資源簡介

第6章　空間向量與立體幾何
6.1.1　空間向量的線性運算
第1課時　空間向量的概念及線性運算(概念課——逐點理清式教學)
課時目標
1.類比平面向量,理解空間向量的定義及表示方法,掌握幾種特殊的空間向量.
2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程,掌握空間向量的加法、減法和數乘運算.
逐點清(一)　空間向量的概念
[多維度理解]
1.空間向量的定義及表示
定義 在空間,我們把像位移、力、速度、加速度這樣既有　　　又有　　　的量,叫作空間向量
長度或模 空間向量的大小叫作空間向量的　　　　或　　　　
表示 方法 幾何表示 與平面向量一樣,空間向量也用有向線段表示
符號 表示 表示空間向量的有向線段,若以A為起點,B為終點,則記作,其模記作||
空間向量常用一個小寫字母表示.如:向量a,b,其模分別記為|a|,|b|
2.幾類常見的空間向量
名稱 方向 模 記法
零向量 任意 0 0
單位向量
1
相反向量 　　 　　 a的相反向量:　　 的相反向量:
相等向量 　　 相等 a=b
　　微點助解 理解空間向量相關概念的注意點
(1)單位向量、零向量都明確規定了向量的模,需注意單位向量有無數個,它們的方向并不確定,因此,它們不一定相等;零向量的方向任意,但規定所有的零向量都相等.
(2)在平面內,若以兩個同向向量為對邊可構成平行四邊形,則這兩個向量相等.在空間中,這個結論同樣成立.
(3)和平面向量一樣,若兩個空間向量相等,則它們的方向相同,且模相等,但起點、終點未必相同.
[細微點練明]
1.[多選]下列命題為真命題的是 (　　)
A.空間向量就是空間中的一條有向線段
B.所有的零向量相等
C.任一向量與它的相反向量不相等
D.向量與向量的長度相等
2.下列關于空間向量的說法正確的是 (　　)
A.單位向量都相等
B.若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量,滿足||>||,則>
D.相等向量其方向必相同
3.如圖所示,以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中,
(1)試寫出與相等的所有向量;
(2)試寫出的相反向量;
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
逐點清(二)　空間向量及其線性運算
[多維度理解]
1.空間向量的加法、減法與數乘運算
名稱 運算法則 特點 圖示
加法 運算 三角形法則 首尾相接首尾連(通過平移)
平行四邊形法則 起點相同(共起點)(通過平移)
減法 運算 平行四邊形法則 起點相同連終點,被減向量定指向
數乘運算 實數λ的作用:正負定方向,數值定模比
2.空間向量的加法和數乘的運算律
(1)加法交換律:a+b=　　　　.
(2)加法結合律:(a+b)+c=　　　　　　.
(3)數乘分配律:λ(a+b)=　　　　　　　.
[細微點練明]
1.在三棱錐O-ABC中,+-等于 (　　)
A. B.
C. D.
2.在四面體ABCD中,E為棱BC的中點,則-(+)= (　　)
A.- B.-
C. D.
3.已知平行六面體ABCD-A'B'C'D',化簡下列向量表達式,并在圖中標出化簡得到的向量:
(1)++;
(2)-+;
(3)++(-).
逐點清(三)　共線向量及共線向量定理
[多維度理解]
1.共線向量或平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線　　　　　或　　　,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行,記作　　　　.
規定零向量與任意向量　　　.
2.共線向量定理
對空間任意兩個向量a,b(a≠0),b與a共線的充要條件是存在實數λ,使　　　　.
[細微點練明]
1.[多選]下列說法錯誤的是 (　　)
A.在平面內共線的向量在空間內不一定共線
B.在空間內共線的向量在平面內不一定共線
C.在平面內共線的向量在空間內一定不共線
D.在空間內共線的向量在平面內一定共線
2.與共線是直線AB∥CD的 (　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已知空間四邊形ABCD,點E,F分別是AB與AD邊上的點,M,N分別是BC與CD邊上的點,若=λ,=λ,=μ,=μ,則向量與滿足的關系為 (　　)
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
4.設向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三點共線,則λ= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
第1課時　空間向量的概念及線性運算
[逐點清(一)]
[多維度理解]　1.大小　方向　長度　模
2.相反　相等　-a　相同
[細微點練明]
1.BD　2.D
3.解:(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3個.
