資源簡介

6.3.2　空間線面關(guān)系的判定
第1課時(shí)　向量方法研究平行關(guān)系
(強(qiáng)基課——梯度進(jìn)階式教學(xué))
課時(shí)目標(biāo)
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.
2.能用向量法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.
　　空間中平行關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系 向量表示
線線平行 設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得　　　　
線面平行 設(shè)直線l的方向向量為u,n是平面α的法向量,l α,則l∥α u⊥n 　　　　
面面平行 設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α∥β n1∥n2 λ∈R,使得　　　　
　　微點(diǎn)助解
用向量刻畫空間中直線、平面的平行關(guān)系的注意點(diǎn)
(1)線線平行包括線線重合,線面平行包括線在面內(nèi),面面平行包括面面重合.
(2)直線的方向向量與平面的法向量都不是唯一的,所以運(yùn)用時(shí)應(yīng)以運(yùn)算簡便為標(biāo)準(zhǔn).
(3)線線平行、面面平行中向量仍平行,但線面平行中向量變?yōu)榇怪?可簡記為“同類同性,異類相反”.
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若平面外的一條直線的方向向量與該平面的法向量平行,則這條直線與這個(gè)平面平行. (　　)
(2)兩直線的方向向量垂直,則兩條直線垂直. (　　)
(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí),直線與平面垂直. (　　)
(4)兩個(gè)(不重合)平面的法向量平行,則這兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面的法向量垂直,則這兩個(gè)平面垂直. (　　)
2.[多選]若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則能使l∥α的是 (　　)
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
題型(一)　證明直線與直線平行
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]　
如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,點(diǎn)M在棱BB1上,且BM=2MB1,點(diǎn)S在棱DD1上,且SD1=2SD,點(diǎn)N,R分別為棱A1D1,BC的中點(diǎn).求證:MN∥RS.
聽課記錄:
　　[思維建模]　證明線線平行的兩種方法
基向 量法 用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量,通過向量的線性運(yùn)算,利用向量共線的充要條件證明
坐標(biāo)法 建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算,利用向量平行的坐標(biāo)表示
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
1.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,E為CP的中點(diǎn),N為DE的中點(diǎn),點(diǎn)M在DB上,且DM=DB,DA=DP=1,CD=2.
求證:MN∥AP.
題型(二)　證明直線與平面平行
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例2]　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=2,AB=1.求證:MN∥平面BDE.
聽課記錄:
[思維建模]
利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面,即可用平面內(nèi)的一個(gè)基底表示.
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線,轉(zhuǎn)化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.
(3)先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
2.
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E為棱PD
的中點(diǎn),=λ(λ為常數(shù),且0<λ<1).若直線BF∥平面ACE,求實(shí)數(shù)λ的值.
題型(三)　證明平面與平面平行
　　　　　　　　　　　　　　　　
[例3]　
如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),求證:平面EFG∥平面PBC.
聽課記錄:
[思維建模]
證明面面平行問題的方法
(1)利用空間向量證明面面平行,通常是證明兩平面的法向量平行.
(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.
　　[針對(duì)訓(xùn)練]
3.
如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面BDEF.
第1課時(shí)　向量方法研究平行關(guān)系
課前環(huán)節(jié)
u1=λu2　u·n=0　n1=λn2
[基點(diǎn)訓(xùn)練]
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.選AD　若l∥α,則a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.
課堂環(huán)節(jié)
[題型(一)]
[例1]　證明:法一　如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S.
則,分別為MN,RS的方向向量,又=,=,
所以=,所以∥,因?yàn)镸 RS,所以MN∥RS.
法二　設(shè)=a,=b,=c,則=++=c-a+b,=++=b-a+c.所以=,所以∥.又R MN,所以MN∥RS.
[針對(duì)訓(xùn)練]
1.證明:法一:坐標(biāo)法　由題意知,直線DA,DC,DP兩兩垂直.如圖所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),E,N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=,所以MN∥AP.
法二:基向量法　由題意得=+=+=+×(+)=++=+=(+)=,
所以MN∥AP.
