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階段質量評價(一)　空間向量與立體幾何
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.已知向量a=(2,-1,3),b=(4,x,y),且a∥b,則x+y= (　　)
A.-4 B.-2
C.4 D.2
2.如圖,在四面體PABC中,E是AC的中點,=3,設=a,=b,=c,則= (　　)
A.a-b+c B.a-b+c
C.a+b+c D.a-b+c
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是 (　　)
A.(-1,1,1) B.(1,1,1)
C. D.
4.在四面體OABC中,空間的一個點M滿足=++λ,若M,A,B,C四點共面,則λ等于 (　　)
A. B.
C. D.
5.已知兩條異面直線的方向向量分別是m=(1,-2,3),n=(2,1,0),這兩條異面直線所成的角為 (　　)
A. B.
C. D.
6.已知O是坐標原點,空間向量=(1,1,2),=(-1,3,4),=(2,4,4),若線段AB的中點為D,則||= (　　)
A.9 B.8
C.3 D.2
7.若A(2,2,1),B(0,0,1),C(2,0,0),則點A到直線BC的距離為 (　　)
A. B.
C. D.
8.如圖,四邊形ABCD是邊長為1的正方形,AE⊥平面ABCD,若AE=1,則平面ADE與平面BCE所成的角為 (　　)
A.45° B.60°
C.120° D.150°
二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分. 在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,對角線B1D和BD1相交于點O,則下列結論正確的是 (　　)
A.·=a2 B.·=a2
C.·=a2 D.·=a2
10.已知空間向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),則下列結論正確的是 (　　)
A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b|
C.a⊥(5a+6b) D.a在b上的投影向量為
11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,A1D1的中點,則下列結論正確的是 (　　)
A.BF⊥CE
B.DF∥平面B1CE
C.BF⊥平面B1CE
D.直線DF與直線CE所成角的余弦值為
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上)
12.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則λ=　　　　.
13.已知向量n=(2,0,1)為平面α的一個法向量,點A(-1,1,2)在α內,則點P(1,2,3)到平面α的距離為　　　　.
14.為了測量一斜坡的坡度,小明設計如下的方案:如圖,設斜坡面β與水平面α的交線為l,小明分別在水平面α和斜坡面β選取A,B兩點,且AB=7,A到直線l的距離AA1=3,B到直線l的距離B1B=4,A1B1=2,則斜坡面β與水平面α夾角的大小為　　　　.
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,A1C1上的點,且2BM=A1M,C1N=2A1N,設=a,=b,=c.
(1)試用a,b,c 表示向量;
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求線段MN的長.
16.(15分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,CD=DD1=1,M,N分別為AD1,BC的中點.
(1)求證:MN∥平面C1D1DC;
(2)判斷MN與平面B1C1M是否垂直,并說明理由.
17.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,M為PC中點.
(1)求證:PA∥平面MBD;
(2)若AB=PA=2,求直線AM與平面ABCD所成角的正弦值.
18.(17分)如圖,在△AOP中,OA⊥OP,OA=2,OP=.將△AOP繞OP旋轉60°得到△BOP,D,E分別為線段OP,AP的中點.
(1)求點D到平面ABP的距離;
(2)求平面OBE與平面ABP所成銳角的余弦值.
19.(17分)如圖,在空間直角坐標系中,四棱錐P-OABC的底面是邊長為的正方形,底面OABC在xOy平面內,且拋物線Q:y=mx2經過O,A,C三點,點B在y軸正半軸上,PB⊥平面OABC,側棱OP與底面OABC所成的角為45°.
(1)求m的值;
(2)若N(x,y,0)是拋物線Q上的動點,M是棱OP上的一個定點,它到平面OABC的距離為a(0(3)是否存在一個實數a(0階段質量評價(一)
1.選C　因為向量a=(2,-1,3),b=(4,x,y),且a∥b,所以b=λa,即(4,x,y)=λ(2,-1,3),可得解得所以x+y=4.