(2)向量的相反向量為,,,.
(3)||=
==3.
[逐點清(二)]
[多維度理解]　2.(1)b+a　
(2)a+(b+c)　(3)λa+λb(λ∈R)
[細微點練明]
1.選C　+-=-=+=,故選C.
2.選A　-(+)=-(2)=-==-.
3.解:(1)++=++=.向量如圖(1)所示.
(2)-+=-(-)=-=.向量如圖(2)所示.
(3)++(-)=+(+)=+,設M是線段CB'的中點,則++(-)=+=.向量如圖(3)所示.
[逐點清(三)]
[多維度理解]　1.互相平行　重合　a∥b　共線　2.b=λa
[細微點練明]
1.選ABC　在平面內共線的向量在空間內一定共線,故A、C錯誤;在空間內共線的向量,平移到同一平面內一定共線,故B錯誤,D正確.
2.選B　若與共線,則∥,此時AB與CD可能平行也可能為同一直線,所以充分性不成立;而若AB∥CD,則必有與共線,必要性成立.
3.選B　由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共線.同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共線,所以,共線,即∥.故選B.
4.選C　由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因為A,C,D三點共線,所以∥,則存在唯一實數μ,使得=μ,則解得
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空間向量的線性運算
6.1.1
空間向量的概念及線性運算
(概念課——逐點理清式教學)
第1課時
課時目標
1.類比平面向量,理解空間向量的定義及表示方法,掌握幾種特殊的空間向量.
2.經歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程,掌握空間向量的加法、減法和數乘運算.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　空間向量的概念
逐點清(二)　空間向量及其線性運算
逐點清(三)　共線向量及共線向量定理
4
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　空間向量的概念
01
多維度理解
1.空間向量的定義及表示
定義 在空間,我們把像位移、力、速度、加速度這樣既有_____又有______的量,叫作空間向量
長度或模 空間向量的大小叫作空間向量的_____或____
表示方法 幾何表示 與平面向量一樣,空間向量也用有向線段表示
大小
方向
長度
模
續表
表示 方法 符號表示 表示空間向量的有向線段,若以A為起點,B為終點,則記作,其模記作||
空間向量常用一個小寫字母表示.如:向量a,b,其模分別記為|a|,|b|
2.幾類常見的空間向量
名稱 方向 模 記法
零向量 任意 0 0
單位向量 1
相反向量 _____ _____ a的相反向量:____
的相反向量:
相等向量 _____ 相等 a=b
相反
相等
-a
相同
微點助解 理解空間向量相關概念的注意點
(1)單位向量、零向量都明確規定了向量的模,需注意單位向量有無數個,它們的方向并不確定,因此,它們不一定相等;零向量的方向任意,但規定所有的零向量都相等.
(2)在平面內,若以兩個同向向量為對邊可構成平行四邊形,則這兩個向量相等.在空間中,這個結論同樣成立.
(3)和平面向量一樣,若兩個空間向量相等,則它們的方向相同,且模相等,但起點、終點未必相同.
1.[多選]下列命題為真命題的是 (　　)
A.空間向量就是空間中的一條有向線段
B.所有的零向量相等
C.任一向量與它的相反向量不相等
D.向量與向量的長度相等
√
細微點練明
√
解析:有向線段是空間向量的一種表示形式,但不能把二者完全等同起來,故A錯誤;
零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的,故B正確,C錯誤;
與僅是方向相反,它們的長度是相等的,故D正確.
2.下列關于空間向量的說法正確的是 (　　)
A.單位向量都相等
B.若|a|=|b|,則a,b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量,滿足||>||,則>
D.相等向量其方向必相同
√
解析:單位向量長度相等,方向不確定,故A錯誤;
|a|=|b|只能說明a,b的長度相等而方向不確定,故B錯誤;
向量作為矢量不能比較大小,故C錯誤;
相等向量方向相同,大小相等,故D正確.
3.如圖所示,以長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中,
(1)試寫出與相等的所有向量;
解:與向量相等的所有向量(除它自身之外)有,及,共3個.
(2)試寫出的相反向量;
解: 向量的相反向量為,,,.
(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.
解: ||===3.
