資源簡介

6.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.能用向量語言表述直線和平面.理解直線的方向向量與平面的法向量.
2.會求直線的方向向量與平面的法向量.
1.直線的方向向量
直線l上的向量e(e≠0)以及　　　　　　　　　叫作直線l的方向向量.
2.平面的法向量
(1)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α,那么稱　　　　　　　　　,記作　　　　.此時,我們把向量n叫作平面α的　　　　.
(2)與平面　　　　　的直線叫作平面的法線.因此,平面的法向量就是　　　　　　　的方向向量.
　　微點助解
(1)空間中,一個向量若是直線l的方向向量,必須滿足兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量,且直線l的方向向量有無數個.
(3)在求平面的法向量時,方程組有無數多個解,所以平面的法向量不是唯一的,只需給x,y,z中的一個變量賦予一個值,即可確定平面的一個法向量;賦的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量.
[基點訓練]
1.若A,B在直線l上,則直線l的一個方向向量為 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知直線l的一個方向向量m=(2,-1,3),且直線l過A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點,則y-z= (　　)
A.0 B.1
C. D.3
3.已知向量=,=,則平面ABC的一個法向量為 (　　)
A. B.
C. D.
4.經過點(1,1,1)且與z軸垂直的平面的方程為　　　　　　.
題型(一)　直線的方向向量
[例1]　如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1,設=a,=b,=c,以{a,b,c}為空間向量的一個基底,求直線AD,AE的方向向量.
聽課記錄:
[思維建模]
　　求直線的方向向量關鍵是找到直線上兩點,用所給的基向量表示以兩點為起點和終點的向量,其難點是向量的運算.
　　[針對訓練]
1.在如圖所示的空間直角坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,棱長為1,則直線DD1的一個方向向量為　　　,直線BC1的一個方向向量為　　　　.
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,O是AC與BD的交點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:是直線GH的一個方向向量.
題型(二)　直線方向向量表示的應用
[例2]　在空間直角坐標系中,已知點A(-2,1,-1),B(1,-3,4),C(1,0,-3),P為直線AC上的一點,且BP⊥AC,求的值.
聽課記錄:
[思維建模]
直線的方向向量就是與直線平行的非零向量,對模沒有限制,注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的,然后根據共線建立方程組求解.
　　[針對訓練]
3.已知在空間直角坐標系O-xyz中,點A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點,且3||=||,則點C的坐標為　　　　.
4.已知空間三點O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直線OA上有一點H滿足BH⊥OA,則點H的坐標為　　　　.
題型(三)　平面的法向量
[例3]　如圖,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當的坐標系.
(1)求平面ABCD的一個法向量;
(2)求平面SAB的一個法向量;
(3)求平面SCD的一個法向量.
聽課記錄:
[思維建模] 利用待定系數法求平面法向量的步驟
(1)設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)選向量:在平面內選取兩個不共線向量,.
(3)列方程組:
(4)解方程組:
(5)賦非零值:取x,y,z其中一個為非零值(常取±1).
(6)得結論:得到平面的一個法向量.
　　[針對訓練]
5.已知點A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1內存在點E,使得CE⊥平面AB1D1,則點E的坐標是　　　　　.
6.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點,在如圖所示的空間直角坐標系中,求:
(1)平面BDD1B1的一個法向量;
(2)平面BDEF的一個法向量.
6.3.1　直線的方向向量與平面的法向量
課前環節
1.與e共線的非零向量　
2.(1)向量n垂直于平面α　n⊥α　法向量　(2)垂直　平面的法線
[基點訓練]
1.D　2.A　3.D
4.解析:因為與z軸垂直的平面的一個法向量n=(0,0,1),所以所求平面的方程為z-1=0.
答案:z-1=0
課堂環節
[題型(一)]
[例1]　解:=+=++=++
=++
=++=a+b+c,
所以直線AD的一個方向向量是a+b+c.
