資源簡介

第2課時(shí)　空間向量的線性運(yùn)算與共線向量定理
(深化課——題型研究式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量的線性運(yùn)算,掌握空間向量的線性表示及向量共線的充要條件,會證明空間三點(diǎn)共線.
題型(一)　空間向量的線性表示
[例1]　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,N,P分別是BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2).
聽課記錄:
　　[變式拓展]
1.本例增加條件“M是AA1的中點(diǎn)”,試用a,b,c表示+.
2.若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上,且=”,其他條件不變,如何用a,b,c表示
　　[思維建模]　空間向量線性運(yùn)算的解題技巧
數(shù)形結(jié)合 利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量
明確目標(biāo) 在化簡過程中要有目標(biāo)意識,巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)
　　[針對訓(xùn)練]
1.若空間中四點(diǎn)A,B,C,D滿足4+=4,則= (　　)
A. B.3
C. D.
2.[多選]已知三棱錐O-ABC,E,F分別是OA,BC的中點(diǎn),P為線段EF上一點(diǎn),且PF=2EP,設(shè)=a,=b,=c,則下列等式成立的是 (　　)
A.=b+c
B.=-a+b+c
C.=-a+b+c
D.=a+b+c
題型(二)　向量共線與三點(diǎn)共線問題
[例2]　(1)設(shè)向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三點(diǎn)共線,則λ= (　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在A1D1上,且=2,點(diǎn)F在體對角線A1C上,且=.求證:E,F,B三點(diǎn)共線.
聽課記錄:
[變式拓展]
本例變?yōu)?如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為A1C上一點(diǎn),且=,BD與AC交于點(diǎn)M.求證:C1,F,M三點(diǎn)共線.
　　
[思維建模] 向量共線的判定及應(yīng)用
(1)利用向量共線證明線線平行,解題時(shí)應(yīng)注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別.
(2)判斷或證明兩向量a,b(b≠0)共線,就是尋找實(shí)數(shù)λ,使a=λb成立,為此常結(jié)合題目圖形,運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá).
(3)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)共線的方法:①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,②對于空間任一點(diǎn)O,=+t(t∈R),③對于空間任一點(diǎn)O,=x+y(x+y=1).
　　[針對訓(xùn)練]
3.如圖,已知四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊CB,CD上的點(diǎn),且=,=.
求證:四邊形EFGH是梯形.
題型(三)　空間共線向量定理的推論及應(yīng)用
[例3]　已知A,B,P三點(diǎn)共線,O為空間任意一點(diǎn)(O,A,B三點(diǎn)不共線),且存在實(shí)數(shù)α,β,使=α+β,求α+β的值.
聽課記錄:
[思維建模]
空間共線向量定理的推論:在空間中,若A,B,P三點(diǎn)共線,O為空間任意一點(diǎn),且O,A,B三點(diǎn)不共線,則=x+y(x+y=1).
　　[針對訓(xùn)練]
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在體對角線D1B上,且D1E=EB,點(diǎn)F在棱D1C1上,若A,E,F三點(diǎn)共線,則D1F=　 　　FC1.
5.在空間四邊形ABCD中,=3,=-++λ,則λ=　　　　.
第2課時(shí)　空間向量的線性運(yùn)算與共線向量定理
[題型(一)]
[例1]　解:(1)∵P是C1D1的中點(diǎn),∴=++=a++=a+c+=a+c+b.
(2)∵N是BC的中點(diǎn),∴=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
[變式拓展]
1.解:∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn),∴=+=+=-a+=a+b+c.
又=+=+=+=c+a,
∴+=+=a+b+c.
2.解:=+=++=a+c+b.
[針對訓(xùn)練]
1.選A　∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,即=3,則=.
2.選ABD　如圖,因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以=+=b+c,故A正確;
===-=-×=-a+b+c,故B正確;
=-2=-2=a-b-c,故C錯(cuò)誤;
=+=+=a+b+c,故D正確.
[題型(二)]
[例2]　解析:(1)選A　由題意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線,所以存在唯一的y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],所以解得
(2)證明:如圖,連接EF,FB,∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三點(diǎn)共線.