[題型(二)]
[例2]　證明:因?yàn)镻A⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),M,N,P(0,0,2),
所以=(0,1,0),=(1,0,-1),
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1),又=,所以·n=1×+0×1+1×=0,即⊥n,
因?yàn)镸N 平面BDE, 所以MN∥平面BDE.
[針對(duì)訓(xùn)練]
2.解:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.由題意可知,AB,AD,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,1),
所以=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,0,2),=(2,2,-2),則=λ=(2λ,2λ,-2λ),
所以=+=(2λ-2,2λ,2-2λ).
設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z).
由得
不妨令x=1,得m=(1,-1,2).
因?yàn)锽F∥平面ACE,
所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0,
解得λ=.故實(shí)數(shù)λ的值為.
[題型(三)]
[例3]　證明:因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,
所以AB,AP,AD兩兩垂直,如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),
=(1,1,-1),=(0,2,0).
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,
則n1⊥,n1⊥,
即得
令z1=1,則x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,
由n2⊥,n2⊥,
即得
令z2=1,則x2=1,y2=0,
所以n2=(1,0,1),
所以n1∥n2,又平面EFG與平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC.
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.證明:如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以,,為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M,N,E,F.
于是=,=,=,=.
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,
則
取z1=1,得x1=2,y1=-2,則n1=(2,-2,1).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,
則
取z2=1,得y2=-2,x2=2,則n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN與平面BDEF不重合,
故平面AMN∥平面BDEF.
1 / 4(共67張PPT)
6.3.2
空間線面關(guān)系的判定
向量方法研究平行關(guān)系
(強(qiáng)基課——梯度進(jìn)階式教學(xué))
第1課時(shí)
課時(shí)目標(biāo)
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.
2.能用向量法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.
CONTENTS
目錄
1
2
3
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
課時(shí)跟蹤檢測
課前環(huán)節(jié)/預(yù)知教材·自主落實(shí)主干基礎(chǔ)
空間中平行關(guān)系的向量表示
位置關(guān)系 向量表示
線線平行 設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得_______
線面平行 設(shè)直線l的方向向量為u,n是平面α的法向量,l α,則l∥α u⊥n ____________
面面平行 設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α∥β n1∥n2 λ∈R,使得________
u1=λu2
u·n=0
n1=λn2
微點(diǎn)助解　　用向量刻畫空間中直線、平面的平行關(guān)系的注意點(diǎn)
(1)線線平行包括線線重合,線面平行包括線在面內(nèi),面面平行包括面面重合.
(2)直線的方向向量與平面的法向量都不是唯一的,所以運(yùn)用時(shí)應(yīng)以運(yùn)算簡便為標(biāo)準(zhǔn).
(3)線線平行、面面平行中向量仍平行,但線面平行中向量變?yōu)榇怪?可簡記為“同類同性,異類相反”.
1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)
(1)若平面外的一條直線的方向向量與該平面的法向量平行,則這條直線與這個(gè)平面平行. (　　)
(2)兩直線的方向向量垂直,則兩條直線垂直. (　　)
(3)直線的方向向量與平面的法向量的方向相同或相反時(shí),直線與平面垂直. (　　)
(4)兩個(gè)(不重合)平面的法向量平行,則這兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面的法向量垂直,則這兩個(gè)平面垂直. (　　)
基點(diǎn)訓(xùn)練
×
√
√
√
2.[多選]若直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,則能使l∥α的是 (　　)
A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
解析:若l∥α,則a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0.
√
√
課堂環(huán)節(jié)/題點(diǎn)研究·遷移應(yīng)用融會(huì)貫通
題型(一)　證明直線與直線平行
[例1]　如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,點(diǎn)M在棱BB1上,且BM=2MB1,點(diǎn)S在棱DD1上,且SD1=2SD,點(diǎn)N,R分別為棱A1D1,BC的中點(diǎn).求證:MN∥RS.
證明:法一　如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)題意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S.
則,分別為MN,RS的方向向量,又=,=,所以=,所以∥,因?yàn)镸 RS,所以MN∥RS.