逐點清(二)　空間向量及其
線性運算
02
多維度理解
1.空間向量的加法、減法與數乘運算
名稱 運算法則 特點 圖示
加法 運算 三角形法則 首尾相接首尾連(通過平移)
平行四邊 形法則 起點相同(共起點)(通過平移)
續表
減法 運算 平行四邊形法則 起點相同連終點,被減向量定指向
數乘 運算 實數λ的作用:正負定方向,數值定模比
2.空間向量的加法和數乘的運算律
(1)加法交換律:a+b=______.
(2)加法結合律:(a+b)+c=________.
(3)數乘分配律:λ(a+b)=_____________.
b+a
a+(b+c)
λa+λb(λ∈R)
1.在三棱錐O-ABC中,+-等于(　　)
A. B.
C. D.
解析:+-=-=+=,故選C.
√
細微點練明
2.在四面體ABCD中,E為棱BC的中點,則-(+)=(　　)
A.- B.-
C. D.
解析:-(+)=-(2)=-==-.
√
3.已知平行六面體ABCD-A'B'C'D',化簡下列向量表達式,并在圖中標出化簡得到的向量:
(1)++;
解:++=++=.向量如圖(1)所示.
(2)-+;
解: -+=-(-)=-=.向量如圖(2)所示.
(3)++(-).
解: ++(-)=+(+)=+,設M是線段CB'的中點,則++(-)=+=.向量如圖(3)所示.
逐點清(三)　共線向量及共線
向量定理
03
多維度理解
1.共線向量或平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線_________或_____,那么這些向量叫作共線向量或平行向量.向量a與b平行,記作______.
規定零向量與任意向量______.
2.共線向量定理
對空間任意兩個向量a,b(a≠0),b與a共線的充要條件是存在實數λ,使______.
互相平行
重合
a∥b
共線
b=λa
1.[多選]下列說法錯誤的是 (　　)
A.在平面內共線的向量在空間內不一定共線
B.在空間內共線的向量在平面內不一定共線
C.在平面內共線的向量在空間內一定不共線
D.在空間內共線的向量在平面內一定共線
√
細微點練明
√
√
解析:在平面內共線的向量在空間內一定共線,故A、C錯誤;
在空間內共線的向量,平移到同一平面內一定共線,故B錯誤,D正確.
2.與共線是直線AB∥CD的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:若與共線,則∥,此時AB與CD可能平行也可能為同一直線,所以充分性不成立;而若AB∥CD,則必有與共線,必要性成立.
√
3.已知空間四邊形ABCD,點E,F分別是AB與AD邊上的點,M,N分別是BC與CD邊上的點,若=λ,=λ,=μ,=μ,則向量與滿足的關系為(　　)
A.= B.∥
C.||=|| D.||≠||
√
解析:由=λ,=λ,得=-=λ(-)=λ,所以,共線.同理,由=μ,=μ,得=μ,所以,共線,所以,共線,即∥.故選B.
4.設向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+
8e2+4e3,若A,C,D三點共線,則λ=(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
√
解析:由=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,得=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因為A,C,D三點共線,所以∥,則存在唯一實數μ,使得=μ,
則解得
課時跟蹤檢測
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1.下列命題中,假命題是 (　　)
A.任意兩個空間向量的模能比較大小
B.兩個共線向量,它們的方向相同或相反
C.只有零向量的模等于0
D.空間中任意兩個單位向量必相等
√
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解析:空間向量不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小;共線向量的方向相同或相反;零向量的模等于0;單位向量模相等,方向不一定相同.
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2.化簡(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)為(　　)
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
解析:原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故選B.
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3.下列說法正確的是 (　　)
A.空間中共線的向量必在同一條直線上
B.不相等的兩個空間向量的模必不相等
C.數乘運算中,λ既決定大小又決定方向
D.在四邊形ABCD中,一定有+=
√
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解析:空間中共線的向量不一定在同一條直線上,有可能兩向量所在的直線平行,所以A錯誤;
兩個向量不相等,有可能方向不同,模相等,所以B錯誤;
向量數乘運算中,λ既決定大小又決定方向,所以C正確;
在平行四邊形ABCD中,才有+=,所以D錯誤.
