資源簡介

教材：人教 A 版 高中數(shù)學 必修第二冊 第六章
余弦定理、正弦定理應用舉例
一.教材分析
1.課標解讀：《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題，旨在利用三角形為載體，以余弦定理、正弦定理為工具，讓學生學會發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建三角形，以及根據(jù)條件合理選擇正弦定理、余弦定理來解三角形，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的方法解決實際問題的能力.積累數(shù)學活動經(jīng)驗。
2.教材的作用和地位：本節(jié)課是人教A版必修第二冊第六章第四節(jié)第三課時的內(nèi)容，在高中數(shù)學知識體系里“余弦定理、正弦定理的應用舉例”是高中數(shù)學解三角形板塊的重要內(nèi)容。它是在學生掌握正弦定理和余弦定理的基礎(chǔ)上，進一步探究如何運用這些定理解決實際問題和數(shù)學問題，起到了從理論到實踐的橋梁作用，對于完善學生知識體系、提升數(shù)學能力具有關(guān)鍵意義。
二.學情分析
（一）學生已有的認知基礎(chǔ)
1.人教版數(shù)學8年級下冊第36頁，活動1：學校需要測量旗桿的高度.
同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面上，并多出了一段，但這條繩子的長度未知．請你應用勾股定理提出一個解決這個問題的方案，并與同學交流.
2.人教版數(shù)學9年級下冊第54頁，活動1 ：測量旗桿的高度，利用相似三角形可以計算某些不能直接測量的物體的高度，圖1顯示了測量旗桿高度的幾種方法，你能說出各種方法的道理嗎？
3.人教版九年級下冊第59頁，第12題：如圖，為了求出海島上的山峰的高度，在處和處樹立標桿和,標桿的高都是3丈，,兩處相隔1000步（1丈＝10尺，1步＝6尺），并且, 和在同一平面內(nèi).從標桿后退123步的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上；從標桿后退127步的處，可以看到頂峰和標桿頂端在一條直線上，求山峰的高度及它和標桿的水平距離各是多少步？（提示：連接并延長交于點，用含的式子表示和.)（本題原出自我國魏晉時期數(shù)學家劉徽所著《重差》，后作為唐代的《海島算經(jīng)》中的第一題：今有望海島，立兩表齊高三丈前后相去千步，令后表與前表參相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與表末參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合，問島高及去表各幾何唐代的1尺約等于現(xiàn)在的31 .)
4.在高中階段，學生已經(jīng)初步掌握了解三角形的基礎(chǔ)知識會用余弦定理、正弦定理解簡單的三角形，初步具備了函數(shù)與建模思想。
（二）學生認知的不足和障礙
1.在解三角形方面，正余弦定理的靈活變形使用還有待加強聯(lián)系。
2.在數(shù)學建模方面，如何從實際問題中抽象成數(shù)學問題，怎樣構(gòu)建合適的三角形模型，需要確定哪些參數(shù)，計算求解，方案設(shè)計是否合理以及誤差分析等數(shù)學建模過程停留在理論水平.
三.教學目標分析
（一）目標與素養(yǎng)
1.了解實際問題中常用的測量術(shù)語，能用余弦定理、正弦定理解決簡單的測量問題。
2.會用數(shù)學語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活中的數(shù)學測量問題,培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力.
3.通過引導學生用多種方法解決實際測量問題,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).
（二）教學重難點
教學重點：靈活運用正、余弦定理求解三角模型中的距離、高度和角度問題.
教學難點：將實際問題抽象為數(shù)學問題，如何設(shè)計合理的測量方案.
