資源簡介

9.2　獨立性檢驗(概念課——逐點理清式教學)
課時目標
1.通過實例,理解2×2列聯表的統計意義.
2.通過實例,了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用.
逐點清(一)　2×2列聯表
[多維度理解]
　　一般地,對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ,Ⅰ有兩類取值,即類A和類B(如吸煙與不吸煙);Ⅱ也有兩類取值,即類1和類2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病).我們得到如下列聯表所示的抽樣數據:
Ⅱ
類1 類2 合計
Ⅰ 類A a b a+b
類B c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
　　上述表格稱為2×2列聯表.
　　微點助解
(1)作2×2列聯表時,關鍵是對涉及的變量分清類別,要對Ω中的對象定義分類變量X和Y,計算時要準確無誤;
(2)利用2×2列聯表分析兩變量間的關系時,首先要根據題中數據獲得2×2列聯表,然后根據頻率特征,即將與 的值相比,直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響.
[細微點練明]
1.假設有兩個分類變量x與y的2×2列聯表如表:
y1 y2
x1 a b
x2 c d
對于以下數據,對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為 (　　)
A.a=5,b=4,c=3,d=2
B.a=5,b=3,c=4,d=2
C.a=2,b=3,c=4,d=5
D.a=2,b=3,c=5,d=4
2.下面是一個2×2列聯表:
X Y 合計
Y=0 Y=1
X=0 a 21 73
X=1 8 25 33
合計 b 46
則表中a,b處的值分別為　 　　,　 　　.
3.下表是A,B兩所中學的學生對報考某類大學意愿的列聯表:
愿意報考 某類大學 不愿意報考 某類大學 合計
A中學 18 37 55
B中學 38 57 95
合計 56 94 150
根據表中的數據回答:A,B兩所中學的學生對報考某類大學的態度是否有顯著差異
逐點清(二)　獨立性檢驗
[多維度理解]
(1)定義:用χ2統計量研究兩個變量X和Y是否有關的方法稱為獨立性檢驗.
(2)χ2統計量:
χ2=　　　　　　　　　　　.
(3)獨立性檢驗的步驟
要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”,可按下面的步驟進行:
①提出假設H0:Ⅰ與Ⅱ沒有關系;
②根據2×2列聯表及χ2公式,計算χ2的值;
③根據臨界值,做出判斷.
其中臨界值如表所示:
P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
例如:
①若χ2>10.828,則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
②若χ2>6.635,則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
③若χ2>2.706,則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
④若χ2≤2.706,則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”,但也不能得出結論“H0成立”,即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.
[細微點練明]
1.如果有99%的把握認為“X與Y有關系”,那么具體算出的數據滿足 (　　)
A.χ2>6.635 B.χ2>5.024
C.χ2>7.879 D.χ2>3.841
2.通過隨機詢問相同數量的不同性別大學生在購買食物時是否看營養說明,得知有的男大學生“不看”,有的女大學生“不看”,若有99%的把握認為性別與是否看營養說明有關,則調查的總人數的最小整數為 (　　)
A.150 B.170
C.240 D.180
3.為了調查患胃病是否與生活規律有關,在某地對540名40歲以上的人的調查結果如下:
患胃病 未患胃病 合計
生活不規律 60 260 320
生活有規律 20 200 220
合計 80 460 540
根據以上數據判斷是否有99%的把握認為40歲以上的人患胃病與生活規律有關.
附:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005
x0 5.024 6.635 7.879
逐點清(三)　獨立性檢驗的綜合應用
[典例]　為促進全面閱讀,建設書香校園,鼓勵學生參加閱讀活動,某校隨機抽查了男、女生各200名,統計他們在暑假期間每天閱讀時長,并把每天閱讀時長超過1小時的記為“閱讀達標”,時長不超過1小時的記為“閱讀不達標”,閱讀達標與閱讀不達標的人數比為1∶1,閱讀達標的女生與男生的人數比為3∶2.
(1)完成下面的2×2列聯表:
性別 閱讀達標情況 合計
閱讀達標 閱讀不達標
男生
女生
合計
(2)根據上述數據,能否有99.9%的把握認為“閱讀達標情況”與“性別”有關系
(3)從閱讀達標的學生中按男、女生人數比例用分層抽樣的方法抽取5人進行座談,再從這5人中任選2人,記這2人中男生人數為X,求X的分布列和數學期望.
