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四川省資陽(yáng)市安岳中學(xué)2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2025·安岳模擬）已知集合，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由題意可知，，所以.
故選：B.
【分析】解一元二次不等式先化簡(jiǎn)求得集合B，再應(yīng)用交集運(yùn)算即可求得 .
2．（2025·安岳模擬）已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng) ，可得復(fù)數(shù)，
則.
故答案為：C.
【分析】由題意，先寫出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
3．（2025·安岳模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，
可得，即充分性成立；
當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，則，，，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：A．
【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知可判斷充分性成立；舉例說(shuō)明必要性不成立.
4．（2025·安岳模擬）在ABC中，，，，與BE的交點(diǎn)為，若，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；向量在幾何中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖所示：
，三點(diǎn)共線，設(shè)，，
因?yàn)椋裕?br/>則，
又因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，解得，
則，
若，則
，解得，即的長(zhǎng)為.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合三點(diǎn)共線定理可得，再利用向量數(shù)量積公式求解即可.
5．（2025·安岳模擬）已知，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六
【解析】【解答】解：，解得或，
又，，
.
故選：C.
【分析】結(jié)合已知條件和兩角和的正切公式先求得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
6．（2025·安岳模擬）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上的截距為，若，且軸，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)在軸上方，如圖所示：
因?yàn)檩S，所以點(diǎn)，
又因?yàn)檫^(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上的截距為，，
且軸 ，所以，即點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，即，
所以，解得，即點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，即，
解得，則，解得，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：C.
【分析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由軸 ，求得點(diǎn)，再由已知條件可得出，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出 ，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得出，解出的值，即可得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).
7．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)在時(shí)滿足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)，，，使得，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，令，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ裕?br/>不妨取，則函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
畫出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：
由圖象可知，，，
則，
故，
兩式相加得，
所以.
故答案為：C.
【分析】先求出，根據(jù)恒成立，得到，不妨取，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，利用對(duì)稱性求解即可.
8．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的解集
【解析】【解答】解：令，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，
所以，所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以.
所以不等式的解集為.
故選：D.
【分析】令，可得，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，可得，進(jìn)而計(jì)算即可求得不等式的解集.
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2025·安岳模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（　　）
A．的最小值為 B．的最小值為8
C．的最大值為 D．沒有最大值
【答案】A,C
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且，所以.
所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選項(xiàng)A正確；
B、，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C、，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為，故選項(xiàng)C正確；
D、，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.
所以有最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【分析】將代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；利用“1”的代換結(jié)合基本不等式計(jì)算可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)結(jié)合基本不等式計(jì)算可判斷選項(xiàng)C；，，根據(jù)基本不等式可求得，進(jìn)而可求得的最大值可判斷選項(xiàng)D.
10．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)的最小正周期為，則（　　）
A．
B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．在上單調(diào)遞減
D．將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象
【答案】A,B,D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；輔助角公式
【解析】【解答】解：A、因?yàn)椋?br/>所以，故選項(xiàng)A正確，
B、所以，所以， 所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)B正確，
C、當(dāng)時(shí)，，且所以在上不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
D、將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
【分析】利用輔助角公式即可得，進(jìn)而利用周期公式即可判斷選項(xiàng)A；由的值可得函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而計(jì)算求得即可判斷選項(xiàng)B；可得，利用圖象與性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)C；利用三角函數(shù)圖象的平移變換以及誘導(dǎo)公式即可判斷選項(xiàng)D.
11．（2025·安岳模擬）如圖，四棱臺(tái)的底面是正方形，，底面.動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列判斷正確的是（　　）
A．點(diǎn)可能在直線上
B．點(diǎn)可能在直線上
C．若點(diǎn)在底面內(nèi)，則三棱錐的體積為定值
D．若點(diǎn)在棱上，則
【答案】A,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面（不包括點(diǎn)），因?yàn)榕c所在直線相交且不垂直，因此直線與平面相交，故A正確；
B、因?yàn)榈酌妫诘酌鎯?nèi)，所以，
又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因此平面平面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫裕蔅錯(cuò)誤；
C、若點(diǎn)在底面內(nèi)，則點(diǎn)在直線上，而平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，則為定值，故C正確；
D、設(shè)的中點(diǎn)為，如圖所示：
若點(diǎn)在棱上，則，，，，平面，
所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>在梯形中，，，所以，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】由與所在直線相交且不垂直即可判斷A；通過(guò)即可判斷B；通過(guò)等體積即可判斷C；通過(guò)求證，得到即可判斷D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（2025·安岳模擬）對(duì)任意，恒有，對(duì)任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的周期性
【解析】【解答】
令，
則有，
任意，
恒有，
則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，周期為2，
作出函數(shù)圖象
，
函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，
由圖像可知，的圖像與函數(shù)在上相切，
由得，則，
解得，
故答案為.