=+=+
=+
=+=b+c,
所以直線AE的一個方向向量為b+c.
[針對訓練]
1.解析:因為DD1∥AA1,=(0,0,1),故直線DD1的一個方向向量為(0,0,1);因為BC1∥AD1,=(0,1,1),故直線BC1的一個方向向量為(0,1,1).
答案:(0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一)
2.證明:連接MO(圖略),
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴O為AC的中點,又M是PC的中點,
∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM,PA 平面BDM,
∴PA∥平面BDM.∵PA 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴PA∥GH,∴是直線GH的一個方向向量.
[題型(二)]
[例2]　解:設=t,
因為=(3,-1,-2),=(-3,4,-5),
所以=+=+t=(-3,4,-5)+t(3,-1,-2)=(3t-3,4-t,-5-2t).
又BP⊥AC,所以·=0,即(3,-1,-2)·(3t-3,4-t,-5-2t)=0,
解得t=.故=.
[針對訓練]
3.解析:由題意得=(-2,-6,-2).
∵C為線段AB上一點,且3||=||,
∴=,∴=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故點C的坐標為.
答案:
4.解析:由題意得=(-1,1,0),且點H在直線OA上,可設H(-λ,λ,0),則=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,
∴H.
答案:
[題型(三)]
[例3]　解:以點A為原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.
(2)∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,
∴AD⊥平面SAB,
∴=是平面SAB的一個法向量.
(3)在平面SCD中,
=,=(1,1,-1).
設平面SCD的法向量n=(x,y,z),
則n⊥,n⊥,
∴得
令y=-1,則z=1,x=2,
∴n=(2,-1,1).
即n=(2,-1,1)是平面SCD的一個法向量.
[針對訓練]
5.解析:不妨設點E的坐標為(x0,y0,z0),平面AB1D1的法向量為n=(x1,y1,z1),
因為A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),
所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0),
因為CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以
即　 ①.
又由 不妨令z1=1,則x1=2,y1=-2,故n可以取(2,-2,1),
從而·n=0,即2x0-2y0+z0=2　②,
聯立①②可得,x0=,y0=,z0=,故點E的坐標為.
答案:
6.解:(1)由題意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),
連接AC,因為底面ABCD為正方形,所以AC⊥BD.
又因為DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以DD1⊥AC,
且BD∩DD1=D,則AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量.(答案不唯一).
(2)=(2,2,0),=(1,0,2).設平面BDEF的法向量為n=(x,y,z),
則所以令x=2,得y=-2,z=-1,
所以n=(2,-2,-1)即為平面BDEF的一個法向量.(答案不唯一).
1 / 6(共62張PPT)
6.3.1
直線的方向向量與平面的
法向量
(強基課——梯度進階式教學)
課時目標
1.能用向量語言表述直線和平面.理解直線的方向向量與平面的法向量.
2.會求直線的方向向量與平面的法向量.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
課時跟蹤檢測
課前環節/預知教材·自主落實主干基礎
1.直線的方向向量
直線l上的向量e(e≠0)以及__________________叫作直線l的方向向量.
2.平面的法向量
(1)如果表示非零向量n的有向線段所在直線垂直于平面α,那么稱__________________,記作_____.此時,我們把向量n叫作平面α的_______.
(2)與平面______的直線叫作平面的法線.因此,平面的法向量就是___________的方向向量.
與e共線的非零向量
向量n垂直于平面α
n⊥α
法向量
垂直
平面的法線
微點助解
(1)空間中,一個向量若是直線l的方向向量,必須滿足兩個條件:①是非零向量;②向量所在的直線與l平行或重合.
(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量,且直線l的方向向量有無數個.
(3)在求平面的法向量時,方程組有無數多個解,所以平面的法向量不是唯一的,只需給x,y,z中的一個變量賦予一個值,即可確定平面的一個法向量;賦的值不同,所求平面的法向量就不同,但它們是共線向量.