參考公式:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
聽課記錄:
　　[針對訓練]
　綠化祖國要擴綠、興綠、護綠并舉.某校植樹節分別在甲、乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株.甲地土質含有M元素,乙地土質不含有M元素,其他土質情況均相同,一段時間后,為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與M元素含量是否有關聯,分別在甲、乙兩塊土地上隨機抽取樹苗各50株作為樣本進行統計分析.經統計,甲地成活45株,乙地成活40株.
(1)根據所給數據,完成下面的2×2列聯表(單位:株),并判斷能否有90%的把握認為該品種樹苗成活與M元素含量有關聯.
類別 樹苗成活情況 合計
成活 不成活
含M元素
不含M元素
合計
(2)若將頻率視為概率,從樣本中不成活的樹苗中隨機抽取3株,其中取自甲地的株數為X,求X的分布列及方差.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
9.2　獨立性檢驗
[逐點清(一)]
1.選D　對于兩個分類變量x與y而言,|ad-bc|的值越大,說明x與y有關系的可能性越大.對于A選項,|ad-bc|=|5×2-4×3|=2,對于B選項,|ad-bc|=|5×2-3×4|=2,對于C選項,|ad-bc|=|2×5-3×4|=2,對于D選項,|ad-bc|=|2×4-3×5|=7,顯然D中|ad-bc|最大.
2.解析:根據已知條件,結合列聯表之間的數據關系,由表中數據可知,a+21=73,所以a=73-21=52,b=a+8=52+8=60.
答案:52　60
3.解:A中學愿意報考某類大學的比例為fA=≈0.327;
B中學愿意報考某類大學的比例為fB==0.4.
∵fB-fA≈0.4-0.327=0.073,即B中學愿意報考某類大學的比例比A中學高了7.3%,
∴A,B兩所中學的學生對報考某類大學的態度有顯著差異,且B中學更愿意報考.
[逐點清(二)]
[多維度理解]　
(2)
[細微點練明]
1.A
2.選D　設男、女大學生各有m人,根據題意列出2×2列聯表:
看 不看 合計
男 m m m
女 m m m
合計 m m 2m
所以χ2==,
因為有99%的把握認為性別與是否看營養說明有關,所以>6.635,解得2m>179.145,所以總人數的最小整數為180.故選D.
3.解:提出假設
H0:40歲以上的人患胃病與生活規律無關.
由公式得χ2=≈9.638.
∵9.638>6.635,
∴有99%的把握認為40歲以上的人患胃病與生活是否有規律有關.
[逐點清(三)]
[典例]　解:(1)由題意可知閱讀達標與閱讀不達標的人數分別為200,200,
閱讀達標的女生人數為×200=120,男生人數為×200=80,
據此可得2×2列聯表:
性別 閱讀達標情況 合計
閱讀達標 閱讀不達標
男生 80 120 200
女生 120 80 200
合計 200 200 400
(2)提出假設
H0: “閱讀達標情況”與“性別”沒有關系.
由(1)可得χ2==16>10.828,
因為當H0成立時,P(χ2≥10.828)≈0.001,所以我們有99.9%的把握認為“閱讀達標情況”與“性別”有關系.
(3)因為抽取5人中男、女生人數分別為×5=3,×5=2,
由題意可知X的可能取值為0,1,2,則
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
所以X的概率分布為
X 0 1 2
P
數學期望為E(X)=0×+1×+2×=.
[針對訓練]
解:(1)依題意可得2×2列聯表如下:
類別 樹苗成活情況 合計
成活 不成活
含M元素 45 5 50
不含M元素 40 10 50
合計 85 15 100
提出假設
H0:該品種樹苗成活與M元素含量無關聯.
根據列聯表中的數據,
χ2==≈1.961<2.706,
因為當H0成立時,χ2≥1.961的概率大于10%,這個概率比較大,不能否定假設H0,
即認為該品種樹苗成活與M元素含量無關聯.