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4.對于空間中的非零向量,,,其中一定不成立的是(　　)
A.+= B.-=
C.||+||=|| D.||-||=||
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解析:對于A,+=恒成立;
對于C,當,方向相同時,有||+||=||;
對于D,當,方向相同且||≥||時,有||-||=||;
對于B,由向量減法可知-=,又為非零向量,所以B一定不成立.
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5.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,下列四對向量:①與;②與;③與;④與.其中互為相反向量的有n對,則n等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
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解析:對于①與,
③與中的兩向量,長度相等,方向相反,均互為相反向量;
對于②與長度相等,方向不相反;
對于④與長度相等,方向相同.故互為相反向量的有2對.
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6.已知四邊形ABCD,O為空間任意一點,且+=+,則四邊形ABCD是(　　)
A.空間四邊形 B.平行四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
解析:由已知可得=,由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,無法判斷其是不是矩形.故選B
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7.[多選]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點,則 (　　)
A.-= B.-=2
C.= D.=
√
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解析:-=+=,A正確,B不正確.
=,C正確,D不正確.
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8.[多選]若點D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點,且=a,=b,則下列結論正確的是(　　)
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
√
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解析:∵=a,=b,∴=+=-+=--=-a-b,故A正確;
=+=+=a+b,故B正確;
∵=+=-b-a,∴=+=+=b+(-b-a)=-a+b,故C正確;
==-a,故D錯誤.
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9.[多選]已知四面體ABCD,E,F分別是BC,CD的中點,則=(　　)
A.(-) B.(-)
C.-(+) D.+(+)
√
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解析:對于A,因為E,F分別是BC,CD的中點,所以==(-),正確;
對于B,==(+)=(-),錯誤;
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對于C,=-=-(+),正確;
對于D,=-(+)=+-(+)=+(+)-(+),錯誤.
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10.已知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c),若m∥n,則=(　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
√
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解析:由題意知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b
+(3-y)c.因為m∥n,所以存在實數λ,使n=λm,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c
=λ(a+2b-3c),所以即解得x=-,y=-,所以=3.故選C.
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11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,-+=______.
解析:-+=+-=+=.
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12.已知在四面體O-ABC中,點M在線段OA上,且OM=2MA,點N為BC中點,設=a,=b,=c,則等于______________.
解析:如圖可知=+=-+(+)=-a+b+c.
-a+b+c
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13.已知空間向量c,d不共線,設向量a=kc+d,b=c-k2d,且a與b共線,則實數k的值為______.
解析:因為c,d不共線,所以c≠0,且d≠0.
由a與b共線知,存在λ∈R使a=λb成立,
即kc+d=λ(c-k2d),整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0,
所以解得k=λ=-1.
-1
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14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為棱B1C1上任意一點.只考慮圖上已畫出線段所對應的向量,寫出:
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(1)的相等向量,的相反向量;
解:根據正方體棱與棱之間的關系,的相等向量有,,;
的相反向量有,.
(2)用另外兩個向量的和或差表示;
解:用“首尾規則”求解,如果只在含的三角形中考慮,有
=+,=+,=-,=-.(答案不唯一)
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(3)用三個或三個以上向量的和表示.
解:用“首尾規則”求解,則=++,=
++++.(答案不唯一)
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15.如圖,四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點,判斷與是否共線.
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解:因為M,N分別是AC,BF的中點,而四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,
所以=++=++.又=+++=
-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即與共線.課時跟蹤檢測(一)　空間向量的概念及線性運算
1.下列命題中,假命題是 (　　)
A.任意兩個空間向量的模能比較大小
B.兩個共線向量,它們的方向相同或相反
C.只有零向量的模等于0
D.空間中任意兩個單位向量必相等
2.化簡(a+2b-3c)+3×-(a-2b+c)為 (　　)
A.2a+b-2c B.2a+b-2c
C.2a-b-2c D.2a-b-2c
3.下列說法正確的是 (　　)
A.空間中共線的向量必在同一條直線上
B.不相等的兩個空間向量的模必不相等
C.數乘運算中,λ既決定大小又決定方向
D.在四邊形ABCD中,一定有+=
4.對于空間中的非零向量,,,其中一定不成立的是 (　　)
A.+= B.-=
C.||+||=|| D.||-||=||
5.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,下列四對向量:①與;②與;③與;④與.其中互為相反向量的有n對,則n等于 (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知四邊形ABCD,O為空間任意一點,且+=+,則四邊形ABCD是 (　　)
A.空間四邊形 B.平行四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
7.[多選]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,BC的中點,則 (　　)
A.-=
B.-=2
C.=
D.=
8.[多選]若點D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點,且=a,=b,則下列結論正確的是 (　　)
A.=-a-b B.=a+b
C.=-a+b D.=a
9.[多選]已知四面體ABCD,E,F分別是BC,CD的中點,則= (　　)
A.(-) B.(-)
C.-(+) D.+(+)
10.已知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c),若m∥n,則= (　　)
A.-3 B.-
C.3 D.
