資源簡介

第2課時(shí)　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
(強(qiáng)基課——梯度進(jìn)階式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
1.掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.
2.會(huì)根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解決向量垂直、夾角和距離問題.
1.空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
設(shè)空間兩個(gè)非零向量為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標(biāo)表示形式
a·b |a||b|cos 　　　　　　　　　
a⊥b a·b=0 　　　　　　　　　
模 |a|=　　 　 　　　　　　　　　
夾角余弦 cos= 　　　　　　　　　
2.空間兩點(diǎn)間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則
(1)AB=||= 　　　　　　　　　　　　.
(2)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　 　　　　.
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.若a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),則(a+b)·(a-b)= (　　)
A.10 B.8
C.-10 D.-8
2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),則y的值為 (　　)
A.6 B.10
C.12 D.14
3.已知向量a=(-1,0,-1),b=(1,2,-1),則向量a與b的夾角為　　　　.
題型(一)　坐標(biāo)法求空間向量的數(shù)量積
[例1]　如圖,在邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1D1,DD1,CD的中點(diǎn),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出B1,C1,E,F,G五點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求·(+).
聽課記錄:
　　[思維建模]　求空間向量數(shù)量積的兩種方法
基向量法 首先選取基向量,然后用基向量表示相關(guān)的向量,最后利用數(shù)量積的定義計(jì)算.注意:基向量的選取要合理,一般選模和夾角都確定的向量
坐標(biāo)法 對(duì)于建系比較方便的題目,采用此法較簡單,只需建系后找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得向量的坐標(biāo),然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.已知空間向量m=(1,2,3),空間向量n滿足m∥n且m·n=7,則n= (　　)
A. B.
C. D.
2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則·的最小值為 (　　)
A. B.-
C. D.-
題型(二)　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解決垂直問題
[例2]　如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求證:CF⊥平面BDE.
聽課記錄:
[思維建模] 判斷空間向量垂直的步驟
(1)向量化:將空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂直關(guān)系.
(2)向量關(guān)系代數(shù)化:寫出向量的坐標(biāo).
(3)對(duì)于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)x1x2+y1y2+z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2,
PA=4,E為棱BC上的點(diǎn),且BE=BC.求證:DE⊥平面PAC.
題型(三)　空間向量坐標(biāo)法解決夾角、模問題
[例3]　如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC1的中點(diǎn),E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上,且B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)求AM的長;
(2)求BE1與DF1夾角的余弦值.
聽課記錄:
[思維建模]
1.利用向量坐標(biāo)求異面直線所成角的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo);
(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角,并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角.
2.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
4.已知空間三點(diǎn),A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積;
(2)若||=,且∠DAB=∠DAC=60°,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),求||的值.
第2課時(shí)　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
課前環(huán)節(jié)
1.x1x2+y1y2+z1z2　x1x2+y1y2+z1z2=0　　　
2.(1)
(2)
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.選D　因?yàn)閍=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),所以a+b=(0,-5,3),a-b=(2,1,-1),則(a+b)·(a-b)=-5-3=-8.
2.選C　因?yàn)閍⊥(a+b),所以a·(a+b)=(2,-1,3)·(2-4,-1+y,3+2)=-4+1-y+15=0,解得y=12.
3.解析:因?yàn)閏os====0,又∈[0,π],所以=.
答案:
課堂環(huán)節(jié)
[題型(一)]
[例1]　解:(1)由題圖可知,B1(4,0,4),C1(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0).
(2)由(1)可知,=(-2,0,-4),=(-4,2,0),=(-4,4,-2),則+=(-8,6,-2),所以·(+)=-2×(-8)+0×6+(-4)×(-2)=24.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.選A　∵m=(1,2,3),且空間向量n滿足m∥n,∴可設(shè)n=λm=(λ,2λ,3λ),又m·n=7,∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7,解得λ=.∴n=m=,故A正確.
2.選B　∵=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),∴可設(shè)=λ=(λ,λ,2λ).又向量=(1,2,3),=(2,1,2),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),則·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10,易得當(dāng)λ=時(shí),·取得最小值-.故選B.
[題型(二)]
[例2]　證明:因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,兩平面的交線為AC,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.
如圖,以C為原點(diǎn),CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則C(0,0,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,
所以=,=(0,-,1),=(-,0,1),
所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0,
所以⊥,⊥,即CF⊥BE,CF⊥DE.
又BE∩DE=E,且BE 平面BDE,DE 平面BDE,
所以CF⊥平面BDE.
