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湖南省長沙市雅禮中學2025屆高三一模數學試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·長沙模擬）下列散點圖中，線性相關系數最小的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】散點圖；樣本相關系數r及其數字特征
【解析】【解答】解：A、這些點緊密地聚集在一條直線附近，具有較很強的線性相關性，且呈現負相關，其線性相關系數接近于；
B、散點比較分散，線性負相關程度不及A，即線性相關系數要比選項A的大.
C、散點呈現出一定的上升趨勢，變量和之間具有強的線性相關關系，其線性相關系數為正數.
D、散點比較分散，線性負相關程度比選項A要弱，線性相關系數的比選項A的大.
綜合比較四個選項，選項A，線性負相關程度最強，所以線性相關系數最小.
故選：A.
【分析】利用散點圖變化趨勢，判斷相關系數的正負，由散點的集中程度確定線性相關系數的大小，即可得到答案．
2．（2025·長沙模擬）已知集合，集合，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】交集及其運算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由|x|<3，解得-3由x2<4，解得-2所以.
故選：A.
【分析】根據絕對值不等式和一元二次不等式先求得集合，進而根據集合的交集運算即可求得 .
3．（2025·長沙模擬）若復數z在復平面中的對應點都在一個以原點為圓心的圓上，則的對應點均在（　　）
A．一條直線上 B．一個圓上
C．一條拋物線上 D．一支雙曲線上
【答案】B
【知識點】復數代數形式的乘除運算；圓的標準方程；復數運算的幾何意義
【解析】【解答】解：設復數，且，
所以，所以，
所以的對應點為，
因為，所以的對應點均在一個圓上.
故選：B.
【分析】設復數，且，再根據復數的除法運算求得，進而可得對應點的坐標滿足的關系即可得出答案.
4．（2025·長沙模擬）某隧道的垂直剖面圖近似為一拋物線，如圖所示．已知隧道高為，寬為，隧道內設置兩條車道，且隧道內行車不準跨過中間的實線．若載有集裝箱的貨車要經過此隧道，貨車寬度為，集裝箱寬度與貨車寬度相同，則貨車高度（即集裝箱最高點距地面的距離）的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】拋物線的應用
【解析】【解答】解：如圖所示，以拋物線的頂點為原點建立平面直角坐標系，
設拋物線方程為，
由圖可知拋物線過點，即，解得，所以拋物線方程為.
因為車道寬2米，兩車道中間有隔離帶，車寬2米，
所以車行駛時，的取值范圍為.
當時，，
要使載貨最高的貨車通過隧道，則貨車高度的最大值為米.
故選：C.
【分析】建立如圖平面直角坐標系，設拋物線方程為，利用待定系數法求出拋物線方程，根據已知條件可知車行駛時，的取值范圍為，令得，則即為貨車高度的最大值.
5．（2025·長沙模擬）在中，．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】平面向量的線性運算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因為，所以為的中點，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故選：C.
【分析】結合已知條件和向量的線性運算可知，，即可求得，進而即可求得的值；
6．（2025·長沙模擬）已知數列的前項和，數列的前項和為，且，若不等式恒成立，則實數的最小值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】數列的通項公式；數列的前n項和
【解析】【解答】解：當時，，
當時，，
當時，符合上式，所以，
所以，
當為偶數時，，
所以，
當為奇數時，，
所以，
綜上所述，，
又因為不等式恒成立，所以，所以，所以實數的最小值為 ，
故選：D.
【分析】利用求出，進而利用裂項法可得，對分奇偶求得的取值范圍，進而即可求得實數的最小值.
7．（2025·長沙模擬）若定義在上的函數滿足是奇函數，，設函數，則（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知識點】函數的奇偶性；奇偶函數圖象的對稱性；抽象函數及其應用；函數的周期性
【解析】【解答】解：因為所以，所以函數為周期函數，4是函數的一個周期.
因為是上的奇函數，所以，所以的圖象關于點對稱，所以，，
在，取，得，
所以
，
.
故選：A.
【分析】根據可知函數的周期為4，根據是上的奇函數可得的圖象關于點對稱，進而可得，，，利用 ，列式計算即可.
8．（2025·長沙模擬）已知三棱錐四個頂點都在球O面上，，，M為AB的中點，C在面APB內的射影為PM的中點，則球O的表面積等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】球的表面積與體積公式及應用；球內接多面體
【解析】【解答】解：因為，，所以，
所以點在面內的射影為的中點，
設的中點為，由題意可得：平面，
因為平面，所以，則，
又因為，，
所以，，，
，為的中點，則為的外心，
三棱錐的外接球的球心在過M且垂直平面的垂線上，則，
過作的平行線，與相交于點，則為矩形，，，
設球到平面的距離為t，球O的半徑為，
有，，
在和中，，
解得，則，故球O的表面積為.
故答案為：B.
【分析】由題意可得：三棱錐的外接球的球心在過M且垂直平面PAB的垂線上，設球到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，在和中，建立方程求解即可.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（2025·長沙模擬）已知（常數）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則（　　）
A．
B．展開式中奇數項的二項式系數的和為256
C．展開式中的系數為
D．若展開式中各項系數的和為1024，則第6項的系數最大
【答案】A,C,D
【知識點】二項式系數的性質；二項式系數
【解析】【解答】解：的展開式的通項為.
