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2024-2025學年江西省宜春市部分重點中學高一（下）7月聯考
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若實數，滿足是虛數單位，則( )
A. B. C. D.
2.若角的終邊經過點，則的值為( )
A. B. C. D.
3.在中，為的中點，點滿足，則( )
A. B. C. D.
4.若，是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5.如圖，是由斜二測畫法得到的水平放置的的直觀圖，其中，那么原平面圖形中，邊上的高為( )
A. B. C. D.
6.在直四棱柱中，底面是矩形，，，，分別是棱，，的中點，則直線與所成的角的大小為( )
A. B. C. D.
7.任何一個復數其中，，為虛數單位都可以表示成其中，的形式，通常稱之為復數的三角形式，法國數學家棣莫弗發現，我們稱這個結論為棣莫弗定理若復數為純虛數，則正整數的最小值為( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的對邊分別為，，，且，若，，均為正整數，則的值為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復數滿足，則下列結論正確的是( )
A.
B. 的虛部為
C. 在復平面內對應的點位于第二象限
D. 若復數滿足，則的最小值為
10.已知函數，若函數為偶函數，則的值可以是( )
A. B. C. D.
11.如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，是線段上的一動點，則下列說法正確的是( )
A.
B. 過點、、的平面截該正方體所得的截面面積為
C. 點到平面的距離為定值
D. 當直線與平面所成角的正弦值取得最大值時，
三、填空題：本題共3小題，共15分。
12.已知向量，，且，則實數的值為______．
13.已知平面與平面間的距離為，是平面內的定點，，是平面內的動點，且滿足，，則的取值范圍是______．
14.在中，是邊上的一點，且滿足，，，則的面積為______；若是邊的中點，則 ______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知，且．
求的值；
若，求的值．
16.本小題分
已知，為單位向量，向量，．
若，求；
若，求與的夾角．
17.本小題分
已知函數的部分圖象如圖所示．
求的解析式及單調遞減區間；
將函數的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的倍縱坐標不變，得到函數的圖象若對任意的，，都有，求實數的取值范圍．
18.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，點是棱上的一點不同于，兩點．
求證：平面平面；
若，求二面角的正切值；
若直線與平面所成角的正弦值為，求的長．
19.本小題分
“費馬點”是三角形內到三個頂點距離之和最小的點，具體位置取決于三角形的形狀當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點在中，內角，，所對的邊分別為，，，且．
求；
若，求的值；
若的面積為，設點為的費馬點，求的最小值．
參考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因為，所以，
結合，可得，
所以．
由可得，
因為，所以．
16.由題意，，為單位向量，
由及，
可得，
解得，又，
所以；
由，及，
可得
，
所以，
則，所以，
又，
所以，設與的夾角為，
則，
因為，所以，
即與的夾角為．
17.設的最小正周期為，
則有，
解得，
所以，解得．
由題意知，
所以，
又，
所以，，
即，，又，
所以，
所以；
令，，
即，，
解得，，
即的單調遞減區間為，；
將函數的圖象向左平移個單位長度，
得到的圖象對應的函數解析式為，
再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的倍縱坐標不變，
得到的圖象對應的函數解析式為．
當時，，
所以，
所以，，
若對任意的，，都有，則，
解得，
即的取值范圍是．
18.證明：因為，，，
所以，，
由余弦定理得，
所以，所以，
因為平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
取的中點，過點作，垂足為，連接，，如圖所示．
因為，所以，，，
由知平面，而，平面，所以，，
因為，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因為，，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以為二面角的平面角．
因為，所以，，
所以，
所以，
所以，
所以二面角的正切值為．
在平面內，過點作，垂足為，連接，如圖所示．

因為平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以為直線與平面所成的角．
所以，
解得，
所以，
所以，，
所以
，
又在中，由正弦定理得，
所以．
19.由及正弦定理得，，
又，
整理得，
又，所以，即，
，所以．
由余弦定理得，
即，即，
又，由正弦定理得．
所以，
所以，
因為，為三角形的內角，則，則．
因為，所以的內角均小于，所以點在的內部，
且，由，得，
設，，則，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因為，所以，所以
所以
所以的最小值為．
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