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2025--2026高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)面解析幾何解答題專項練
一、直線的傾斜角與斜率（本大題共1小題）
1．已知動點到點的距離等于它到直線的距離,記動點的軌跡為曲線.
（1） 求的方程.
（2） 為坐標原點,過點且斜率存在的直線與相交于,兩點,直線與直線相交于點,過點且與相切的直線交軸于點.
（i） 證明:直線.
（ii） 滿足四邊形的面積為12的直線共有多少條？說明理由.
二、直線方程（本大題共1小題）
2．已知直線的方程為．
（1）求直線過的定點P 的坐標；
（2）直線與x 軸正半軸和y 軸正半軸分別交于點A，B ，當面積最小時，求直線的方程；
三、直線交點坐標與距離公式（本大題共1小題）
3．已知E(，0)，F(xiàn)，點A滿足|AE|＝|AF|，點A的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程；
(2)若直線l：y＝kx＋m與雙曲線：－＝1交于M，N兩點，且∠MON＝(O為坐標原點)，求點A到直線l距離的取值范圍．
四、直線綜合運用（本大題共2小題）
4．已知直線：.
（1）若直線垂直于直線：，求的值；
（2）求證：直線經(jīng)過定點；
（3）當時，求點關(guān)于直線的對稱點的坐標.
5．直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線族（不包括軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上對應(yīng)點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
（1） 圓是直線族的包絡(luò)曲線，求，滿足的關(guān)系式；
（2） 若點不在直線族的任意一條直線上，求的取值范圍及直線族 的包絡(luò)曲線的方程；
（3） 在的條件下，過曲線上的動點向圓作兩條切線，，交曲線于點，，求的面積的最小值.
五、圓的方程（本大題共1小題）
6．（17分）
已知橢圓的離心率為,左、右焦點分別為,.
（1） 求的方程；
（2） 已知點,證明:線段的垂直平分線與恰有一個公共點；
（3） 設(shè)是坐標平面上的動點,且線段的垂直平分線與恰有一個公共點,證明的軌跡為圓,并求該圓的方程.
六、直線、圓的位置關(guān)系（本大題共1小題）
7．已知圓 經(jīng)過點 , ，且圓心在直線 上.
（1）求圓 的方程；
（2）若直線 與圓 交于 ， 兩點，求 ；
（3）過 作圓 的兩條切線，求切線的長.
七、圓與圓的位置關(guān)系（本大題共1小題）
8．如圖，在平面直角坐標系中，點，直線，設(shè)圓的半徑為1， 圓心在上.
（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線方程；
（2）若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.
八、直線與圓錐曲線（本大題共6小題）
9．已知A為拋物線的焦點，B為T的準線與x軸的交點，C在y軸正半軸上，直線AD交T于M，N兩點，D在線段AM上，且四邊形ABCD為菱形．
（1）求（用p表示）；
（2）證明：D為線段AM的中點．
10．在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標原點，雙曲線的左、右焦點分別為,,的離心率為2，點為右支上一動點，直線與曲線相切于點，且與的漸近線交于,兩點，當軸時，直線為的“等線”.
（1） 求曲線的方程;
（2） 若直線是四邊形的“等線”，求四邊形的面積;
（3） 設(shè)，點的軌跡為曲線 ，證明: 在點處的切線為的“等線”.
11．點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離為.
（1）求拋物線的方程；
（2）過點的直線交拋物線于，兩點，且，求直線的方程.
12．已知橢圓的一個頂點為，焦距為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當時，求k的值．
13．[廣東深圳2025一模]已知拋物線，過點作兩條直線,分別交拋物線于,和,（其中,在軸上方）.
（1） 當垂直于軸，且四邊形的面積為時，求直線的方程；
（2） 當,的傾斜角互補時，直線與直線交于點，求的內(nèi)切圓圓心的橫坐標的取值范圍.
14．（15分）
已知點是雙曲線上一點,的漸近線方程為.
（1） 求的方程.
（2） 直線過點,且與的兩支分別交于,兩點.若,求直線的斜率.
九、圓錐曲線的綜合（本大題共46小題）
15．設(shè)橢圓為左右焦點,為短軸端點,長軸長為4,焦距為,且,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程
(Ⅱ)設(shè)動直線橢圓有且僅有一個公共點,且與直線相交于點.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點 若存在求出點的坐標,若不存在.請說明理由.
16．設(shè)拋物線的焦點為，過的直線與交于A，B兩點.
（1）求的準線方程；
（2）設(shè)為準線上一點，且，求.
17．已知雙曲線的兩條漸近線的斜率之積為.
（1）求的離心率.
（2）若過點且斜率為1的直線與交于兩點（在左支上，在右支上），且.
①求的方程；
②已知不經(jīng)過點的直線與交于兩點，直線的斜率存在且直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點.
18．（17分）
已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點為,過點的直線與交于,兩點,過點作軸的垂線與直線相交于點.
（1） 求的方程;
（2） 證明:點在定直線上;
（3） 延長交（2）中的直線于點,求四邊形的面積的最小值.
19．（15分）
已知橢圓的焦距為,且過點.
（1） 求橢圓的標準方程；
（2） 過點作兩條直線分別交橢圓于,兩點,若直線平分,求證:直線的斜率為定值,并求出這個定值.
20．(12分)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點A(－2，0)在C上.
(1)求C的方程；
(2)過點(－2，3)的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.
21．（15分）已知和為橢圓上兩點.
（1） 求的離心率；
（2） 若過的直線交于另一點，且的面積為9,求的方程.
22．(15分)
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,長軸長與短軸長之和為6.
(1)求橢圓C的方程.
(2)已知M(-1,0),N(1,0),點P為橢圓C上一點,設(shè)直線PM與橢圓C的另一個交點為點B,直線PN與橢圓C的另一個交點為點D．設(shè)=λ1,=λ2.求證:當點P在橢圓C上運動時,λ1+λ2為定值.
23．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點為，過點的直線與交于、兩點，過點作軸的垂線與直線相交于點．
（1）求的方程；
（2）證明：點在定直線上；
（3）延長交（2）中的直線于點，求四邊形面積的最小值．
24．在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心為原點，焦點在坐標軸上，，為上兩點，為橢圓上三個動點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在點使為的重心？若存在，請?zhí)骄康拿娣e是否為定值；若不存在，請說明理由.
25．已知點A，B在橢圓上，點A在第一象限，O為坐標原點，且.
（1）若，直線的方程為，求直線的斜率；
（2）若是等腰三角形(點O，A，B按順時針排列)，求的最大值.
26．已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點，直線與雙曲線交于，兩點.
（1）若直線經(jīng)過坐標原點，且直線，的斜率，均存在，求；
（2）設(shè)直線與直線的交點為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.
27．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且點和關(guān)于點對稱.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過右焦點的直線與橢圓相交于兩點，過點且平行于的直線與橢圓交于另一點，問是否存在直線，使得四邊形的對角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.