法二　設(shè)=a,=b,=c,則=++=c-a+b,=++=b-a+c.所以=,所以∥.又R MN,所以MN∥RS.
[思維建模]　證明線線平行的兩種方法
基向量法 用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量,通過向量的線性運(yùn)算,利用向量共線的充要條件證明
坐標(biāo)法 建立空間直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運(yùn)算,利用向量平行的坐標(biāo)表示
針對(duì)訓(xùn)練
1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,E為CP的中點(diǎn),N為DE的中點(diǎn),點(diǎn)M在DB上,且DM=DB,DA=DP=1,CD=2.
求證:MN∥AP.
證明:法一:坐標(biāo)法　由題意知,直線DA,DC,DP兩兩垂直.如圖所示,
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),
E,N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=,所以MN∥AP.
法二:基向量法　由題意得=+=+=+
×(+)=++=+=(+)=,所以MN∥AP.
題型(二)　證明直線與平面平行
[例2]　如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.點(diǎn)D,E,
N分別為棱PA,PC,BC的中點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),PA=AC=2,AB=1.求證:MN∥平面BDE.
證明:因?yàn)镻A⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,
則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),
M,N,P(0,0,2),所以=(0,1,0),=(1,0,-1),
設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量,則即
不妨設(shè)z=1,可得n=(1,0,1),又=,所以·n=1×+
0×1+1×=0,即⊥n,因?yàn)镸N 平面BDE, 所以MN∥平面BDE.
[思維建模] 利用空間向量證明線面平行的三種方法
(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面,即可用平面內(nèi)的一個(gè)基底表示.
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線,轉(zhuǎn)化為線線平行,利用線面平行判定定理得證.
(3)先求直線的方向向量,然后求平面的法向量,證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
針對(duì)訓(xùn)練
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,
PA=AB=BC=2,AD=4,E為棱PD的中點(diǎn),=λ(λ為常數(shù),且0<λ<1).若直線BF∥平面ACE,求實(shí)數(shù)λ的值.
解:因?yàn)镻A⊥底面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.
由題意可知,AB,AD,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,1),
所以=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,0,2),=(2,2,-2),則=λ=(2λ,2λ,-2λ),所以=+=(2λ-2,2λ,2-2λ).設(shè)平面ACE的法向量為m=(x,y,z).由得
不妨令x=1,得m=(1,-1,2).因?yàn)锽F∥平面ACE,
所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0,解得λ=.故實(shí)數(shù)λ的值為.
題型(三)　證明平面與平面平行
[例3]　如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn),求證:平面EFG∥平面PBC.
證明:因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,所以AB,AP,AD兩兩垂直,如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),
E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0).
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,則n1⊥,n1⊥,
即得
令z1=1,則x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,
由n2⊥,n2⊥,即得
令z2=1,則x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1),所以n1∥n2,又平面EFG與平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC.
　[思維建模] 證明面面平行問題的方法
(1)利用空間向量證明面面平行,通常是證明兩平面的法向量平行.
(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.
針對(duì)訓(xùn)練
3.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,M,N,E,F分別是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面BDEF.
證明:如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),分別以,,為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M,
N,E,F.于是=,
=,=,=.
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,則取z1=1,得x1=2,y1=-2,則n1=(2,-2,1).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,則
取z2=1,得y2=-2,x2=2,則n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN與平面BDEF不重合,故平面AMN∥平面BDEF.
課時(shí)跟蹤檢測
04
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4
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6
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2
A級(jí)——綜合提能
1.在空間直角坐標(biāo)系中,a=(1,2,1)為直線l的一個(gè)方向向量,n=(2,t,4)為平面α的一個(gè)法向量,且l∥α,則t=(　　)
A.3 B.1
C.-3 D.-1
解析:因?yàn)閘∥α,所以a=(1,2,1)與n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3.
√
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14
2
3
4
2.設(shè)u=(2,0,-1)是平面α的一個(gè)法向量,a=(1,0,2)是直線l的一個(gè)方向向量,則直線l與平面α的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行或直線在平面內(nèi) B.不能確定
C.相交但不垂直 D.垂直
解析:因?yàn)閡·a=2+0-2=0,所以u(píng)⊥a,所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).
