資源簡介

8.4　空間點、直線、平面之間的位置關系
8.4.1　平面
1.下列圖形中不一定是平面圖形的是（　　）
A.三角形 B.菱形
C.圓 D.四邊相等的四邊形
2.如圖所示，用符號語言可表示為（　　）
A.α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n α，A m，A n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3.若直線l上有兩個點在平面α外，則下列說法正確的是（　　）
A.直線l上至少有一個點在平面α內
B.直線l上有無窮多個點在平面α內
C.直線l上所有點都在平面α外
D.直線l上至多有一個點在平面α內
4.空間四個點中，三點共線是這四個點共面的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.（多選）下列命題中正確的有（　　）
A.一條直線和一個點可以確定一個平面
B.經過兩條相交直線，有且只有一個平面
C.經過兩條平行直線，有且只有一個平面
D.分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點一定在兩個平面的交線上
6.（多選）已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理正確的是（　　）
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中回答下列問題：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝　　　　；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝　　　　.
8.（2024·鄭州月考）互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，最多可確定　　　　個平面.
9.若直線l與平面α交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求證：O，C，D三點共線.
10.如圖，設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點.
11.空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中（　　）
A.必有三點共線 B.必有三點不共線
C.至少有三點共線 D.不可能有三點共線
12.（多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是（　　）
A.C1，M，O三點共線
B.C1，M，O，C四點共面
C.C1，O，A，M四點共面
D.D1，D，O，M四點共面
13.（2024·萊蕪質檢）一個正三棱柱各面所在的平面將空間分成　　　　部分.
14.如圖，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線.
15.如圖，空間四邊形ABCD中，M，N分別是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，則MN＝　　　　.
16.定線段AB所在的直線與定平面α相交，交點為O，P為定直線外一點，P 直線AB，P α，若直線AP，BP與平面α分別相交于A'，B'.試問，如果點P任意移動，直線A'B'是否恒過一定點？請說明理由.
8.4.1　平面
1.D
2.A　由圖可知平面α，β相交于直線m，直線n在平面α內，兩直線m，n交于點A，所以用符號語言可表示為α∩β＝m，n α，m∩n＝A，故選A.
3.D　由已知得直線l α，故直線l上至多有一個點在平面α內.
4.A　空間四個點中，有三個點共線，根據“一條直線與直線外一點可以確定一個平面”得到這四個點共面，前者可以推出后者；當四個點共面時，不一定有三點共線，后者不一定推出前者；所以空間四個點中，三點共線是這四個點共面的充分不必要條件.
5.BCD　對于A選項，當這個點在直線上時，無法確定一個平面，故A錯誤；對于B、C選項，均為基本事實1的推論，故B、C正確；對于D選項，交點分別含于兩條直線，也分別含于兩個平面，必然在交線上，故D正確.故選B、C、D.
6.ABD　對于A，由基本事實2可知，a β，A正確；對于B，∵M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事實2可知，直線MN α，MN β，∴α∩β＝MN，B正確；對于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈（α∩β）.由基本事實3可知α∩β為經過A的一條直線而不是點A.故C錯誤；對于D，∵A，B，M不共線，由基本事實1可知，過A，B，M有且只有一個平面，故α，β重合.故選A、B、D.
7.（1）A1B1　（2）AC
8.6　解析：當四條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平面，平面最多，如正方體的四條側棱，所以最多可確定6個平面.
9.證明：如圖，∵AC∥BD，
∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直線CD，
∴O，C，D三點共線.
10.證明：不妨設AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
∴AA1與BB1相交，設其交點為S，則S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
∴點S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三線共點.
11.B　如圖①②所示，A、C、D均不正確，只有B正確.
12.ABC　在題圖中，連接A1C1，AC（圖略），則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，∴A、B、C均正確，D不正確.
13.21　解析：三棱柱三個側面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面又在這個基礎上將空間分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面將空間分成3×7＝21部分.
14.解：很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在平面SBD和平面SAC的交線上.
由于AB＞CD，則分別延長AC和BD交于點E，
如圖所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可證E∈平面SBD.
∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE，直線SE就是平面SBD和平面SAC的交線.
15.m　解析：如圖，連接AM并延長交BC于E，連接AN并延長交CD于F，連接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝BD＝m，又∵AM＝AE，AN＝AF，∴MN＝EF＝m.