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn),
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得A(0,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),
所以=(2,-1,0),=(2,4,0),=(0,0,4).
因?yàn)椤?2×2-1×4+0=0,·=0,
所以DE⊥AC,DE⊥AP.又AP∩AC=A,AP 平面PAC,AC 平面PAC,所以DE⊥平面PAC.
[題型(三)]
[例3]　解:(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),M(1,2,1),=(-1,2,1),∴||==,故AM=.
(2)由(1)知B(2,2,0),E1,D(0,0,0),F1,所以=,=,則||=,||=.所以·=0×0++2×2=,則cos , ===,所以BE1與DF1所成角的余弦值為.
[針對(duì)訓(xùn)練]
4.解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
∴||=||==,
cos<,>===,
∴sin<,>=.
∴S平行四邊形=2××AB×AC×sin<,>=××=7.
(2)∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),
∴=+,
∴=-=+-,
∴||2=||2+||2+||2+·-·-·
=×()2+×()2+()2+×(-2×1+1×3+3×2)-××cos 60°×2=-7=,
∴||=.
6 / 6(共66張PPT)
空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
(強(qiáng)基課——梯度進(jìn)階式教學(xué))
第2課時(shí)
課時(shí)目標(biāo)
1.掌握空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.
2.會(huì)根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解決向量垂直、夾角和距離問題.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
1.空間向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示及應(yīng)用
設(shè)空間兩個(gè)非零向量為a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則
名稱 滿足條件
向量表示形式 坐標(biāo)表示形式
a·b |a||b|cos _______________
a⊥b a·b=0 _________________
x1x2+y1y2+z1z2
x1x2+y1y2+z1z2=0
續(xù)表
模 |a|=
__________________________________________
夾角余弦 cos=
________________________________________________________________
2.空間兩點(diǎn)間的距離及中點(diǎn)坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則
(1)AB=||=__________________________________.
(2)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為_________________________.
1.若a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),則(a+b)·(a-b)= (　　)
A.10 B.8
C.-10 D.-8
解析:因?yàn)閍=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),所以a+b=(0,-5,3),a-b=(2,1,-1),則(a+b)·(a-b)=-5-3=-8.
基點(diǎn)訓(xùn)練
√
2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),則y的值為 (　　)
A.6 B.10
C.12 D.14
解析:因?yàn)閍⊥(a+b),所以a·(a+b)=(2,-1,3)·(2-4,-1+y,3+2)=-4+1-y+15=0,解得y=12.
√
3.已知向量a=(-1,0,-1),b=(1,2,-1),則向量a與b的夾角為　　　　.
解析:因?yàn)閏os====0,又∈[0,π],所以=.
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
題型(一)　坐標(biāo)法求空間向量的數(shù)量積
[例1]　如圖,在邊長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1D1,DD1,CD的中點(diǎn),以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)寫出B1,C1,E,F,G五點(diǎn)的坐標(biāo);
解:由題圖可知,B1(4,0,4),C1(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0).
(2)求·(+).
解: 由(1)可知,=(-2,0,-4),=(-4,2,0),=(-4,4,-2),
則+=(-8,6,-2),所以·(+)=-2×(-8)+0×6+(-4)×
(-2)=24.
　[思維建模]　求空間向量數(shù)量積的兩種方法
基向 量法 首先選取基向量,然后用基向量表示相關(guān)的向量,最后利用數(shù)量積的定義計(jì)算.注意:基向量的選取要合理,一般選模和夾角都確定的向量
坐標(biāo)法 對(duì)于建系比較方便的題目,采用此法較簡單,只需建系后找出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得向量的坐標(biāo),然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即可
針對(duì)訓(xùn)練
1.已知空間向量m=(1,2,3),空間向量n滿足m∥n且m·n=7,則n= (　　)
A. B.
C. D.
√
解析:∵m=(1,2,3),且空間向量n滿足m∥n,∴可設(shè)n=λm=(λ,2λ,3λ),又m·n=7,∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7,解得λ=.∴n=m=,故A正確.
2.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),則·的最小值為(　　)
A. B.-
C. D.-
√
解析:∵=(1,1,2),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng),∴可設(shè)=λ=(λ,λ,2λ).又向量=(1,2,3),=(2,1,2),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),則·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10,易得當(dāng)λ=時(shí),·取得最小值-.故選B.
題型(二)　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算解決垂直問題
[例2]　如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求證:CF⊥平面BDE.