對于A，根據題意，可得，由組合數的性質可知，故A正確；
對于B，由，則展開式中奇數項的二項式系數之和為，故B錯誤；
對于C，由解得，則展開式中的系數為，故C正確；
對于D，令，則展開式中各項系數之和，解得，
可得展開式的通項為，
即每項系數均為該項的二項式系數，易知展開式中第項為二項式的中間項，
則其系數最大，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】利用二項式定理得出展開式的通項，再根據已知條件結合組合數的對稱性、二項式系數之和、賦值法以及二項式系數的單調性，從而逐項判斷找出正確的選項.
10．（2025·長沙模擬）設，已知函數（　　）
A．在上單調遞減
B．當時，存在最小值
C．設，則
D．設，若存在最小值，則
【答案】B,C,D
【知識點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用；平面內兩點間的距離公式；圓的標準方程
【解析】【解答】解：A、當x<-a時，f(x)=-x-1，易知f(x)單調遞減，而f(-a)=a-1；
當時，，所以，
所以當時，，所以函數f(x)單調遞減；當時，，所以函數f(x)單調遞增，而f(-a)=0；
當0B、當時，
當時，；
當時，當x=0時，取得最小值為；
當時，，
綜上所述：取得最小值，故選項B正確；
C、結合圖像，
易知在，且接近于處，的距離最小，
當時，，當且接近于處，，
此時，，故選項C正確；
D、依題意，，
當時，，易知其圖象為一條端點取不到的單調遞減的射線；
當時，，易知其圖象是，圓心為，半徑為的圓在軸下方的圖象（即半圓）；
當時，，易知其圖象是一條端點取不到的單調遞增的曲線；
因為，
結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，
點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，
故直線的方程為，
聯立，解得，則，
顯然要保證在上，才能滿足取得最小值，
所以只需，即都可滿足題意，保證，
否則無最小值，故，故選項D正確；
故選：BCD
【分析】利用求得判斷函數的單調性即可判斷選項A；由函數單調性即可判斷選項B；在，且接近于處，的距離最小，進而即可判斷選項C；先分析的圖象，結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，分析可解判斷選項D.
11．（2025·長沙模擬）已知曲線C的方程為，下列說法正確的有（　　）
A．曲線C關于直線對稱
B．，
C．曲線C被直線截得的弦長為
D．曲線C上任意兩點距離的最大值為
【答案】A,C,D
【知識點】函數的圖象；一元二次方程的根與系數的關系；平面內兩點間的距離公式；橢圓的應用
【解析】【解答】解：A、將方程中的和互換，得到，與原方程一致，所以曲線關于直線對稱，故選項A正確；
、通過分析方程，設固定，解關于的二次方程，判別式要求，
得，即，超出，同理的范圍也超過，故選項B錯誤；
C、聯立解得或，所以交點為和，
所以弦長為，故選項C正確；
D、因為所以所以即
又因為，即，
則
同理可得：，
則曲線的上任一點到的距離之和為：
所以曲線表示以為焦點且的橢圓，則，
則線段的最大值為故選項D正確；
故選：ACD
【分析】根據對稱的理解，進行運算即可判斷選項A；通過分析方程的特征可求出的范圍即可判斷選項B；聯立方程組先求出直線和曲線的交點，進而利用兩點間的距離公式求得弦長即可判斷選項C；對方程進行變形可知曲線C為橢圓，結合橢圓的形狀判斷即可判斷選項D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2025·長沙模擬）已知集合，則　 　．
【答案】
【知識點】補集及其運算
【解析】【解答】解：由題意可知，，
故答案為：.
【分析】根據補集的定義即可求得 .
13．（2025·長沙模擬）已知是棱長為的正四面體，設的四個頂點到平面的距離所構成的集合為，若中元素的個數為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.如果為的1階等距平面且1階等距集為，則符合條件的有　 　個，的所有可能取值構成的集合是　 　.
【答案】7；
【知識點】棱柱的結構特征；棱錐的結構特征；空間點、線、面的位置
【解析】【解答】①情形一：如圖所示，分別取的中點，
由中位線性質可知，此時平面為的一個1階等距平面，
則為正四面體高的一半，即為.
因為正四面體有4個面，所以這樣的1階等距平面平行于其中一個面，有4種情況；
②情形二：如圖所示，分別取的中點
將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，則為正方體棱長的一半，即m=.
因為正四面體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，所以這樣的1階等距平面平行于其中一組異面直線，有3種情況.
綜上所述，當的值為時，有4個；當的值為時，有3個.
所以符合條件的有7個，的所有可能取值構成的集合是；
故答案為：7；.
【分析】分兩種情況得出的所有可能值以及相應的1階等距平面的個數即可.