[變式拓展]
證明:連接MF,MC1(圖略).設(shè)=a,=b,AA1=c,則=+=+=(+)+(+)=++(++)=++=a+b+c,=+=+=(+)+=a+b+c,∴=3.又直線MC1與直線MF有公共點(diǎn)M,∴C1,F,M三點(diǎn)共線.
[針對訓(xùn)練]
3.證明:∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),
∴=,=,
則=-=-
=(-)==(-)
==(-)=,
∴∥且||=||≠|(zhì)|.
又F不在直線EH上,∴四邊形EFGH是梯形.
[題型(三)]
[例3]　解:因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線,所以存在m∈R使得=m,即-=m(-),所以=(1+m)-m.
又因?yàn)?α+β,所以α+β=(1+m)-m=1.
[針對訓(xùn)練]
4.解析:在正方體中,=+=+,設(shè)D1F=λFC1,因?yàn)镈1E=EB,所以4=+,即=+.因?yàn)锳,E,F三點(diǎn)共線,所以+=1,解得λ=,即D1F=FC1.
答案:
5.解析:∵=-++λ,∴+=+λ,即=+λ.又=3,∴B,C,M三點(diǎn)共線,∴+λ=1,解得λ=.
答案:
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空間向量的線性運(yùn)算與共線向量定理
(深化課——題型研究式教學(xué))
第2課時(shí)
課時(shí)目標(biāo)
進(jìn)一步學(xué)習(xí)空間向量的線性運(yùn)算,掌握空間向量的線性表示及向量共線的充要條件,會證明空間三點(diǎn)共線.
CONTENTS
目錄
1
2
3
題型(一)　空間向量的線性表示
題型(二)　向量共線與三點(diǎn)共線問題
題型(三)　空間共線向量定理的 推論及應(yīng)用
4
課時(shí)跟蹤檢測
題型(一)　空間向量的線性表示
[例1]　如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,
=c,N,P分別是BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:
(1);
解:∵P是C1D1的中點(diǎn),∴=++=a++=
a+c+=a+c+b.
(2).
解: ∵N是BC的中點(diǎn),∴=++=-a+b+=-a+b+=
-a+b+c.
　[變式拓展]
1.本例增加條件“M是AA1的中點(diǎn)”,試用a,b,c表示+.
解:∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn),∴=+=+=-a+=
a+b+c.又=+=+=+=c+a,
∴+=+=a+b+c.
2.若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上,且=”,其他條件不變,如何用a,b,c表示
解:=+=++=a+c+b.
[思維建模]　 空間向量線性運(yùn)算的解題技巧
數(shù)形結(jié)合 利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí),要結(jié)合具體圖形,利用三角形法則、平行四邊形法則,將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量
明確目標(biāo) 在化簡過程中要有目標(biāo)意識,巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)
針對訓(xùn)練
　[針對訓(xùn)練]
1.若空間中四點(diǎn)A,B,C,D滿足4+=4,則=(　　)
A. B.3
C. D.
√
解析:∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,即=3,則=.
2.[多選]已知三棱錐O-ABC,E,F分別是OA,BC的中點(diǎn),P為線段EF上一點(diǎn),且PF=2EP,設(shè)=a,=b,=c,則下列等式成立的是(　　)
A.=b+c 　 B.=-a+b+c
C.=-a+b+c 　 D.=a+b+c
√
√
√
解析:如圖,因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以=+=b+c,故A正確;
===-=-×=-a+b+c,故B正確;
=-2=-2=a-b-c,故C錯(cuò)誤;
=+=+=a+b+c,故D正確.
題型(二)　向量共線與三點(diǎn)共線問題
[例2]　(1)設(shè)向量e1,e2,e3不共面,已知=-3e1-e2+2e3,=e1+λe2-6e3,=4e1+2e2+8e3,若A,C,D三點(diǎn)共線,則λ=(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
√
解析:由題意得=+=-2e1+(λ-1)e2-4e3.因?yàn)锳,C,D三點(diǎn)共線,
所以存在唯一的y,使得=y,即4e1+2e2+8e3=y[-2e1+(λ-1)e2-4e3],
所以解得
(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在A1D1上,且=2,點(diǎn)F在體對角線A1C上,且=.求證:E,F,B三點(diǎn)共線.