28．設(shè)拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，且的最小值為4.
（1）求的方程；
（2）設(shè)過的另一直線交于兩點，且點在直線上.
（i）證明：直線過定點；
（ii）對于（i）中的定點，當?shù)拿娣e為時，求直線的方程.
29．已知橢圓的離心率為分別為橢圓的上、下頂點，為坐標原點，直線與橢圓交于不同的兩點.
（1）設(shè)點為線段的中點，證明：直線與直線的斜率之積為定值；
（2）若，證明：直線與直線的交點在定直線上.
30．已知橢圓C：過點，過其右焦點且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為Q，在y軸上是否存在定點P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
31．已知橢圓的左、右頂點分別為，，點為直線上的動點.
（1）求橢圓的離心率.
（2）若，求點的坐標.
（3）若直線和直線分別交橢圓于，兩點，請問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
32．已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.
33．已知拋物線，為E上位于第一象限的一點，點P到E的準線的距離為5．
（1）求E的標準方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為E的焦點，A，B為E上異于P的兩點，且直線與斜率乘積為．
（i）證明：直線過定點；
（ii）求的最小值．
34．已知雙曲線的左、右頂點分別為,,,的右焦點到漸近線的距離為，過點的直線與的右支交于,兩點（點在第一象限），直線與交于點.
（1） 求雙曲線的方程；
（2） 證明：點在定直線上；
（3） 記,的面積分別為,，若，求直線的方程.
35．已知拋物線的焦點為，直線與相切.
（1） 求的方程.
（2） 過點且與平行的直線與相交于，兩點，求.
（3） 已知點，直線與相交于，兩點（異于點），若直線，分別和以為圓心的動圓相切，試判斷直線是否過定點.若是，請求出定點坐標；若不是，請說明理由.
36．定義:設(shè)三角形ABC的內(nèi)角的對邊分別為，若其所在平面內(nèi)一點O滿足，則稱點O為三角形ABC的正弦分點.
（1）證明:點O為三角形ABC的內(nèi)心；
（2）已知O為坐標原點，動點P到x軸的距離為d，且，其中均為常數(shù)，動點P的軌跡稱為曲線.
（i）已知曲線為曲線，其左頂點為A，右焦點為F，若點是曲線右支上的一點，三角形的正弦分點為Q，證明:點Q在曲線上；
（ii）已知曲線為曲線，其焦點分別為，，若點是曲線上的一點，三角形的正弦分點為，則是否存在兩定點，使得恒為定值，若存在，求出此定值，若不存在，則說明理由.
37．已知拋物線，為的焦點，為的準線，,是上兩點，且為坐標原點，過作，垂足為，點的坐標為.
（1） 求的方程.
（2） 在上是否存在點，使得過的任意直線交于，兩點，交于，直線,,的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.
38．（17分）
已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù).其中,,且,記點的軌跡為曲線.
（1） 求的方程,并說明軌跡的形狀.
（2） 設(shè)點,若曲線上兩動點,均在軸上方,,且與相交于點.
① 當,時,求證:的值及的周長均為定值.
② 當時,記的面積為,其內(nèi)切圓半徑為,試探究是否存在常數(shù) ,使得恒成立 若存在,求出 （用,表示）的值；若不存在,請說明理由.
39．已知雙曲線的漸近線方程為，焦距長為4.
（1） 求的標準方程；
（2） 點在上，點的坐標為，為原點，求面積的最小值；
（3） 過的右焦點的直線與交于，兩點，以為直徑的圓與直線交于，兩點，若，求直線的方程.
40．已知橢圓過點，且離心率為．設(shè)，為橢圓的左、右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線，分別與直線相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：直線與的斜率之積為定值；
（3）判斷三點，，是否共線？并證明你的結(jié)論．
41．已知雙曲線的中心為坐標原點，過點，其中一條漸近線的方程為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于、兩點.直線與直線交于點，證明：三點共線.
42．（17分）已知橢圓的離心率為，下頂點為，右頂點為，.
（1） 求的方程；
（2） 已知動點不在軸上，點在射線上，且滿足.
（ⅰ） 設(shè)，求的坐標（用,表示）；
（ⅱ） 設(shè)為坐標原點，是上的動點，直線的斜率是直線的斜率的3倍，求的最大值.
43．（17分）
設(shè)是由直線構(gòu)成的集合,對于曲線,若上任意一點處的切線均在中,且中的任意一條直線都是上某點處的切線,則稱為的包絡(luò)曲線.
（1） 已知圓為的包絡(luò)曲線,判斷直線 為常數(shù),與集合的關(guān)系.
（2） 已知的包絡(luò)曲線為,直線,.設(shè),與的公共點分別為,,記,的焦點為.
① 證明:是,的等比中項;
② 若點在圓上,求的最大值.
44．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為.
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)點在線段上，，延長線段與橢圓交于點，點，在軸上，，且直線與直線間的距離為，四邊形的面積為.
（i）求直線的斜率；
（ii）求橢圓的方程.
45．（17分）
已知橢圓的左頂點為,焦距為,且離心率為.
（1） 求橢圓的方程.
（2） 直線與橢圓交于,兩點,點為的外心.
（ⅰ） 若為等邊三角形,求點的坐標；
（ⅱ） 若點在直線上,求點到直線的距離的取值范圍.
46．已知雙曲線：（，）的左頂點為，右焦點為，動點在雙曲線上，當時，.
（1）求的離心率；
（2）已知，，兩點在雙曲線的漸近線上，且分別位于第一、四象限.若，求的面積.
47．（17分）
已知兩點,,平面內(nèi)的動點到定點的距離與到直線的距離之比為,點的軌跡為曲線.
（1） 求曲線的方程.
（2） 點在曲線上,且在第一象限,連接并延長與曲線交于點,,以為圓心,為半徑的圓與線段交于點,記,的面積分別為,.
（i） 若點的坐標為,求證:;
（ii） 求的最小值.
48．（17分）
已知動圓與動圓滿足,記與公共點的軌跡為曲線,曲線與軸的交點記為,（點在點的左側(cè)）.
（1） 求曲線的方程.
（2） 若直線與圓相切,且與曲線交于,兩點（點在軸左側(cè),點在軸右側(cè)）.
（i） 若直線與直線和分別交于,兩點,
證明:;
（ii） 記直線,的斜率分別為,,證明:是定值.
49．（15分）
已知點,分別為雙曲線的左、右焦點,點到雙曲線的漸近線的距離為,點為雙曲線的右頂點,且.
（1） 求雙曲線的標準方程；
（2） 若四邊形為矩形,其中點,在雙曲線上,求證:直線過定點.