證明:因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直,兩平面的交線為AC,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD.如圖,以C為原點(diǎn),CD,CB,CE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則C(0,0,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,
所以=,=(0,-,1),=(-,0,1),
所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0,
所以⊥,⊥,即CF⊥BE,CF⊥DE.
又BE∩DE=E,且BE 平面BDE,DE 平面BDE,
所以CF⊥平面BDE.
[思維建模] 判斷空間向量垂直的步驟
(1)向量化:將空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的垂直關(guān)系.
(2)向量關(guān)系代數(shù)化:寫出向量的坐標(biāo).
(3)對(duì)于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根據(jù)x1x2+y1y2+z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直.
針對(duì)訓(xùn)練
3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2,PA=4,E為棱BC上的點(diǎn),且BE=BC.求證:DE⊥平面PAC.
證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
所以PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD,則以A為坐標(biāo)原點(diǎn),
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),所以=(2,-1,0),=(2,4,0),=(0,0,4).因?yàn)椤?2×2-1×4+0=0,·=0,所以DE⊥AC,DE⊥AP.
又AP∩AC=A,AP 平面PAC,AC 平面PAC,所以DE⊥平面PAC.
題型(三)　空間向量坐標(biāo)法解決夾角、模問題
[例3]　如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC1的中點(diǎn),E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上,且B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)求AM的長;
解:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(2,0,0),M(1,2,1),=(-1,2,1),∴||==,故AM=.
(2)求BE1與DF1夾角的余弦值.
解:由(1)知B(2,2,0),E1,D(0,0,0),F1,所以=,=,則||=,||=.所以·=0×0++2×2=,
則cos<,>===,所以BE1與DF1所成角的余弦值為.
[思維建模]
1.利用向量坐標(biāo)求異面直線所成角的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo);
(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角,并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角.
2.利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的步驟
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長.
針對(duì)訓(xùn)練
4.已知空間三點(diǎn),A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以AB,AC為邊的平行四邊形的面積;
解:∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴||=||==,
cos〈,〉===,∴sin〈,〉=.
∴S平行四邊形=2××AB×AC×sin〈,〉=××=7.
(2)若||=,且∠DAB=∠DAC=60°,點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),求||的值.
解:∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn),∴=+,
∴=-=+-,
∴||2=||2+||2+||2+·-·-·=×()2+×()2+()2+×(-2×1+1×3+3×2)-××cos 60°×2=-7=,∴||=.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)
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1
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6
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11
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13
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2
A級(jí)——綜合提能
1.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,則λ等于(　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
解析:λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3.
√
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2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a與b的夾角的余弦值為-,則實(shí)數(shù)x的值為(　　)
A.-3 B.11 C.3 D.-3或11
解析:根據(jù)題意得cos===-.
化簡得=-.解得x=-3.故選A.
√
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3.如圖,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點(diǎn),cos<,>
=,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(　　)
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A. B.(1,1,1)
C.(1,1,) D.(1,1,)
解析:設(shè)PD=a(a>0),則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),
E,∴=(0,0,a),=,∴cos<,>==,解得a=2,∴E的坐標(biāo)為(1,1,1).
√
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4.[多選]已知空間向量m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),則下列選項(xiàng)正確的是 (　　)
A.當(dāng)m⊥n時(shí),x=2
B.當(dāng)m∥n時(shí),x=-10
C.當(dāng)|m+n|=時(shí),x=-4
D.當(dāng)x=時(shí),cos=
√
√
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解析:因?yàn)閙⊥n,所以m·n=-1×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正確;
因?yàn)閙∥n,所以存在λ∈R,使得m=λn,則(-1,2,5)=λ(2,-4,x)=(2λ,-4λ,λx),即解得故B正確;
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因?yàn)閙+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x),
所以|m+n|===,
解得x=-5,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)閤=,則m=(-1,2,5),n=(2,-4,),
所以cos===,故D正確.
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2
5.[多選]如圖,矩形ADFE,矩形CDFG,正方形ABCD兩兩垂直,且AB=2,若線段DE上存在點(diǎn)P使得GP⊥BP,則邊CG長度的可能取值為 (　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
√
√
√
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2
解析:以DA,DC,DF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
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設(shè)CG=a,P(x,0,z),則=,即z=,又B(2,2,0),G(0,2,a),所以=,=,·=x(x-2)+4+=0,顯然x≠0且x≠2,所以a2=-4.因?yàn)閤∈(0,2),所以2x-x2∈(0,1],則當(dāng)2x-x2=1時(shí),a2取得最小值12,所以a的最小值為2,即邊CG長度的最小值為2.