(2)由題意知,不成活的樹苗共有15株,甲地不成活的樹苗有5株,X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==,故X的概率分布為
X 0 1 2 3
P
期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1,方差D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2+×(3-1)2=.
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獨立性檢驗
(概念課——逐點理清式教學)
9.2
課時目標
1.通過實例，理解2×2列聯表的統計意義.
2.通過實例，了解2×2列聯表獨立性檢驗及其應用.
CONTENTS
目錄
1
2
3
逐點清(一)　2×2列聯表
逐點清(二)　獨立性檢驗
逐點清(三)　獨立性檢驗的綜合應用
4
課時跟蹤檢測
逐點清(一)　2×2列聯表
01
多維度理解
一般地，對于兩個分類變量Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和類B(如吸煙與不吸煙);Ⅱ也有兩類取值，即類1和類2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病).我們得到如下列聯表所示的抽樣數據:
上述表格稱為2×2列聯表.
A Ⅱ
類1 類2 合計
Ⅰ 類A a b a+b
類B c d c+d
合計 a+c b+d a+b+c+d
微點助解
(1)作2×2列聯表時，關鍵是對涉及的變量分清類別，要對Ω中的對象定義分類變量X和Y，計算時要準確無誤;
(2)利用2×2列聯表分析兩變量間的關系時，首先要根據題中數據獲得2×2列聯表，然后根據頻率特征，即將與 的值相比，直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響.
1.假設有兩個分類變量x與y的2×2列聯表如表:
對于以下數據，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為 (　　)
A.a=5，b=4，c=3，d=2 B.a=5，b=3，c=4，d=2
C.a=2，b=3，c=4，d=5 D.a=2，b=3，c=5，d=4
√
細微點練明
y1 y2
x1 a b
x2 c d
解析:對于兩個分類變量x與y而言，|ad-bc|的值越大，說明x與y有關系的可能性越大.對于A選項，|ad-bc|=|5×2-4×3|=2，對于B選項，|ad-bc|=|5×2-3×4|=2，對于C選項，|ad-bc|=|2×5-3×4|=2，對于D選項，|ad-bc|=|2×4-3×5|=7，顯然D中|ad-bc|最大.
2.下面是一個2×2列聯表:
則表中a，b處的值分別為　　　　，　　　　.
解析:根據已知條件，結合列聯表之間的數據關系，由表中數據可知，a+21=73，所以a=73-21=52，b=a+8=52+8=60.

X Y 合計
Y=0 Y=1
X=0 a 21 73
X=1 8 25 33
合計 b 46
52
60
3.下表是A，B兩所中學的學生對報考某類大學意愿的列聯表:
根據表中的數據回答:A，B兩所中學的學生對報考某類大學的態度是否有顯著差異
愿意報考 某類大學 不愿意報考 某類大學 合計
A中學 18 37 55
B中學 38 57 95
合計 56 94 150
解:A中學愿意報考某類大學的比例為fA=≈0.327;
B中學愿意報考某類大學的比例為fB==0.4.
∵fB-fA≈0.4-0.327=0.073，即B中學愿意報考某類大學的比例比A中學高了7.3%，
∴A，B兩所中學的學生對報考某類大學的態度有顯著差異，且B中學更愿意報考.
逐點清(二)　獨立性檢驗
02
多維度理解
(1)定義:用χ2統計量研究兩個變量X和Y是否有關的方法稱為獨立性檢驗.
(2)χ2統計量:χ2= .
(3)獨立性檢驗的步驟
要推斷“Ⅰ與Ⅱ有關系”，可按下面的步驟進行:
①提出假設H0:Ⅰ與Ⅱ沒有關系;
②根據2×2列聯表及χ2公式，計算χ2的值;
③根據臨界值，做出判斷.
其中臨界值如表所示:
例如:
①若χ2>10.828，則有99.9%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
②若χ2>6.635，則有99%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
③若χ2>2.706，則有90%的把握認為“Ⅰ與Ⅱ有關系”;
④若χ2≤2.706，則認為沒有充分的證據顯示“Ⅰ與Ⅱ有關系”，但也不能得出結論“H0成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關系.