50．已知橢圓的離心率為，且過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率為的直線與橢圓交于兩點，記以為直徑的圓的面積分別為，當為何值時，為定值．
（3）在（2）的條件下，設(shè)不過橢圓中心和頂點，且與軸交于點，點關(guān)于軸的對稱點為，直線與軸交于點，求周長的最小值．
51．在平面直角坐標系中，橢圓，左右焦點分別是，，點A是橢圓上的任意一點，A到原點O的距離最大為．
（1）若面積的最大值為1，求橢圓的表達式；
（2）若，過點A（異于頂點）作長軸的垂線，垂足為M，連接AO并延長交橢圓于另一點B，連接BM交橢圓于另一點C，證明：；
（3）在（2）的條件下，過點A作不經(jīng)過的直線l，其斜率為k，交橢圓于另一點D，到直線l的距離為d．如果直線、l、的斜率依次成等差數(shù)列，求d的取值范圍．
52．我們把下面的定義稱為雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點的距離與到定直線：的距離之比為常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線，其方程為，其中，此時叫做該雙曲線的右準線.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，直線：是的右準線.
（1）求的方程以及的離心率；
（2）設(shè)與軸的交點為，過點的直線與的右支相交于A，B兩點，
（i）以，A，B為其中的三個頂點作平行四邊形，求平行四邊形面積的取值范圍；
（ii）設(shè)直線與直線的交點為P，點P在y軸上的射影為Q，直線，與x軸的交點分別為G，H，則是否為定值 若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.
53．設(shè)是由直線構(gòu)成的集合，對于曲線，若上任意一點處的切線均在中，且中的任意一條直線都是上某點處的切線，則稱為的包絡(luò)曲線.
（1）已知圓為的包絡(luò)曲線，判斷直線（為常數(shù)，）與集合的關(guān)系；
（2）已知的包絡(luò)曲線為，直線.設(shè)與的公共點分別為，記的焦點為.
①證明：是、的等比中項；
②若點在圓上，求的最大值.
54．(17分)
“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動,在我國源遠流長,某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容,例如:用一張紙片,按如下步驟折紙:
步驟1:在紙上畫一個圓A,并在圓外取一定點B;
步驟2:把紙片折疊,使得點B折疊后與圓A上某一點重合;
步驟3:把紙片展開,并得到一條折痕;
步驟4:不斷重復(fù)步驟2和3,得到越來越多的折痕.
你會發(fā)現(xiàn),當折痕足夠密時,這些折痕會呈現(xiàn)出一個雙曲線的輪廓.若取一張足夠大的紙,畫一個半徑為2的圓A,并在圓外取一定點B,AB=4,按照上述方法折紙,點B折疊后與圓A上的點W重合,折痕與直線WA交于點E,E的軌跡為曲線T.
(1)以AB所在直線為x軸建立適當?shù)淖鴺讼?求曲線T的方程.
(2)設(shè)曲線T的左、右頂點分別為K,H,點P在曲線T上,過點P作曲線T的切線l與圓x2+y2=1交于M,N兩點(點M在點N的左側(cè)),記KM,HN的斜率分別為k1,k2,證明:k1·k2為定值.
(3)F是T的右焦點,若直線n過點F,與曲線T交于C,D兩點,是否存在x軸上的點Q(t,0),使得直線n繞點F無論怎么轉(zhuǎn)動,都有·=0成立 若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
55．(12分)在直角坐標系xOy中，點P到x軸的距離等于點P到點 的距離，記動點P的軌跡為W.
(1)求W的方程；
(2)已知矩形ABCD有三個頂點在W上，證明：矩形ABCD的周長大于3
56．如圖，在中，點.圓是的內(nèi)切圓，且延長線交于點，若.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若橢圓上點處的切線方程是，
①過直線上一點引的兩條切線，切點分別是，求證：直線恒過定點；
②是否存在實數(shù)，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.
57．已知橢圓過點，且橢圓的離心率為 .
（1）求橢圓的方程；
（2）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段的中點，再過作直線，證明：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標.
58．已知點在雙曲線上，且的離心率為，直線交的左支于，兩點，直線，的斜率之和為0．
（1）求直線的斜率；
（2）若，直線，與軸的交點分別為，，求的面積．
59．在平面直角坐標系中，點到定點的距離與點到直線的距離之比為，點的軌跡為曲線.
（1） 求曲線的方程.
（2） 已知點，，,為曲線的左、右頂點.若直線,與曲線的右支分別交于點,.
（ⅰ） 求實數(shù)的取值范圍；
（ⅱ） 求的最大值.
60．如圖，已知橢圓的一個焦點為，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率為的直線交橢圓于兩點，的中點為.設(shè)為原點，射線交橢圓于點.當四邊形為平行四邊形時，求的值.
參考答案
1．【答案】
（1） 【解】第一步:根據(jù)條件確定動點軌跡為拋物線
由題意知點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，………1分
第二步:由待定系數(shù)法求軌跡方程
設(shè)其標準方程為，則，即，………3分
所以的方程為.………4分
（2） （i） 【證明】第一步:設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立
設(shè)直線的方程為，，，，不妨令,,
由得，所以,所以，.………5分
第二步:分別求點，的坐標
由，得直線的方程為，令，得,即，………6分
設(shè)拋物線在點處的切線方程為,聯(lián)立消去整理得,則,則,則拋物線在點處的切線方程為（二級結(jié)論:在拋物線上一點處的切線方程為），令，得,即，………8分
第三步:利用斜率相等證明結(jié)論
所以，所以.
………9分
（ii） 【解】第一步:由弦長公式求，
由知直線,,,,,
所以，
，………10分
第二步:求梯形的面積
因為點到直線的距離，
所以，………12分
第三步:結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系消去，
由，得，，所以，
所以，
所以，
即，………13分
第四步:因式分解，降冪
，
因為（提示：當時，直線的斜率不存在，不符合題意），所以，………14分
第五步:利用導(dǎo)數(shù)討論零點個數(shù)
令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.
又，，
所以存在唯一，使，………16分
第六步:得出結(jié)論
此時有一條滿足題意的直線，
由拋物線的對稱性知此時關(guān)于軸對稱的直線也符合題意，
故滿足四邊形的面積為12的直線共有兩條.………17分
2．【答案】（1）；
（2）
【詳解】（1）由題意，直線的方程可化為，
聯(lián)立方程組解得，
所以直線過的定點．
（2）設(shè)直線 ，則，
由 （1） 知，直線 過的定點，可得，
因為，
所以，解得，
當且僅當且即時，等號成立，
所以面積為 ，
此時對應(yīng)的直線方程為，即．
3．【答案】(1)設(shè)A(x，y)，因為|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
將等式兩邊平方后化簡得x2＋y2＝1.
(2)將直線l：y＝kx＋m與雙曲線－＝1聯(lián)立，
得 (4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
所以有
即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因為∠MON＝，
所以⊥，即·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0 x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝0，
化簡得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，
把x1＋x2＝－，x1x2＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化簡得m2＝，因為m2＋9>4k2且k≠±，
所以有＋9>4k2且k≠±，
解得k≠±，
圓x2＋y2＝1的圓心為(0,0)，半徑為1，
圓心(0,0)到直線l：y＝kx＋m的距離d＝＝＝>1，
所以點A到直線l距離的最大值為＋1，最小值為－1，
所以點A到直線l距離的取值范圍為.