1
5
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6.已知向量a=(-2,1,x),b=(-1,1,2),a·b=3,則x=　　　　.
解析:a·b=2+1+2x=2x+3=3,解得x=0.
0
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7.若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),則λ=　　　　.
解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0).
由m·(m-n)=0,得2(2-λ)+6+0=0,所以λ=5.
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8.由二維平面向量可以類比得到三維空間向量一些公式,比如若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2,|a|=,非零向量a,b,a⊥b a·b=0等.若a=(2,3,-4),b=(2,-3,2),則與a,b向量垂直的單位向量的坐標(biāo)是____________________________________. (寫出一個(gè)即可)
(滿足x2+y2+z2=1,且2x=y=z即可)
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解析:設(shè)向量n=(x,y,z)與a,b垂直,則取x=1,得n=(1,2,2),所以與n共線的單位向量±的坐標(biāo)為或
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9.已知空間向量a=(2,-1,3),b=(m,4,n).
(1)若c∥a,且a·c=28,求c的坐標(biāo);
解:由題意c∥a,a=(2,-1,3)≠0,不妨設(shè)c=λa,因?yàn)閍·c=28,
所以a·c=λa2=λ|a|2=λ×[22+(-1)2+32]=28,解得λ=2,所以c=λa=2a=(4,-2,6).
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(2)若a⊥b,且m>0,n>0,求mn的最大值.
解:由題意a⊥b,得a·b=2m-4+3n=0,即2m+3n=4.
又因?yàn)閙>0,n>0,
所以由基本不等式可得2m+3n=4≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=時(shí),等號(hào)成立,
解得mn≤.所以當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=時(shí),mn的最大值為.
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10.如圖,設(shè)邊長為2的正方形ABCD的中心為O,過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線VO,VO=2,E為VO的中點(diǎn),求與夾角的余弦值.
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解:連接BD,AC,顯然有BD⊥AC,BD∩AC=O,BD=AC=2.如圖分別以,,的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
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則B(0,,0),C(-,0,0),O(0,0,0),V(0,0,2),E(0,0,1),則=(0,-,2),=(,0,1),則·=0×-×0+2×1=2,||= =,||= =,
所以cos<,>===.所以與夾角的余弦值為.
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B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.若A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),則||的取值范圍是(　　)
A.[1,3] B.[1,5]
C.[,5] D.[3,]
√
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解析:∵A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),
∴=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),
∴||==
=,∴1≤||≤5.故選B.
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12.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動(dòng)點(diǎn),滿足A1P⊥AC1,則線段A1P長度的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:選A　如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),
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∵P是底面ABCD(含邊界)上一動(dòng)點(diǎn),∴設(shè)P(x,y,0)(0≤x≤1,
0≤y≤1),則=(x,y,-1),=(1,1,1),∵A1P⊥AC1,
∴·=x+y-1=0,∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=
2x2-2x+2=2+,∴當(dāng)x=時(shí),取最小值,此時(shí)線段A1P的長度為;當(dāng)x=0或x=1時(shí),取最大值2,此時(shí)線段A1P的長度為,
∴線段A1P長度的取值范圍是.故選A.
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13.已知向量a=(-2,1,1),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直線AB上,存在一點(diǎn)E,使得⊥a,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為　　　　　　.
解析:設(shè)=λ,因?yàn)锳(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2),=(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4).因?yàn)椤蚢,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=.又A(-3,-1,4),=,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
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14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PBC為等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四邊形ABCD為直角梯形,滿足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,
PD=2.
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(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn),求cos<,>;
解:因?yàn)椤鱌BC為等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2.又PD2==24,PC2+CD2=+42=24,所以DC⊥PC.而CD⊥AD,AD∥BC,故CD⊥BC,因?yàn)镻C∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以CD⊥平面PBC.以點(diǎn)C為原點(diǎn),CP,CD所在直線分別為x,z軸,過點(diǎn)C作PB的平行線為y軸,
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建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示,
則P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,,4),=(,-,-4),=(-2,-2,2).
所以cos<,>===-.
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(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),當(dāng)⊥時(shí),求的值.
解: 由(1)知E(2,,0),=(,,-4),設(shè)=t,則=(t,t,-4t),所以M(+t,+t,4-4t),所以=(t-,t,4-4t).又=(-2,-2,2),⊥,所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0,解得t=,所以=.
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15.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).
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(1)求cos<,>;
解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
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∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=a.