2.選B　=-=(+)-=a-b+c,故選B.
3.選B　由題意,得=(-1,1,0),=(-1,0,1),設n=(x,y,z)為平面ABC的法向量,則化簡得∴x=y=z.令x=1,有n=(1,1,1),故選B.
4.選B　因為M,A,B,C四點共面,=++λ,所以++λ=1,解得λ=.
5.選A　設兩條異面直線所成的角為θ,且這兩條異面直線的方向向量分別是m=(1,-2,3),n=(2,1,0),
則cos θ===0,且0<θ≤,所以兩條異面直線所成的角θ=.
6.選C　由題意得D(0,2,3),所以=(-2,-2,-1),所以||==3.
7.選A　=(2,2,0),=(2,0,-1),則在上的投影向量的模為=,則點A到直線BC的距離為==.
8.選A　因為AE⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,如圖建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),C(1,1,0),E(0,0,1),所以=(0,1,0),=(-1,0,1),設平面BCE的法向量為n=(x,y,z),則取n=(1,0,1).又平面ADE的法向量為m=(1,0,0),
設平面ADE與平面BCE所成的角為θ,則cos θ==,又0°≤θ≤90°,所以θ=45°.
9.選AC　以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,如圖,
則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),B1(a,a,a),C1(0,a,a),O,=(0,a,-a),=(-a,0,-a),·=a2,A正確;=(0,a,0),=(-a,a,a),·=a2,B錯誤;=(0,a,0),=,·=a2,C正確;=(-a,0,0),=(a,0,a),·=-a2,D錯誤.
10.選BCD　易知2a+b=(-1,2,7),顯然≠≠,故A錯誤;
易知|a|==,|b|==5 5|a|=|b|,故B正確;
易知5a+6b=(8,19,35) a·(5a+6b)=-2×8+(-1)×19+1×35=0,故C正確;a在b上的投影向量為·b=×(3,4,5)=,故D正確.
11.選AD　以點D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,設AB=2,
則D(0,0,0),E(2,1,0),F(1,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0).=(2,-1,0),=(-1,-2,2),=(1,0,2),=(-2,0,-2).因為·=-2+2=0,所以BF⊥CE,A正確.設平面B1CE的法向量為m=(x,y,z),則令x=1得,y=2,z=-1,故m=(1,2,-1),因為·m=(1,0,2)·(1,2,-1)=1-2=-1≠0,所以與m不垂直,則直線DF與平面B1CE不平行,B錯誤.若BF⊥平面B1CE,則BF⊥B1C.因為·=2+0-4≠0,所以直線BF與直線B1C不垂直,矛盾,C錯誤.cos<,>===,D正確.
12.解析:a-λb=(-2,1,3)-λ(-1,2,1)=(λ-2,1-2λ,3-λ),因為a⊥(a-λb),所以a·(a-λb)=0,即(-2,1,3)·(λ-2,1-2λ,3-λ)=-2λ+4+1-2λ+9-3λ=-7λ+14=0,解得λ=2.
答案:2
13.解析:由題意可得=(-2,-1,-1),所以·n=-4-1=-5,設點P(1,2,3)到平面α的距離為d,則d===.
答案:
14.解析:設與的夾角為θ,因為=++,所以=(++)2=+++2·+2·+2·,又·=·=0,即49=9+12+16+2×3×4cos θ,所以cos θ=,又θ∈[0,π],所以θ=,所以斜坡面β與水平面α夾角的大小為.
答案:
15.解:(1)因為2BM=A1M,C1N=2A1N,
根據空間向量的運算法則,可得=-=-(-)=-++=-a+b+c.
(2)因為∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,可得a·b=0且b·c=a·c=2,
則||2==(4a2+b2+4c2-4a·b+4b·c-8a·c)=(16+4+16-0+8-16)=,所以||=,即線段MN的長為.