4．【答案】（1）1
（2）見詳解
（3）
【詳解】（1）因為，
所以，
解得，
故的值為；
（2）因為，
所以，
所以，
解得，
所以直線恒過定點；
（3）因為，
所以直線，
設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，
所以的中點坐標為，
所以，
解得，
所以點關(guān)于直線的對稱點的坐標為.
5．【答案】（1） 由題可知，直線族中的每一條直線都是圓上對應(yīng)點處的切線，故圓心到該直線族的距離滿足，所以,滿足.
（2） 將點代入，可得關(guān)于的方程，因為點不在直線族的任意一條直線上，故方程無實數(shù)解，所以，那么，故.
因為區(qū)域的邊界為拋物線，所以聯(lián)立與，可得，由，可知直線族中的每一條直線均為拋物線在對應(yīng)點處的切線.
因此直線族 的包絡(luò)曲線的方程為.
（3） 如圖，設(shè)，，，則，故直線.
因為直線與圓相切，所以，結(jié)合可得，同理可得，由①②可得直線.
聯(lián)立可得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,.
因此，由于點到直線的距離，所以的面積.
令，則，且,則，且，由,且，解得，當時，;當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（當且僅當時取等），所以的面積的最小值是.
6．【答案】
（1） 【解】由，，，解得，,
所以橢圓的方程為.············2分
（2） 【證明】第一步：求出線段的垂直平分線
因為，，所以線段的中點為，，則線段的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，············4分
第二步:聯(lián)立直線與橢圓方程，證明
聯(lián)立消去并化簡得，，因此線段的垂直平分線與恰有一個公共點.············6分
（3） 【解】解法一：第一步:設(shè)動點，先考慮線段的垂直平分線與直線的斜率有一個不存在的情況
設(shè)，則當線段的垂直平分線與直線的斜率有一個不存在時，，，，.············8分
第二步:再考慮線段的垂直平分線與直線的斜率都存在的情況，寫出線段的垂直平分線的方程
當線段的垂直平分線與直線的斜率都存在時，,，線段的中點坐標為，，則線段的垂直平分線的斜率為，因此線段的垂直平分線的方程為.············10分
第三步:換元并聯(lián)立方程，由得等式
設(shè),，聯(lián)立消去得
，由，得
，化簡得，············12分
第四步:將變量,還原，整理并分解因式得出結(jié)論
即，
整理得，
即，
整理得，
即，
即，
即，
即，
因為，所以，
所以.
又因為，，，也符合上式，
所以點的軌跡為圓，該圓的方程為.············17分
解法二（利用中間結(jié)論，結(jié)合幾何關(guān)系證明的軌跡為圓）
設(shè)的中點為，線段的垂直平分線與橢圓相切于點，即直線與橢圓相切.
第一步:分類討論切線斜率
①若直線的斜率存在，不妨設(shè).
第二步:聯(lián)立直線和橢圓方程，利用判別式消元
聯(lián)立消去并化簡得，············9分
由于，
故.
第三步:聯(lián)立直線和的方程消元求點軌跡
而，故，
聯(lián)立直線和的方程，即
兩式平方后相加得，，
由于，故，即為點的軌跡方程.············12分
第四步:檢驗直線的斜率不存在的特殊情況是否滿足軌跡方程
②若直線的斜率不存在，此時點與點重合，為長軸端點，也滿足（易錯：容易忽略斜率不存在的特殊情況）.
綜合①②知，點的軌跡方程為.············14分
第五步:由中位線幾何關(guān)系求出點的軌跡方程
當直線的斜率存在時，連接，，顯然為的中位線（關(guān)鍵：找到幾何關(guān)系），故，
當直線的斜率不存在時，顯然也滿足.
故點是以為圓心，4為半徑的圓，即所求點的軌跡為圓，且圓的方程為.············17分
解法三：設(shè)的中點為，線段的垂直平分線與橢圓相切于點，即直線與橢圓相切.
連接,，，因為為線段的垂直平分線，所以，，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知,為延長線上一點（提示：根據(jù)光線照射時，入射角與反射角相等的性質(zhì)可以得到），則，所以，，三點共線（提示：對頂角相等），············10分
則，故點是以為圓心，4為半徑的圓，即所求點的軌跡為圓，且圓的方程為.17分
【二級結(jié)論】
橢圓的光學(xué)性質(zhì)
從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線經(jīng)過橢圓反射后，反射光線一定通過橢圓的另一個焦點.
【二級結(jié)論】
橢圓的光學(xué)性質(zhì)
從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線經(jīng)過橢圓反射后，反射光線一定通過橢圓的另一個焦點.
7．【答案】見解析
【詳解】（1）設(shè)圓心坐標為 ，則 ，解得 ，
圓心 ，半徑為 ，所求圓的方程為 .
（2）圓心到直線 即 的距離 ，
則
（3）設(shè)兩個切點分別為 ， ， ，則 ,即切線長為3.
8．【答案】（1）或；（2）.
【詳解】（1）由得圓心，
∵圓的半徑為1，
∴圓的方程為：，
顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓的切線方程為，即．
∴，
∴，∴或．
∴所求圓的切線方程為或．
（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設(shè)圓心為，
則圓的方程為．
又∵，
∴設(shè)為，則，整理得，設(shè)為圓．
所以點應(yīng)該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，
∴，
由，得，
由，得．
綜上所述，的取值范圍為．
考點：1、圓的標準方程及切線的方程；2、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.
【方法點睛】本題主要考查圓的標準方程及切線的方程、圓與圓的位置關(guān)系及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應(yīng)用.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想是解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當中.本題（2）巧妙地將圓上存在點，使問題轉(zhuǎn)化為，兩圓有公共點問題是解決問題的關(guān)鍵所在.
9．【答案】（1）;
（2）見詳解.
【詳解】（1）
由題可知，，
所以菱形ABCD的邊長為p，因為C在y軸正半軸上，所以，
故，所以．
（2）證明：易得直線AD的方程為，
與T的方程聯(lián)立得，
整理得，解得，
由題知點M在x軸上方，所以，
因為，所以D為線段AM的中點．
10．【答案】
（1） 由題意知,，雙曲線，將代入上式，解得.
因為當軸時，直線為的“等線”，所以點在直線的上方，故有.由題意知，,,，
解得，，所以曲線的方程為.
（2） 設(shè),,.
由題意知直線與曲線相切，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，
故，整理并化簡后，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，
又,所以，即直線的方程為.
當直線的斜率不存在時，也成立.
綜上，由直線與曲線相切，可得直線的方程為.