√
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3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),則直線AB與CD的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.無法確定
解析:因?yàn)?(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以與平行.又四點(diǎn)不共線,所以直線AB與CD平行.
√
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4.若平面α的一個(gè)法向量為u1=(-3,y,2),平面β的一個(gè)法向量為u2=(6,-2,z),且α∥β,則y+z的值是 (　　)
A.-3 B.-4
C.3 D.4
√
1
5
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3
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2
解析:∵α∥β,∴u1∥u2,故存在實(shí)數(shù)λ,使得u1=λu2,
即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得∴y+z=1-4=-3.
1
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5.[多選]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AA1中點(diǎn),若直線EF∥平面A1BC1,則點(diǎn)F的位置可能是 (　　)
A.線段CC1中點(diǎn) B.線段BC中點(diǎn)
C.線段CD中點(diǎn) D.線段C1D1中點(diǎn)
√
√
√
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解析:如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
1
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3
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2
設(shè)CC1,BC,CD,C1D1的中點(diǎn)分別為M,N,P,Q,不妨設(shè)棱長為2,
則A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),
N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),
=(0,2,-2),=(-2,2,0),設(shè)平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),
則
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令y=1,則n=(1,1,1),又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),則·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ 平面A1BC1,則EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直線EF∥平面A1BC1,則點(diǎn)F的位置可能是線段CC1中點(diǎn),線段BC中點(diǎn)或線段C1D1中點(diǎn).
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6.已知直線a,b的方向向量分別為m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,則k=　　　　.
解析:因?yàn)閍∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,
所以解得λ=-2,k=-2.
-2
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7.設(shè)平面α,β的一個(gè)法向量分別為u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),則α,β的位置關(guān)系為　　　　.
解析:因?yàn)閡=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β.
平行
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8.平面α經(jīng)過點(diǎn)A(0,0,2)且一個(gè)法向量n=(1,-1,-1),則平面α與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是__________.
解析:設(shè)平面α與x軸的交點(diǎn)為B(m,0,0),因?yàn)槠矫姒两?jīng)過點(diǎn)A(0,0,2),所以AB 平面α.又=(m,0,-2),平面α的一個(gè)法向量n=(1,-1,-1),所以·n=0,即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,故平面α與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0,0).
(-2,0,0)
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9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=,
PA⊥底面ABCD,PA=2,點(diǎn)M為PA的中點(diǎn),點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),AF⊥CD于F,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN∥平面PCD.
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證明:由題設(shè)知,在Rt△AFD中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F,D,
P(0,0,2),M(0,0,1),N.=,=,=.
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設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),
則
令z=,得n=(0,4,).因?yàn)椤=·(0,4,)=0,
又MN 平面PCD,所以MN∥平面PCD.
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10.如圖,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD,B1C的中點(diǎn),利用向量法證明.
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(1)MN∥平面CC1D1D;
證明:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
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設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),
N(1,1,0),P(1,2,1).由正方體的性質(zhì),知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.
由于=(0,1,-1),則·=0×2+1×0+(-1)×0=0,
所以⊥.
又MN 平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.
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(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
證明: 由(1)知=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),則即=(2,0,0)也是平面MNP的一個(gè)法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.
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B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱C1D1上,且=λ(0≤λ≤1),若B1F∥平面A1BE,則λ=(　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:如圖所示,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
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設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,0,0),E,D1(0,1,1),
C1(1,1,1),A1(0,0,1),
可得=(-1,0,1),=,設(shè)n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,則令z=2,則x=2,y=1,即n=(2,1,2).
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=(1,0,0),且=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1),
又因?yàn)锽1(1,0,1),則=(λ-1,1,0),由B1F∥平面A1BE,
可得n·=2(λ-1)+1×1+0×2=0,解得λ=.
