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2024-2025學年寧夏銀川市景博中學高一（下）期末
數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知為虛數單位，復數，則( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，則( )
A. B. C. D.
3.總體由編號為，，，，的個個體組成．利用所給的隨機數表選取個個體，選取的方法是從隨機數表第行的第列和第列數字開始，由左到右一次選取兩個數字，則選出來的第個個體的編號為( )
A. B. C. D.
4.某校對全校名學生的數學成績進行統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學的數學成績大于等于分的人數為( )
A.
B.
C.
D.
5.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
6.如圖，在直角梯形中，，，，，，為線段上的一點，，過作的平行線交于，將矩形翻折至與梯形垂直得到六面體，如圖，則六面體的體積為( )
A.
B.
C.
D.
7.在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為( )
A. B. C. D.
8. 兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為：，則這兩個圓錐的體積之和為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.在正三棱柱中，為中點，則( )
A. B. 平面
C. 平面 D.
10.設，，表示三個不同的平面，，表示兩條不同的直線，則下列結論正確的有( )
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
11.在直三棱柱中，，，，為的中點，則( )
A.
B. 平面
C. 平面
D. 直線與所成角為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.______．
13.設向量，夾角的余弦值為，且，，則 ______．
14.如圖，在中，點在邊上，的垂直平分線過點，且滿足，，則的大小為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
為增強市民節能環保意識，某市面向全市征召義務宣傳志愿者，現從符合條件的名志愿者中隨機抽取名志愿者，他們的年齡情況如表所示：
分組單位：歲 頻數 頻率
總計
Ⅰ頻率分布表中的位置應填什么數據？
Ⅱ補全如圖所示的頻率分布直方圖，再根據頻率分布直方圖估計這名志愿者中年齡在歲的人數；
Ⅲ現用比例分配的分層隨機抽樣從、、的樣本中共抽取名志愿者，已知從中抽取了人，求的值．
16.本小題分
在中，．
求的值；
若，且的面積，求的值．
17.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求證：平面；
求二面角的正弦值．
18.本小題分
如圖，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱底面，且．
證明：平面平面；
求點到平面的距離．
19.本小題分
如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點．
證明：平面；
若，在棱上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ應填，應填；
Ⅱ因為區間的頻率為，
所以該組的高為，
所以補全頻率分布直方圖如下：
這名志愿者中年齡在歲的人數為；
Ⅲ因為、、的人數比例為：：：：，
所以從中抽取了人，從、中分別抽取了人和人，
所以．
16.因為，
由余弦定理可得，
可得；
因為，
由正弦定理得，
所以，
由可得，
因為的面積為，
可得，
又因為，可得，
可得，
所以．
17.因為，，所以，，
又，，所以，
所以．
所以．
因為，
所以為直角三角形，且．
又因為平面，平面，
所以．
又因為，平面，，
所以平面．
因為平面，，平面，
所以，．
所以即為二面角的平面角．
在中，，，，
所以，
所以．
即二面角的正弦值為．
18.證明：因為底面，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
根據題意建系如圖：
則，，，，
所以，
設平面的一個法向量為，
則，即，取，
所以點到平面的距離為．
19.證明：如圖，取的中點，連接，，
又為棱的中點，所以易得四邊形是平行四邊形，
所以又平面，平面，
所以平面；
因為，
所以，所以．
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，又，
所以，，兩兩垂直，
所以建系如圖：
則，，，，，．
所以，
設平面的一個法向量為，
則，取，
假設在棱上存在點，使得點到平面的距離是，
設，則．
又，
所以點到平面的距離是，解得，
在中，．
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