1.若A,B在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　)
A. B.
C. D.
基點訓練
√
2.已知直線l的一個方向向量m=(2,-1,3),且直線l過A(0,y,3)和B(-1,2,z)兩點,則y-z= (　　)
A.0 B.1
C. D.3
√
3.已知向量=,=,則平面ABC的一個法向量為(　　)
A. B.
C. D.
√
4.經過點(1,1,1)且與z軸垂直的平面的方程為　　　　　　.
解析:因為與z軸垂直的平面的一個法向量n=(0,0,1),所以所求平面的方程為z-1=0.
z-1=0
課堂環節/題點研究·遷移應用融會貫通
題型(一)　直線的方向向量
[例1]　如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,B1D=2DC1,CE=EC1,設=a,=b,=c,以{a,b,c}為空間向量的一個基底,求直線AD,AE的方向向量.
解:=+=++=++
=++=++=a+b+c,
所以直線AD的一個方向向量是a+b+c.
=+=+=+=+=b+c,所以直線AE的一個方向向量為b+c.
[思維建模]
　　求直線的方向向量關鍵是找到直線上兩點,用所給的基向量表示以兩點為起點和終點的向量,其難點是向量的運算.
針對訓練
1.在如圖所示的空間直角坐標系中,ABCD-A1B1C1D1為正方體,棱長為1,則直線DD1的一個方向向量為_________,直線BC1的一個方向向量為____________________.
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
解析:因為DD1∥AA1,=(0,0,1),故直線DD1的一個方向向量為(0,0,1);因為BC1∥AD1,=(0,1,1),故直線BC1的一個方向向量為(0,1,1).
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,O是AC與BD的交點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過點G和AP作平面交平面BDM于GH.求證:是直線GH的一個方向向量.
證明:連接MO(圖略),∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴O為AC的中點,又M是PC的中點,∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM,PA 平面BDM,
∴PA∥平面BDM.∵PA 平面PAG,平面PAG∩平面BDM=GH,
∴PA∥GH,∴是直線GH的一個方向向量.
題型(二)　直線方向向量表示的應用
[例2]　在空間直角坐標系中,已知點A(-2,1,-1),B(1,-3,4),C(1,0,-3),P為直線AC上的一點,且BP⊥AC,求的值.
解:設=t,因為=(3,-1,-2),=(-3,4,-5),
所以=+=+t=(-3,4,-5)+t(3,-1,-2)=(3t-3,4-t,-5-2t).
又BP⊥AC,所以·=0,即(3,-1,-2)·(3t-3,4-t,-5-2t)=0,
解得t=.故=.
[思維建模]
　　直線的方向向量就是與直線平行的非零向量,對模沒有限制,注意起點和終點都在直線上的向量也是符合題意的,然后根據共線建立方程組求解.
針對訓練
3.已知在空間直角坐標系O-xyz中,點A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB
上一點,且3||=||,則點C的坐標為_____________.
解析:由題意得=(-2,-6,-2).∵C為線段AB上一點,且3||=||,
∴=,∴=+=(4,1,3)+(-2,-6,-2)=.故點C的坐標為.
4.已知空間三點O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直線OA上有一點
H滿足BH⊥OA,則點H的坐標為____________.
解析:由題意得=(-1,1,0),且點H在直線OA上,可設H(-λ,λ,0),則=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H.
題型(三)　平面的法向量
[例3]　如圖,已知四邊形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,
SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當的坐標系.
(1)求平面ABCD的一個法向量;
解:以點A為原點,AD,AB,AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D,S(0,0,1).
∵SA⊥平面ABCD,∴=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.
(2)求平面SAB的一個法向量;
解: ∵AD⊥AB,AD⊥SA,AB∩SA=A,∴AD⊥平面SAB,
∴=是平面SAB的一個法向量.
(3)求平面SCD的一個法向量.
解: 在平面SCD中,=,=(1,1,-1).