【分析】由得，由已知條件可得函數(shù)的圖像的對(duì)稱性和周期性，可作出函數(shù)的圖像，由題意(k＞0)的圖像函數(shù)在 上的圖像相切，聯(lián)立方程組利用判別式求解.
13．（2025·安岳模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，是直線上任意一點(diǎn)，則　 　．
【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：易知，設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，所以，即，
則.
故答案為：.
【分析】易知，設(shè)點(diǎn)，可得，由點(diǎn)在直線上代入可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
14．（2025·安岳模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，則公比為　 　.
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，
因?yàn)椋裕獾?
故答案為：.
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，進(jìn)而解方程組即可求得公比q的值.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟.
15．（2025·安岳模擬）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角A；
（2）若，的面積為，求的值.
【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋詓inA≠0，所以.
因?yàn)椋裕?br/>即，解得或(舍去)
所以.

（2）解：設(shè)的面積為，外接圓半徑為R，
所以，所以，
由正弦定理，得，
所以.
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；解三角形；正弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角可得，進(jìn)而利用兩角和的正弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式即可求得cosA的值，進(jìn)而可得角A的值；
（2）由面積公式可得bc的值，進(jìn)而由正弦定理求得外接圓半徑，再計(jì)算即可求得的值.
（1）由條件得，從而.
所以，由正弦定理得，故.
從而，得，故.
所以.
（2）設(shè)的面積為，則.
16．（2025·安岳模擬）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若為增函數(shù)，求的取值范圍.
【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>易知，，
則曲線在處的切線方程為，即；
（2）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以在上恒成立，
即在上恒成立，則，
令，，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，，
則的取值范圍是.
【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【分析】（1）將代入，求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）由題意可得：在上恒成立，分離參數(shù)得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得的取值范圍.
（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，，，
∴曲線在處的切線方程為，
整理得，，
∴曲線在處的切線方程為.
（2），，
是增函數(shù)，即在上恒成立，
方法一：即在上恒成立，所以，
設(shè)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，
∵，∴的取值范圍是.
方法二：即在上恒成立，所以，
設(shè)，，則，，
①若，則，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，即不恒成立，
所以在上不單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.
②若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，
∴，解得，
∴的取值范圍是.
17．（2025·安岳模擬）如圖，已知四邊形與均為直角梯形，平面平面EFAD，，，為的中點(diǎn)，.
（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：
因?yàn)椋謩e為、的中點(diǎn)，且，，
所以，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以且，
又因?yàn)椋遥裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，，所以，，則，，，四點(diǎn)共面
（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>且，所以平面，
以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，，所以，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
【知識(shí)點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)中位線結(jié)合已知得出四邊形與四邊形是平行四邊形，即可得出，即可證明；
（2）以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平面法向量求法得出平面與平面的法向量，再根據(jù)空間向量法求解即可.
（1）取的中點(diǎn)，連接，.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又因?yàn)椋遥?br/>所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，.
所以，，
所以，，，四點(diǎn)共面.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>且，所以平面.
如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，，所以.
設(shè)平面與平面夾角為，
所以.
18．（2025·安岳模擬）已知雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為4，直線為雙曲線的一條漸近線.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記雙曲線的左 右頂點(diǎn)分別為，，斜率為正的直線過(guò)點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，(點(diǎn)在第一象限)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，記面積為，面積為，求證：為定值.
【答案】解：（1）易知， 直線為雙曲線的一條漸近線，即，解得，
則雙曲線的方程為；
（2）易知，，
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，整理可得，
由韋達(dá)定理可得：，，即，
設(shè)直線：，可得，
設(shè)直線：，可得，
因?yàn)椋?br/>.
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)漸近線方程以及虛軸長(zhǎng)度確定，即可得雙曲線的方程；
（2）易知，，由題意，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元整理結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得坐標(biāo)并表示出，計(jì)算即可.
19．（2025·安岳模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的積為，記，.
（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的公比.