∴B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),D,E,=(a,-a,3a),=.∴||=a,||=a,·=0-a2+a2=a2.∴cos<,>==.
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(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF 若存在,求出||;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解: 存在.理由如下:假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF.
不妨設(shè)AF=b,則F(a,0,b),=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=.∵·=a2-a2+0=0,∴⊥恒成立.
由·=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a.
∴在線段AA1上存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,且||=a或||=2a.課時(shí)跟蹤檢測(cè)(七)　空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
A級(jí)——綜合提能
1.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,則λ等于 (　　)
A.5 B.4
C.3 D.2
2.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且a與b的夾角的余弦值為-,則實(shí)數(shù)x的值為 (　　)
A.-3 B.11
C.3 D.-3或11
3.如圖,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E為PB的中點(diǎn),cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 (　　)
A. B.(1,1,1)
C.(1,1,) D.(1,1,)
4.[多選]已知空間向量m=(-1,2,5),n=(2,-4,x),則下列選項(xiàng)正確的是 (　　)
A.當(dāng)m⊥n時(shí),x=2
B.當(dāng)m∥n時(shí),x=-10
C.當(dāng)|m+n|=時(shí),x=-4
D.當(dāng)x=時(shí),cos=
5.[多選]如圖,矩形ADFE,矩形CDFG,正方形ABCD兩兩垂直,且AB=2,若線段DE上存在點(diǎn)P使得GP⊥BP,則邊CG長度的可能取值為 (　　)
A.4 B.4
C.2 D.2
6.已知向量a=(-2,1,x),b=(-1,1,2),a·b=3,則x=　　　　.
7.若m=(2,-1,1),n=(λ,5,1),且m⊥(m-n),則λ=　　　　.
8.由二維平面向量可以類比得到三維空間向量一些公式,比如若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則a·b=x1x2+y1y2+z1z2,|a|=,非零向量a,b,a⊥b a·b=0等.若a=(2,3,-4),b=(2,-3,2),則與a,b向量垂直的單位向量的坐標(biāo)是　　　　　　　　.(寫出一個(gè)即可)
9.已知空間向量a=(2,-1,3),b=(m,4,n).
(1)若c∥a,且a·c=28,求c的坐標(biāo);
(2)若a⊥b,且m>0,n>0,求mn的最大值.
10.如圖,設(shè)邊長為2的正方形ABCD的中心為O,過點(diǎn)O作平面ABCD的垂線VO,VO=2,E為VO的中點(diǎn),求與夾角的余弦值.
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.若A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),則||的取值范圍是 (　　)
A.[1,3] B.[1,5]
C.[,5] D.[3,]
12.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是底面ABCD(含邊界)上一動(dòng)點(diǎn),滿足A1P⊥AC1,則線段A1P長度的取值范圍是 (　　)
A. B.
C. D.
13.已知向量a=(-2,1,1),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直線AB上,存在一點(diǎn)E,使得⊥a,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為　　　　　　.
14.如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PBC為等腰直角三角形,且∠CPB=90°,四邊形ABCD為直角梯形,滿足AD∥BC,CD⊥AD,BC=CD=2AD=4,PD=2.
(1)若點(diǎn)F為DC的中點(diǎn),求cos<,>;
(2)若點(diǎn)E為PB的中點(diǎn),點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),當(dāng)⊥時(shí),求的值.
15.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),E是B1C的中點(diǎn).
(1)求cos<,>;
(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF 若存在,求出||;若不存在,請(qǐng)說明理由.
課時(shí)跟蹤檢測(cè)(七)
1.選C　λa+b=λ(0,-1,1)+(4,1,0)=(4,1-λ,λ),由已知得|λa+b|==,且λ>0,解得λ=3.
2.選A　根據(jù)題意得cos===-.
化簡得=-.解得x=-3.故選A.
3.選B　設(shè)PD=a(a>0),則A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E,∴=(0,0,a),=,∴cos<,>==,解得a=2,∴E的坐標(biāo)為(1,1,1).
4.選ABD　因?yàn)閙⊥n,所以m·n=-1×2+2×(-4)+5x=-10+5x=0,解得x=2,故A正確;因?yàn)閙∥n,所以存在λ∈R,使得m=λn,則(-1,2,5)=λ(2,-4,x)=(2λ,-4λ,λx),即解得故B正確;因?yàn)閙+n=(-1+2,2-4,5+x)=(1,-2,5+x),所以|m+n|===,解得x=-5,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閤=,則m=(-1,2,5),n=(2,-4,),所以cos===,故D正確.
