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階段質量評價(二)　計數原理
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題所給的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.若=18,則m= (　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
2.某學校開展“五育并舉”的選修課,其中體育開設了6門課,分別為籃球、足球、排球、網球、羽毛球、乒乓球,甲、乙兩名學生準備從中各選擇2門課學習,則甲、乙選修的課中至少有1門相同的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
3.已知的展開式中第6項與第8項的二項式系數相等,則含x10項的系數是 (　　)
A.-8 B.8
C.4 D.-4
4.設二項式的展開式的各項系數的和為P,所有二項式系數的和為S.若P+S=272,則n= (　　)
A.4 B.5
C.6 D.8
5.斐波那契數列,又稱黃金分割數列,指的是這樣一個數列:1,1,2,3,5,8,…,這個數列從第3項開始,每一項都等于前兩項之和,小李以前6項數字的某種排列作為他的銀行卡密碼,如果數字1與2不相鄰,則小李可以設置的不同的密碼個數為 (　　)
A.144 B.120
C.108 D.96
6.設(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,則a0+a2+a4+…+a2n= (　　)
A.3n B.
C. D.
7.現有甲、乙、丙、丁、戊5位同學,準備在A,B,C三個景點中選擇一個去游玩,已知每個景點至少有一位同學會選,五位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點,若學生甲和學生乙準備選同一個景點,則不同的選法種數為 (　　)
A.24 B.36
C.48 D.72
8.若一個四位數的各位數字相加和為10,則稱該數為“完美四位數”,如數字“2 017”,則用數字0,1,2,3,4,5,6,7組成的無重復數字且大于2 017的“完美四位數”有 (　　)
A.71個 B.66個
C.59個 D.53個
二、多項選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)
9.在校航天知識展中,航天興趣小組準備從8名組員(其中男組員4人,女組員4人)中選4人擔任講解員,則下列說法正確的是 (　　)
A.若組員甲和組員乙同時被選中,則共有28種選法
B.若4名講解員中既有男組員,又有女組員,則共有68種選法
C.若4名講解員全部安排到A,B,C三個展覽區,每個展覽區至少1名講解員,每名講解員只去一個展覽區,則共有5 040種選派方法
D.校航天知識展結束后,若8名組員站成一排拍照留念,且女組員相鄰,則共有2 880種排法
10.關于的展開式,下列說法正確的是 (　　)
A.各項系數之和為1
B.第二項與第四項的二項式系數相等
C.常數項為60
D.有理項共有4項
11.定義有n行的“楊輝三角”為n階楊輝三角,如圖就是一個8階“楊輝三角”.
下列命題正確的是 (　　)
A.記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個數為aij,則數列{aij}的通項公式為aij=
B.第k行各個數的和是2k
C.n階“楊輝三角”中共有個數
D.n階“楊輝三角”的所有數的和是2n-1
三、填空題(本大題共3小題,每小題5分,共15分.把答案填在題中的橫線上)
12.計劃在學校公園小路的一側種植丹桂、金桂、銀桂、四季桂4棵桂花樹,垂乳銀杏、金帶銀杏2棵銀杏樹,要求2棵銀杏樹必須相鄰,則不同的種植方法共有　　　　種.
13.(2024·上海高考)在(x+1)n的展開式中,若各項系數和為32,則展開式中x2的系數為　　　　.
14.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數,其中個位數字小于百位數字且百位數字小于萬位數字的五位數有n個,則(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+3的展開式中,x2的系數是　　　.(用數字作答)
四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(13分)已知的展開式中所有項的二項式系數和為128,各項系數和為-1.
(1)求n和a的值;
(2)求的展開式中的常數項.
16.(15分)如圖,一個正方形花圃被分成5份.
(1)若給這5個部分種植花,要求相鄰兩部分種植不同顏色的花,已知現有5種顏色不同的花,求有多少種不同的種植方法
(2)若向這5個部分放入7個不同的盆栽,要求每個部分都有盆栽,問有多少種不同的放法
17.(15分)已知在(n∈N*)的展開式中,第5項的系數與第3項的系數之比為56∶3.求:
(1)展開式中的所有有理項;
(2)展開式中系數絕對值最大的項;
(3)n+9+81+…+9n-1的值.
18.(17分)中華文化源遠流長,為了讓青少年更好地了解中國的傳統文化,某培訓中心計劃利用暑期開設“圍棋”“武術”“書法”“剪紙”“京劇”“刺繡”六門體驗課程.