設平面SCD的法向量n=(x,y,z),
則n⊥,n⊥,∴得
令y=-1,則z=1,x=2,∴n=(2,-1,1).
即n=(2,-1,1)是平面SCD的一個法向量.
[思維建模] 利用待定系數法求平面法向量的步驟
(1)設向量:設平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)選向量:在平面內選取兩個不共線向量,.
(3)列方程組:
(4)解方程組:
(5)賦非零值:取x,y,z其中一個為非零值(常取±1).
(6)得結論:得到平面的一個法向量.
針對訓練
5.已知點A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),若在平面AB1D1
內存在點E,使得CE⊥平面AB1D1,則點E的坐標是　　　　　.
解析:不妨設點E的坐標為(x0,y0,z0),平面AB1D1的法向量為n=(x1,y1,z1),
因為A(1,0,0),B1,D1(0,0,2),C(0,1,0),
所以=(0,1,2),=(-1,0,2),=(x0,y0-1,z0),=(x0-1,y0,z0),
因為CE⊥平面AB1D1,所以CE⊥AB1,CE⊥AD1,所以
即　 ①.又由 不妨令z1=1,則x1=2,y1=-2,故n可以取(2,-2,1),從而·n=0,即2x0-2y0+z0=2　②,聯立①②可得,x0=,y0=,z0=,故點E的坐標為.
6.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為棱A1D1,A1B1的中點,在如圖所示的空間直角坐標系中,求:
(1)平面BDD1B1的一個法向量;
解:由題意,可得D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
E(1,0,2),連接AC,因為底面ABCD為正方形,所以AC⊥BD.
又因為DD1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
所以DD1⊥AC,且BD∩DD1=D,則AC⊥平面BDD1B1,所以=(-2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量.(答案不唯一).
(2)平面BDEF的一個法向量.
解: =(2,2,0),=(1,0,2).設平面BDEF的法向量為n=(x,y,z),
則所以令x=2,得y=-2,z=-1,
所以n=(2,-2,-1)即為平面BDEF的一個法向量.(答案不唯一).
課時跟蹤檢測
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A級——綜合提能
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
解析:因為=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直線l的一個方向向量.
√
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2.若n=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量中能作為平面α的一個法向量的是 (　　)
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
解析:由題意可得,要求平面α的一個法向量,即求與n共線的一個向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
√
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3.平面α的一個法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,則點Q的坐標可以是 (　　)
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
解析:選D　設點Q(x,y,z)在平面α上,因為P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次驗證選項,只有D滿足.
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4.在空間直角坐標系內,平面α經過三點A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一個法向量,則λ+μ= (　　)
A.-7 B.-5
C.5 D.7
解析:因為=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7.
√
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5.已知點A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點且=,則點C的坐標為(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:設C(x,y,z),∵C為線段AB上一點且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴x=,y=-1,z=.因此點C的坐標為.故選C.
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6.在空間直角坐標系O-xyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一個法向量為m=(3,1,-1),則直線AB的一個方向向量為________.
解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一個法向量為m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直線AB的一個方向向量為=(1,1,4).
(1,1,4)
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7.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中的位置如圖所示,則直線DB1的一個方向向量為_____________________.
解析:由題意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直線DB1的一個方向向量為(1,1,1).
(1,1,1)(答案不唯一)
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8.已知空間直角坐標系O-xyz中的點A(1,1,1),平面α過點A并且與直線OA垂直,動點P(x,y,z)是平面α內的任意一點,則直線OA的一個方向向量為_____________________,點P的坐標滿足的條件為___________.
解析:直線OA的一個方向向量為=(1,1,1).由題意知OA⊥α,因為AP α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),則·=0,即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3.
(1,1,1)(答案不唯一)
x+y+z=3
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9.在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC內任意一點.
(1)求平面ABC的一個法向量;
解:設平面ABC的法向量n=(a,b,c).∵=(2,4,-1),=(2,2,1),
∴∴
令b=2,則a=-3,c=2.∴平面ABC的一個法向量為n=(-3,2,2)(答案不唯一).