解析: 證明:如圖,連接EF,FB,
∵=-=-=(++)-=(++)-=+-,=-=+-(++)=+-,∴=,∴∥,又EF∩FB=F,∴E,F,B三點(diǎn)共線.
　[變式拓展]
　本例變?yōu)?如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,F為A1C上一點(diǎn),且=
,BD與AC交于點(diǎn)M.求證:C1,F,M三點(diǎn)共線.
證明:連接MF,MC1(圖略).設(shè)=a,=b,AA1=c,則=+=+=(+)+(+)=++(++)=++=a+b+c,=+=+=
(+)+=a+b+c,∴=3.又直線MC1與直線MF有公共點(diǎn)M,∴C1,F,M三點(diǎn)共線.
[思維建模] 向量共線的判定及應(yīng)用
(1)利用向量共線證明線線平行,解題時(shí)應(yīng)注意向量共線與兩直線平行的區(qū)別.
(2)判斷或證明兩向量a,b(b≠0)共線,就是尋找實(shí)數(shù)λ,使a=λb成立,為此常結(jié)合題目圖形,運(yùn)用空間向量的線性運(yùn)算法則將目標(biāo)向量化簡或用同一組向量表達(dá).
(3)判斷或證明空間中的三點(diǎn)(如P,A,B)共線的方法:
①存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,
②對于空間任一點(diǎn)O,=+t(t∈R),
③對于空間任一點(diǎn)O,=x+y(x+y=1).
3.如圖,已知四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是邊CB,CD上的點(diǎn),且 = , = .
求證:四邊形EFGH是梯形.
證明:∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),
∴ = , = ,則 = - = - =( - )=
=( - )= =( - )= ,
∴ ∥ 且| |=| |≠|(zhì) |.
又F不在直線EH上,∴四邊形EFGH是梯形.
題型(三)　空間共線向量定理的推論及應(yīng)用
[例3]　已知A,B,P三點(diǎn)共線,O為空間任意一點(diǎn)(O,A,B三點(diǎn)不共線),且存在實(shí)數(shù)α,β,使=α+β,求α+β的值.
解:因?yàn)锳,B,P三點(diǎn)共線,所以存在m∈R使得=m,即-=m(-),所以=(1+m)-m.
又因?yàn)?α+β,所以α+β=(1+m)-m=1.
[思維建模]
　　空間共線向量定理的推論:在空間中,若A,B,P三點(diǎn)共線,O為空間任意一點(diǎn),且O,A,B三點(diǎn)不共線,則=x+y(x+y=1).
針對訓(xùn)練
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在體對角線D1B上,且D1E=EB,點(diǎn)F在棱D1C1上,若A,E,F三點(diǎn)共線,則D1F=____FC1.
解析:在正方體中,=+=+,設(shè)D1F=λFC1,因?yàn)镈1E=EB,所以4=+,即=+.因?yàn)锳,E,F三點(diǎn)共線,所以+=1,解得λ=,即D1F=FC1.
5.在空間四邊形ABCD中,=3,=-++λ,則λ=_____.
解析:∵=-++λ,
∴+=+λ,即=+λ.
又=3,∴B,C,M三點(diǎn)共線,
∴+λ=1,解得λ=.
課時(shí)跟蹤檢測
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A級——綜合提能
1.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn),則-+等于(　　)
A. B.3
C.3 D.2
解析:-+=-(-)=-=+=+2=3.
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2.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是(　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
解析:∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三點(diǎn)共線.
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3.在空間四邊形OABC中,若E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),H是EF上的點(diǎn),且=,記=x+y+z,則x,y,z的值分別為(　　)
A.,, B.,, C.,, D.,,
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解析:連接OE,OF(圖略),因?yàn)?,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以=+=+=+(-)=+=×(+)
+×(+)=++,故x=,y=,z=.
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4.已知A,B,C三點(diǎn)共線,O為空間任一點(diǎn),則①=2+μ;②存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ與λ+m+n的值分別為(　　)
A.1,-1 B.-1,0
C.0,1 D.0,0
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解析:∵A,B,C三點(diǎn)共線,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.