P(χ2≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
1.如果有99%的把握認為“X與Y有關系”，那么具體算出的數據滿足 (　　)
A.χ2>6.635 B.χ2>5.024
C.χ2>7.879 D.χ2>3.841
√
細微點練明
2.通過隨機詢問相同數量的不同性別大學生在購買食物時是否看營養說明，得知有的男大學生“不看”，有的女大學生“不看”，若有99%的把握認為性別與是否看營養說明有關，則調查的總人數的最小整數為(　　)
A.150 B.170
C.240 D.180
√
解析:設男、女大學生各有m人，根據題意列出2×2列聯表:
所以χ2==，因為有99%的把握認為性別與是否看營養說明有關，所以>6.635，解得2m>179.145，所以總人數的最小整數為180.故選D.
看 不看 合計
男 m m m
女 m m m
合計 m m 2m
3.為了調查患胃病是否與生活規律有關，在某地對540名40歲以上的人的調查結果如下:
患胃病 未患胃病 合計
生活不規律 60 260 320
生活有規律 20 200 220
合計 80 460 540
根據以上數據判斷是否有99%的把握認為40歲以上的人患胃病與生活規律有關.
附:χ2=，n=a+b+c+D.
P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005
x0 5.024 6.635 7.879
解:提出假設
H0:40歲以上的人患胃病與生活規律無關.
由公式得χ2=≈9.638.
∵9.638>6.635，
∴有99%的把握認為40歲以上的人患胃病與生活是否有規律有關.
逐點清(三)　獨立性檢驗的
綜合應用
03
多維度理解
[典例]　為促進全面閱讀，建設書香校園，鼓勵學生參加閱讀活動，某校隨機抽查了男、女生各200名，統計他們在暑假期間每天閱讀時長，并把每天閱讀時長超過1小時的記為“閱讀達標”，時長不超過1小時的記為“閱讀不達標”，閱讀達標與閱讀不達標的人數比為1∶1，閱讀達標的女生與男生的人數比為3∶2.
(1)完成下面的2×2列聯表:
參考公式:χ2=，n=a+b+c+D.
性別 閱讀達標情況 合計
閱讀達標 閱讀不達標
男生
女生
合計
解:由題意可知閱讀達標與閱讀不達標的人數分別為200，200，
閱讀達標的女生人數為×200=120，男生人數為×200=80，
據此可得2×2列聯表:
性別 閱讀達標情況 合計
閱讀達標 閱讀不達標
男生 80 120 200
女生 120 80 200
合計 200 200 400
(2)根據上述數據，能否有99.9%的把握認為“閱讀達標情況”與“性別”有關系
解:提出假設
H0: “閱讀達標情況”與“性別”沒有關系.
由(1)可得χ2==16>10.828，
因為當H0成立時，P(χ2≥10.828)≈0.001，所以我們有99.9%的把握認為“閱讀達標情況”與“性別”有關系.
(3)從閱讀達標的學生中按男、女生人數比例用分層抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中男生人數為X，求X的分布列和數學期望.
解:因為抽取5人中男、女生人數分別為×5=3，×5=2，
由題意可知X的可能取值為0，1，2，則P(X=0)==，
P(X=1)==，P(X=2)==，
所以X的概率分布為
數學期望為E(X)=0×+1×+2×=.
X 0 1 2
P
綠化祖國要擴綠、興綠、護綠并舉.某校植樹節分別在甲、乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株.甲地土質含有M元素，乙地土質不含有M元素，其他土質情況均相同，一段時間后，為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與M元素含量是否有關聯，分別在甲、乙兩塊土地上隨機抽取樹苗各50株作為樣本進行統計分析.經統計，甲地成活45株，乙地成活40株.
針對訓練
(1)根據所給數據，完成下面的2×2列聯表(單位:株)，并判斷能否有90%的把握認為該品種樹苗成活與M元素含量有關聯.
類別 樹苗成活情況 合計
成活 不成活
含M元素
不含M元素
合計
解:依題意可得2×2列聯表如下:
類別 樹苗成活情況 合計
成活 不成活
含M元素 45 5 50
不含M元素 40 10 50
合計 85 15 100
提出假設
H0:該品種樹苗成活與M元素含量無關聯.