16.解：隨著點P移動，直線A'B'恒過定點O.理由如下：
由直線AB和直線外一點P可確定平面β，
因為AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交線A'B'上，即直線A'B'恒過定點O.
2 / 38.4.1　平面
新課程標準解讀 核心素養
1.借助日常生活中的實物，在直觀認識空間點、直線、平面的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的概念 數學抽象、直觀想象
2.了解基本事實和確定平面的推論 邏輯推理
　　在生活中，用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，將一把直尺置于桌面上，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整.
【問題】　你知道如此做的原理嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　平面的畫法與表示
1.平面的畫法
畫法 我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向 當平面豎直放置時，常把平行四邊形的一邊畫成豎向
圖示
2.平面的表示方法
（1）用希臘字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；
（2）用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，如平面ABCD；
（3）用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母表示，如平面AC，平面BD.
提醒　（1）平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量；（2）平面無厚薄、無大小，類似于直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的，一個平面可以將空間分成兩部分.
知識點二　點、直線、平面之間的基本關系的符號表示
文字語言 符號語言
點A在直線l上 A　　l
點A在直線l外 A　　l
點A在平面α內 A　　α
點A在平面α外 A　　α
直線l在平面α內 l　　α
直線l在平面α外 l　　α
平面α，β相交于l α　　β＝l
提醒　（1）直線可以看成無數個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；（3）直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“ ”或“ ”表示.
知識點三　平面的基本事實及推論
1.與平面有關的三個基本事實
基本 事實 內容 圖形 符號
基本 事實1 過　　　　的三個點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的α使A，B，C∈α
基本 事實2 如果一條直線上的　　在一個平面內，那么這條直線在這個平面內 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α
基本 事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條　　　 　　　，且　　　 α∩β＝l，且P∈l
2.基本事實1、2的三個推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 確定平 面的依據
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
【想一想】
1.如何理解基本事實1中的“有且只有一個”？
2.如果兩個不重合的平面有無數個公共點，那么這些公共點有什么特點？
1.用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α內”，正確的是（　　）
A.A m，m α B.A m，m∈α
C.A m，m α D.A m，m∈α
2.下列幾何元素可以確定唯一平面的是（　　）
A.三個點
B.圓心和圓上兩點
C.梯形的兩條邊
D.一個點和一條直線
3.（2024·寧德月考）生活經驗：“兩個輪子的自行車在停止運動后要加上一個支撐腳才穩定”，可以解釋該經驗的數學公理是　　　　.
題型一 立體幾何三種語言的相互轉化
【例1】　用符號表示下列語句，并畫出圖形：
（1）平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；
（2）點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線AB上.
通性通法
三種語言的轉換方法
（1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示；
（2）要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別.
【跟蹤訓練】
　畫圖表示下列語句（其中P，M表示點，l，m表示直線，α，β表示平面）：
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；
（2）α∩β＝m，P∈α，P m；
（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m.
題型二 點、線共面問題
【例2】　如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面.
通性通法
證明點、線共面的方法
　　證明點、線共面的主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：
（1）輔助平面法，先證明有關點、線確定平面α，再證明其余點、線確定平面β，最后證明平面α，β重合；
（2）納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關的點、線在此平面內.
【跟蹤訓練】
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如圖.求證：直線AD，BD，CD共面.
題型三 點共線、線共點問題
【例3】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，AA1上的點，且D1F∩CE＝M.求證：點D，A，M三點共線.
通性通法
1.證明三點共線的方法
2.證明三線共點的步驟
【跟蹤訓練】
　已知三個平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點.
1.若一直線a在平面α內，則正確的作圖是（　　）
2.如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則（　　）
A.l α B.l α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N
3.若點Q在直線b上，b在平面α內，則Q，b，α之間的關系可記作　　　　.
4.（2024·洛陽質檢）如圖所示，△ABC的三個頂點在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示.求證：P，Q，R三點共線.
8.4.1　平面
【基礎知識·重落實】
知識點二
　∈　 　∈　 　 　 　∩
知識點三
1.不在一條直線上　兩個點　過該點的公共直線　P∈α　P∈β
想一想
1.提示：這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，基本事實1強調的是存在性和唯一性兩個方面，因此“有且只有一個”，必須完整地使用，不能僅用“只有一個”來代替“有且只有一個”，否則就沒有表達存在性.