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(2)求x,y,z滿足的關系式.
解:由(1)知n=(-3,2,2)為平面ABC的一個法向量,又點M(x,y,z)是平面ABC內任意一點,∴⊥n,∵=(x-1,y+1,z-2),∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
∴3x-2y-2z-1=0.故x,y,z滿足的關系式為3x-2y-2z-1=0.
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10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形且PD=AD=2,E,F分別是PC,PB的中點.
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(1)試以F為起點作直線DE的方向向量;
解:如圖①,連接EF,
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因為E,F分別是PC,PB的中點,所以EF BC.
又BC∥=AD,所以EF AD.
取AD的中點M,連接MF,所以EF DM,
所以四邊形DEFM是平行四邊形,所以MF∥DE,即是直線DE的一個方向向量.
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(2)若棱PC上存在一點N,且AN⊥PC,求的值.
解:以D為原點建立空間直角坐標系,如圖②所示,
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則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(0,0,2),=(-2,0,0).
設N(x,y,z),因為點N在CP上,所以存在實數t,使得=t(0≤t≤1),
則=+t=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t),所以=+=(-2,0,0)+(0,2t,2-2t)=(-2,2t,2-2t).
又AN⊥PC,所以·=4t-2(2-2t)=0,解得t=,所以=.
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B級——應用創新
11.已知平面α={P|n·=0},其中點P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),則下列各點中不在平面α內的是(　　)
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
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解析:對于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;
對于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;
對于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;
對于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故選B.
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12.《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如圖所示的空間直角坐標系,則平面ACD的一個法向量為 (　　)
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
√
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解析:根據題意,設BD=AB=CD=1,則D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),則=(1,0,0),=(0,1,-1),設平面ACD的一個法向量為m=(x,y,z),則有令y=1,可得z=1,則m=(0,1,1).
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13.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.則平面OCB1的一個法向量n=(　　)
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
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解析:由題意建立如圖所示的空間直角坐標系,
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∵四邊形ABCD是正方形,且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,
∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),
∴=(1,1,0),=(0,1,0),又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).設平面OCB1的法向量為n=(x,y,z),則得y=0,x=-z,結合選項,可得n=(1,0,-1),故選C.
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14.[多選]已知空間中三點A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列結論正確的是 (　　)
A.⊥
B.與共線的單位向量是(1,1,0)
C.與夾角的余弦值是-
D.平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)
√
√
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解析:因為A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),所以=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),·=-2+2+0=0,故⊥,A正確;
(1,1,0)不是單位向量,且(1,1,0)與=(2,1,0)不共線,B錯誤;
cos<,>===-,C正確;
設m=(1,-2,5),則m·=2-2+0=0,m·=-1-4+5=0,所以m⊥,m⊥,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以向量(1,-2,5)是平面ABC的一個法向量,D正確.
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15.已知點A(2,4,0),B(1,3,3),如圖,以的方向為正向,在直線AB上建立一條數軸,P,Q為軸上的兩點,且分別滿足條件:
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(1)AP∶PB=1∶2;
解:由(1)AP∶PB=1∶2,得=2,即-=2(-),
=+.設點P坐標為(x,y,z),則上式換用坐標表示,
得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),即x=+=,y=+=,z=0+1=1.
因此,P點的坐標是.
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(2)AQ∶QB=2∶1.求點P和點Q的坐標.
解:因為(2)AQ∶QB=2∶1,
所以=-2,-=-2(-),=-+2.