(1)若體驗課連續開設六周,每周一門,求“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的所有排法種數;
(2)現有甲、乙、丙三名學生報名參加暑期的體驗課程,每人都選兩門課程,甲和乙有一門共同的課程,丙和甲、乙的課程都不同,求所有選課的種數;
(3)計劃安排A,B,C,D,E五名教師教這六門課程,每門課程只由一名教師任教,每名教師至少任教一門課程,教師A不任教“圍棋”課程,教師B只能任教一門課程,求所有課程安排的種數.
19.(17分)規定=,其中x∈R,m是正整數,且=1,這是組合數(n,m是正整數,且m≤n)的一種推廣.
(1)求的值;
(2)組合數的兩個性質:①=;②+=是否都能推廣到(x∈R,m是正整數)的情形 若能推廣,則寫出推廣的形式并給出證明;若不能,則說明理由;
(3)已知組合數是正整數,證明:當x∈Z,m是正整數時,∈Z.
階段質量評價(二)
1.選D　由=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·,得m-3=3,所以m=6.
2.選C　由題意,當甲選了2門后,乙再選課,則甲、乙選修的課中沒有相同的科目的概率為==,故甲、乙選修的課中至少有1門相同的概率為1-=.
3.選D　由條件可知=,所以n=12,的展開式的通項為Tr+1=x12-r·=x12-2r,r=0,1,…,12,令12-2r=10,得r=1,所以含x10項的系數是×=-4,故選D.
4.選A　令x=1,得P=4n,又二項式系數的和S=2n,因為P+S=272,所以4n+2n=272,解得2n=16,則n=4.
5.選A　先排數字2,3,5,8,有種排法,4個數字形成5個空當.第一類:若兩個1相鄰,則從可選擇的3個空當中選出一個放入兩個1,有3種排法;第二類:若兩個1也不相鄰,則從可選擇的3個空當中選出兩個分別放入數字1,有3種排法.所以密碼個數為×(3+3)=144.
6.選D　在(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n中,令x=1,得3n=a0+a1+a2+a3+…+a2n,
令x=-1,得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,
∴3n+1=2(a0+a2+a4+…+a2n),∴a0+a2+a4+…+a2n=.
7.選B　若甲、乙選擇的景點沒有其他人選,則分組方式為1,2,2的選法為=18種;若甲、乙選擇的景點還有其他人選,則分組方式為1,1,3的選法為·=18種;所以總的不同的選法種數為18+18=36.
8.選A　根據題意,四個無重復數字且相加和為10的情況有①0,1,3,6,②0,1,4,5,③0,1,2,7,④0,2,3,5,⑤1,2,3,4,共5種,則分5種情況討論:①當四個數字為0,1,3,6時,千位數字可以為3或6,有2種情況,將其余3個數字全排列,依次安排在百位、十位、個位上,有=6種情況,此時有2×6=12個“完美四位數”;②當四個數字為0,1,4,5時,千位數字可以為4或5,有2種情況,將其余3個數字全排列,依次安排在百位、十位、個位上,有=6種情況,此時有2×6=12個“完美四位數”;③當四個數字為0,1,2,7時,若千位數字為7,則將其余3個數字全排列,依次安排在百位、十位、個位上,有=6種情況,若千位數字為2,則有2 071,2 107,2 170,2 701,2 710,共5種情況,此時有6+5=11個“完美四位數”;④當四個數字為0,2,3,5時,千位數字可以為2或3或5,有3種情況,將其余3個數字全排列,依次安排在百位、十位、個位上,有=6種情況,此時有3×6=18個“完美四位數”;⑤當四個數字為1,2,3,4時,千位數字可以為2或3或4,有3種情況,將其余3個數字全排列,依次安排在百位、十位、個位上,有=6種情況,此時有3×6=18個“完美四位數”.綜上,一共有12+12+11+18+18=71個“完美四位數”,故選A.
9.選BD　對于A,由題意,共有=15種選法,故A錯誤;對于B,由題意,共有--=68種選法,故B正確;對于C,先選好4人,共有=70種選法,然后將4人按要求分到三個展覽區,有·=36種,所以共有70×36=2 520種選派方法,故C錯誤;對于D,由題意,共有=2 880種排法,故D正確.故選BD.
10.選ACD　對于A,令x=1,則展開式中各項系數之和為1,故A正確;
對于B,第二項的二項式系數=6,第四項的二項式系數==20,第二項與第四項的二項式系數不相等,故B錯誤;對于C,展開式的通項為(-2x)r=(-2)r(r=0,1,2,3,4,5,6),令-+r=0,得r=2,展開式中的常數項為(-2)2=4×15=60,故C正確;對于D,由C可知,當r=0,2,4,6時,-3+∈Z,所以展開式的有理項共有4項,故D正確.
