資源簡介

2024-2025 學年遼寧省普通高中高一（下）期末數學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.復數(4 + ) (1 + 5 )的虛部為( )
A. 4 B. 4 C. 4 D. 4
2.工人師傅在檢測椅子的四個“腳”是否在同一個平面上時，只需連接對“腳”的兩條線段，看它們是否
相交，就知道它們是否合格.工人師傅運用的數學原理是( )
A.兩條相交直線確定一個平面 B.兩條平行直線確定一個平面
C.四點確定一個平面 D.直線及直線外一點確定一個平面
3.設△ 3的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，若 = 2 2， = 4， = 4 ，則 =( )
A. 6 B. 6 C. 32 2 D. 3
4.已知 ， ， 為三條不同的直線， ， 為兩個不同的平面，若 ∩ = ， ， ，且 與 異面，
則( )
A. 至多與 ， 中的一條相交 B. 與 ， 均相交
C. 與 ， 均平行 D. 至少與 ， 中的一條相交
5.已知 ， ∈ ，復數 2+ 是關于 的方程 2 + + = 0 的一個根，則 2 的值為( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.若水平放置的平面四邊形 按斜二測畫法得到如圖所示的直觀
圖，其中 ′ ′// ′ ′， ′ ′ ⊥ ′ ′， ′ ′ = 1， ′ ′ =
2，則以原四邊形 的邊 為軸
旋轉一周得到的幾何體的體積為( )
A. 7 2 B. 14 23 3
C. 6 2 D. 10 23
7.如圖，為了測量某鐵塔的高度，測量人員選取了與該塔底 在同一平面內的兩
個觀測點 與 ，現測得 cos∠ = 33 , = 100 2米，在點 處測得塔頂 的仰
角為 30°，在點 處測得塔頂 的仰角為 45°，則鐵塔的高度為( )
A. 80 米 B. 100 米
C. 112 米 D. 120 米
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8.已知四棱錐 的五個頂點都在球 的球面上，底面 是邊長為 6的正方形，若四棱錐
體積的最大值為 6，則球 的表面積為( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、多選題：本題共 3 小題，共 18 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.下列說法正確的是( )
A.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐
B.棱柱至少有五個面
C.棱臺的側棱延長后必交于一點
D.以直角梯形的一腰為軸旋轉所形成的旋轉體是圓臺
10.已知△ 的內角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，則( )
A. ≥
B. 若 = 2
+
，則 + = 2
C.若 2 + 2 > 2，則△ 為銳角三角形
D.若 = 2, = 3, = 45°，則△ 的形狀能唯一確定
11.如圖，在棱長為 2 的正方體中 1 1 1 1， 為線段 1的中點， 為
線段 1 上的動點(含端點)，則下列結論正確的有( )
A.過 9， 1， 三點的平面截正方體 1 1 1 1所得的截面的面積為2
B.存在點 ，使得平面 / /平面 1
C.當 在線段 1 上運動時，三棱錐 1的體積不變
D. + 的最小值為 2 2 + 2
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分。
12.某圓錐的側面展開圖是半徑為 4，圓心角為 120°的扇形，則該圓錐的底面直徑為______．
13.已知復數 1， 2滿足| 1| = | 2| = 5，且 1 2 = 3 4 ，則| 1 + 2| = ______．
2 2
14.已知△ 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ， ，且 3 = ，則 2 = ______，
的最小值為______．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題 13 分)
已知復數 1， 2在復平面內對應的點分別為 1(0,1)， 2(2, 1)．
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(1)若 = 1 2，求| |；
(2)若復數 = 1 + 1 2在復平面內對應的點位于第二象限，求實數 的取值范圍．
16.(本小題 15 分)
在△ 中，內角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，且 2 + = ( + )2．
(1)求 ；
(2)若 + = 6，△ 的面積為 2 3，求 ．
17.(本小題 15 分)
如圖，在三棱柱 1 1 1中， ， 分別是 ， 1 1的中點．
(1)證明：平面 1 //平面 1 ；
(2)若三棱柱 1 1 1為直三棱柱，且棱長均為 2，求異面直線 1 與 1所成角的正弦值．
18.(本小題 17 分)
如圖，在四棱錐 中，四邊形 是矩形，平面 ⊥平面 ， = 2 3， = 3， = 3，
∠ = 60°，點 ， 分別為棱 ， 的中點．
(1)求證： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正切值；
(3)求直線 與平面 所成角的正弦值．
19.(本小題 17 分)
“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，
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使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當△ 的三個內角均
小于 120°時，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的點 即為費馬點；當△ 有一個內角大于或等于 120°
時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上知識解決下面問題：已知△ 的內角 ， ， 的對邊分別為 ， ，
，且 2 + 2 = 1 + 2 ，點 為△ 的費馬點．
(1)求證：△ 是直角三角形；
(2)若△ 3的面積為 2 ，且 = 1，求 tan∠ 的值；
(3) + 求 的最小值．
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參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.83
13.5 3
14.3 2 23
15.(1)復數 1， 2在復平面內對應的點分別為 1(0,1)， 2(2, 1)．
則 1 = ， 2 = 2 ，則 = 1 2 = (2 ) = 2 + 2 ，
所以| | = ( 2)2 + 22 = 2 2．
(2)由題意可知： = 1 + 1 2 = + (2 ) = + (2 + 1) ，
< 0 1因為復數 在復平面內對應的點位于第二象限，則 2 + 1 > 0，解得 2 < < 0，