14．（2025·長沙模擬）已知四棱柱中，底面是平行四邊形，，底面，，點是四棱柱表面上的一個動點，且直線與所成的角為，則點的軌跡長度為　 　．
【答案】
【知識點】棱柱的結構特征；旋轉體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結構特征；異面直線所成的角；直線與平面垂直的性質
【解析】【解答】解：因為，所以直線與所成的角為，
因為底面，所以點的軌跡是以為軸（其中為頂點，為底面圓心），母線與軸所成角為的圓錐的側面與四棱柱的表面的交線．
如圖所示，在線段和上分別取點，使得，連接，
所以點在四邊形與四邊形上的運動軌跡為線段和，且
當在四邊形上運動時，其軌跡是以為圓心，3為半徑的圓的三分之一．
綜上所述，點的軌跡長度為．
故答案為：.
【分析】先結合四棱柱與圓錐的結構特征確定點的軌跡，再數形結合求點的軌跡長度.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（2025·長沙模擬）記的內角，，的對邊分別，，，已知．
（1）求；
（2）設是邊中點，若，求．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，又因為，所以，
所以，
所以，
即
又因為，所以，
所以，即，
而，所以，所以，
所以.
（2）解：在中，因為，所以，
所以，
由正弦定理，得，
因為是邊中點，所以，
即，
所以，
在中，由正弦定理，
得.
【知識點】平面向量的數量積運算；兩角和與差的正弦公式；同角三角函數間的基本關系；解三角形；正弦定理的應用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得，進而利用三角恒等變換化簡可得，再利用輔助角公式結合三角函數的性質即可求得A的值；
（2）利用同角三角關系式先求得sinC，進而利用兩角和的正弦公式求出，根據正弦定理可知，根據向量的線性運算可知，再利用向量數量積的運算律可求得，再利用正弦定理即可求得sin∠ADC.
（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
則，而，
化簡得，即，而，因此，
所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是邊中點，得，
則，因此，
在中，由正弦定理，得.
16．（2025·長沙模擬）現市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關部門批準后，某醫院把此藥給100個病人服用．設藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．
A B C（新藥）
治愈率
患者占比
（1）記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；
（2）設用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結果用表示）
（3）按照市場預測，使用新藥的患者占比能達到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產線，但生產線運行的條數受患者占比的影響，關系如下表：
患者占比
最多投入生產線條數 1 2 3
若某條生產線運行，年利潤為1000萬，若某條生產線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產藥品的年總利潤均值最大，應引入幾條生產線？
【答案】（1）解：由題意可知，，
所以，
令，得，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當p=0.8時，所以 取得最大值，即的最大值點為.

（2）解：設事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，
則
所以從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，該患者痊愈的概率為.
（3）解：設隨機變量為生產藥品產生的年利潤
①若投入1條生產線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產線總能運行，
此時對應的年利潤
②若投入2條生產線，
當，1條生產線運行，
年利潤，
當時，2條生產線運行，
年利潤，
此時的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3條生產線，
當時，1條生產線運行，
年利潤 ，
當時2條生產線運行，
年利潤，
當時，3條生產線運行，年利潤，
此時的分布列如下：
400 1700 3000
所以
因為
綜上所述，欲使該藥企生產藥品的年度總利潤均值最大，應引入兩條生產線.
【知識點】利用導數研究函數最大（小）值；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先由已知條件求得的解析式，再對函數進行求導，利用導數得到函數的單調性即可求得的最大值點；
（2）設事件為“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，利用全概率公式即可該患者痊愈的概率 ；
（3）設隨機變量為生產藥品產生的年利潤，分別討論投入1條，2條，3條生產線時所對應的概率，代入期望公式求解，比較大小即可得解.
（1）100個病人中恰好有80人被治愈的概率為，
則，
令，得，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以的最大值點為.
（2）設事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，
事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，
則
因此：
所以.
（3）設隨機變量為生產藥品產生的年利潤
①若投入1條生產線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產線總能運行，
此時對應的年利潤
②若投入2條生產線，當，1條生產線運行，
年利潤，當時，2條生產線運行，
年利潤，
此時的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3條生產線，當時，1條生產線運行，
年利潤 ，
當時2條生產線運行，年利潤，
當時，3條生產線運行，年利潤，
此時的分布列如下：
400 1700 3000
所以
綜上所述，欲使該藥企生產藥品的年度總利潤均值最大，應引入兩條生產線.
17．（2025·長沙模擬）已知函數．
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，求函數的極值．
【答案】（1）解：由，則函數，易知其定義域為，
由，則函數為偶函數，
當時，，
顯然當時，函數在上單調遞增，
當時，求導可得，
令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，函數在上單調遞減，
在上單調遞增；
當時，函數在與上單調遞增，
在與上單調遞減.
（2）解：由時，則函數，
可得，解得或，
所以函數的定義域為，
由（1）易知函數為偶函數，
當時，則函數，
當時，函數在上單調遞增，此時無極值；
當時，求導可得，
令，解得，
當時，；當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故函數的極大值為，
由函數為偶函數，
則函數的極大值為，
綜上所述，當時，函數無極值；
當時，函數的極大值為，無極小值.
【知識點】奇偶性與單調性的綜合；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值
【解析】【分析】（1）由已知條件和函數解析式明確函數的定義域，并判斷函數的奇偶性，再根據化簡后的解析式和求導判斷函數單調性的方法，從而討論出函數的單調性.