設點Q的坐標為(x',y',z'),則上式換用坐標表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.因此,Q點的坐標是(0,2,6).課時跟蹤檢測(八)　直線的方向向量與平面的法向量
A級——綜合提能
1.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為 (　　)
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
2.若n=(2,-3,1)是平面α的一個法向量,則下列向量中能作為平面α的一個法向量的是 (　　)
A.(0,-3,1) B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1)
3.平面α的一個法向量n=(1,2,3),P(1,1,1),P∈α,Q∈α,則點Q的坐標可以是 (　　)
A.(-1,-1,-1) B.(4,2,-1)
C.(3,2,1) D.(2,2,0)
4.在空間直角坐標系內,平面α經過三點A(1,0,2),B(0,1,0),C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一個法向量,則λ+μ= (　　)
A.-7 B.-5
C.5 D.7
5.已知點A(4,1,3),B(2,-5,1),C為線段AB上一點且=,則點C的坐標為 (　　)
A. B.
C. D.
6.在空間直角坐標系O-xyz中,已知A(1,1,t),B(2,2,4),若平面ABC的一個法向量為m=(3,1,-1),則直線AB的一個方向向量為　　　.
7.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中的位置如圖所示,則直線DB1的一個方向向量為　　　　.
8.已知空間直角坐標系O-xyz中的點A(1,1,1),平面α過點A并且與直線OA垂直,動點P(x,y,z)是平面α內的任意一點,則直線OA的一個方向向量為　　　,點P的坐標滿足的條件為　　　　.
9.在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC內任意一點.
(1)求平面ABC的一個法向量;
(2)求x,y,z滿足的關系式.
10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形且PD=AD=2,E,F分別是PC,PB的中點.
(1)試以F為起點作直線DE的方向向量;
(2)若棱PC上存在一點N,且AN⊥PC,求的值.
B級——應用創新
11.已知平面α={P|n·=0},其中點P0(1,2,3),法向量n=(1,1,1),則下列各點中不在平面α內的是 (　　)
A.(3,2,1) B.(-2,5,4)
C.(-3,5,4) D.(2,-4,8)
12.《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=AB=CD.若建立如圖所示的空間直角坐標系,則平面ACD的一個法向量為 (　　)
A.(0,1,0) B.(0,1,1)
C.(1,1,1) D.(1,1,0)
13.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.則平面OCB1的一個法向量n= (　　)
A.(0,1,1) B.(1,-1,1)
C.(1,0,-1) D.(-1,-1,1)
14.[多選]已知空間中三點A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列結論正確的是 (　　)
A.⊥
B.與共線的單位向量是(1,1,0)
C.與夾角的余弦值是-
D.平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)
15.已知點A(2,4,0),B(1,3,3),如圖,以的方向為正向,在直線AB上建立一條數軸,P,Q為軸上的兩點,且分別滿足條件:
(1)AP∶PB=1∶2;(2)AQ∶QB=2∶1.
求點P和點Q的坐標.
課時跟蹤檢測(八)
1.選A　因為=(2,4,6),又(1,2,3)=(2,4,6),所以(1,2,3)是直線l的一個方向向量.
2.選D　由題意可得,要求平面α的一個法向量,即求與n共線的一個向量.易知(2,-3,1)=-(-2,3,-1).
3.選D　設點Q(x,y,z)在平面α上,因為P(1,1,1),所以=(x-1,y-1,z-1),由·n=(x-1)×1+(y-1)×2+(z-1)×3=0,得x+2y+3z=6,依次驗證選項,只有D滿足.
4.選D　因為=(-1,1,-2),=(-2,0,1),所以n·=-1+λ-2μ=0,n·=-2+μ=0,可得μ=2,λ=5,所以λ+μ=7.
5.選C　設C(x,y,z),∵C為線段AB上一點且=,∴=,即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),∴∴x=,y=-1,z=.
因此點C的坐標為.故選C.
6.解析:∵A(1,1,t),B(2,2,4),∴=(1,1,4-t).又平面ABC的一個法向量為m=(3,1,-1),∴·m=3+1-4+t=0,解得t=0,∴直線AB的一個方向向量為=(1,1,4).
答案:(1,1,4)
7.解析:由題意知D(0,0,0),B1(1,1,1),所以=(1,1,1),即直線DB1的一個方向向量為(1,1,1).