2.提示：這些公共點落在同一條直線上.
自我診斷
1.A　由題意用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α內”，即A m，m α，故選A.
2.C　對A，三個不共線的點才能確定唯一平面，A錯誤；對B，當圓上的兩點和圓心共線時，三個點不能確定唯一平面，B錯誤；對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定的平面唯一，C正確；對D，當點在直線上時，這個點和直線不能確定唯一平面，D錯誤，故選C.
3.不共線的三點確定一個平面　
解析：類比三腳架知，支撐點形成一個平面才會保持穩定，因此加上一個支撐腳后，兩個輪子加支撐腳與地面接觸點形成了不共線的三點，確定了一個平面.
【典型例題·精研析】
【例1】　解：（1）用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖.
（2）用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖.
跟蹤訓練
　解：如圖所示.
【例2】　證明：法一（輔助平面法）　因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.
因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因為C∈l，所以C∈α，所以直線a與點C同在平面α內.
因為a∥c，所以直線a，c確定一個平面β.
因為C∈c，c β，所以C∈β，即直線a與點C同在平面β內.
由推論1，可得平面α和平面β重合，則c α.
所以a，b，c，l共面.
法二（納入平面法）　因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.
因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
則a，b，l都在平面α內，即b在a，l確定的平面內.
同理可證c在a，l確定的平面內.
因為過a與l只能確定一個平面，
所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面.
跟蹤訓練
　證明：因為D l，所以l與D可以確定平面α.
因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α內，即它們共面.
【例3】　證明：因為D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面ABCD，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立.
所以點D，A，M三點共線.
跟蹤訓練
　證明：因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因為直線a與直線b不平行，
所以a，b必相交.
如圖所示，設a∩b＝P，則P∈a，P∈b.
因為a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因為α∩β＝c，所以P∈c，即交線c也經過點P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點.
隨堂檢測
1.A　B中直線a不應超出平面α；C中直線a不在平面α內；D中直線a與平面α相交.
2.A　∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
3.Q∈b α　解析：因為點Q（元素）在直線b（集合）上，所以Q∈b.又因為直線b（集合）在平面α（集合）內，所以b α.所以Q∈b α.
4.證明：因為AP∩AR＝A，所以直線AP與直線AR確定平面APR.
又因為AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因為B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因為Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三點共線.
4 / 4(共59張PPT)
8.4.1　平面
新課程標準解讀 核心素養
1.借助日常生活中的實物，在直觀認識空間點、直
線、平面的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的概念 數學抽象、直觀想象
2.了解基本事實和確定平面的推論 邏輯推理
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在生活中，用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，將一把直
尺置于桌面上，通過是否漏光就能檢查桌面是否平整.
【問題】　你知道如此做的原理嗎？
知識點一　平面的畫法與表示
1. 平面的畫法
畫
法 我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面
當平面水平放置時，常把平行四邊形的一邊畫成橫向 當平面豎直放置時，常把平
行四邊形的一邊畫成豎向
圖示
2. 平面的表示方法
（1）用希臘字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；
（2）用代表平面的平行四邊形的四個頂點的大寫英文字母表示，
如平面ABCD；
（3）用代表平面的平行四邊形的相對的兩個頂點的大寫英文字母
表示，如平面AC，平面BD.
提醒　（1）平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原
始概念，不能進行度量；（2）平面無厚薄、無大小，類似于
直線向兩端無限延伸，平面是向四周無限延展的，一個平面
可以將空間分成兩部分.
知識點二　點、直線、平面之間的基本關系的符號表示
文字語言 符號語言
點A在直線l上 A l
點A在直線l外 A l
點A在平面α內 A α
點A在平面α外 A α
直線l在平面α內 l α
直線l在平面α外 l α
平面α，β相交于l α β＝l
∈　
　
∈　
　
　
　
∩　
提醒　（1）直線可以看成無數個點組成的集合，故點與直線的關系
是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”表示；（2）平面也可以看成
點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“ ”
表示；（3）直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集
合的關系，故用“ ”或“ ”表示.