（2）由函數解析式明確函數的定義域，并判斷函數的奇偶性，再利用導數與極值的關系以及分類討論的方法，從而得出函數的極值．
（1）由，則函數，易知其定義域為，
由，則函數為偶函數，
當時，，顯然當時，函數在上單調遞增，
當時，求導可得，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數在與上單調遞增，在與上單調遞減.
（2）由時，則函數，可得，解得或，
所以函數的定義域為，由（1）易知函數為偶函數，
當時，則函數，
當時，函數在上單調遞增，此時無極值；
當時，求導可得，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故函數的極大值為，
由函數為偶函數，則函數的極大值為，
綜上，當時，函數無極值；
當時，函數的極大值為，無極小值.
18．（2025·長沙模擬）在平行四邊形中（如圖1），，為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明：如圖所示，連接，
因為 ，為的中點 ，所以BC=AM=BM=1，
因為 是等邊三角形，所以∠A=60°，DM=1，
在平行四邊形中 ，AD∥BC，所以∠MBC=120°，
在中，由余弦定理得，
在中，因為，
所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：取的中點，連接，則，
由（1）知平面.
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面
所以平面，
因為平面，得，
過作，則，
又，
如圖所示，建立空間直角坐標系，
所以，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，
令，則，所以，
設直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）解：易知平面的一個法向量為.
由（2）知，，
因為，所以，
所以.
設平面的一個法向量為，
則，
令，得，所以，
設平面與平面所成角為，
所以，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
【知識點】平面向量的共線定理；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；二面角及二面角的平面角；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）根據余弦定理和勾股定理證明，結合線面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標系，分別求得直線AD的方向向量和平面ABM的法向量，即可數量積公式即可求得 直線與平面所成角的正弦值；
（3）求得平面與平面 的法向量，進而利用數量積公式求得平面與平面所成角的余弦值即可．
（1）如圖，連接，則，
由余弦定理得，
在中，有，
所以，又平面，
所以平面.
（2）取的中點，連接，則，
由（1）知平面.又平面，
所以平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
過作，則，又，
建立如圖空間直角坐標系，
則，
得，，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
得，設直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
（3）易知平面的一個法向量為.
由（2）知，，
由，得，
所以.
設平面的一個法向量為，
則，令，得，
得，設平面與平面所成角為，
則，
即平面與平面所成角的余弦值為.
19．（2025·長沙模擬）已知拋物線的焦點為F，在第一象限內的點和第二象限內的點都在拋物線C上，且直線過焦點F．按照如下方式依次構造點：過點作拋物線C的切線與x軸交于點，過點作x軸的垂線與拋物線C相交于點，設點的坐標為．用同樣的方式構造點，設點的坐標為．
（1）證明：數列都是等比數列；
（2）記，求數列的前n項和；
（3）證明：當時，直線都過定點．
【答案】（1）證明：拋物線C的方程可化為，求導可得，
將點的坐標代入拋物線C的方程，有，
過點的切線的方程為，代入，有，
整理為，令，可得，有，
故數列是公比為的等比數列，
同理，數列也是公比為的等比數列；
（2）解：由焦點，設直線的方程為，
聯立方程消去y后整理為，有，
由數列是公比為的等比數列，有，
有，
有，
兩邊乘以，有，
兩式作差，有，
有，可得；
（3）證明：由（2）知，點的坐標為，點的坐標為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，有，
故當時，直線過定點．
【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程；等比數列概念與表示；直線的點斜式方程；恒過定點的直線；數列的前n項和
【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求在點的坐標，得到數列的遞推關系式，即可證明等比數列；
（2）根據（1）的結果求數列的通項公式，再利用錯位相減法求和；
（3）根據（2）的結果求點，的坐標，再求直線的直線方程，即可判斷定點.
（1）拋物線C的方程可化為，求導可得，
將點的坐標代入拋物線C的方程，有，
過點的切線的方程為，代入，有，
整理為，令，可得，有，
故數列是公比為的等比數列，
同理，數列也是公比為的等比數列；
（2）由焦點，設直線的方程為，
聯立方程消去y后整理為，有，
由數列是公比為的等比數列，有，
有，
有，
兩邊乘以，有，
兩式作差，有，
有，可得；
（3）由（2）知，點的坐標為，點的坐標為，
直線的斜率為，
直線的方程為，
令，有，
故當時，直線過定點．
1 / 1湖南省長沙市雅禮中學2025屆高三一模數學試題
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2025·長沙模擬）下列散點圖中，線性相關系數最小的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·長沙模擬）已知集合，集合，則（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·長沙模擬）若復數z在復平面中的對應點都在一個以原點為圓心的圓上，則的對應點均在（　　）
A．一條直線上 B．一個圓上
C．一條拋物線上 D．一支雙曲線上
4．（2025·長沙模擬）某隧道的垂直剖面圖近似為一拋物線，如圖所示．已知隧道高為，寬為，隧道內設置兩條車道，且隧道內行車不準跨過中間的實線．若載有集裝箱的貨車要經過此隧道，貨車寬度為，集裝箱寬度與貨車寬度相同，則貨車高度（即集裝箱最高點距地面的距離）的最大值為（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·長沙模擬）在中，．若，則的值為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·長沙模擬）已知數列的前項和，數列的前項和為，且，若不等式恒成立，則實數的最小值為（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·長沙模擬）若定義在上的函數滿足是奇函數，，設函數，則（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2025·長沙模擬）已知三棱錐四個頂點都在球O面上，，，M為AB的中點，C在面APB內的射影為PM的中點，則球O的表面積等于（　　）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．（2025·長沙模擬）已知（常數）的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則（　　）
A．
B．展開式中奇數項的二項式系數的和為256
C．展開式中的系數為
D．若展開式中各項系數的和為1024，則第6項的系數最大
10．（2025·長沙模擬）設，已知函數（　　）
A．在上單調遞減
B．當時，存在最小值
C．設，則
D．設，若存在最小值，則
11．（2025·長沙模擬）已知曲線C的方程為，下列說法正確的有（　　）
A．曲線C關于直線對稱
B．，
C．曲線C被直線截得的弦長為
D．曲線C上任意兩點距離的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（2025·長沙模擬）已知集合，則　 　．
13．（2025·長沙模擬）已知是棱長為的正四面體，設的四個頂點到平面的距離所構成的集合為，若中元素的個數為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.如果為的1階等距平面且1階等距集為，則符合條件的有　 　個，的所有可能取值構成的集合是　 　.