由題意知，雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，
將直線的方程與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立得,，故，所以是線段的中點，
因為,到過的直線的距離相等，
過的直線是四邊形的“等線”，所以點,到該“等線”的距離相等，且分居“等線”兩側(cè)，所以該“等線”必過點，即直線的方程為.
由解得或
因為點在雙曲線的右支上，所以.
所以，
，
所以，所以.
（3）設(shè)，由，得,，
因為點在雙曲線的右支上，所以,
所以曲線 的方程為，
由知直線的方程為，即.
設(shè)點,,到切線的距離分別為,,，
由（2）知，，
所以,
由得,,
因為，
所以切線為的“等線”.
11．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）根據(jù)焦半徑公式可得，所以，
又，所以，
解得或（舍去），
故所求拋物線方程為.
（2）法1：，，設(shè)，，，
，所以，
，
，（舍去），
所以即.
法2：設(shè)，，，
，所以，
，
，
，所以過定點，
又因為過，所以；
法3：，，設(shè)，，，
，
.
，
，
所以.
法4：設(shè)，，不妨設(shè)，
，
，
，同理，
，
，
，
又因為過，所以.
法5：設(shè)，，，
，
，
，
，
.
又因為過，所以，
解得，，所以.
12．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）解：依題意可得，，又，
所以，所以橢圓方程為；
（2）解：依題意過點的直線為，設(shè)、，不妨令，
由，消去整理得，
所以，解得，
所以，，
直線的方程為，令，解得，
直線的方程為，令，解得，
所以
，
所以，
即
即
即
整理得，解得
13．【答案】
（1） 如圖，當軸時，令，代入拋物線方程,則,,，
由題意直線斜率存在，設(shè)直線,,，由于，
則.
由于則，,
則
，
則，則，
所以直線的方程為或.
（2） 設(shè)點,,,，由題意直線和斜率存在且不為零，
因為，同理,,,，
所以直線，化簡可得，
同理可得,直線，直線，
直線，
又因為，直線和直線交于點，
所以，且，即
，且，化簡得，所以,，
則聯(lián)立直線與的方程，得解得所以點的坐標為，
由于，則，所以，則軸平分，
設(shè)的內(nèi)切圓圓心為,，
則點到直線的距離，
點到直線的距離，
所以.
方法一：化簡可得，
由于，則，
所以，
則,即.
方法二：由化簡得到，
令，由于,則.
則，設(shè),，
則，
則在上單調(diào)遞減，則，所以,即.
【一題多解】
（1）設(shè)直線，傾斜角為 ，由對稱性知有兩條，且關(guān)于直線對稱，
不妨設(shè)，那么 ,，
則，
則，
由于，,則
則,，
所以,即，
則,此時,由對稱性得，另一條符合題意的直線方程為，
所以直線的方程為或.
（2）點證明同原解析.
設(shè)的內(nèi)切圓圓心為,，
由于,，設(shè)半徑為， , ，直線,直線，則，
，那么提示：或在中，由角平分線定理得，則.
設(shè),，
由于,則，所以，
解得，
即.
【一題多解】
（1）設(shè)直線，傾斜角為 ，由對稱性知有兩條，且關(guān)于直線對稱，
不妨設(shè)，那么 ,，
則，
則，
由于，,則
則,，
所以,即，
則,此時,由對稱性得，另一條符合題意的直線方程為，
所以直線的方程為或.
（2）點證明同原解析.
設(shè)的內(nèi)切圓圓心為,，
由于,，設(shè)半徑為， , ，直線,直線，則，
，那么提示：或在中，由角平分線定理得，則.
設(shè),，
由于,則，所以，
解得，
即.
14．【答案】
（1） 【解】第一步：由點在雙曲線上和雙曲線的漸近線方程列出方程組
由題意可得…………3分
第二步:解方程組求得,,得到標準方程
解得,,故雙曲線的方程為.…………5分
（2） 第一步:聯(lián)立方程,寫出根與系數(shù)的關(guān)系
如圖，由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立消去整理得,
則,化簡得,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,,…………8分
第二步:用和表示,,進而用表示出等式，解方程求得的值
故,
,
故
,
故,平方整理可得,解得或,
由于與的兩支分別交于,兩點,故,
當時,代入不符合,故舍去（易錯:注意驗證兩不等實根的存在性）,當時，代入符合,，滿足題意.綜上可得.…………15分
15．【答案】（1） （2）存在定點P(1,0)
【詳解】（1）由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．
（2）由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．
因為動直線l與橢圓C有且只有一個公共點M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，
即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)
此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－
由得N(4,4k＋m)．
假設(shè)平面內(nèi)存在定點P滿足條件，由圖形對稱性知，點P必在x軸上．
設(shè)P(x1,0)，則對滿足(*)式的m、k恒成立．
因為＝(－，＝(4－x1,4k＋m)，由，
得-＋－4x1＋x＋＋3＝0，
整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)
由于(**)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.
故存在定點P(1,0)，使得以MN為直徑的圓恒過點M.
16．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）因為拋物線的方程為，所以拋物線的準線方程為
（2）因為在的準線上，所以，即，
易得的坐標為，此時，
因為，所以，解得，
所以的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立消去并整理得，由韋達定理得，
所以
17．【答案】（1）2
（2）①；②見詳解
【詳解】（1）由題意可知，
則.
（2）①解：直線的方程為，
聯(lián)立得，
.
設(shè)，則，
由，得，
代入，得，
則的方程為.
②證明：設(shè)的方程為.
聯(lián)立得，
，且，
.
因為，
所以，
即，
則，
整理得，
即.
因為點不在直線上，所以，則，
則，
故直線過定點.
18．【答案】
（1） 【解】第一步:由已知確定參數(shù)
由題意,設(shè)拋物線的標準方程為,因為拋物線的焦點為，所以,所以,
第二步:求得拋物線的標準方程
故拋物線的標準方程為.············3分
（2） 【證明】第一步:分析可知,直線不與軸重合,設(shè)直線的方程,將該直線方程與拋物線方程聯(lián)立
若直線與軸重合,則該直線與拋物線只有一個交點,不符合題意.············4分
設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立消去整理可得,所以,,,············6分
第二步:將直線，的方程聯(lián)立,求出點的坐標得證
由題意可知,直線的方程為,
直線的方程為,
聯(lián)立直線與的方程得可得,所以（提示:橫坐標為常數(shù),可以確定點在平行于軸的直線上）.············8分
所以點在定直線上.············9分
（3） 【解】（基本不等式法）第一步:將直線的方程與直線的方程聯(lián)立,求得點縱坐標，可知
由（2）可知,點,如圖.