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,-+=　　　　.
12.已知在四面體O-ABC中,點M在線段OA上,且OM=2MA,點N為BC中點,設=a,=b,=c,則等于　　　　.
13.已知空間向量c,d不共線,設向量a=kc+d,b=c-k2d,且a與b共線,則實數k的值為　　　　.
14.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為棱B1C1上任意一點.只考慮圖上已畫出線段所對應的向量,寫出:
(1)的相等向量,的相反向量;
(2)用另外兩個向量的和或差表示;
(3)用三個或三個以上向量的和表示.
15.如圖,四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形且不共面,M,N分別是AC,BF的中點,判斷與是否共線.
課時跟蹤檢測(一)
1.選D　空間向量不能比較大小,但它們的模可以比較大小;共線向量的方向相同或相反;零向量的模等于0;單位向量模相等,方向不一定相同.
2.選B　原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故選B.
3.選C　空間中共線的向量不一定在同一條直線上,有可能兩向量所在的直線平行,所以A錯誤;兩個向量不相等,有可能方向不同,模相等,所以B錯誤;向量數乘運算中,λ既決定大小又決定方向,所以C正確;在平行四邊形ABCD中,才有+=,所以D錯誤.
4.選B　對于A,+=恒成立;對于C,當,方向相同時,有||+||=||;對于D,當,方向相同且||≥||時,有||-||=||;對于B,由向量減法可知-=,又為非零向量,所以B一定不成立.
5.選B　對于①與,③與中的兩向量,長度相等,方向相反,均互為相反向量;對于②與長度相等,方向不相反;對于④與長度相等,方向相同.故互為相反向量的有2對.
6.選B　由已知可得=,由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,無法判斷其是不是矩形.故選B.
7.選AC　-=+=,A正確,B不正確.=,C正確,D不正確.
8.選ABC　∵=a,=b,∴=+=-+=--=-a-b,故A正確;=+=+=a+b,故B正確;∵=+=-b-a,∴=+=+=b+(-b-a)=-a+b,故C正確;==-a,故D錯誤.
9.選AC　對于A,因為E,F分別是BC,CD的中點,所以==(-),正確;對于B,==(+)=(-),錯誤;對于C,=-=-(+),正確;對于D,=-(+)=+-(+)=+(+)-(+),錯誤.
10.選C　由題意知m=a+2b-3c,n=x(a+b)-y(b+c)+3(a+c)=(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c.因為m∥n,所以存在實數λ,使n=λm,所以(x+3)a+(x-y)b+(3-y)c=λ(a+2b-3c),所以即解得x=-,y=-,所以=3.故選C.
11.解析:-+=+-=+=.
答案:
12.解析:如圖可知=+=-+(+)=-a+b+c.
答案:-a+b+c
13.解析:因為c,d不共線,所以c≠0,且d≠0.
由a與b共線知,存在λ∈R使a=λb成立,即kc+d=λ(c-k2d),
整理得(k-λ)c+(1+λk2)d=0,
所以解得k=λ=-1.
答案:-1
14.解:(1)根據正方體棱與棱之間的關系,的相等向量有,,;的相反向量有,.
(2)用“首尾規則”求解,如果只在含的三角形中考慮,有=+,=+,=-,=-.(答案不唯一)
(3)用“首尾規則”求解,則=++,=++++.(答案不唯一)
15.解:因為M,N分別是AC,BF的中點,而四邊形ABCD,ABEF都是平行四邊形,
所以=++=++.又=+++=-+--,所以++=-+--.所以=+2+=2(++)=2,即與共線.
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