14．（2025·長沙模擬）已知四棱柱中，底面是平行四邊形，，底面，，點是四棱柱表面上的一個動點，且直線與所成的角為，則點的軌跡長度為　 　．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（2025·長沙模擬）記的內角，，的對邊分別，，，已知．
（1）求；
（2）設是邊中點，若，求．
16．（2025·長沙模擬）現市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗一種新藥，在有關部門批準后，某醫院把此藥給100個病人服用．設藥的治愈率為，且每位病人是否被治愈相互獨立．
A B C（新藥）
治愈率
患者占比
（1）記100個病人中恰有80人被治愈的概率為，求的最大值點；
（2）設用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，，以（1）問中確定的作為的值，從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，求該患者痊愈的概率（結果用表示）
（3）按照市場預測，使用新藥的患者占比能達到以上，不足的概率為，不低于且不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計劃引入藥品的生產線，但生產線運行的條數受患者占比的影響，關系如下表：
患者占比
最多投入生產線條數 1 2 3
若某條生產線運行，年利潤為1000萬，若某條生產線未運行，年虧損300萬，欲使該藥企生產藥品的年總利潤均值最大，應引入幾條生產線？
17．（2025·長沙模擬）已知函數．
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）當時，求函數的極值．
18．（2025·長沙模擬）在平行四邊形中（如圖1），，為的中點，將等邊沿折起，連接，且（如圖2）．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．
19．（2025·長沙模擬）已知拋物線的焦點為F，在第一象限內的點和第二象限內的點都在拋物線C上，且直線過焦點F．按照如下方式依次構造點：過點作拋物線C的切線與x軸交于點，過點作x軸的垂線與拋物線C相交于點，設點的坐標為．用同樣的方式構造點，設點的坐標為．
（1）證明：數列都是等比數列；
（2）記，求數列的前n項和；
（3）證明：當時，直線都過定點．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】散點圖；樣本相關系數r及其數字特征
【解析】【解答】解：A、這些點緊密地聚集在一條直線附近，具有較很強的線性相關性，且呈現負相關，其線性相關系數接近于；
B、散點比較分散，線性負相關程度不及A，即線性相關系數要比選項A的大.
C、散點呈現出一定的上升趨勢，變量和之間具有強的線性相關關系，其線性相關系數為正數.
D、散點比較分散，線性負相關程度比選項A要弱，線性相關系數的比選項A的大.
綜合比較四個選項，選項A，線性負相關程度最強，所以線性相關系數最小.
故選：A.
【分析】利用散點圖變化趨勢，判斷相關系數的正負，由散點的集中程度確定線性相關系數的大小，即可得到答案．
2．【答案】A
【知識點】交集及其運算；不等式的解集
【解析】【解答】解：由|x|<3，解得-3由x2<4，解得-2所以.
故選：A.
【分析】根據絕對值不等式和一元二次不等式先求得集合，進而根據集合的交集運算即可求得 .
3．【答案】B
【知識點】復數代數形式的乘除運算；圓的標準方程；復數運算的幾何意義
【解析】【解答】解：設復數，且，
所以，所以，
所以的對應點為，
因為，所以的對應點均在一個圓上.
故選：B.
【分析】設復數，且，再根據復數的除法運算求得，進而可得對應點的坐標滿足的關系即可得出答案.
4．【答案】C
【知識點】拋物線的應用
【解析】【解答】解：如圖所示，以拋物線的頂點為原點建立平面直角坐標系，
設拋物線方程為，
由圖可知拋物線過點，即，解得，所以拋物線方程為.
因為車道寬2米，兩車道中間有隔離帶，車寬2米，
所以車行駛時，的取值范圍為.
當時，，
要使載貨最高的貨車通過隧道，則貨車高度的最大值為米.
故選：C.
【分析】建立如圖平面直角坐標系，設拋物線方程為，利用待定系數法求出拋物線方程，根據已知條件可知車行駛時，的取值范圍為，令得，則即為貨車高度的最大值.