易知直線的方程為,
聯(lián)立直線與直線的方程得
可得,············10分
故點,則,且,,············11分
第二步:利用梯形的面積公式、根與系數(shù)關(guān)系以及基本不等式可求得的最小值
所以,············14分
因為,當且僅當,即時,等號成立,
所以.············16分
因此四邊形的面積的最小值為.············17分
【一題多解】
（3）（函數(shù)法）第一步:確定四邊形為直角梯形
易知直線的方程為,令,則,
因為,且,所以,············10分
所以點的坐標為.因為,所以直線與直線垂直,
所以四邊形為直角梯形.············11分
第二步:用表示出面積,利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值
因為,,,
所以,
因為
,············13分
，············14分
所以,············15分
該函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增,············16分
所以當時,取得最小值，且最小值為.············17分
【一題多解】
（3）（函數(shù)法）第一步:確定四邊形為直角梯形
易知直線的方程為,令,則,
因為,且,所以,············10分
所以點的坐標為.因為,所以直線與直線垂直,
所以四邊形為直角梯形.············11分
第二步:用表示出面積,利用函數(shù)的單調(diào)性求得最值
因為,,,
所以,
因為
,············13分
，············14分
所以,············15分
該函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增,············16分
所以當時,取得最小值，且最小值為.············17分
19．【答案】
（1） 【解】第一步:依題意得到,,的方程組
依題意可得
第二步:解方程組求得,，代入橢圓的標準方程
解得………4分
橢圓的標準方程為.…………5分
（2） 第一步:設(shè)直線的方程并與橢圓的方程聯(lián)立
依題意知直線，的斜率存在且不為0，
設(shè)，，直線的方程為，
由消去得，
第二步:求出，，,，進而求得直線的斜率
.
.…………8分
直線平分， 直線,的斜率互為相反數(shù)，
直線的方程為，同理可得.
，，
.
又，…………13分
，即直線的斜率為定值.…………15分
20．【答案】(1)＋＝1 (2)見解析
【詳解】(1)【解】由題意知解得
所以C的方程為＋＝1. 4分
(2)【證明】由題意可知，直線PQ的斜率必存在且不為0(提示：否則與橢圓C僅有一個交點，不符合題意)，設(shè)直線PQ的方程為y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2). 5分
聯(lián)立得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16k2＋48k＝0，Δ＝－1 728k＞0，故k＜0.
所以
所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4k＋6＝. 8分
又因為直線AP：y－0＝(x＋2)，
直線AQ：y－0＝(x＋2)，
所以M，N，所以線段MN的中點坐標為， 10分
而＋＝＝＝
＝＝3，
故線段MN的中點為定點(0，3). 12分
21．【答案】
（1） 【解】將，的坐標代入橢圓的方程，可得解得則，即,
則的離心率. …………5分
（2） 由（1）可得橢圓的方程為.
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合題意，故直線的斜率存在.…………7分
解法一：設(shè)直線的方程為,令，,聯(lián)立消去可得
,
，,…………9分
所以
所以. …………11分
又點到直線的距離,
,
解得或,所以直線的方程為或. …………15分
解法二：設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立消去整理得，,則. …………9分
由點在上，得,即.
由①②知，此時.
所以,代入直線的方程可得. …………11分
由，可得,直線的方程為,設(shè)點到直線的距離為,則,解得.
由點到直線的距離公式可得,
將,代入上式，
解得或，當時，；當時，，
所以直線的方程為或. …………15分
解法三:因為,，
所以,所以直線的方程為,即，
. …………8分
設(shè)點到直線的距離為,則,解得. …………9分
設(shè),則解得或
所以點的坐標為或. …………11分
當點的坐標為時，直線的斜率為,方程為,即.
當點的坐標為時，直線的斜率為,方程為,即.
綜上，直線的方程為或. …………15分
22．【答案】見詳解
【詳解】(1)【解】第一步:找到a和b的等量關(guān)系
因為橢圓C的長軸長與短軸長之和為6,所以2a+2b=6, 1分
即a+b=3.①
又因為e==,結(jié)合c2=a2-b2,可得a2=4b2.② 3分
第二步:計算a和b
聯(lián)立①②解得 4分
第三步:寫出橢圓C的標準方程
所以橢圓C的方程為+y2=1. 5分
(2)【證明】解法一:第一步:計算點P在長軸頂點時的λ1+λ2
設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),
當P在橢圓的長軸頂點時,由對稱性可設(shè)P(2,0),則B(-2,0),D(-2,0). 6分
顯然=3,=,則λ1+λ2=3+=. 7分
第二步:計算點P不在長軸頂點時的λ1+λ2,聯(lián)立方程
當P不在橢圓的長軸頂點時,設(shè)直線PM的方程為x=ty-1,其中t=, 8分
聯(lián)立可得(t2+4)y2-2ty-3=0,顯然Δ>0.
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知y0y1=-. 9分
第三步:根據(jù)向量關(guān)系計算λ1
因為=λ1,
所以(-1-x0,-y0)=λ1(x1+1,y1),所以-y0=λ1y1,
λ1=-=-y0·=. 10分
第四步:根據(jù)向量關(guān)系計算λ2
設(shè)直線PN的方程為x=my+1,其中m=, 11分
同理可得λ2=-=, 12分
第五步:計算λ1+λ2為定值
所以λ1+λ2=+
=·
=·=·.
因為+4=4, 13分
所以λ1+λ2=·=. 14分
第六步:總結(jié)結(jié)論
綜上所述,λ1+λ2=,為定值. 15分
解法二:第一步:討論當直線PM,PN中有一條直線的斜率不存在的情況
已知橢圓C:+y2=1,M(-1,0),N(1,0).
當直線PM,PN中有一條直線的斜率不存在時,由橢圓的對稱性,不妨考慮直線PN的斜率不存在,取P,
則kPM=,直線PM:y=(x+1),
由消去y,得x2+x-=0,
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得,xP·xB=xB=-,yB==-,所以點B. 6分
=,=,
則=λ1=,解得λ1=.
由橢圓的對稱性知,N為PD的中點,=λ2= λ2=1,
那么λ1+λ2=. 7分
第二步:討論當直線PM,PN的斜率均存在的情況
當直線PM,PN的斜率均存在時,設(shè)直線PM:y=k1(x+1),直線PN:y=k2(x-1),
設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),則k1=,k2=, 8分
將點P(x0,y0)的坐標代入橢圓C的方程中,有+=1,即4=4-. 9分
聯(lián)立消去y,得(4+1)x2+8x+4-4=0,
易知Δ>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x0=, 10分
得x1=·=·=·=·=, 11分
y1=k1(x1+1)==-,
所以點B.