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12.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P平行于平面AEF,則線段A1P長度的最小值為 (　　)
A. B.
C. D.
√
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解析:選B　如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
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A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),所以=(-1,2,0),
=(-2,2,1),設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),
則 取y=1,得n=(2,1,2),
設(shè)P(a,2,c),0≤a≤2,0≤c≤2,則=(a-2,2,c-2),因?yàn)锳1P平行于平面AEF,所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,∴線段A1P長度||==
=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí),線段A1P長度取最小值.
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13.如圖,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中點(diǎn),E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn),將△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.試用向量法證明AP∥平面EFG.
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證明:如圖,以D為原點(diǎn),以,,分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
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則P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),
A(2,0,0),=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z).∴即令x=1,
則y=0,z=1,∴n=(1,0,1).∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,
∴n⊥.又AP 平面EFG,∴AP∥平面EFG.
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14.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O為AC的中點(diǎn).在BC1上是否存在一點(diǎn)E,使得OE∥平面A1AB 若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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解:連接OA1,因?yàn)锳A1=A1C,且O為AC的中點(diǎn),所以A1O⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,交線為AC,且A1O 平面AA1C1C,
所以A1O⊥平面ABC.連接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
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由題意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以O(shè)B=AC=1,
所以O(shè)(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(1,0,0),
則=(0,1,),=(1,1,0).設(shè)平面AA1B的法向量為n=(x,y,z),
則有即令y=1,得x=-1,z=-,
所以n=.設(shè)E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),
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由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,),
所以所以E(1-λ,2λ,λ),所以=(1-λ,2λ,λ).
由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=.
所以在BC1上存在點(diǎn)E使得OE∥平面A1AB,且E為BC1的中點(diǎn).課時(shí)跟蹤檢測(九)　向量方法研究平行關(guān)系
A級(jí)——綜合提能
1.在空間直角坐標(biāo)系中,a=(1,2,1)為直線l的一個(gè)方向向量,n=(2,t,4)為平面α的一個(gè)法向量,且l∥α,則t= (　　)
A.3 B.1
C.-3 D.-1
2.設(shè)u=(2,0,-1)是平面α的一個(gè)法向量,a=(1,0,2)是直線l的一個(gè)方向向量,則直線l與平面α的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行或直線在平面內(nèi) B.不能確定
C.相交但不垂直 D.垂直
3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),則直線AB與CD的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.無法確定
4.若平面α的一個(gè)法向量為u1=(-3,y,2),平面β的一個(gè)法向量為u2=(6,-2,z),且α∥β,則y+z的值是 (　　)
A.-3 B.-4
C.3 D.4
5.[多選]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為AA1中點(diǎn),若直線EF∥平面A1BC1,則點(diǎn)F的位置可能是 (　　)
A.線段CC1中點(diǎn) B.線段BC中點(diǎn)
C.線段CD中點(diǎn) D.線段C1D1中點(diǎn)
6.已知直線a,b的方向向量分別為m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,則k=　　　　.
7.設(shè)平面α,β的一個(gè)法向量分別為u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),則α,β的位置關(guān)系為　　　　.
8.平面α經(jīng)過點(diǎn)A(0,0,2)且一個(gè)法向量n=(1,-1,-1),則平面α與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　.
9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為1的菱形,∠ABC=,PA⊥底面ABCD,PA=2,點(diǎn)M為PA的中點(diǎn),點(diǎn)N為BC的中點(diǎn),AF⊥CD于F,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN∥平面PCD.
10.如圖,已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是AD1,BD,B1C的中點(diǎn),利用向量法證明.
(1)MN∥平面CC1D1D;
(2)平面MNP∥平面CC1D1D.
B級(jí)——應(yīng)用創(chuàng)新
11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱C1D1上,且=λ(0≤λ≤1),若B1F∥平面A1BE,則λ= (　　)
A. B.
C. D.
12.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P平行于平面AEF,則線段A1P長度的最小值為 (　　)
A. B.
C. D.
13.如圖,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中點(diǎn),E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn),將△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.試用向量法證明AP∥平面EFG.