5．【答案】C
【知識點】平面向量的線性運算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因為，所以為的中點，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故選：C.
【分析】結合已知條件和向量的線性運算可知，，即可求得，進而即可求得的值；
6．【答案】D
【知識點】數列的通項公式；數列的前n項和
【解析】【解答】解：當時，，
當時，，
當時，符合上式，所以，
所以，
當為偶數時，，
所以，
當為奇數時，，
所以，
綜上所述，，
又因為不等式恒成立，所以，所以，所以實數的最小值為 ，
故選：D.
【分析】利用求出，進而利用裂項法可得，對分奇偶求得的取值范圍，進而即可求得實數的最小值.
7．【答案】A
【知識點】函數的奇偶性；奇偶函數圖象的對稱性；抽象函數及其應用；函數的周期性
【解析】【解答】解：因為所以，所以函數為周期函數，4是函數的一個周期.
因為是上的奇函數，所以，所以的圖象關于點對稱，所以，，
在，取，得，
所以
，
.
故選：A.
【分析】根據可知函數的周期為4，根據是上的奇函數可得的圖象關于點對稱，進而可得，，，利用 ，列式計算即可.
8．【答案】B
【知識點】球的表面積與體積公式及應用；球內接多面體
【解析】【解答】解：因為，，所以，
所以點在面內的射影為的中點，
設的中點為，由題意可得：平面，
因為平面，所以，則，
又因為，，
所以，，，
，為的中點，則為的外心，
三棱錐的外接球的球心在過M且垂直平面的垂線上，則，
過作的平行線，與相交于點，則為矩形，，，
設球到平面的距離為t，球O的半徑為，
有，，
在和中，，
解得，則，故球O的表面積為.
故答案為：B.
【分析】由題意可得：三棱錐的外接球的球心在過M且垂直平面PAB的垂線上，設球到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，在和中，建立方程求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知識點】二項式系數的性質；二項式系數
【解析】【解答】解：的展開式的通項為.
對于A，根據題意，可得，由組合數的性質可知，故A正確；
對于B，由，則展開式中奇數項的二項式系數之和為，故B錯誤；
對于C，由解得，則展開式中的系數為，故C正確；
對于D，令，則展開式中各項系數之和，解得，
可得展開式的通項為，
即每項系數均為該項的二項式系數，易知展開式中第項為二項式的中間項，
則其系數最大，故D正確.
故答案為：ACD.
【分析】利用二項式定理得出展開式的通項，再根據已知條件結合組合數的對稱性、二項式系數之和、賦值法以及二項式系數的單調性，從而逐項判斷找出正確的選項.
10．【答案】B,C,D
【知識點】利用導數研究函數的單調性；導數在最大值、最小值問題中的應用；平面內兩點間的距離公式；圓的標準方程
【解析】【解答】解：A、當x<-a時，f(x)=-x-1，易知f(x)單調遞減，而f(-a)=a-1；
當時，，所以，
所以當時，，所以函數f(x)單調遞減；當時，，所以函數f(x)單調遞增，而f(-a)=0；
當0B、當時，
當時，；
當時，當x=0時，取得最小值為；
當時，，
綜上所述：取得最小值，故選項B正確；
C、結合圖像，
易知在，且接近于處，的距離最小，
當時，，當且接近于處，，
此時，，故選項C正確；
D、依題意，，
當時，，易知其圖象為一條端點取不到的單調遞減的射線；
當時，，易知其圖象是，圓心為，半徑為的圓在軸下方的圖象（即半圓）；
當時，，易知其圖象是一條端點取不到的單調遞增的曲線；
因為，
結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，
點在，
同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，
此時，因為的斜率為，則，
故直線的方程為，
聯立，解得，則，
顯然要保證在上，才能滿足取得最小值，
所以只需，即都可滿足題意，保證，
否則無最小值，故，故選項D正確；
故選：BCD
【分析】利用求得判斷函數的單調性即可判斷選項A；由函數單調性即可判斷選項B；在，且接近于處，的距離最小，進而即可判斷選項C；先分析的圖象，結合圖象可知，要使取得最小值，則點在上，點在，同時的最小值為點到的距離減去半圓的半徑，分析可解判斷選項D.
11．【答案】A,C,D
【知識點】函數的圖象；一元二次方程的根與系數的關系；平面內兩點間的距離公式；橢圓的應用
【解析】【解答】解：A、將方程中的和互換，得到，與原方程一致，所以曲線關于直線對稱，故選項A正確；
、通過分析方程，設固定，解關于的二次方程，判別式要求，
得，即，超出，同理的范圍也超過，故選項B錯誤；
C、聯立解得或，所以交點為和，
所以弦長為，故選項C正確；
D、因為所以所以即
又因為，即，
則
同理可得：，
則曲線的上任一點到的距離之和為：
所以曲線表示以為焦點且的橢圓，則，
則線段的最大值為故選項D正確；
故選：ACD
【分析】根據對稱的理解，進行運算即可判斷選項A；通過分析方程的特征可求出的范圍即可判斷選項B；聯立方程組先求出直線和曲線的交點，進而利用兩點間的距離公式求得弦長即可判斷選項C；對方程進行變形可知曲線C為橢圓，結合橢圓的形狀判斷即可判斷選項D.