由=λ1,得(-1-x0,-y0)=(λ1(x1+1),λ1y1),則λ1y1=-y0,λ1=-=-y0·=. 12分
聯(lián)立消去y,得(4+1)x2-8x+4-4=0,
由根與系數(shù)的關(guān)系得x2x0=,得x2=·=·=·=,
y2=k2(x2-1)==·=,
由=λ2,得(1-x0,-y0)=(λ2(x2-1),λ2y2),則λ2y2=-y0,
λ2=-=-y0·=. 13分
所以λ1+λ2=+=. 14分
第三步:總結(jié)結(jié)論
綜上,λ1+λ2=,為定值. 15分
解法三:第一步:由向量關(guān)系計算λ1
已知橢圓C:+y2=1,M(-1,0),N(1,0),
設(shè)P(x0,y0),B(x1,y1),D(x2,y2),
由=λ1,得(-1-x0,-y0)=(λ1(x1+1),λ1y1),
則得
把點P(x0,y0),B(x1,y1)的坐標代入橢圓C的方程中,有
得 9分
兩式相減得(2x0+1+λ1)(1+λ1)=4(λ1+1)(λ1-1), 10分
因為λ1≠-1,所以λ1=. 11分
第二步:由向量關(guān)系計算λ2
由=λ2,得(1-x0,-y0)=(λ2(x2-1),λ2y2),
得 12分
把點P(x0,y0),D(x2,y2)的坐標代入橢圓C的方程中,有得 13分
兩式相減,得(2x0-1-λ2)(1+λ2)=4(1+λ2)(1-λ2),
因為λ2≠-1,所以λ2=. 14分
第三步:得出結(jié)論
所以λ1+λ2=+=,為定值. 15分
23．【答案】（1）
（2）見詳解
（3）
【詳解】（1）由題意，設(shè)拋物線的標準方程為，則，可得，
故拋物線的標準方程為.
（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，
聯(lián)立可得，，
由韋達定理可得，，
由題意可知，直線的方程為，
直線的方程為，
聯(lián)立直線、的方程得可得，所以，.
因此，點在定直線上.
（3）如下圖所示：

易知點，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得可得，故點，則，
且，，
所以，
，
因為，
當且僅當時，即當時，等號成立，
所以，.
因此，四邊形面積的最小值為.
24．【答案】（1）；
（2）存在，的面積是定值，定值為.
【詳解】（1）設(shè)橢圓為，，，，
由題意得，解得，，故橢圓的標準方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，取，，符合題意，
故存在點使為的重心，且此時的面積為.
當直線的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，，
由條件得，得，
則，
，
綜上，的面積為定值，其值為.
25．【答案】（1）；（2）最大值.
【詳解】（1）由，，得橢圓方程為.
由得或
因為點A在第一象限，所以.
又，
所以直線的方程為，即.

由得或所以，
所以直線的斜率為.
（2）法1：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為.
因為是等腰直角三角形(點O，A，B按順時針排列)，
所以設(shè).
又，所以，
得.
所以，即.
又由，得，所以.
因為點，在橢圓上，
所以所以.
整理得.
所以，即.
因為，
所以，即，
所以，
當時，取最大值.
法2：設(shè)直線的斜率為，傾斜角為.
因為是等腰直角三角形(點O，A，B按順時針排列)，且，
所以直線的斜率為或.
所以.
設(shè)，，.
由得.
由得.
又，所以，得，
.
整理得，
所以，即，
所以.
因為，
所以，即，
所以，
當時，取最大值.
26．【答案】（1）1
（2）證明見解析
【詳解】（1）當直線經(jīng)過坐標原點時，，兩點關(guān)于原點對稱.
設(shè)，，，
于是，.
因為，，三點都在雙曲線，
所以，兩式作差，，所以
.
（2）已知，由題意可知均有斜率，
可設(shè)直線，直線，，，，.
，.
聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.
整理得，，
當時，.
，.
于是，
同理可得，.
因為，所以
整理得，，而，所以.
27．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直線為滿足題意，詳見詳解
【詳解】（Ⅰ）解：由點和關(guān)于點對稱，得，
所以橢圓E的焦點為，，
由橢圓定義，得 .
所以 ，.
故橢圓的方程為；
（Ⅱ）解：結(jié)論：存在直線，使得四邊形的對角線互相平行.
理由如下：
由題可知直線，直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，直線的方程為
由，消去
得，
由題意，可知 ，設(shè)，，
則，，
由消去,
得，
由，可知，設(shè)，又，
則
若四邊形的對角線互相平行，則與的中點重合，
所以，即
故
所以
解得，
所以直線為，四邊形的對角線互相平分．
28．【答案】（1）
（2）（i）見詳解；（ii）或.
【詳解】（1）設(shè)直線方程：，代入中，消去得.
設(shè)，則.
當時，有的最小值為.
，故的方程為.
（2）（i）設(shè)直線方程：.
由消去得.①
又由（1）知，同理.
當?shù)男甭什淮嬖跁r，的斜率不存在時，不妨設(shè)
此時，；
當?shù)男甭蚀嬖跁r，直線的斜率.
直線方程為，化簡得②
由①②得，即.
由得，直線過定點；
所以直線過定點；
（ii）由（i）知，
直線方程為：，點到直線的距離，
，解得或6.所以點坐標為，或.
且，或.
直線方程為或.
29．【答案】（1）見詳解
（2）見詳解
【詳解】（1）設(shè)，則，
則由兩式相減可得，即，
所以
為定值.
（2）由題意可得，解得，所以橢圓方程為，
則，
聯(lián)立方程可得，
則，得，
故，
直線的方程為，①
直線的方程為，②
設(shè)直線與直線的交點，
則由①②兩式相減可得，代入①可得，
，即.
所以點在定直線上.
30．【答案】（1）
（2）存在定點，
【詳解】（1）
由題知，橢圓C過點和，
所以，解得
所以橢圓C的方程為．
（2）
假設(shè)在y軸上存在定點P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴點P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定點，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．
31．【答案】（1）
（2）或
（3）
【詳解】（1）橢圓的離心率為
（2）

設(shè)，直線交軸于點，由，∴
∴或
（3）
，，，
∴代入得：
，
設(shè)，
∴，∴，
∴.
代入得：
，
∴，∴，
∴
∴，∴
∴
即直線方程為：
恒過定點為
32．【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）見詳解.
【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；
因為橢圓經(jīng)過點,所以，所以，故橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)
聯(lián)立得，
，，.
直線，令得，即；
同理可得.
因為,所以；
，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.
33．【答案】（1）
（2）見詳解；
【詳解】（1）由題可知，解得.
所以的標準方程為；
（2）（i）由（1）知，，且，解得，所以.
設(shè)，則，同理可得，，
則，即.
當直線斜率存在時，直線的方程為，
整理得.
所以，即，
所以直線過定點；
當直線的斜率不存在時，可得.
綜上，直線過定點.
（ii）設(shè)，當直線斜率存在時，
設(shè)直線的方程為，
與拋物線聯(lián)立得，消去得，
由題意，所以.
所以
，
所以當時，的最小值為；
當直線斜率不存在時，.
由拋物線定義知.
故的最小值為.

34．【答案】
（1） 雙曲線的漸近線方程為，設(shè)，則，
由，得，
所以雙曲線的方程為.
（2） 由（1）知，,,，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，
由消去得，設(shè),，
可得,，則，.