（2）若，，且
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②記，那么數(shù)列中是否存在兩項(xiàng)，（s，t均為正偶數(shù)，且），使得數(shù)列，，，成等差數(shù)列？若存在，求s，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以①，
又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，
由題意可得：，，，②，
①代入②可得：，即，即，則數(shù)列的公比為1；
（2）①、若、、且，則，
即
又因?yàn)椋裕?br/>，，則，
綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
②、由①知，
構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，
函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕?br/>假設(shè)存在s，t滿足題意，若，
則，，所以，不合題意，
所以s只能為2，4，6，且；
（i）當(dāng)時(shí)，由，得，故，
由數(shù)列的單調(diào)性可知存在唯一的滿足題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，
故，同（i）知，
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，得，故，
又因?yàn)椋?br/>由數(shù)列的單調(diào)性知，故，
但不成立，所以與題意不符，
綜上，滿足條件的s，t的值為和.
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列、為等比、等差數(shù)列得①，，再由題意可得，整理即可得數(shù)列的公比；
（2）①、已知式子變形為（），求得，從而可得，注意，求積可得；
②、由①知.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得數(shù)列的單調(diào)性：，假設(shè)存在s，t滿足題意，若，由單調(diào)性出現(xiàn)矛盾，這樣，，分別求即可．
1 / 1四川省資陽(yáng)市安岳中學(xué)2025屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2025·安岳模擬）已知集合，則（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·安岳模擬）已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安岳模擬）已知數(shù)列為等差數(shù)列，則“”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2025·安岳模擬）在ABC中，，，，與BE的交點(diǎn)為，若，則的長(zhǎng)為（　　）
A． B． C．2 D．
5．（2025·安岳模擬）已知，，則的值為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·安岳模擬）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上的截距為，若，且軸，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)在時(shí)滿足恒成立，且在區(qū)間內(nèi)，僅存在三個(gè)數(shù)，，，使得，則（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（　　）
A． B．
C． D．
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2025·安岳模擬）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足，則（　　）
A．的最小值為 B．的最小值為8
C．的最大值為 D．沒有最大值
10．（2025·安岳模擬）已知函數(shù)的最小正周期為，則（　　）
A．
B．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
C．在上單調(diào)遞減
D．將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象
11．（2025·安岳模擬）如圖，四棱臺(tái)的底面是正方形，，底面.動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列判斷正確的是（　　）
A．點(diǎn)可能在直線上
B．點(diǎn)可能在直線上
C．若點(diǎn)在底面內(nèi)，則三棱錐的體積為定值
D．若點(diǎn)在棱上，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．（2025·安岳模擬）對(duì)任意，恒有，對(duì)任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的值為　 　.
13．（2025·安岳模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，是直線上任意一點(diǎn)，則　 　．
14．（2025·安岳模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，且，則公比為　 　.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明 證明過(guò)程或演算步驟.
15．（2025·安岳模擬）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.
（1）求角A；
（2）若，的面積為，求的值.
16．（2025·安岳模擬）設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；
（2）若為增函數(shù)，求的取值范圍.
17．（2025·安岳模擬）如圖，已知四邊形與均為直角梯形，平面平面EFAD，，，為的中點(diǎn)，.
（1）證明：，，，四點(diǎn)共面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
18．（2025·安岳模擬）已知雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為4，直線為雙曲線的一條漸近線.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記雙曲線的左 右頂點(diǎn)分別為，，斜率為正的直線過(guò)點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，(點(diǎn)在第一象限)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，記面積為，面積為，求證：為定值.
19．（2025·安岳模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的積為，記，.
（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的公比.
（2）若，，且
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
②記，那么數(shù)列中是否存在兩項(xiàng)，（s，t均為正偶數(shù)，且），使得數(shù)列，，，成等差數(shù)列？若存在，求s，t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】交集及其運(yùn)算；一元二次不等式
【解析】【解答】解：由題意可知，，所以.
故選：B.
【分析】解一元二次不等式先化簡(jiǎn)求得集合B，再應(yīng)用交集運(yùn)算即可求得 .
2．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的表示；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算
【解析】【解答】解：由復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng) ，可得復(fù)數(shù)，
則.
故答案為：C.
【分析】由題意，先寫出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.
3．【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等差數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【解答】解：數(shù)列為等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，
可得，即充分性成立；
當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，則，，，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要條件.
故答案為：A．
【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知可判斷充分性成立；舉例說(shuō)明必要性不成立.
4．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；向量在幾何中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖所示：
，三點(diǎn)共線，設(shè)，，
因?yàn)椋裕?br/>則，
又因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，所以，解得，
則，
若，則
，解得，即的長(zhǎng)為.
故答案為：C.
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合三點(diǎn)共線定理可得，再利用向量數(shù)量積公式求解即可.