由λ+m+n=0,得=--,
由A,B,C三點(diǎn)共線知,--=1,則λ+m+n=0.
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5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖,四棱錐P-ABCD為陽馬,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,則x+y+z=(　　)
A.1 B.2 C. D.
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解析:∵EC=2PE,∴=,∴=-=+-
=+-=+(-)-=+-=+-=+-(-)=-+,
∴x=1,y=-,z=,∴x+y+z=1.
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6.設(shè)e1,e2是不共線的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k為_____.
解析:因?yàn)?-=e1-4e2,A,B,D三點(diǎn)共線,所以由向量共線的充要條件,設(shè)=λ,即2e1+ke2=λ(e1-4e2),所以解得λ=2,k=-8.
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7.在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),則和+的關(guān)系是_______(填“平行”“相等”或“相反”).
解析:設(shè)G是AC的中點(diǎn),連接EG,FG(圖略),則=+=+
=(+),所以2=+,從而∥(+).
平行
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8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn),已知=a,=b,
=c,則=_________.(用a,b,c表示)
解析:∵=++=--+,又M是AA1的中點(diǎn),
∴=,∴=--+=-a-b+c.
-a-b+c
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9.如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中點(diǎn),N是BD的中點(diǎn),判斷與是否共線.
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解:連接AC,如圖,∵N是BD的中點(diǎn),四邊形ABCD為平行四邊形,
∴N為AC的中點(diǎn).又M是AD1的中點(diǎn),∴=-=-=(-)=,∴與共線.
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10.如圖,設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若
=+x+y,求x,y的值.
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解:∵=++=-+--=-+
=-+(+)=-+(+)=-++(-)
=+-,又=+x+y,∴x=,y=-.
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B級——應(yīng)用創(chuàng)新
11.若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足=m+n,其中m+n=1,則(　　)
A.P∈直線AB
B.P 直線AB
C.點(diǎn)P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上
D.以上都不對
√
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解析:因?yàn)閙+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,則-=n(-),即=n,所以與共線.又,有公共起點(diǎn)A,所以P,A,B三點(diǎn)在同一直線上,即P∈直線AB.
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12.[多選]如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,P是CA1的中點(diǎn),點(diǎn)Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,設(shè)=a,=b,=c,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
√
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解析:因?yàn)镻是CA1的中點(diǎn),所以=(+)=(++)=
(a+b+c),故A正確,B錯(cuò)誤;
因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=
+=+(-)=+=(+)+
=a+b+c,故C錯(cuò)誤,D正確.
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13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在體對角線D1B上,且||=||,點(diǎn)F在棱D1C1上,若A,E,F三點(diǎn)共線,則||=_____||.
解析:設(shè)||=λ||,因?yàn)?+=+,||=||,所以4=+,即=+.因?yàn)锳,E,F三點(diǎn)共線,所以+=1,解得λ=,即||=||.
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14.利用空間向量的知識證明平行六面體的體對角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分.
證明:如圖所示,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,設(shè)點(diǎn)O是AC'的中點(diǎn),則==(++).
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設(shè)P,M,N分別是BD',CA',DB'的中點(diǎn),
則=+=+=+(++)=+(-+
+)=(++).同理可得=(++),=(++).由此可知O,P,M,N四點(diǎn)重合.
故平行六面體的體對角線相交于一點(diǎn),且在交點(diǎn)處互相平分.課時(shí)跟蹤檢測(二)　空間向量的線性運(yùn)算與共線向量定理
A級——綜合提能
1.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn),則-+等于 (　　)
A. B.3
C.3 D.2
2.已知非零向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是 (　　)
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
3.在空間四邊形OABC中,若E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),H是EF上的點(diǎn),且=,記=x+y+z,則x,y,z的值分別為 (　　)
A.,, B.,,
C.,, D.,,
4.已知A,B,C三點(diǎn)共線,O為空間任一點(diǎn),則①=2+μ;②存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ,m,n,使λ+m+n=0,那么使①②成立的μ與λ+m+n的值分別為 (　　)
A.1,-1 B.-1,0
C.0,1 D.0,0
5.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖,四棱錐P-ABCD為陽馬,PA⊥平面ABCD,且EC=2PE,若=x+y+z,則x+y+z= (　 )
A.1 B.2
C. D.
6.設(shè)e1,e2是不共線的向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則實(shí)數(shù)k為　　　　.