根據列聯表中的數據，
χ2==≈1.961<2.706，
因為當H0成立時，χ2≥1.961的概率大于10%，這個概率比較大，不能否定假設H0，
即認為該品種樹苗成活與M元素含量無關聯.
(2)若將頻率視為概率，從樣本中不成活的樹苗中隨機抽取3株，其中取自甲地的株數為X，求X的分布列及方差.
解:由題意知，不成活的樹苗共有15株，甲地不成活的樹苗有5株，X的可能取值為0，1，2，3，
則P(X=0)==，P(X=1)==，
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
P(X=2)==，P(X=3)==，
故X的概率分布為
期望E(X)=0×+1×+2×+3×=1，
方差D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2+×(3-1)2=.
X 0 1 2 3
P
課時跟蹤檢測
04
1
3
4
5
6
7
8
9
2
1.根據下面的2×2列聯表得到如下判斷，則正確的選項是 (　　)
嗜酒 不嗜酒 合計
患肝病 700 60 760
未患肝病 200 32 232
合計 900 92 992
1
3
4
5
6
7
8
9
2
A.至少有99.9%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”
B.至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒無關”
C.至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”
D.至少有99.9%的把握認為“患肝病與嗜酒無關”
解析:由2×2列聯表中數據可求得
χ2=≈7.349>6.635，則至少有99%的把握認為
“患肝病與嗜酒有關”，所以C正確，A、B、D錯誤.
√
1
5
6
7
8
9
2
3
4
2.[多選]有兩個分類變量x，y，其2×2列聯表如下所示:
y1 y2 合計
x1 a 20-a 20
x2 15-a 30+a 45
合計 15 50 65
1
5
6
7
8
9
2
3
4
其中a，15-a均為大于5的整數，現有95%的把握認為x，y有關，則a的值為 (　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:由題意可知χ2==>3.841，
又因為a>5且15-a>5，a∈Z，所以當a=8或a=9時滿足題意.
√
√
1
5
6
7
8
9
3
4
2
3.為了研究高中學生中性別與對鄉村音樂態度(喜歡和不喜歡兩種態度)的關系，運用2×2列聯表進行獨立性檢驗，經計算χ2=8.01，則所得到的統計學結論是認為性別與喜歡鄉村音樂有關系的把握約為 (　　)
附表:
A.0.1% B.0.5%
C.99.5% D.99.9%
√
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1
5
6
7
8
9
3
4
2
解析:根據臨界值χ2=8.01>7.879，所以有99.5%的把握認為喜歡鄉村音樂與性別有關.
1
5
6
7
8
9
3
4
2
4.在吸煙與患肺癌是否相關的研究中，下列說法正確的是 (　　)
A.若χ2>6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關，則在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌
B.由獨立性檢驗可知，當有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關時，若某人吸煙，則他有99%的可能患有肺癌
C.通過計算得到χ2>3.841，是指有95%的把握認為吸煙與患肺癌有關系
D.以上三種說法都不正確
√
1
5
6
7
8
9
3
4
2
解析:若χ2>6.635，我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關，而不是在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌，故A不正確;99%是指吸煙與患肺癌有關的概率，而不是吸煙的人有99%的可能患有肺癌，故B不正確，C正確，D不正確.
1
5
6
7
8
9
3
4
2
5.針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查，其中被調查的男生、女生人數均為5m(m∈N*)人，男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的，女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.提出假設H0:喜歡短視頻和性別相互獨立.若有95%的把握認為喜歡短視頻和性別不獨立，則m的最小值為(　　)
附:χ2=，
1
5
6
7
8
9
3
4
2
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:根據題意，不妨設a=4m，b=m，c=3m，d=2m，
于是χ2===，由于有95%的把握認為
喜歡短視頻和性別不獨立，根據表格可知≥3.841，解得m≥8.066 1，于是m最小值為9.