12．【答案】
【知識點】補集及其運算
【解析】【解答】解：由題意可知，，
故答案為：.
【分析】根據補集的定義即可求得 .
13．【答案】7；
【知識點】棱柱的結構特征；棱錐的結構特征；空間點、線、面的位置
【解析】【解答】①情形一：如圖所示，分別取的中點，
由中位線性質可知，此時平面為的一個1階等距平面，
則為正四面體高的一半，即為.
因為正四面體有4個面，所以這樣的1階等距平面平行于其中一個面，有4種情況；
②情形二：如圖所示，分別取的中點
將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，則為正方體棱長的一半，即m=.
因為正四面體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，所以這樣的1階等距平面平行于其中一組異面直線，有3種情況.
綜上所述，當的值為時，有4個；當的值為時，有3個.
所以符合條件的有7個，的所有可能取值構成的集合是；
故答案為：7；.
【分析】分兩種情況得出的所有可能值以及相應的1階等距平面的個數即可.
14．【答案】
【知識點】棱柱的結構特征；旋轉體（圓柱/圓錐/圓臺/球）的結構特征；異面直線所成的角；直線與平面垂直的性質
【解析】【解答】解：因為，所以直線與所成的角為，
因為底面，所以點的軌跡是以為軸（其中為頂點，為底面圓心），母線與軸所成角為的圓錐的側面與四棱柱的表面的交線．
如圖所示，在線段和上分別取點，使得，連接，
所以點在四邊形與四邊形上的運動軌跡為線段和，且
當在四邊形上運動時，其軌跡是以為圓心，3為半徑的圓的三分之一．
綜上所述，點的軌跡長度為．
故答案為：.
【分析】先結合四棱柱與圓錐的結構特征確定點的軌跡，再數形結合求點的軌跡長度.
15．【答案】（1）解：在中，由正弦定理可得，又因為，所以，
所以，
所以，
即
又因為，所以，
所以，即，
而，所以，所以，
所以.
（2）解：在中，因為，所以，
所以，
由正弦定理，得，
因為是邊中點，所以，
即，
所以，
在中，由正弦定理，
得.
【知識點】平面向量的數量積運算；兩角和與差的正弦公式；同角三角函數間的基本關系；解三角形；正弦定理的應用
【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角可得，進而利用三角恒等變換化簡可得，再利用輔助角公式結合三角函數的性質即可求得A的值；
（2）利用同角三角關系式先求得sinC，進而利用兩角和的正弦公式求出，根據正弦定理可知，根據向量的線性運算可知，再利用向量數量積的運算律可求得，再利用正弦定理即可求得sin∠ADC.
（1）在中，由正弦定理及，
得，又，
則，而，
化簡得，即，而，因此，
所以.
（2）在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是邊中點，得，
則，因此，
在中，由正弦定理，得.
16．【答案】（1）解：由題意可知，，
所以，
令，得，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以當p=0.8時，所以 取得最大值，即的最大值點為.

（2）解：設事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，
則
所以從已經用藥的患者中隨機抽取一名患者，該患者痊愈的概率為.
（3）解：設隨機變量為生產藥品產生的年利潤
①若投入1條生產線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產線總能運行，
此時對應的年利潤
②若投入2條生產線，
當，1條生產線運行，
年利潤，
當時，2條生產線運行，
年利潤，
此時的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3條生產線，
當時，1條生產線運行，
年利潤 ，
當時2條生產線運行，
年利潤，
當時，3條生產線運行，年利潤，
此時的分布列如下：
400 1700 3000
所以
因為
綜上所述，欲使該藥企生產藥品的年度總利潤均值最大，應引入兩條生產線.
【知識點】利用導數研究函數最大（小）值；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差；全概率公式
【解析】【分析】（1）先由已知條件求得的解析式，再對函數進行求導，利用導數得到函數的單調性即可求得的最大值點；
（2）設事件為“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，利用全概率公式即可該患者痊愈的概率 ；
（3）設隨機變量為生產藥品產生的年利潤，分別討論投入1條，2條，3條生產線時所對應的概率，代入期望公式求解，比較大小即可得解.
（1）100個病人中恰好有80人被治愈的概率為，
則，
令，得，
當時，單調遞增，
當時，單調遞減，
所以的最大值點為.
（2）設事件“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件“該患者服用藥品治療”，
事件“該患者服用藥品治療”，事件“該患者服用藥品治療”，
則
因此：
所以.
（3）設隨機變量為生產藥品產生的年利潤
①若投入1條生產線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產線總能運行，
此時對應的年利潤
②若投入2條生產線，當，1條生產線運行，
年利潤，當時，2條生產線運行，
年利潤，
此時的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入3條生產線，當時，1條生產線運行，
年利潤 ，
當時2條生產線運行，年利潤，
當時，3條生產線運行，年利潤，
此時的分布列如下：
400 1700 3000
所以
綜上所述，欲使該藥企生產藥品的年度總利潤均值最大，應引入兩條生產線.