5．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)誘導(dǎo)公式二~六
【解析】【解答】解：，解得或，
又，，
.
故選：C.
【分析】結(jié)合已知條件和兩角和的正切公式先求得，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式以及二倍角公式，同角的三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
6．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)點(diǎn)在軸上方，如圖所示：
因?yàn)檩S，所以點(diǎn)，
又因?yàn)檫^(guò)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，在軸上的截距為，，
且軸 ，所以，即點(diǎn)，
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t，即，
所以，解得，即點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程可得，即，
解得，則，解得，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故答案為：C.
【分析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由軸 ，求得點(diǎn)，再由已知條件可得出，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出 ，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得出，解出的值，即可得橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).
7．【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的性質(zhì)
【解析】【解答】解：當(dāng)時(shí)，令，
因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ裕?br/>不妨取，則函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
畫出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：
由圖象可知，，，
則，
故，
兩式相加得，
所以.
故答案為：C.
【分析】先求出，根據(jù)恒成立，得到，不妨取，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，利用對(duì)稱性求解即可.
8．【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；不等式的解集
【解析】【解答】解：令，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，
所以，所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，
所以在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕裕?br/>所以當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以.
所以不等式的解集為.
故選：D.
【分析】令，可得，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，，得在上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，，可得，進(jìn)而計(jì)算即可求得不等式的解集.
9．【答案】A,C
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、因?yàn)閤，y為正實(shí)數(shù)，且，所以.
所以，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選項(xiàng)A正確；
B、，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
C、，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為，故選項(xiàng)C正確；
D、，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.
所以有最大值，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【分析】將代入，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A；利用“1”的代換結(jié)合基本不等式計(jì)算可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)結(jié)合基本不等式計(jì)算可判斷選項(xiàng)C；，，根據(jù)基本不等式可求得，進(jìn)而可求得的最大值可判斷選項(xiàng)D.
10．【答案】A,B,D
【知識(shí)點(diǎn)】正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；輔助角公式
【解析】【解答】解：A、因?yàn)椋?br/>所以，故選項(xiàng)A正確，
B、所以，所以， 所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故選項(xiàng)B正確，
C、當(dāng)時(shí)，，且所以在上不單調(diào)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，
D、將的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故選項(xiàng)D正確，
故選：ABD.
【分析】利用輔助角公式即可得，進(jìn)而利用周期公式即可判斷選項(xiàng)A；由的值可得函數(shù)f(x)的解析式，進(jìn)而計(jì)算求得即可判斷選項(xiàng)B；可得，利用圖象與性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng)C；利用三角函數(shù)圖象的平移變換以及誘導(dǎo)公式即可判斷選項(xiàng)D.
11．【答案】A,C,D
【知識(shí)點(diǎn)】錐體的體積公式及應(yīng)用
【解析】【解答】解：A、點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)且與垂直的平面（不包括點(diǎn)），因?yàn)榕c所在直線相交且不垂直，因此直線與平面相交，故A正確；
B、因?yàn)榈酌妫诘酌鎯?nèi)，所以，
又因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因此平面平面，
又因?yàn)椋矫妫矫妫裕蔅錯(cuò)誤；
C、若點(diǎn)在底面內(nèi)，則點(diǎn)在直線上，而平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，則為定值，故C正確；
D、設(shè)的中點(diǎn)為，如圖所示：
若點(diǎn)在棱上，則，，，，平面，
所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?br/>在梯形中，，，所以，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】由與所在直線相交且不垂直即可判斷A；通過(guò)即可判斷B；通過(guò)等體積即可判斷C；通過(guò)求證，得到即可判斷D.
12．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)的周期性
【解析】【解答】
令，
則有，
任意，
恒有，
則函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，周期為2，
作出函數(shù)圖象
，
函數(shù)的圖像與有4個(gè)不同的公共點(diǎn)，
由圖像可知，的圖像與函數(shù)在上相切，
由得，則，
解得，
故答案為.
【分析】由得，由已知條件可得函數(shù)的圖像的對(duì)稱性和周期性，可作出函數(shù)的圖像，由題意(k＞0)的圖像函數(shù)在 上的圖像相切，聯(lián)立方程組利用判別式求解.
13．【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【解析】【解答】解：易知，設(shè)點(diǎn)，則，
因?yàn)辄c(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，所以，即，
則.
故答案為：.
【分析】易知，設(shè)點(diǎn)，可得，由點(diǎn)在直線上代入可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.
14．【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，
因?yàn)椋裕獾?