四、教學學法分析
現(xiàn)代教學理念認為，在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者，教學的一切活動都必須強調(diào)學生的主動性、積極性為出發(fā)點。根據(jù)這一教學理念。在教法上，課前通過導學案布置任務，采用任務驅(qū)動的教學方式，使學生在帶著任務在探索中學習，激發(fā)他們的求知欲望，課中設(shè)置問題鏈進行啟發(fā)式教學，調(diào)動學生學習的積極性和主動性，另外，在教學過程中，我使用多媒體環(huán)境進行輔助教學，增大了教學容量，提高了教學效率。
學法上，通過小組合作、自主探究、動手實踐等學習方法，以學生活動為中心，讓學生親歷知識和方法的生成過程，經(jīng)歷數(shù)學建模的完整過程，充分發(fā)揮學生學習的主動性，不但讓學生學會，也要讓學生會學。
五、教學過程
環(huán)節(jié)一 微課助學、學案導學
課前師生活動：
（1）導學案自學相關(guān)測量術(shù)語，自制簡易測量工具。
（2）導學案發(fā)布任務，明確要測量的對象：一是測量校門外小河對岸不能到達 A 點與能到達 B 點的距離；二是測量學校院墻外通訊塔的（底部不可到達）高度. （提供的測量工具有測角儀和卷尺，用字母表示測量數(shù)據(jù)）
導學案 任務 1 任務 2
設(shè)計意圖：課前通過導學案引導學生自學相關(guān)測量術(shù)語和制作簡易測量工具，以及發(fā)布活動任務，明確測量對象，使學生有針對性的進行探討和學習，激發(fā)學生的學習興趣和探索精神。
環(huán)節(jié)二 復習回顧、介紹方法
在實踐中，我們經(jīng)常遇到測量距離、高度、角度等問題.那么解決這些問題的方法有哪些呢？師生活動：（1）回顧正余弦定理知識點.
（2）回顧數(shù)學建模一般過程.
設(shè)計意圖：通過問題鏈的形式引導學生回憶必備知識，為學生從實際問題抽象出數(shù)學問題指明方向，也為抽象出數(shù)學模型之后的計算求解做好知識儲備。
環(huán)節(jié)三 實際問題、數(shù)學建模
活動1：測量一點不能到達距離
1.實際問題、數(shù)學抽象
完成課前發(fā)布的活動1：測量不能到達點A和能到達點B之間的距離
師生活動：教師通過提問形式引導學生明確實際問題中已知哪些條件、要求解什么、還需要什么條件及如何用數(shù)學的語言描述問題.
設(shè)計意圖：通過設(shè)置問題鏈，引導學生將實際問題抽象為數(shù)學問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力.突破教學重點。
2.分析問題、建立模型
師生活動：（1）學生分小組展示測量方案，包括測量方案的設(shè)計（工具、示意圖）及測量過程中的問題（如限制因素）及解決方法；
（2）小組間分析討論方案的可行性，教師檢查、修正、補充，從而選擇較為合理的方案.把線段AB看成三角形的一條邊，構(gòu)造三角形模型.
方案 1：在可到達的河岸邊，找一個特殊點 C，構(gòu)造 C 為直角的Rt ABC .在 Rt ABC 中，皮尺測得 BC 距離，用測角儀測得∠ABC 的大小，由銳角三角函數(shù)求得 A，B 兩點間的距離.
方案 2：在可到達的河岸邊選定 C 點，構(gòu)造一般 ABC. 在 ABC 中，用皮尺測得 BC 距離，用測角儀測得∠ABC，∠ACB 的大小，已知兩角一邊是一個可解三角形.
方案 3：構(gòu)造相似三角形. 構(gòu)造AC = 3A′C, ∠B = ∠B′, ABC A′B′C
設(shè)計意圖：從可操作性和便利性等角度分析，讓學生獲得較合理的方案.
確定參數(shù)、計算求解
師生活動：學生展示最合理方案的實施和求解過程，教師補充.
測量數(shù)據(jù) 計算求解
設(shè)計意圖：學生分組展示方案實施的具體過程以及測量過程中遇到的問題和解決辦法（限制因素），計算測量結(jié)果.
4.檢驗結(jié)果、優(yōu)化模型
師生活動：師生對誤差進行分析, 找出問題所在，進行反思歸納，并對方案進行優(yōu)化.
總結(jié)：活動1解決了一個不能到達點的距離問題，建立相應的三角形模型并用正弦定理去求解.
設(shè)計意圖：師生對誤差進行分析,并對方案進行優(yōu)化.學生經(jīng)歷不能到達一點距離測量的完整建模過程,培養(yǎng)數(shù)學建模能力,鞏固解三角形知識與應用,并為不能到達兩點距離測量奠定基礎(chǔ)。
環(huán)節(jié)四 類比遷移、優(yōu)化方案
活動 2：測量兩點不能到達距離
任務描述：測量河對岸不可及 A 點與 D 點的距離.