17．【答案】（1）解：由，則函數，易知其定義域為，
由，則函數為偶函數，
當時，，
顯然當時，函數在上單調遞增，
當時，求導可得，
令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上所述，當時，函數在上單調遞減，
在上單調遞增；
當時，函數在與上單調遞增，
在與上單調遞減.
（2）解：由時，則函數，
可得，解得或，
所以函數的定義域為，
由（1）易知函數為偶函數，
當時，則函數，
當時，函數在上單調遞增，此時無極值；
當時，求導可得，
令，解得，
當時，；當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故函數的極大值為，
由函數為偶函數，
則函數的極大值為，
綜上所述，當時，函數無極值；
當時，函數的極大值為，無極小值.
【知識點】奇偶性與單調性的綜合；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值
【解析】【分析】（1）由已知條件和函數解析式明確函數的定義域，并判斷函數的奇偶性，再根據化簡后的解析式和求導判斷函數單調性的方法，從而討論出函數的單調性.
（2）由函數解析式明確函數的定義域，并判斷函數的奇偶性，再利用導數與極值的關系以及分類討論的方法，從而得出函數的極值．
（1）由，則函數，易知其定義域為，
由，則函數為偶函數，
當時，，顯然當時，函數在上單調遞增，
當時，求導可得，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
綜上，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；
當時，函數在與上單調遞增，在與上單調遞減.
（2）由時，則函數，可得，解得或，
所以函數的定義域為，由（1）易知函數為偶函數，
當時，則函數，
當時，函數在上單調遞增，此時無極值；
當時，求導可得，令，解得，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，
故函數的極大值為，
由函數為偶函數，則函數的極大值為，
綜上，當時，函數無極值；
當時，函數的極大值為，無極小值.
18．【答案】（1）證明：如圖所示，連接，
因為 ，為的中點 ，所以BC=AM=BM=1，
因為 是等邊三角形，所以∠A=60°，DM=1，
在平行四邊形中 ，AD∥BC，所以∠MBC=120°，
在中，由余弦定理得，
在中，因為，
所以，
又平面，
所以平面.
（2）解：取的中點，連接，則，
由（1）知平面.
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面
所以平面，
因為平面，得，
過作，則，
又，
如圖所示，建立空間直角坐標系，
所以，
所以，，
設平面的一個法向量為，
則，
令，則，所以，
設直線與平面所成角為，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
（3）解：易知平面的一個法向量為.
由（2）知，，
因為，所以，
所以.
設平面的一個法向量為，
則，
令，得，所以，
設平面與平面所成角為，
所以，
所以平面與平面所成角的余弦值為.
【知識點】平面向量的共線定理；直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角；二面角及二面角的平面角；三角形中的幾何計算
【解析】【分析】（1）根據余弦定理和勾股定理證明，結合線面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標系，分別求得直線AD的方向向量和平面ABM的法向量，即可數量積公式即可求得 直線與平面所成角的正弦值；
（3）求得平面與平面 的法向量，進而利用數量積公式求得平面與平面所成角的余弦值即可．
（1）如圖，連接，則，
由余弦定理得，
在中，有，
所以，又平面，
所以平面.
（2）取的中點，連接，則，
由（1）知平面.又平面，
所以平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
過作，則，又，
建立如圖空間直角坐標系，
則，
得，，
設平面的一個法向量為，
則，令，則，
得，設直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為.
（3）易知平面的一個法向量為.
由（2）知，，
由，得，
所以.
設平面的一個法向量為，
則，令，得，
得，設平面與平面所成角為，
則，
即平面與平面所成角的余弦值為.
19．【答案】（1）證明：拋物線C的方程可化為，求導可得，
將點的坐標代入拋物線C的方程，有，
過點的切線的方程為，代入，有，
整理為，令，可得，有，
故數列是公比為的等比數列，
同理，數列也是公比為的等比數列；
（2）解：由焦點，設直線的方程為，
聯立方程消去y后整理為，有，
由數列是公比為的等比數列，有，
有，
有，
兩邊乘以，有，
兩式作差，有，
有，可得；
（3）證明：由（2）知，點的坐標為，點的坐標為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
令，有，
故當時，直線過定點．
【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程；等比數列概念與表示；直線的點斜式方程；恒過定點的直線；數列的前n項和
【解析】【分析】（1）利用導數的幾何意義求在點的坐標，得到數列的遞推關系式，即可證明等比數列；
（2）根據（1）的結果求數列的通項公式，再利用錯位相減法求和；
（3）根據（2）的結果求點，的坐標，再求直線的直線方程，即可判斷定點.
（1）拋物線C的方程可化為，求導可得，
將點的坐標代入拋物線C的方程，有，
過點的切線的方程為，代入，有，
整理為，令，可得，有，
故數列是公比為的等比數列，
同理，數列也是公比為的等比數列；
（2）由焦點，設直線的方程為，
聯立方程消去y后整理為，有，
由數列是公比為的等比數列，有，
有，
有，
兩邊乘以，有，
兩式作差，有，
有，可得；
（3）由（2）知，點的坐標為，點的坐標為，
直線的斜率為，
直線的方程為，
令，有，
故當時，直線過定點．
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