故答案為：.
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組，進(jìn)而解方程組即可求得公比q的值.
15．【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋詓inA≠0，所以.
因?yàn)椋裕?br/>即，解得或(舍去)
所以.

（2）解：設(shè)的面積為，外接圓半徑為R，
所以，所以，
由正弦定理，得，
所以.
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦公式；解三角形；正弦定理的應(yīng)用；三角形中的幾何計(jì)算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角可得，進(jìn)而利用兩角和的正弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式即可求得cosA的值，進(jìn)而可得角A的值；
（2）由面積公式可得bc的值，進(jìn)而由正弦定理求得外接圓半徑，再計(jì)算即可求得的值.
（1）由條件得，從而.
所以，由正弦定理得，故.
從而，得，故.
所以.
（2）設(shè)的面積為，則.
16．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>易知，，
則曲線在處的切線方程為，即；
（2）解：函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以在上恒成立，
即在上恒成立，則，
令，，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，，
則的取值范圍是.
【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【解析】【分析】（1）將代入，求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）由題意可得：在上恒成立，分離參數(shù)得到在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得的取值范圍.
（1）當(dāng)時(shí)，，
所以，，，
∴曲線在處的切線方程為，
整理得，，
∴曲線在處的切線方程為.
（2），，
是增函數(shù)，即在上恒成立，
方法一：即在上恒成立，所以，
設(shè)，，則，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，
∵，∴的取值范圍是.
方法二：即在上恒成立，所以，
設(shè)，，則，，
①若，則，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于，即不恒成立，
所以在上不單調(diào)遞增，與題意不符，舍去.
②若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，
∴，解得，
∴的取值范圍是.
17．【答案】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：
因?yàn)椋謩e為、的中點(diǎn)，且，，
所以，且，所以四邊形是平行四邊形，
所以且，
又因?yàn)椋遥裕运倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以，，所以，，則，，，四點(diǎn)共面
（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>且，所以平面，
以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則，，，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，，所以，
設(shè)平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
【知識(shí)點(diǎn)】空間點(diǎn)、線、面的位置；用空間向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，根據(jù)中位線結(jié)合已知得出四邊形與四邊形是平行四邊形，即可得出，即可證明；
（2）以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相應(yīng)各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平面法向量求法得出平面與平面的法向量，再根據(jù)空間向量法求解即可.
（1）取的中點(diǎn)，連接，.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又因?yàn)椋遥?br/>所以，，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，.
所以，，
所以，，，四點(diǎn)共面.
（2）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br/>且，所以平面.
如圖，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，所以.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)椋?br/>所以，令，得，，所以.
設(shè)平面與平面夾角為，
所以.
18．【答案】解：（1）易知， 直線為雙曲線的一條漸近線，即，解得，
則雙曲線的方程為；
（2）易知，，
設(shè)直線：，，，
聯(lián)立，整理可得，
由韋達(dá)定理可得：，，即，
設(shè)直線：，可得，
設(shè)直線：，可得，
因?yàn)椋?br/>.
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)漸近線方程以及虛軸長(zhǎng)度確定，即可得雙曲線的方程；
（2）易知，，由題意，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元整理結(jié)合韋達(dá)定理，分別求得坐標(biāo)并表示出，計(jì)算即可.
19．【答案】解：（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以①，
又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，
由題意可得：，，，②，
①代入②可得：，即，即，則數(shù)列的公比為1；
（2）①、若、、且，則，
即
又因?yàn)椋裕?br/>，，則，
綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
②、由①知，
構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，
函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又因?yàn)椋裕?br/>假設(shè)存在s，t滿足題意，若，
則，，所以，不合題意，
所以s只能為2，4，6，且；
（i）當(dāng)時(shí)，由，得，故，
由數(shù)列的單調(diào)性可知存在唯一的滿足題意；
（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，
故，同（i）知，
（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，得，故，
又因?yàn)椋?br/>由數(shù)列的單調(diào)性知，故，
但不成立，所以與題意不符，
綜上，滿足條件的s，t的值為和.
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最大（小）值；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等比數(shù)列概念與表示；等差數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的性質(zhì)
【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列、為等比、等差數(shù)列得①，，再由題意可得，整理即可得數(shù)列的公比；
（2）①、已知式子變形為（），求得，從而可得，注意，求積可得；
②、由①知.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得數(shù)列的單調(diào)性：，假設(shè)存在s，t滿足題意，若，由單調(diào)性出現(xiàn)矛盾，這樣，，分別求即可．
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