√
P(χ2≥x0) 0.05 0.01
x0 3.841 6.635
1
5
6
7
8
9
3
4
2
6.假設有兩個變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯表為
根據以下選項中的數據計算χ2的值，其中χ2最大的一組為 (　　)
A.a=60，b=50，c=40，d=30 B.a=60，b=40，c=50，d=30
C.a=40，b=30，c=50，d=60 D.a=30，b=40，c=50，d=60
√
y1 y2
x1 a b
x2 c d
1
5
6
7
8
9
3
4
2
解析:對于A，==，對于B，==，對于C，==，
對于D，==，顯然最大，故C正確.
1
5
6
7
8
9
3
4
2
7.某中學對高二甲、乙兩個同類班級進行“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數學應用題’得分率的作用”的試驗，其中甲班為試驗班(加強語文閱讀理解訓練)，乙班為對比班(常規教學，無額外訓練)，在試驗前的測試中，甲、乙兩班學生在數學應用題上的得分率基本一致，試驗結束后，統計幾次數學應用題測試的平均成績(均取整數)如表所示:
60分 以下 61~ 70分 71~ 80分 81~ 90分 91~
100分
甲班(人數) 3 11 6 12 18
乙班(人數) 7 8 10 10 15
1
5
6
7
8
9
3
4
2
現規定平均成績在80分以上(不含80分)的為優秀.
(1)試分析估計兩個班級的優秀率;
參考公式及數據:χ2=.
解:由題意知，甲、乙兩班均有學生50人，甲班優秀人數為30人，優秀率為=60%，乙班優秀人數為25人，優秀率為=50%，所以甲、乙兩班的優秀率分別為60%和50%.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
1
5
6
7
8
9
3
4
2
(2)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表，根據以上數據，能否有95%的把握認為加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率有幫助
優秀人數 非優秀人數 合計
甲班
乙班
合計
1
5
6
7
8
9
3
4
2
解:填寫2×2列聯表如下:
提出假設H0:加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率沒有幫助.因為χ2=≈1.010<3.841，
因為當H0成立時，χ2≥1.010的概率大于5%，所以沒有95%的把握認為加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率有幫助.
優秀人數 非優秀人數 合計
甲班 30 20 50
乙班 25 25 50
合計 55 45 100
1
5
6
7
8
9
3
4
2
8.“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念已經深入人心，這將推動新能源汽車產業的迅速發展，下表是近幾年我國某地區新能源乘用車的年銷售量與年份的統計表:
年份 2015 2016 2017 2018 2019
銷量(萬臺) 8 10 13 25 24
1
5
6
7
8
9
3
4
2
某機構調查了該地區30位購車車主的性別與購車種類情況，得到的部分數據如表所示:
(1)求新能源乘用車的銷量y關于年份x的相關系數r，并判斷y與x是否線性相關;
附:≈25.
車主 購車種類 合計
傳統燃油車 新能源乘用車
男性 6 24
女性 2
合計 30
1
5
6
7
8
9
3
4
2
解:依題意，==2 017==16，
(xi-)(yi-)=(-2)×(-8)+(-1)×(-6)+0×(-3)+1×9+2×8=47，
=4+1+1+4=10， =64+36+9+81+64=254，
則r= =≈0.94，
|r|≈0.94接近于1，故y與x線性相關.
1
5
6
7
8
9
3
4
2
(2)請將上述2×2列聯表補充完整，并依據χ2的值判斷，購車車主購置新能源乘用車與性別是否有關.
解:依題意，補充列聯表如下:
則χ2==3.75>2.706，
故有90%的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關.
車主 購車種類 合計
傳統燃油車 新能源乘用車
男性 18 6 24
女性 2 4 6
合計 20 10 30
1
5
6
7
8
9
3
4
2
9.衛生紙主要供人們生活日常衛生之用，是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛生紙生產廠家為保證產品的質量，現從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取500件進行品質鑒定，并將統計結果整理如下:
合格品 優等品
甲生產線 250 250
乙生產線 300 200
1
5
6
7
8
9
3
4
2
(1)判斷能否有99.9%的把握認為產品的品質與生產線有關;
解:補充列聯表如下:
根據列聯表中的數據，經計算得χ2=≈10.101<10.828，
所以沒有99.9%的把握認為產品的品質與生產線有關.