11.選BCD　第i行各個數是(a+b)i的展開式的二項式系數,則數列{aij}的通項公式為aij=,故A錯誤;
各行的所有數的和是各二項式系數和,第k行各個數的和是2k,故B正確;
第k行共有(k+1)個數,從而n階“楊輝三角”共有1+2+…+n=個數,故C正確;
n階“楊輝三角”的所有數的和是1+2+22+…+2n-1=2n-1,故D正確.
12.解析:分兩步完成:
第一步,將2棵銀杏樹看成一個元素,考慮其順序,有種種植方法;
第二步,將銀杏樹與4棵桂花樹全排列,有種種植方法.
由分步計數原理,得不同的種植方法共有=240(種).
答案:240
13.解析:由題意得2n=32,所以n=5,則(x+1)5的通項Tr+1=x5-r1r,令5-r=2,得r=3,所以展開式中x2的系數為=10.
答案:10
14.解析:用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數中,滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數有=20個,即n=20,
當n=20時,不妨設x≠0,則(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)n+3=(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)23===-,
所以x2的系數是-=2 024-1=2 023.
答案:2 023
15.解:(1)由條件可得
解得
(2)由(1)得=(2x-x-2)·(-2x2+x-1)7.
∵(-2x2+x-1)7展開式的通項為
Tk+1=(-2x2)7-k(x-1)k
=(-2)7-kx14-3k.
∴①當14-3k=-1,即k=5時,
2x(-2)2x-1=168;
②當14-3k=2,即k=4時,
-x-2(-2)3x2=280.
∴所求的常數項為168+280=448.
16.解:(1)當種植5種顏色的花,作全排列,則有=120種;
當種植4種顏色的花,5種顏色選4種,{(A,E),(C,E),(B,C)}中選一組種植同顏色的花,余下3種顏色作全排列,則有=360種;
當種植3種顏色的花,5種顏色選3種,D位置任選一種,余下2種在{(A,E),(B,C)}分別種植,則有=60種.所以共有120+360+60=540種不同的種植方法.
(2)7個盆栽有{3,1,1,1,1},{2,2,1,1,1}2種分組方式,
以{3,1,1,1,1}分組,則=4 200種;
以{2,2,1,1,1}分組,則·=12 600種.
所以共有4 200+12 600=16 800種不同的放法.
17.解:(1)由(-2)4∶(-2)2=56∶3,解得n=10(n=-5舍去),
所以=,其展開式的通項為Tr+1==(-2)r·(r=0,1,2,…,10),
當5-為整數時,r可取0,6,所以展開式中的有理項為T1=(-2)0×x5=x5和T7=(-2)6×x0=13 440.
(2)設第k+1項系數的絕對值最大,
則解得≤k≤,又k∈N,所以k=7.所以展開式中系數絕對值最大的項為T8=(-2)7×=-15 360.
(3)10+9+81+…+910-1
=
=
==.
18.解:(1)第一步,先將另外四門課排好,有種情況;
第二步,將“京劇”和“剪紙”課程分別插入5個空隙中,有種情況;
所以“京劇”和“剪紙”課程排在不相鄰的兩周的排法有×=480種.
(2)第一步,先將甲和乙的不同課程排好,有種情況;
第二步,將甲和乙的相同課程排好,有種情況;
第三步,因為丙和甲、乙的課程都不同,所以丙的排法有種情況;
因此,所有選課種數為××=360.
(3)①當A只任教1科時:先排A任教科目,有種;再從剩下5科中排B的任教科目,有種;接下來剩余4科中必有2科為同一名老師任教,分三組全排列,共有種.所以當A只任教1科時,共有=5×5××3×2×1=900種;
②當A任教2科時:先選A任教的2科有種,將剩余4科平均分為4組,共有=×4×3×2×1=240種.
綜上,A不任教“圍棋”的課程安排方案有900+240=1 140種.
19.解:(1)==-680.
(2)性質①不能推廣,例如當x=時,有定義,但無意義;
性質②能推廣,它的推廣形式是+=,x∈R,m是正整數,
證明:當m=1時,有+=x+1=,
當m≥2時,+
=
+
=
==.
(3)證明:當x≥m時,組合數∈Z;
當0≤x當x<0時,由x-m+1<0可知-x+m-1>0,
所以=
=(-1)m
=(-1)m.
因為組合數是正整數,
所以(-1)m∈Z.
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