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(共22張PPT)
7.4 事件的獨立性
1.通過實例了解相互獨立事件的概念,明確相互獨立事件與互斥事件之間的區別.
2.掌握相互獨立事件概率的乘法公式.
3.學會用相互獨立事件概率的乘法公式解決實際問題.
思考下列兩個問題:
(1)積事件AB的含義是什么 怎樣用Venn圖表示積事件AB
(2)請從Venn圖上直觀判斷出P(AB)與P(A),P(B)的大小關系.
(1)事件A與事件B同時發生,即積事件AB的樣本點既在事件A中,也在事件B中.用Venn圖表示為:
(2)P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
探究1:在試驗E5“連續拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次擲出的點數”中，設事件A表示“第一次擲出1點”，事件B表示“第二次擲出1點”.
(1)試寫出試驗E5的樣本空間，并分別計算事件A，B發生的概率;
(2)A的發生與否對B發生的概率是否有影響 為什么
(3)事件AB的含義是什么 試探究P(A)，P(B)與P(AB)的關系.
探究2:在試驗E13“袋中有白球3個(編號為1，2，3)、黑球2個(編號為a，b)，這5個球除顏色外完全相同，從中有放回地摸球，連續摸兩次，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，設事件A表示“第一次摸出白球”，事件B表示“第二次摸出白球”.
(1)試寫出試驗E13的樣本空間，并分別計算事件A，B發生的概率；
(2)A的發生與否對B發生的概率是否有影響 為什么
(3)事件AB的含義是什么 試探究P(A)，P(B)與P(AB)的關系.
將探究1和探究2得到的結果填入下表中:
E5 E13
P(A)
P(B)
事件A的發生與否對事件B發生的概率是否有影響
P(AB)
P(A)P(B)
沒有影響
沒有影響
概念生成
事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫作相互獨立事件.
兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于這兩個事件發生的概率的積，即
P(AB)=P(A)P(B).
思考1：若事件A與事件B相互獨立，則事件A與事件B的對立事件相互獨立嗎 為什么
思考2：若事件A與事件B相互獨立，則事件A的對立事件與事件B相互獨立嗎 為什么
∵A=AB+A，AB、A互斥，
∴P(A)+P(AB)=P(A)，
∴P(A)=P(A)-P(AB)，
又P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()，
P(A)=P(A)P().
∴A與互斥，
同理與B互斥，與互斥.
歸納總結
相互獨立事件的性質：如果兩個事件相互獨立，那么把其中一個換成它的對立事件，這樣的兩個事件仍然相互獨立.
例1 判斷下列各對事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件．
(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現的點數為奇數”；事件N：“出現的點數為偶數”；
(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現偶數點”；事件B：“出現3點或6點”．
解:(1)∵二者不可能同時發生，∴M與N是互斥事件.
(2)樣本空間為Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B).
故事件A與B相互獨立．
當“出現6點”時，事件A，B可以同時發生，因此，A，B不是互斥事件．
歸納總結
兩個事件是否相互獨立的判斷:
(1)直接法：由事件本身的性質直接判定兩個事件發生是否相互影響;
(2)定義法：如果事件A，B同時發生的概率等于事件A發生的概率與事件B發生的概率的積，則事件A，B為相互獨立事件.
例2 甲、乙兩人各投籃一次，如果兩人投中的概率都是0.6，且兩人的投中結果相互獨立．求：
(1)兩人都投中的概率；
(2)恰有1人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
解：(1)設事件A表示“兩人都投中”，則；
(2)設事件B表示“恰有1人投中”，
則；
例2 甲、乙兩人各投籃一次，如果兩人投中的概率都是0.6，且兩人的投中結果相互獨立．求：
(3)至少有1人投中的概率；
(4)至多有1人投中的概率．
(3)設事件C表示“至少有1人投中”，
則；
(4)設事件C表示“至多有1人投中”，
方法一 則.
方法二 則.
歸納總結
已知事件A，B發生的概率分別為P(A)，P(B)，那么:
事件 表示 概率 (A,B互斥) 概率
(A,B相互獨立)
A，B中至少有一個發生
A，B同時發生
A，B都不發生
A，B恰有一個發生
A，B中至多有一個發生
AB
0
P(A)P(B)
A+B
P(A)+P(B)
P(A)+P(B)
1
1-P(A)P(B)
1-[P(A)+P(B)]
例3 在一個系統中，每一個部件能正常工作的概率稱為部件的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度.現有甲、乙、丙三個部件組成的一個如圖所示的系統，已知當甲正常工作，且乙、丙至少有一個能正常工作時，系統就能正常工作.各部件的可靠度均為r(0解：用A、B、C分別表示甲、乙、丙能正常工作，D表示系統能正常工作.
由題意可知，系統能正常工作時，可分為三種互斥的情況：
①甲、乙、丙都正常工作，即ABC;
②甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即 ；
③甲、乙正常工作且丙不正常工作，即 .
因此
由互斥事件概率的加法公式以及獨立性可知
因為甲、乙、丙互不影響，所以A、B、C相互獨立，
而且
P(A)=P(B)=P(C)=r.
方法二：由題可知系統不能正常工作可分為互斥的兩種情況：
①甲不能正常工作，即 ;
②甲能正常工作且乙、丙都不能正常工作，即 ，
因此，
故
則
相互獨立事件概率的綜合問題的解題方法
1.判斷簡單事件是否相互獨立；
2.選用合適的符號表示簡單事件；
3.用簡單事件來表示復雜事件；
4.由互斥事件概率加法公式及獨立性進行計算.
方法歸納
1.壇子里放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球，用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球，則A1與A2是(　　)
A．互斥事件　 B．相互獨立事件
C．對立事件 D．不相互獨立事件
2.甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，則兩人都脫靶的概率為(　　)
A．0.56 B．0.5 C．0.38 D．0.06
D
D
3.從甲地到乙地共有A、B、C、D四條路線可走，走路線A堵車的概率為0.08，走路線B堵車的概率為0.1，走路線C堵車的概率為0.12，走路線D堵車的概率為0.04，若小李從這四條路線中等可能的任選一條開車自駕游，則堵車的概率為(　　)
A．0.034 B．0.065 C．0.085 D．0.34
C
根據今天所學，回答下列問題：
(1)相互獨立事件的概率乘法公式是什么
(2)相互獨立事件概率的綜合問題的解題方法.

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