空間，不同的情況下，兩個隨機事件就具有不同的關系.
問題1:在試驗E“拋擲一枚骰子，觀察骰子擲出的點數”中，它的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}.設事件A表示“擲出的點數為偶數”，事件B表示“擲出的點數大于4”，事件C表示“擲出的點數為6”，則C與事件A，B有何關系？
在試驗中，事件A，B都發生，則擲出的點數既是偶數又大于4，因此事件C發生；
反之，若在一次試驗中事件C發生，因為6是偶數又大于4，所以事件A，B都發生.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={6}
A∩B={6}=C
由事件A與B都發生所構成的事件，稱為事件A與B的交事件(或積事件)，記作A∩B(或AB).事件A∩B是由事件A和B所共有的樣本點構成的集合.
事件A與B的交事件可用Venn圖(如下圖)表示:
A
B
A∩B
概念生成
問題2:在試驗E“拋擲一枚骰子，觀察骰子擲出的點數”中，設事件A表示“擲出的點:數為偶數”，事件B表示“擲出的點數大于4”，事件C表示“擲出的點數為2，4，5，6其中之一”，則事件C與事件A，B有何關系？
若事件A，B至少有一個發生，則擲出的點數要么是偶數，要么大于4，因此事件C發生；
反之，若事件C發生，則事件A，B至少有一個發生.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={2，4，5，6}
A∪B={2，4，5，6}=C
概念生成
一般地，由事件A，B至少有一個發生(即A發生，或B發生，或A，B都發生)所構成的事件，稱為事件A，B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A+B)，事件A，B的并事件是由事件A或B所包含的樣本點構成的集合.
事件A，B的并事件可用Venn圖表示:
A∪B
B
A
例1 擲一枚均勻骰子，下列事件:
A表示“出現奇數點”，B表示“出現偶數點”，
C表示“點數小于3”，D表示“點數大于2”，E表示“點數是3的倍數”.
求:(1)A∩B，B∩C;(2)A∪B，B∪C;(3)BDE.
解:試驗的樣本空間為Ω={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2}，D={3，4，5，6}，E={3，6}.
(1)A∩B= ，B∩C={2}.
(2)A∪B={1，2，3，4，5，6}，B∪C={1，2，4，6}.
(3)BDE={6}.
問題3:在試驗E“拋擲一枚骰子，觀察骰子擲出的點數”中，設事件A表示“擲出的點數為偶數”，事件B表示“擲出的點數為5”.則事件A與B能否同時發生？
若事件A發生，則擲出的點數必為2，4，6之ー，事件B不發生；反之，若事件B發生，則擲出的點數為5，事件A不發生.
因此，事件A，B不能同時發生.事件A，B不能同時發生，則它們沒有公共的樣本點，即它們的交集是空集.
A={2，4，6}，B={5，6}，C={6}
A∩B=
事件A與B不能同時發生
概念生成
一般地，不能同時發生的兩個事件A與B(A∩B= )稱為互斥事件.即A，B同時發生這一事件是不可能事件.
互斥事件可用Venn圖表示:
A
B
Ω
A∩B= ，
此時A，B必有一個發生，但不可能同時發生，因此它們是互斥事件.
A∪B={1，2，3，4，5，6}=Ω
思考:拋擲一枚骰子，A=“擲出的點數為偶數”={2，4，6}，B=“擲出的點數為奇數”={1，3，5}，求A∩B，A∪B，此時A，B是什么關系
概念生成
給定事件A，A不發生記為事件B.
每次試驗要么A發生，要么A不發生(即B發生)，故事件A與B不可能同時發生，即A∪B=Ω，A∩B= .
若A∩B= ，且A∪B=Ω，則稱事件A與B互為對立事件.
事件A的對立事件記作.
對立事件可用Venn圖表示:
A
Ω
討論：互斥事件和對立事件有什么關系 必然事件和不可能事件是互斥事件嗎
對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件;
必然事件和不可能事件是互斥事件.
例2 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽，判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判斷它們是不是對立事件.
(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”與“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”與“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
解:從3名男生和2名女生中任選2人有三種結果:2名男生，2名女生，1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女，與“恰有2名男生”不能同時發生，它們是互斥事件；
但是當選出的是2名女生時，該兩事件都不發生，所以它們不是對立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女兩種結果，與事件“全是男生”可能同時發生，所以它們不是互斥事件.
(1)“恰有1名男生”與“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”與“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”與“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”與“至少有1名女生”.
(3)“至少有1名男生”與“全是女生”不可能同時發生，所以它們互斥，由于它們必有一個發生，所以它們是對立事件.
(4)“至少有1名女生”包括1男1女與2名女生兩種結果，當選出的是1男1女時，“至少有1名男生”與“至少有1名女生”同時發生，所以它們不是互斥事件.
歸納總結
1.判斷事件是否互斥的兩個步驟
第一步，確定每個事件包含的結果；
第二步，確定是否有一個結果發生會意味著兩個事件都發生，若是，則兩個事件不互斥，否則就是互斥的．　
2.判斷事件是否對立的兩個步驟
第一步，判斷是互斥事件；
第二步，確定兩個事件必然有一個發生，否則只有互斥，但不對立．
例3 在試驗“連續拋擲一枚硬幣3次，觀察落地后正面、反面出現的情況”中，設事件A表示隨機事件“第一次出現正面”，事件B表示隨機事件“3次出現同一面”，事件C表示隨機事件“至少1次出現正面”．
(1)試用樣本點表示事件A∪B，A∩B，A∪C，A∩C；
(2)試用樣本點表示事件∪B，∩B，A∪，A∩；
(3)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件．
解:用H代表“出現正面”，用T代表“出現反面”．
Ω＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH，TTT}，
事件A＝{HHH，HHT，HTT，HTH}，事件B＝{HHH，TTT}，
事件C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}．
(1)試用樣本點表示事件A∪B，A∩B，A∪C，A∩C；
(2)試用樣本點表示事件∪B，∩B，A∪，A∩；
(3)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件．
(1)A∪B＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩B＝{HHH}，
A∪C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}，
A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}．
(2)∪B＝{THH，THT，TTH，TTT，HHH}，∩B＝{TTT}，
A∪＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩＝ .
(3)∵A∩B＝{HHH}≠ ，A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}≠ ，
B∩C＝{HHH}≠ ，
∴A與B不互斥，A與C不互斥，B與C不互斥．
1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若兩個事件是互斥事件，則這兩個事件是對立事件． (　　)
(2)若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件． (　　)
(3)事件A∪B是必然事件，則事件A和B是對立事件． (　　)
×
×
√
2.一個人打靶時連續射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶
C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶
3.一個人連續射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對立事件是(　　)
A．恰有一次擊中 B．三次都沒擊中
C．三次都擊中 D．至多擊中一次
A
D
事件的關系或運算 含義 符號表示
并事件(和事件)
交事件(積事件)
互斥(互不相容)
對立
A與B至少一個發生
A與B同時發生
A與B不能同時發生
A與B有且僅有一個發生

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