合格品 優等品 合計
甲生產線 250 250 500
乙生產線 300 200 500
合計 550 450 1 000
1
5
6
7
8
9
3
4
2
(2)用頻率近似為概率，從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取2件進行詳細檢測，記抽取的產品中優等品的件數為X，求隨機變量X的分布列與數學期望.
解:由題意，甲生產線生產的產品中抽取優等品的頻率為=，乙生產線生產的產品中抽取優等品的頻率為=，所以估計從甲、乙生產線生產的產品中各隨機抽取優等品的概率分別為，
由題意隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
1
5
6
7
8
9
3
4
2
則P(X=0)=×=，P(X=1)=××+×××=，
P(X=2)=×+××××+×=，
P(X=3)=××+×××=，P(X=4)=×=，
故X的概率分布為
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
X 0 1 2 3 4
P課時跟蹤檢測(三十八)　獨立性檢驗
1.根據下面的2×2列聯表得到如下判斷,則正確的選項是 (　　)
嗜酒 不嗜酒 合計
患肝病 700 60 760
未患肝病 200 32 232
合計 900 92 992
A.至少有99.9%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”
B.至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒無關”
C.至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”
D.至少有99.9%的把握認為“患肝病與嗜酒無關”
2.[多選]有兩個分類變量x,y,其2×2列聯表如下所示:
y1 y2 合計
x1 a 20-a 20
x2 15-a 30+a 45
合計 15 50 65
其中a,15-a均為大于5的整數,現有95%的把握認為x,y有關,則a的值為 (　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
3.為了研究高中學生中性別與對鄉村音樂態度(喜歡和不喜歡兩種態度)的關系,運用2×2列聯表進行獨立性檢驗,經計算χ2=8.01,則所得到的統計學結論是認為性別與喜歡鄉村音樂有關系的把握約為 (　　)
附表:
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A.0.1% B.0.5%
C.99.5% D.99.9%
4.在吸煙與患肺癌是否相關的研究中,下列說法正確的是 (　　)
A.若χ2>6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關,則在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌
B.由獨立性檢驗可知,當有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關時,若某人吸煙,則他有99%的可能患有肺癌
C.通過計算得到χ2>3.841,是指有95%的把握認為吸煙與患肺癌有關系
D.以上三種說法都不正確
5.針對時下的“短視頻熱”,某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查,其中被調查的男生、女生人數均為5m(m∈N*)人,男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的,女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.提出假設H0:喜歡短視頻和性別相互獨立.若有95%的把握認為喜歡短視頻和性別不獨立,則m的最小值為 (　　)
附:χ2=,
P(χ2≥x0) 0.05 0.01
x0 3.841 6.635
A.7 B.8
C.9 D.10
6.假設有兩個變量X和Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯表為
y1 y2
x1 a b
x2 c d
根據以下選項中的數據計算χ2的值,其中χ2最大的一組為 (　　)
A.a=60,b=50,c=40,d=30
B.a=60,b=40,c=50,d=30
C.a=40,b=30,c=50,d=60
D.a=30,b=40,c=50,d=60
7.某中學對高二甲、乙兩個同類班級進行“加強‘語文閱讀理解’訓練對提高‘數學應用題’得分率的作用”的試驗,其中甲班為試驗班(加強語文閱讀理解訓練),乙班為對比班(常規教學,無額外訓練),在試驗前的測試中,甲、乙兩班學生在數學應用題上的得分率基本一致,試驗結束后,統計幾次數學應用題測試的平均成績(均取整數)如表所示:
60分 以下 61~ 70分 71~ 80分 81~ 90分 91~ 100分
甲班(人數) 3 11 6 12 18
乙班(人數) 7 8 10 10 15
現規定平均成績在80分以上(不含80分)的為優秀.
(1)試分析估計兩個班級的優秀率;
(2)由以上統計數據填寫下面2×2列聯表,根據以上數據,能否有95%的把握認為加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率有幫助
優秀人數 非優秀人數 合計
甲班
乙班
合計
參考公式及數據:χ2=.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
8.“綠水青山就是金山銀山”的生態文明發展理念已經深入人心,這將推動新能源汽車產業的迅速發展,下表是近幾年我國某地區新能源乘用車的年銷售量與年份的統計表:
年份 2015 2016 2017 2018 2019
銷量(萬臺) 8 10 13 25 24
某機構調查了該地區30位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分數據如表所示:
車主 購車種類 合計
傳統燃油車 新能源乘用車
男性 6 24
女性 2
合計 30
(1)求新能源乘用車的銷量y關于年份x的相關系數r,并判斷y與x是否線性相關;
(2)請將上述2×2列聯表補充完整,并依據χ2的值判斷,購車車主購置新能源乘用車與性別是否有關.