知識點三　平面的基本事實及推論
1. 與平面有關的三個基本事實
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實
1 過
的三個
點，有且只有一
個平面 A，B，C三點不共線
存在唯一的α使A，
B，C∈α
不在一條直
線上　
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實
2 如果一條直線上
的 在
一個平面內，那
么這條直線在這
個平面內 A∈l，B∈l，且
A∈α，B∈α l α
兩個點　
基本事實 內容 圖形 符號
基本事實
3 如果兩個不重合
的平面有一個公
共點，那么它們
有且只有一
條
，
且 α∩β＝
l，且P∈l
過該點的公
共直線　
P∈α　
P∈β　
2. 基本事實1、2的三個推論
推論 內容 圖形 作用
推論1 經過一條直線和這條直線外一
點，有且只有一個平面 確定平
面的依
據
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一
個平面
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一
個平面
1. 如何理解基本事實1中的“有且只有一個”？
提示：這里的“有”是說圖形存在，“只有一個”是說圖形唯一，
基本事實1強調的是存在性和唯一性兩個方面，因此“有且只有一
個”，必須完整地使用，不能僅用“只有一個”來代替“有且只有
一個”，否則就沒有表達存在性.
2. 如果兩個不重合的平面有無數個公共點，那么這些公共點有什
么特點？
提示：這些公共點落在同一條直線上.
【想一想】
1. 用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α內”，正確的是
（　　）
A. A m，m α B. A m，m∈α
C. A m，m α D. A m，m∈α
解析：　由題意用符號表示“點A不在直線m上，直線m在平面α
內”，即A m，m α，故選A.
2. 下列幾何元素可以確定唯一平面的是（　　）
A. 三個點 B. 圓心和圓上兩點
C. 梯形的兩條邊 D. 一個點和一條直線
解析：　對A，三個不共線的點才能確定唯一平面，A錯誤；對
B，當圓上的兩點和圓心共線時，三個點不能確定唯一平面，B錯
誤；對C，梯形的任意兩條邊都能確定梯形所在的平面，所以確定
的平面唯一，C正確；對D，當點在直線上時，這個點和直線不能
確定唯一平面，D錯誤，故選C.
3. （2024·寧德月考）生活經驗：“兩個輪子的自行車在停止運動后
要加上一個支撐腳才穩定”，可以解釋該經驗的數學公理是
.
解析：類比三腳架知，支撐點形成一個平面才會保持穩定，因此加
上一個支撐腳后，兩個輪子加支撐腳與地面接觸點形成了不共線的
三點，確定了一個平面.
不共
線的三點確定一個平面
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 立體幾何三種語言的相互轉化
【例1】　用符號表示下列語句，并畫出圖形：
（1）平面α與β相交于直線l，直線a與α，β分別相交于點A，B；
解：用符號表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如圖.
（2）點A，B在平面α內，直線a與平面α交于點C，點C不在直線
AB上.
解：用符號表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如圖.
通性通法
三種語言的轉換方法
（1）用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有
幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字
語言表示，再用符號語言表示；
（2）要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”
或“ ”，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”.
提醒　根據符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線
和虛線的區別.
【跟蹤訓練】
畫圖表示下列語句（其中P，M表示點，l，m表示直線，α，β表
示平面）：
（1）P∈l，P α，l∩α＝M；
（2）α∩β＝m，P∈α，P m；
（3）P∈α，P∈β，α∩β＝m.
解：如圖所示.
題型二 點、線共面問題
【例2】　如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c
＝C. 求證：直線a，b，c和l共面.
證明：法一（輔助平面法）　因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.
因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因為C∈l，所以C∈α，所以直線a與點C同在平面α內.
因為a∥c，所以直線a，c確定一個平面β.
因為C∈c，c β，所以C∈β，即直線a與點C同在平面β內.
由推論1，可得平面α和平面β重合，則c α.
所以a，b，c，l共面.
法二（納入平面法）　因為a∥b，所以a，b確定一個平面α.
因為A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
則a，b，l都在平面α內，即b在a，l確定的平面內.
同理可證c在a，l確定的平面內.
因為過a與l只能確定一個平面，
所以a，b，c，l共面于a，l確定的平面.
