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2024-2025學年云南省玉溪市民族中學高二（下）期末
數學試卷（B卷）
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.已知等比數列，，，，則該等比數列的第項是( )
A. B. C. D.
3.若拋物線的準線為直線，且交圓：于，兩點，為坐標原點，則( )
A. B. C. D.
4.若的展開式中二項式系數之和為，則該展開式中的系數為( )
A. B. C. D.
5.若命題為奇函數，：為偶函數，則是成立的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.為考察藥物對預防疾病的效果，在兩個不同規模的動物種群中分別進行了試驗根據種群一的試驗結果得到如下列聯表：
藥物 疾病 合計
未患病 患病
未服用
服用
合計
計算得到，假設種群二試驗結果對應的列聯表中，每個單元格的數據都為表格對應單元格數據的倍，則根據小概率值的獨立性檢驗，( )
附：，
A. 當時，種群一中藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過
B. 當時，種群一中藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過
C. 當時，種群二中藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過
D. 當時，種群二中藥物對預防疾病有效，該推斷犯錯誤的概率不超過
7.已知數列的前項和為，若，則的前項和為( )
A. B. C. D.
8.已知定義在上的函數，其導函數為，當時，，若，且，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.若，則( )
A. B.
C. D.
10.已知函數的定義域為，其導函數的圖象如圖所示，則( )
A. 在區間上單調遞增 B. 的極小值點為
C. 恰有個極值點 D. 的圖象與軸至多有個公共點
11.已知直線：不同時為，圓：，則( )
A. 當時，直線與圓不可能有交點
B. 當時，直線與圓相切
C. 當，時，直線與坐標軸相交于，兩點，則圓上存在點，使得的面積為
D. 當，時，與圓外切且與直線相切的動圓圓心的軌跡是一條拋物線
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知隨機變量服從兩點分布，若，則 ______．
13.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過右焦點的直線交于，兩點，且，，則橢圓的標準方程為______．
14.已知函數若方程有個實數根，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知函數滿足，函數．
求函數的解析式；
若存在，使得不等式成立，求實數的取值范圍．
16.本小題分
某工廠共有甲、乙兩條生產線生產同一型號的產品，其中甲生產線每天產量為件，乙生產線每天產量為件其中甲生產線的一等品率為，二等品率為；乙生產線的一等品率為，二等品率為將甲、乙兩條生產線生產的產品均勻混合后隨機裝箱．
質檢人員從混合后的產品中隨機抽取一件，求抽取到的產品為一等品的概率；
已知每箱中有件產品，其中二等品的定價為元件，若要使得每箱產品銷售額的期望不低于元，一等品應該如何定價．
17.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，平面平面，，，．
求證：平面；
若三棱錐的體積為，求平面與平面夾角的余弦值．
18.本小題分
已知為等差數列，，記，分別為數列，的前項和，，．
求的通項公式；
對任意，將數列中落入區間內項的個數記為，求數列的前項和．
19.本小題分
在平面直角坐標系中，定義，兩點的“距離”為，其中，已知定點，，動點滿足，其中記的軌跡為“橢圓”，，為“焦點”．
當時，寫出“橢圓”的軌跡方程并直接畫出相應曲線；
已知數列，，均為正項數列，，橢圓，記以，為“焦點”的“橢圓”為，的邊均與相切，且的頂點均在上
設的面積為，證明：；
若是等比數列，求的離心率．
參考答案
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13.
14.
15.根據題意，函數滿足，，
用換，可得，
得，
所以．
根據題意，若存在，使得不等式成立，
設，
若，則，
則存在，使，即，變形可得，
因為，所以，
當時，取得最大值，
所以，即的取值范圍是．
16.由題意可知甲生產線每天的一等品件數為：，
乙生產線每天的一等品件數為：，
所以抽取到的產品為一等品的概率為；
由知二等品的概率為，
設表示每箱中一等品的件數，易知的所有取值為：，，，，
則，，，，
所以，
設一等品定價元，
因為二等品的定價為元件，并且每箱產品銷售額的期望不低于元，
所以，
解得，
所以一等品價格應該大于等于元．
17.證明：底面是等腰梯形，，，，
所以，
所以，所以，
因為平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面；
因為平面平面，且平面平面，
且，且平面，
所以平面，
底面是等腰梯形，，，
所以，
所以，
所以，
又因為三棱錐的體積為，
所以，
所以，
如圖建系，
，，，
設平面的法向量為，
設平面的法向量，，，
所以，
令，則，，
所以，
設平面與平面夾角為，
所以．
18.設等差數列的公差為，
由題意可得，，，，
因為，，
所以，
整理得，解得，
所以．
對，若，則，
因此，，
故得，
于是
．
19.由題意，當時，“橢圓”的軌跡方程為，其對應圖象為：
由題意及得，
證明：設：，將替換為，或將替換為，的方程不變，
故“橢圓”關于軸、軸對稱，
只需考慮第一象限含軸非負半軸的情況，
在第一象限中，由和兩條線段組成，
由于與相切，
則由，得，
由，可得，
的一個頂點在上，
，
與相切，
，即，
在第一象限的直角梯形面積為，
的面積為；
由可知，，
由是等比數列可知，即，
即，
，的離心率為定值，
的頂點在上，
，
，，
，解得的離心率為，
的離心率為．
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