14.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O為AC的中點(diǎn).在BC1上是否存在一點(diǎn)E,使得OE∥平面A1AB 若存在,確定點(diǎn)E的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
課時(shí)跟蹤檢測(九)
1.選C　因?yàn)閘∥α,所以a=(1,2,1)與n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3.
2.選A　因?yàn)閡·a=2+0-2=0,所以u(píng)⊥a,所以直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或直線在平面內(nèi).
3.選A　因?yàn)?(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以與平行.又四點(diǎn)不共線,所以直線AB與CD平行.
4.選A　∵α∥β,∴u1∥u2,故存在實(shí)數(shù)λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得∴y+z=1-4=-3.
5.選ABD　如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)CC1,BC,CD,C1D1的中點(diǎn)分別為M,N,P,Q,不妨設(shè)棱長為2,
則A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),=(0,2,-2),=(-2,2,0),設(shè)平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),則令y=1,則n=(1,1,1),又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),則·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ 平面A1BC1,則EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直線EF∥平面A1BC1,則點(diǎn)F的位置可能是線段CC1中點(diǎn),線段BC中點(diǎn)或線段C1D1中點(diǎn).
6.解析:因?yàn)閍∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以解得λ=-2,k=-2.
答案:-2
7.解析:因?yàn)閡=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β.
答案:平行
8.解析:設(shè)平面α與x軸的交點(diǎn)為B(m,0,0),因?yàn)槠矫姒两?jīng)過點(diǎn)A(0,0,2),所以AB 平面α.又=(m,0,-2),平面α的一個(gè)法向量n=(1,-1,-1),所以·n=0,即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,故平面α與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,0,0).
答案:(-2,0,0)
9.證明:由題設(shè)知,在Rt△AFD中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F,D,P(0,0,2),M(0,0,1),N.=,=,=.
設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則
令z=,得n=(0,4,).
因?yàn)椤=·(0,4,)=0,又MN 平面PCD,所以MN∥平面PCD.
10.證明:(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).
由正方體的性質(zhì),知AD⊥平面CC1D1D,
所以=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.
由于=(0,1,-1),則·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥.
又MN 平面CC1D1D,
所以MN∥平面CC1D1D.
(2)由(1)知=(2,0,0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),則即=(2,0,0)也是平面MNP的一個(gè)法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D.
11.選C　如圖所示,以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正方體的棱長為1,則B(1,0,0),E,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1),可得=(-1,0,1),=,設(shè)n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,則令z=2,則x=2,y=1,即n=(2,1,2).由=(1,0,0),且=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1),又因?yàn)锽1(1,0,1),則=(λ-1,1,0),由B1F∥平面A1BE,可得n·=2(λ-1)+1×1+0×2=0,解得λ=.
12.選B　如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,A(2,0,0),E(1,2,0),F(0,2,1),A1(2,0,2),
所以=(-1,2,0),=(-2,2,1),設(shè)平面AEF的法向量n=(x,y,z),則 取y=1,得n=(2,1,2),設(shè)P(a,2,c),0≤a≤2,0≤c≤2,則=(a-2,2,c-2),因?yàn)锳1P平行于平面AEF,所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,∴線段A1P長度||==
=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí),線段A1P長度取最小值.
13.證明:如圖,以D為原點(diǎn),以,,分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1).
設(shè)平面EFG的法向量為n=(x,y,z).
∴即
令x=1,則y=0,z=1,∴n=(1,0,1).
∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,
∴n⊥.
又AP 平面EFG,∴AP∥平面EFG.
14.解:連接OA1,因?yàn)锳A1=A1C,且O為AC的中點(diǎn),所以A1O⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,交線為AC,且A1O 平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.連接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由題意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以O(shè)B=AC=1,
所以O(shè)(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(1,0,0),
則=(0,1,),=(1,1,0).設(shè)平面AA1B的法向量為n=(x,y,z),
則有即令y=1,得x=-1,z=-,所以n=.
設(shè)E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,),所以所以E(1-λ,2λ,λ),所以=(1-λ,2λ,λ).由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=.所以在BC1上存在點(diǎn)E使得OE∥平面A1AB,且E為BC1的中點(diǎn).
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