5.選ABD　以DA,DC,DF為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)CG=a,P(x,0,z),則=,即z=,又B(2,2,0),G(0,2,a),所以=,=,·=x(x-2)+4+=0,顯然x≠0且x≠2,所以a2=-4.因?yàn)閤∈(0,2),所以2x-x2∈(0,1],則當(dāng)2x-x2=1時(shí),a2取得最小值12,所以a的最小值為2,即邊CG長度的最小值為2.
6.解析:a·b=2+1+2x=2x+3=3,解得x=0.
答案:0
7.解析:由已知得m-n=(2-λ,-6,0).
由m·(m-n)=0,得2(2-λ)+6+0=0,所以λ=5.
答案:5
8.解析:設(shè)向量n=(x,y,z)與a,b垂直,則取x=1,得n=(1,2,2),所以與n共線的單位向量±的坐標(biāo)為或.
答案:(滿足x2+y2+z2=1,且2x=y=z即可)
9.解:(1)由題意c∥a,a=(2,-1,3)≠0,不妨設(shè)c=λa,因?yàn)閍·c=28,
所以a·c=λa2=λ|a|2=λ×[22+(-1)2+32]=28,解得λ=2,所以c=λa=2a=(4,-2,6).
(2)由題意a⊥b,得a·b=2m-4+3n=0,即2m+3n=4.
又因?yàn)閙>0,n>0,
所以由基本不等式可得2m+3n=4≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=時(shí),等號(hào)成立,解得mn≤.所以當(dāng)且僅當(dāng)m=1,n=時(shí),mn的最大值為.
10.解:連接BD,AC,顯然有BD⊥AC,BD∩AC=O,BD=AC=2.如圖分別以,,的方向?yàn)閤、y、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
則B(0,,0),C(-,0,0),O(0,0,0),V(0,0,2),E(0,0,1),則=(0,-,2),=(,0,1),則·=0×-×0+2×1=2,||= =,||= =,
所以cos<,>===.所以與夾角的余弦值為.
11.選B　∵A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),∴=(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),
∴||=
=
=,∴1≤||≤5.故選B.
12.選A　如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),∵P是底面ABCD(含邊界)上一動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)P(x,y,0)(0≤x≤1,0≤y≤1),則=(x,y,-1),=(1,1,1),∵A1P⊥AC1,∴·=x+y-1=0,∴=x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2x2-2x+2=2+,∴當(dāng)x=時(shí),取最小值,此時(shí)線段A1P的長度為;當(dāng)x=0或x=1時(shí),取最大值2,此時(shí)線段A1P的長度為,∴線段A1P長度的取值范圍是.故選A.
13.解析:設(shè)=λ,因?yàn)锳(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2),=(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4).因?yàn)椤蚢,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=.又A(-3,-1,4),=,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
答案:
14.解:(1)因?yàn)椤鱌BC為等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4,所以PC=PB=2.
又PD2==24,PC2+CD2=+42=24,所以DC⊥PC.
而CD⊥AD,AD∥BC,故CD⊥BC,
因?yàn)镻C∩BC=C,PC,BC 平面PBC,所以CD⊥平面PBC.
以點(diǎn)C為原點(diǎn),CP,CD所在直線分別為x,z軸,過點(diǎn)C作PB的平行線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,如圖所示,則P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,,4),=(,-,-4),=(-2,-2,2).
所以cos<,>===-.
(2)由(1)知E(2,,0),=(,,-4),
設(shè)=t,則=(t,t,-4t),
所以M(+t,+t,4-4t),所以=(t-,t,4-4t).
又=(-2,-2,2),⊥,
所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0,解得t=,
所以=.
15.解:(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
∵AC=2a,∠ABC=90°,∴AB=BC=a.
∴B(0,0,0),A(a,0,0),C(0,a,0),B1(0,0,3a),A1(a,0,3a),C1(0,a,3a),D,E,=(a,-a,3a),=.
∴||=a,||=a,·=0-a2+a2=a2.
∴cos<,>==.
(2)存在.理由如下:
假設(shè)存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF.
不妨設(shè)AF=b,則F(a,0,b),
=(a,-a,b),=(a,0,b-3a),=.
∵·=a2-a2+0=0,∴⊥恒成立.
由·=2a2+b(b-3a)=b2-3ab+2a2=0,得b=a或b=2a.
∴在線段AA1上存在點(diǎn)F,使CF⊥平面B1DF,且||=a或||=2a.
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