16.解:(1)證明:在長方體ABCD-A1B1C1D1中,建立如圖所示的空間直角坐標系,
由AD=2,CD=DD1=1,M,N分別為AD1,BC的中點,得M,N(1,1,0),A(0,2,0),=,顯然平面C1D1DC的一個法向量n==(0,2,0),
則·n=0,于是⊥n,有∥平面C1D1DC,而MN 平面C1D1DC,
所以MN∥平面C1D1DC.
(2)由(1)知,C1(1,0,1),則有=,而·=1×1-×=≠0,
于是向量與向量不垂直,即直線MN與MC1不垂直,而MC1 平面B1C1M,
所以MN與平面B1C1M不垂直.
17.解:(1)證明:連接AC,交BD于O點,則O是AC的中點,連接MO.
因為O,M分別是AC,PC的中點,所以OM∥PA.
因為PA 平面MBD,OM 平面MBD,
所以PA∥平面MBD.
(2)如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),所以=(0,0,2),=(1,1,1).
因為PA⊥平面ABCD,所以=(0,0,2)即為平面ABCD的一個法向量.
設直線AM與平面ABCD所成的角為θ,
因為cos<,>===,
所以sin θ=|cos<,>|=.
18.解:(1)因為OA⊥OP,將△AOP繞OP旋轉60°得到△BOP,所以OB⊥OP.又OA∩OB=O,OA,OB 平面AOB,
所以PO⊥平面AOB.取AB中點C,連接PC,OC,作DF⊥PC,垂足為F.
因為PA=PB,OA=OB,點C為AB中點,所以AB⊥PC,AB⊥OC.又PC∩OC=C,PC,OC 平面POC,
所以AB⊥平面POC.因為DF 平面POC,所以AB⊥DF.
又因為DF⊥PC,PC∩AB=C,AB,PC 平面PAB,所以DF⊥平面PAB,即點D到平面PAB的距離為DF的長度.因為PO⊥平面AOB,OC 平面AOB,
所以PO⊥OC.因為△AOB是邊長為2的等邊三角形,所以OC=.又OP=,所以∠OPC=45°,所以DF=DP·sin 45°=.
(2)以點C為坐標原點,CB,CO所在直線為x,y軸,以過點C,垂直于平面BOC的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標系,
則C(0,0,0),P(0,,),A(-1,0,0),B(1,0,0),O(0,,0),E,
所以=,=(1,-,0).設平面OBE的法向量為n=(x,y,z),可得
即取y=1,則n=(,1,2).取PC中點G,連接OG,
由等腰△COP,得OG⊥PC,則G,由(1)知OG⊥平面PAB,
所以=為平面ABP的一個法向量.
設平面OBE與平面ABP所成銳角為θ,
則cos θ===,
所以平面OBE與平面ABP所成銳角的余弦值為.
19.解:(1)由四棱錐P-OABC是底面邊長為的正方形,得A(1,1,0),所以m=1.
(2)因為PB⊥平面OABC,所以∠POB即為直線PO與平面OABC所成的角,
即∠POB=45°.
因為點M到平面OABC的距離為a(0由N(x,y,0)是拋物線Q上的動點,得y=x2,即N(x,x2,0),
則d(x)=|MN|==.
令t=x2≥0,設f(t)=t2+(1-2a)t+2a2,對稱軸為直線t=,
當即0函數f(t)=t2+(1-2a)t+2a2在[0,+∞)上單調遞增,
則f(t)min=f(0)=2a2,此時d(x)min=a;
當即函數f(t)=t2+(1-2a)t+2a2在t=處取得最小值,即f(t)min=-+2a2=,
此時d(x)min=.
綜上d(x)min=
(3)不存在.理由如下:
當a∈時,點N與原點重合,
則直線MN與OB為相交直線,不符合題意;
當a∈時,若d(x)取最小值,則x2=,
不妨設x>0,則N,B(0,2,0),
則=(0,2,0),
=.
當異面直線MN與OB垂直時,·=0,
即2=0,無解.
綜上所述,不存在一個實數a(06 / 7

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