1
故實數 的取值范圍為( 2 , 0)．
16.解：(1)因為 2 + = ( + )2，所以 2 + = 2 + 2 + 2，
整理得： 2 + 2 2 = ，
2+ 2 =
2 1
所以由余弦定理得： 2 = 2 = 2．
0 < < 2 又因為 ，所以 = 3．
(2) △ 2 3 1因為 的面積為 ，所以2 = 2 3，
1
即2 ×
3
2 = 2 3，解得 = 8，
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由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 + = ( + )2 ，
因為 = 8， + = 6，所以( + )2 = 36 8 = 28，
即 2 = 28，因為 > 0，所以 = 2 7．
17.(1)證明：因為 ， 分別是 ， 1 1的中點，
結合三棱柱 1 1 1的定義可得 1 = ， 1 // ，
所以四邊形 1 是平行四邊形，所以 1 // ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，所以 //平面 1 ，
連接 ，由棱柱的性質，可知 // 1， = 1，所以四邊形 1 為平行四邊形，
所以 // 1， = 1，又 1// 1， 1 = 1，
所以 // 1， = 1，
所以四邊形 1 是平行四邊形，所以 1// ，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
由線面平行的判定定理可得 1//平面 1 ，
又因為 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，
由面面平行的判定地理可得平面 1 //平面 1 ．
(2)由(1)知 1 / / ，所以異面直線 1 與 1所成角為∠ 1(或其補角)，
由三棱柱 1 1 1為直三棱柱可得所有的側棱都與底面垂直，即有 1 ⊥平面 1 1 1，
因為 1 ， 1 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 ， 1 ⊥ 1 1，
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所以 = 22 + 12 = 5， 1 = 2 2， 1 = 3，
所以 2 + 2 21 = 1，即 ⊥ 1，
所以在 △ 1中，sin∠ 1 =
6，
4
即異面直線 1 與 1所成角的正弦值為
6．
4
18.解：(1)證明：在△ 中， = 2 3， = 3，∠ = 60°，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ∠ = (2 3)2 + ( 3)2 2 ×
2 3 × 3 60° = 9．
即 = 3，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
因為四邊形 是矩形，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
在△ 中， = 3， = 3，點 是 的中點，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)過點 作直線 的垂線，垂足為 ，連接 ，如圖所示．
由(1)知 ⊥平面 ，又 ， 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 為二面角 的平面角．
因為 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 3, = 3 2，
所以 = 2 + 2 = 21，
所以 sin∠ =
= 3 21 =

= 3 2，
2
解得 = 3 14，14
在△ 中， = 3 2 , = 3 14 , ⊥ ，2 14
所以 tan∠ = = 7，
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即二面角 的正切值為 7．
(3)取 的中點 ，連接 ， ，如圖所示，
易得 // ， = ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
即點 到平面 的距離等于點 到平面 的距離．
因為 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = ( 3)2 + 32 = 2 3．
設點 到平面 的距離為 ，
又 = ，
所以1 × 1 × 3 × 3 1 1 ，3 2 2 × 3 = 3 × 2 × 3 × 3
解得 = 3，2
設直線 與平面 所成角為 ，
= 所以 =
1
4，
1
即直線 與平面 所成角的正弦值為4．
19.(1)證明：由 2 + 2 = 1 + 2 ，
得 1 2 2 + 1 2 2 = 1 + 1 2 2 ，
即sin2 = sin2 + sin2 ，
由正弦定理得 2 = 2 + 2，
所以△ 是直角三角形；
(2)由(1)知 = 2，
△ 1 1 3的面積為 = 2 = 2 × 1 = 2 ，
則 = 3, = 2 + 2 = 2，
所以在 △ 中， = = 3 1 2 ， = = 2
= 所以 3， = 6，
由 為△ 2 的費馬點，得∠ = ∠ = ∠ = 3，
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設∠ = ，則∠ = ∠ = 3 ，∠ = ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
1 2 (
)
即 = 3 ， = ，
sin2 sin(3 3 ) 3
△ 在 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，
2 4
則 2 = sin ， =sin 3 ，3
2 ( 3 ) = 4 因此 3 3 ，
3 1
整理得 2 2 = 2 ，
3
即 2 =
5
2 ，
所以 = 35 ，
即 tan∠ = 35 ．
(3)由 為△ 的費馬點，得∠ = ∠ = ∠ = 2 3，
設 = ， = ， = ， > 0， > 0， > 0，
+
則 = + ，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 3 = (
2 + + 1) 2，
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 2 23 = ( + + 1) ，
在△ 2 中，由余弦定理得 2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 3 = (
2 + 2 + ) 2，
由 2 + 2 = 2，
得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
化簡得 + + 2 = ，又 > 0， > 0，
則 + + 2 = ≤ ( + )22 ，當且僅當 = 時取等號，
整理得( + )2 4( + ) 8 ≥ 0，
因此 + ≥ 2+ 2 3，或 + ≤ 2 2 3(舍去)，
+
所以 的最小值為 2 + 2 3．
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