師生活動：教師引導學生分析 2 點不可及問題與 1 點不可及問題的異同，發(fā)現(xiàn) 2 點不可及問題的解決只需要在 1 點不可及問題的基礎(chǔ)上再構(gòu)造兩個三角形，利用正、余弦定理即可解決，從而設(shè)計出最終方案并計算計算求解.
方案：在 A，D 兩點的對岸選定兩點 B，C,用皮尺測得 BC 距離，用測角儀測得角 ,角β,角γ,角δ的大小，在△ABC 中求出 AB 的長度，在△BCD 中求出 BD 的長度，在△ABD 中已知兩邊一角是個可解三角形.
師生活動：1.總結(jié)兩類問題：（1）一個不能到達點的距離問題；（2）兩個不能到達點的距離問題.
2.總結(jié)方法：
構(gòu)建或?qū)ふ胰切文Ｐ停ㄒ粋€或多個）；
前者的實質(zhì)是已知三角形的兩個角和一邊解三角形的問題，用正弦定理；后者是把不可到達的兩點間的距離轉(zhuǎn)化為利用正弦定理和余弦定理；計算 AB 距離.
設(shè)計意圖: 從不可及 1 點的長度測量類比遷移到不可及 2 點長度測量，是由解一個三角形拓展到解多個三角形，讓學生的思維經(jīng)歷一個由淺入深的發(fā)展過程.學生利用已有知識和經(jīng)驗設(shè)計方案，畫出示意圖，把實際問題轉(zhuǎn)化成解三角形問題，加深學生對實際距離測量問題的理解和認識.培養(yǎng)了學生數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，提高了學生解決問題的基本能力.
活動 3：測量（底部不可到達）高度的問題
完成課前發(fā)布的活動2“測量學校院墻外通訊塔的（底部不可到達）高度”.
師生活動：學生展示測量方案，師生交流對方案進行優(yōu)化.
展示方案 優(yōu)化后方案
設(shè)計意圖：從平面上不可及兩點距離測量拓展到空間不可及兩點距離測量，進一步加強學生對正余弦定理應用的理解，拓展學生思維能力，發(fā)展學生核心素養(yǎng).在實際操作時，使 H,G,B 三點共線不是一件容易的事情.因此師生對方案進行了優(yōu)化,使高度可測、可算.
活動 4：測量不可到達角度問題
例：位于某海域 A 處的甲船獲悉，在其正東方向相距 20 n mile 的 B 處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知位于甲船南偏西 30°，且與甲船相距 7mile 的 C 處的乙船．那么乙船前往營救遇險漁船時的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是北偏東多少度（精確到 1°）？需要航行的距離是多少海里（精確到 1 n mile）？
師生活動：師生共同進行關(guān)鍵信息的提取和文字語言、數(shù)學語言、圖形語言的轉(zhuǎn)換；教師示范畫圖并講解具體過程.
設(shè)計意圖：對不可及角度的測量問題，關(guān)鍵在于正確理解題意，畫出示意圖，此處師生合作畫出圖形，解決問題.
環(huán)節(jié)五 總結(jié)回顧、形成框架
本節(jié)課涉及到的知識點 本節(jié)課涉及到的思想方法
設(shè)計意圖：通過提問的方式，從知識與思想兩個方面回顧本節(jié)所學，形成思維導圖，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).
環(huán)節(jié)六 作業(yè)布置、分層高效
基礎(chǔ)題：教材 51 頁 1-3 題；
提高題：設(shè)計一個方案測算地月距離；
拓展題：以小組為單位，就本節(jié)測量問題撰寫一個 1 到 2 頁的研究報告，并在班級分享.設(shè)計意圖：分層設(shè)計是為了讓每位同學都有獲得感，增強學習動力，提高題有助于提高學生運用解三角形知識解決實際問題的能力，拓展題是對數(shù)學建模的再研究，拓展思維，讓本節(jié)課的教學目標在課后繼續(xù)落實.
六、板書設(shè)計

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