答案:(1,1,1)(答案不唯一)
8.解析:直線OA的一個方向向量為=(1,1,1).由題意知OA⊥α,因為AP α,所以OA⊥AP,=(x-1,y-1,z-1),則·=0,即x-1+y-1+z-1=0,所以x+y+z=3.
答案:(1,1,1)(答案不唯一)　x+y+z=3
9.解:(1)設平面ABC的法向量n=(a,b,c).
∵=(2,4,-1),=(2,2,1),
∴∴
令b=2,則a=-3,c=2.
∴平面ABC的一個法向量為n=(-3,2,2)(答案不唯一).
(2)由(1)知n=(-3,2,2)為平面ABC的一個法向量,又點M(x,y,z)是平面ABC內任意一點,∴⊥n,∵=(x-1,y+1,z-2),
∴-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
∴3x-2y-2z-1=0.
故x,y,z滿足的關系式為3x-2y-2z-1=0.
10.解:(1)如圖①,連接EF,
因為E,F分別是PC,PB的中點,所以EF BC.又BC∥=AD,
所以EF AD.
取AD的中點M,連接MF,所以EF DM,
所以四邊形DEFM是平行四邊形,
所以MF∥DE,
即是直線DE的一個方向向量.
(2)以D為原點建立空間直角坐標系,如圖②所示,
則D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),所以=(0,2,-2),=(0,0,2),=(-2,0,0).
設N(x,y,z),因為點N在CP上,
所以存在實數t,使得=t(0≤t≤1),
則=+t=(0,0,2)+t(0,2,-2)=(0,2t,2-2t),
所以=+=(-2,0,0)+(0,2t,2-2t)=(-2,2t,2-2t).
又AN⊥PC,所以·=4t-2(2-2t)=0,
解得t=,所以=.
11.選B　對于A,=(2,0,-2),n·=1×2+1×0+1×(-2)=0;對于B,=(-3,3,1),n·=1×(-3)+1×3+1×1=1≠0;對于C,=(-4,3,1),n·=1×(-4)+1×3+1×1=0;對于D,=(1,-6,5),n·=1×1+1×(-6)+1×5=0,故選B.
12.選B　根據題意,設BD=AB=CD=1,則D(0,1,0),C(1,1,0),A(0,0,1),則=(1,0,0),=(0,1,-1),設平面ACD的一個法向量為m=(x,y,z),則有令y=1,可得z=1,則m=(0,1,1).
13.選C　由題意建立如圖所示的空間直角坐標系,∵四邊形ABCD是正方形,
且AB=,∴AO=OC=1,∴OA1=1,∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,1),∴=(1,1,0),=(0,1,0),又==(1,1,0),∴B1(1,1,1),=(1,1,1).設平面OCB1的法向量為n=(x,y,z),則得y=0,x=-z,結合選項,可得n=(1,0,-1),故選C.
14.選ACD　因為A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),所以=(2,1,0),=(-1,2,1),=(-3,1,1),·=-2+2+0=0,
故⊥,A正確;(1,1,0)不是單位向量,且(1,1,0)與=(2,1,0)不共線,B錯誤;cos<,>===-,C正確;設m=(1,-2,5),則m·=2-2+0=0,m·=-1-4+5=0,所以m⊥,m⊥,又AB∩AC=A,AB,AC 平面ABC,所以向量(1,-2,5)是平面ABC的一個法向量,D正確.
15.解:由(1)AP∶PB=1∶2,
得=2,即-=2(-),=+.
設點P坐標為(x,y,z),則上式換用坐標表示,得(x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3),
即x=+=,y=+=,
z=0+1=1.
因此,P點的坐標是.
因為(2)AQ∶QB=2∶1,
所以=-2,-=-2(-),=-+2.
設點Q的坐標為(x',y',z'),則上式換用坐標表示,得(x',y',z')=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6),即x'=0,y'=2,z'=6.
因此,Q點的坐標是(0,2,6).
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