通性通法
證明點、線共面的方法
　　證明點、線共面的主要依據是基本事實1、基本事實2及其推論，
常用的方法有：
（1）輔助平面法，先證明有關點、線確定平面α，再證明其余點、線
確定平面β，最后證明平面α，β重合；
（2）納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關的點、線在
此平面內.
【跟蹤訓練】
已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如圖.求證：直線AD，BD，CD
共面.
證明：因為D l，所以l與D可以確定平面α.
因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α.
同理，BD α，CD α，所以AD，BD，CD在同一平面α內，即它
們共面.
題型三 點共線、線共點問題
【例3】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為AB，
AA1上的點，且D1F∩CE＝M. 求證：點D，A，M三點共線.
證明：因為D1F∩CE＝M，
且D1F 平面A1D1DA，
所以M∈平面A1D1DA.
同理M∈平面ABCD，
從而M在兩個平面的交線上，
因為平面A1D1DA∩平面ABCD＝AD，
所以M∈AD成立.
所以點D，A，M三點共線.
通性通法
1. 證明三點共線的方法
2. 證明三線共點的步驟
【跟蹤訓練】
已知三個平面α，β，γ兩兩相交，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝
b，若直線a，b不平行，求證：a，b，c三條直線必過同一點.
證明：因為α∩γ＝b，β∩γ＝a，所以a γ，b γ.
因為直線a與直線b不平行，
所以a，b必相交.
如圖所示，設a∩b＝P，則P∈a，P∈b.
因為a β，b α，所以P∈β，P∈α.
又因為α∩β＝c，所以P∈c，即交線c也經過點P，
所以，a，b，c三條直線必過同一點.
1. 若一直線a在平面α內，則正確的作圖是（　　）
解析：　B中直線a不應超出平面α；C中直線a不在平面α內；D
中直線a與平面α相交.
2. 如果直線a 平面α，直線b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，
N∈l，則（　　）
A. l α B. l α
C. l∩α＝M D. l∩α＝N
解析：　∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，
∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
3. 若點Q在直線b上，b在平面α內，則Q，b，α之間的關系可記
作 .
解析：因為點Q（元素）在直線b（集合）上，所以Q∈b.又因為
直線b（集合）在平面α（集合）內，所以b α.所以Q∈b α.
Q∈b α
4. （2024·洛陽質檢）如圖所示，△ABC的三個頂點在平面α外，其三
邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所
示.求證：P，Q，R三點共線.
證明：因為AP∩AR＝A，所以直線AP與直線AR確定平面APR.
又因為AB∩α＝P，AC∩α＝R，
所以平面APR∩平面α＝PR.
因為B∈平面APR，C∈平面APR，
所以BC 平面APR.
因為Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，
所以Q∈PR，所以P，Q，R三點共線.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 下列圖形中不一定是平面圖形的是（　　）
A. 三角形 B. 菱形
C. 圓 D. 四邊相等的四邊形
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2. 如圖所示，用符號語言可表示為（　　）
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
解析：　由圖可知平面α，β相交于直線m，直線n在平面α內，兩
直線m，n交于點A，所以用符號語言可表示為α∩β＝m，n α，
m∩n＝A，故選A.
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3. 若直線l上有兩個點在平面α外，則下列說法正確的是（　　）
A. 直線l上至少有一個點在平面α內
B. 直線l上有無窮多個點在平面α內
C. 直線l上所有點都在平面α外
D. 直線l上至多有一個點在平面α內
解析：由已知得直線l α，故直線l上至多有一個點在平面α內.
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4. 空間四個點中，三點共線是這四個點共面的（　　）
A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　空間四個點中，有三個點共線，根據“一條直線與直線
外一點可以確定一個平面”得到這四個點共面，前者可以推出后
者；當四個點共面時，不一定有三點共線，后者不一定推出前者；
所以空間四個點中，三點共線是這四個點共面的充分不必要條件.
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5. （多選）下列命題中正確的有（　　）
A. 一條直線和一個點可以確定一個平面
B. 經過兩條相交直線，有且只有一個平面
C. 經過兩條平行直線，有且只有一個平面
D. 分別在兩個相交平面內的兩條直線如果相交，則交點一定在兩個
平面的交線上
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解析：　對于A選項，當這個點在直線上時，無法確定一個平面，故A錯誤；對于B、C選項，均為基本事實1的推論，故B、C正確；對于D選項，交點分別含于兩條直線，也分別含于兩個平面，必然在交線上，故D正確.故選B、C、D.