7.在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),則和+的關(guān)系是　　　　(填“平行”“相等”或“相反”).
8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn),已知=a,=b,=c,則=　　　　　　.(用a,b,c表示)
9.如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M是AD1的中點(diǎn),N是BD的中點(diǎn),判斷與是否共線.
10.如圖,設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn),E為OC的中點(diǎn),若=+x+y,求x,y的值.
B級——應(yīng)用創(chuàng)新
11.若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P滿足=m+n,其中m+n=1,則 (　　)
A.P∈直線AB
B.P 直線AB
C.點(diǎn)P可能在直線AB上,也可能不在直線AB上
D.以上都不對
12.[多選]如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,P是CA1的中點(diǎn),點(diǎn)Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,設(shè)=a,=b,=c,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
13.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在體對角線D1B上,且||=||,點(diǎn)F在棱D1C1上,若A,E,F三點(diǎn)共線,則||=　　　　||.
14.利用空間向量的知識證明平行六面體的體對角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分.
課時(shí)跟蹤檢測(二)
1.選B　-+=-(-)=-=+=+2=3.
2.選A　∵=+=2a+4b=2,∴A,B,D三點(diǎn)共線.
3.選A　連接OE,OF(圖略),因?yàn)?,E,F分別是AB,BC的中點(diǎn),所以=+=+=+(-)=+=×(+)+×(+)=++,故x=,y=,z=.
4.選B　∵A,B,C三點(diǎn)共線,=2+μ,∴2+μ=1,解得μ=-1.由λ+m+n=0,得=--,由A,B,C三點(diǎn)共線知,--=1,則λ+m+n=0.
5.選A　∵EC=2PE,∴=,
∴=-=+-=+-=+(-)-=+-=+-=+-(-)=-+,∴x=1,y=-,z=,∴x+y+z=1.
6.解析:因?yàn)?-=e1-4e2,A,B,D三點(diǎn)共線,所以由向量共線的充要條件,設(shè)=λ,即2e1+ke2=λ(e1-4e2),所以解得λ=2,k=-8.
答案:-8
7.解析:設(shè)G是AC的中點(diǎn),連接EG,FG(圖略),則=+=+=(+),所以2=+,從而∥(+).
答案:平行
8.解析:∵=++=--+,又M是AA1的中點(diǎn),∴=,∴=--+=-a-b+c.
答案:-a-b+c
9.解:連接AC,如圖,∵N是BD的中點(diǎn),四邊形ABCD為平行四邊形,
∴N為AC的中點(diǎn).又M是AD1的中點(diǎn),∴=-=-=(-)=,∴與共線.
10.解:∵=++=-+--=-+=-+(+)=-+(+)=-++(-)=+-,又=+x+y,∴x=,y=-.
11.選A　因?yàn)閙+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,則-=n(-),即=n,所以與共線.又,有公共起點(diǎn)A,所以P,A,B三點(diǎn)在同一直線上,即P∈直線AB.
12.選AD　因?yàn)镻是CA1的中點(diǎn),所以=(+)=(++)=(a+b+c),故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,所以=+=+=+(-)=+=(+)+=a+b+c,故C錯(cuò)誤,D正確.
13.解析:設(shè)||=λ||,因?yàn)?+=+,||=||,所以4=+,即=+.因?yàn)锳,E,F三點(diǎn)共線,所以+=1,解得λ=,即||=||.
答案:
14.證明:如圖所示,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,設(shè)點(diǎn)O是AC'的中點(diǎn),則==(++).
設(shè)P,M,N分別是BD',CA',DB'的中點(diǎn),
則=+=+=+(++)=+(-++)=(++).同理可得=(++),=(++).由此可知O,P,M,N四點(diǎn)重合.
故平行六面體的體對角線相交于一點(diǎn),且在交點(diǎn)處互相平分.
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