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2024-2025學(xué)年海南省某校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.如圖，是水平放置的的直觀圖，則的面積是( )
A. B.
C. D.
2.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是( )
A. B. C. D.
3.若為直線，，為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是( )
A. 若，，則 B. 若，，則
C. 若，，則 D. 若，，則
4.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段含端點(diǎn)有交點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為( )
A. ， B. C. D.
5.某學(xué)生為制作圓臺(tái)形容器，利用如圖所示的半圓環(huán)其中小圓和大圓的半徑分別是和鐵皮材料，通過(guò)卷曲使得邊與邊對(duì)接制成圓臺(tái)形容器的側(cè)面，則該圓臺(tái)的高為( )
A. B. C. D.
6.如圖所示，在平行六面體中，，設(shè)，，，，則( )
A. B. C. D.
7.已知點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，，則的最小值為( )
A. B. C. D.
8.如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.下列結(jié)論正確的是( )
A. 由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱
B. 棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)
C. 圓柱側(cè)面上平行于軸的直線段都是圓柱的母線
D. 各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
10.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列根據(jù)條件判斷三角形解的情況正確的是( )
A. ，，，無(wú)解 B. ，有兩解
C. ，只有一解 D. ，，，只有一解
11.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為面對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)包含端點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的有( )
A. 三棱錐的體積為定值
B. 線段上存在點(diǎn)，使平面
C. 當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，二面角的余弦值為
D. 設(shè)直線與平面所成角為，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知，，若，則______．
13.不與，，，共面，并且四點(diǎn)在一個(gè)平面上，，則的最小值為_(kāi)_____．
14.已知正三棱錐的外接球?yàn)榍颍酌婷娣e為，，則球的表面積為_(kāi)_____．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.本小題分
已知在四邊形中，，，．
求的值；
若，，求的長(zhǎng)．
16.本小題分
已知直線：，：．
求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程；
求經(jīng)過(guò)直線與的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)上的截距相等的直線方程．
17.本小題分
如圖，已知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，且，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)．
求證：平面；
求直線平面所成角的正弦值．
18.本小題分
在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，已知，且_____．
在，且，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，并解答注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分
Ⅰ求；
Ⅱ求的取值范圍．
19.本小題分
已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量，都垂直，它的模如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，為上一點(diǎn)，．
求的長(zhǎng)；
若為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值；
若為上一點(diǎn)，且滿足，求．
參考答案
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15.解：在中，由正弦定理可得：，，可得，為銳角．
．
．
，．
．
設(shè)，在中，．
解得．
．
16.由直線，可得斜率為，
故可設(shè)所求直線方程為，
則依題意有，解得，
所以所求直線方程為，整理得；
聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)為，
當(dāng)直線的截距都不為時(shí)，假設(shè)直線方程為，
依題意，解得，此時(shí)直線方程為，即，
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為，
代入得，此時(shí)；
綜上所述：所求直線方程為或．
17.證明：因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，則，
在三棱柱中，則，可得，
且平面，平面，平面．
解：由題意知三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，
且，，
故AB，，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，，故，
則，，
可得，，
直線與平面夾角的正弦值為．
18.解：Ⅰ若選，依題意得，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，即，
所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>又，所以．
若選，，
因?yàn)椋?br/>所以，
展開(kāi)整理得，，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>由正弦定理得，，
因?yàn)椋裕矗?br/>又，所以．
若選，因?yàn)椋裕矗?br/>由余弦定理得，，
所以，
所以，即
因?yàn)椋曰颍椿蛏幔?br/>所以．
Ⅱ由正弦定理得，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋裕裕?br/>所以．
19.解：在四棱錐中，底面為矩形，
底面，易得，，兩兩相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，為上一點(diǎn)，
且，，，
，
，又，，
；
若為的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)，交點(diǎn)，
底面，過(guò)作于點(diǎn)，連接，
則根據(jù)三垂線定理可得為二面角的補(bǔ)角，
又，底面為矩形，且由知，
由于，，，
，由于中，，
為等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值為；
過(guò)作于點(diǎn)，由知平面平面，
平面，又根據(jù)新定義可知，
又，，
，，，，
，
，，
過(guò)作，且，在上取靠近的五等分點(diǎn)，
，
則易知，且，，
，且，
四邊形為平行四邊形，，又平面，
平面，
又，，
．
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