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6. （多選）已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列
推理正確的是（　　）
A. A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B. M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C. A∈α，A∈β α∩β＝A
D. A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線 α，β重合
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解析：　對于A，由基本事實2可知，a β，A正確；對于B，
∵M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事實2可知，直線
MN α，MN β，∴α∩β＝MN，B正確；對于C，∵A∈α，
A∈β，∴A∈（α∩β）.由基本事實3可知α∩β為經過A的一條直線
而不是點A. 故C錯誤；對于D，∵A，B，M不共線，由基本事實
1可知，過A，B，M有且只有一個平面，故α，β重合.故選A、
B、D.
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7. 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中回答下列問題：
（1）平面AB1∩平面A1C1＝ ；
（2）平面A1C1CA∩平面AC＝ .
A1B1
AC
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8. （2024·鄭州月考）互相平行的四條直線，每兩條確定一個平面，
最多可確定 個平面.
解析：當四條直線中任意三條直線都不共面時，每兩條確定一個平
面，平面最多，如正方體的四條側棱，所以最多可確定6個平面.
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9. 若直線l與平面α交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，
求證：O，C，D三點共線.
證明：如圖，∵AC∥BD，
∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB，AB β，
∴O∈β，
∴O∈直線CD，
∴O，C，D三點共線.
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10. 如圖，設不全等的△ABC與△A1B1C1不在同一個平面內，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求證：AA1，BB1，CC1三線共點.
證明：不妨設AB≠A1B1，則四邊形AA1B1B為梯形，
∴AA1與BB1相交，設其交點為S，則S∈AA1，S∈BB1.
∵BB1 平面BCC1B1，∴S∈平面BCC1B1.
同理可證，S∈平面ACC1A1，
∴點S在平面BCC1B1與平面ACC1A1的交線上，
即S∈CC1，
∴AA1，BB1，CC1三線共點.
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11. 空間四點A，B，C，D共面而不共線，那么這四點中（　　）
A. 必有三點共線 B. 必有三點不共線
C. 至少有三點共線 D. 不可能有三點共線
解析：　如圖①②所示，A、C、D均不正確，只有B正確.
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12. （多選）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為DB的中
點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是（　　）
A. C1，M，O三點共線
B. C1，M，O，C四點共面
C. C1，O，A，M四點共面
D. D1，D，O，M四點共面
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解析：　在題圖中，連接A1C1，AC（圖略），則AC∩BD
＝O，又A1C∩平面C1BD＝M. ∴三點C1，M，O在平面C1BD
與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，∴A、B、C
均正確，D不正確.
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13. （2024·萊蕪質檢）一個正三棱柱各面所在的平面將空間分
成 部分.
解析：三棱柱三個側面將空間分成7部分，三棱柱兩個平行的底面
又在這個基礎上將空間分成3大部分，故三棱柱各面所在的平面將
空間分成3×7＝21部分.
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14. 如圖，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線.
解：很明顯，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在平面SBD和平面SAC的交線上.
由于AB＞CD，則分別延長AC和BD交于點E，
如圖所示，
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∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可證E∈平面SBD.
∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE，直線SE就是
平面SBD和平面SAC的交線.
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15. 如圖，空間四邊形ABCD中，M，N分別是△ABC和△ACD的重
心，若BD＝m，則MN＝ .
m
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解析：如圖，連接AM并延長交BC于E，連接AN并延長交CD于
F，連接MN，EF，∴BE＝EC，CF＝FD，∴EF＝ BD＝
m，又∵AM＝ AE，AN＝ AF，∴MN＝ EF＝ m.
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16. 定線段AB所在的直線與定平面α相交，交點為O，P為定直線外
一點，P 直線AB，P α，若直線AP，BP與平面α分別相交于
A'，B'.試問，如果點P任意移動，直線A'B'是否恒過一定點？請
說明理由.
解：隨著點P移動，直線A'B'恒過定點O. 理由如下：
由直線AB和直線外一點P可確定平面β，
因為AP∩α＝A'，BP∩α＝B'，
所以α∩β＝A'B'，而AB∩α＝O，所以O一定在交線A'B'上，即
直線A'B'恒過定點O.
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