附:≈25.
9.衛生紙主要供人們生活日常衛生之用,是人民群眾生活中不可缺少的紙種之一.某品牌衛生紙生產廠家為保證產品的質量,現從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取500件進行品質鑒定,并將統計結果整理如下:
合格品 優等品
甲生產線 250 250
乙生產線 300 200
(1)判斷能否有99.9%的把握認為產品的品質與生產線有關;
(2)用頻率近似為概率,從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取2件進行詳細檢測,記抽取的產品中優等品的件數為X,求隨機變量X的分布列與數學期望.
課時跟蹤檢測(三十八)
1.選C　由2×2列聯表中數據可求得χ2=≈7.349>6.635,則至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”,所以C正確,A、B、D錯誤.
2.選CD　由題意可知χ2==>3.841,又因為a>5且15-a>5,a∈Z,所以當a=8或a=9時滿足題意.
3.選C　根據臨界值χ2=8.01>7.879,所以有99.5%的把握認為喜歡鄉村音樂與性別有關.
4.選C　若χ2>6.635,我們有99%的把握認為吸煙與患肺癌有關,而不是在100個吸煙的人中必有99個人患肺癌,故A不正確;99%是指吸煙與患肺癌有關的概率,而不是吸煙的人有99%的可能患有肺癌,故B不正確,C正確,D不正確.
5.選C　根據題意,不妨設a=4m,b=m,c=3m,d=2m,于是χ2===,由于有95%的把握認為喜歡短視頻和性別不獨立,根據表格可知≥3.841,解得m≥8.066 1,于是m最小值為9.
6.選C　對于A,==,對于B,==,對于C,==,對于D,==,顯然最大,故C正確.
7.解:(1)由題意知,甲、乙兩班均有學生50人,甲班優秀人數為30人,優秀率為=60%,乙班優秀人數為25人,優秀率為=50%,所以甲、乙兩班的優秀率分別為60%和50%.
(2)填寫2×2列聯表如下:
優秀人數 非優秀人數 合計
甲班 30 20 50
乙班 25 25 50
合計 55 45 100
提出假設H0:加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率沒有幫助.
因為χ2=≈1.010<3.841,
因為當H0成立時,χ2≥1.010的概率大于5%,所以沒有95%的把握認為加強“語文閱讀理解”訓練對提高“數學應用題”得分率有幫助.
8.解: (1)依題意,==2 017,==16,
(xi-)(yi-)=(-2)×(-8)+(-1)×(-6)+0×(-3)+1×9+2×8=47,
=4+1+1+4=10,
=64+36+9+81+64=254,
則r==≈0.94,
|r|≈0.94接近于1,故y與x線性相關.
(2)依題意,補充列聯表如下:
車主 購車種類 合計
傳統燃油車 新能源乘用車
男性 18 6 24
女性 2 4 6
合計 20 10 30
則χ2==3.75>2.706,
故有90%的把握認為購車車主是否購置新能源乘用車與性別有關.
9.解:(1)補充列聯表如下:
合格品 優等品 合計
甲生產線 250 250 500
乙生產線 300 200 500
合計 550 450 1 000
根據列聯表中的數據,經計算得到χ2=≈10.101<10.828,
所以沒有99.9%的把握認為產品的品質與生產線有關.
(2)由題意,甲生產線生產的產品中抽取優等品的頻率為=,乙生產線生產的產品中抽取優等品的頻率為=,
所以估計從甲、乙生產線生產的產品中各隨機抽取優等品的概率分別為,,
由題意隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,
則P(X=0)=×=,P(X=1)=××+×××=,
P(X=2)=×+××××+×=,
P(X=3)=××+×××=,
P(X=4)=×=,
故X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
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