直線，直線，
聯(lián)立①②得，解得，
所以直線與的交點在定直線上.
（3） 由（2）知，，
則，即，
即，解得，即，
所以直線的方程為或，即或.
35．【答案】
（1） 聯(lián)立整理得.
因為與相切，所以，解得或（舍去），
故的方程為.
（2） 由（1）可知.
因為，所以的方程為.
設(shè)，.
聯(lián)立整理得，,則，
則.
（3） 直線過定點.
設(shè)，，,,,
則直線的方程為，
直線的方程為，直線的方程為.
設(shè)動圓的半徑為，易知,則，且.
因為直線和圓相切，所以，
整理得，
同理可得，
所以，是關(guān)于的一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，則，且，
則，，代入①式整理得.
由，得，此時，故直線過定點,.
36．【答案】（1）見詳解；
（2）（i）見詳解；（ii）定值為.
【詳解】（1）由正弦定理可知
則.
記，
由于，
所以在直線上，
且，
所以在角的角平分線上，
又因為，
所以三點共線，
即在角的角平分線上，
同理可得在角，角的角平分線上，
即為的內(nèi)心.
（2）（i），，則，
即，，，
設(shè)，則，
設(shè)直線：，直線：，
，.
代入可得.
顯然,否則三點共線構(gòu)成不了三角形.
故，即①
由（1）可知為的內(nèi)心.，不妨設(shè)在第一象限，
故，代入①可得，
則（舍去，注：）或者，
即.
（ii），
即，，，設(shè)，，
，
，，，
則，
即，
解得，，
則，
即的軌跡為橢圓，則.
37．【答案】
（1） 由題意可得，所以，
所以直線的方程為，
設(shè),，
聯(lián)立
消去并整理得，
所以,，
所以，
因為，所以，
即，解得，
所以拋物線的方程為.
（2） 存在點滿足題意.
由（1）得，,假設(shè)存在滿足題意，
設(shè)過點的動直線方程為，由題知,
聯(lián)立解得,
則，
設(shè),，
聯(lián)立消去并整理得，
所以,，
直線的斜率為，直線的斜率為，
直線的斜率為，
因為直線,,的斜率成等差數(shù)列，
所以，
整理得，因為該式對任意恒成立，所以，解得或，此時，
即存在或滿足題意.
38．【答案】
（1） 【解】第一步:設(shè)點，根據(jù)已知建立等式
設(shè)點，由題意可知，············1分
第二步：化簡，得到曲線方程
即，············2分
經(jīng)化簡，得的方程為.············3分
第三步：判斷曲線形狀
當時，曲線是焦點在軸上的橢圓；············4分
當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線.············5分
（2） ① 【證明】第一步:設(shè)點，得方程
設(shè)點，，，其中，且，，連接.
如圖①,由（1）可知的方程為，，.············6分
圖①
第二步：根據(jù)平行關(guān)系，得
當直線，的斜率均存在時，因為，所以，
因此，，三點共線，且.當直線,的斜率不存在時，易知三點共線且.············7分
第三步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程，得根與系數(shù)的關(guān)系
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，
得，,
則，，
第四步：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求的值
由題可知，，
所以
，
所以為定值1.············9分
第五步：結(jié)合橢圓定義求三角形周長
由橢圓定義得，則.
因為，所以，解得，同理可得，············10分
所以.
因為，所以的周長為定值. ············11分
② 【解】第一步:設(shè)點
（提示：三角形面積與內(nèi)切圓半徑之間存在關(guān)系，本題中，要使 為常數(shù)，則需的周長為定值，結(jié)合上一問，可先證為定值）
設(shè)點，，，其中，且，，連接.
第二步：確定曲線形狀
當時，曲線是焦點在軸上的雙曲線，方程為，如圖②，
圖②
根據(jù)①的證明，同理可得，，三點共線，且.
第三步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程，得根與系數(shù)關(guān)系
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立的方程，得，,············13分
則，，············14分
第四步：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系求的值
則，，
所以，
同①可得.············15分
第五步：結(jié)合雙曲線定義求三角形周長
由雙曲線的定義得，得，
根據(jù)，解得.同理可得，
所以.············16分
第六步：利用三角形內(nèi)切圓求三角形面積，從而得到結(jié)果
由內(nèi)切圓性質(zhì)可知，，
如果，那么（常數(shù)）.
因此，存在常數(shù) 使得恒成立，且.············17分
39．【答案】
（1） 由雙曲線的漸近線方程為，可得，①
又由焦距長為4，可得,即,則有，②
聯(lián)立①②兩式，解得,，
所以雙曲線方程為.
（2） 由點的坐標為，為原點，得，
此時直線的斜率，
設(shè)平行于的直線與雙曲線相切，聯(lián)立
消去得，
由，解得，
則切點為時可以得到的面積最小，
再由平行線間的距離公式可得直線與過點的切線的距離，
則面積的最小值為.
（3） 當過的右焦點的直線的斜率為0時，易知，不符合題意；
當過的右焦點的直線的斜率不為0時，可設(shè)方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，即，,
設(shè),，則有,,
所以
，
所以以為直徑的圓的半徑.
設(shè)線段的中點為，
則有，則，
所以中點到直線的距離，
再由，結(jié)合勾股定理有，則，解得或，
所以直線的方程為或或.
40．【答案】（1）；
（2）見詳解；
（3），，三點共線，見詳解.
【詳解】（1）根據(jù)題意得，解得，
所以橢圓的標準方程為；
（2）根據(jù)題意可知直線與的斜率都存在且不為零，，
設(shè)，則（），
則，
因為點在橢圓上，
所以，所以，
所以，
所以直線與的斜率之積為定值；
（3），，三點共線，證明如下：
設(shè)直線的方程為，
則直線的方程為，
所以，
所以，
所以設(shè)直線的方程為，
由，得，
設(shè)，則，得，
所以，
所以，
因為，
所以，，
所以，
所以，，三點共線.
41．【答案】（1）
（2）見詳解
【詳解】（1）由題意知且，
所以，所以的方程為.
（2）由題意知，，
當直線的斜率為時，：，此時三點共線顯然成立，
當直線的斜率不為時，設(shè)：，，，
聯(lián)立可得，
由題意得，
，
所以，，
因為直線的方程為，
令，得，所以，
所以，
因為，
所以
所以，故三點共線，
綜上：三點共線.
42．【答案】
（1） 由題意知解得
故的方程為. …………4分
（2） （ⅰ） 第一步：由的方程寫出點的坐標
由（1）知的方程為,則點的坐標為,…………5分
第二步：設(shè)出點的坐標，由點在射線上及得到等式
設(shè)，則,,因為點在射線上，所以與同向共線，所以（提示：），所以. …………6分
因為點不在軸上，所以直線的斜率存在,所以（提示：點在射線上），所以. …………7分
第三步：聯(lián)立點與點坐標間的關(guān)系式，用,表示點的坐標
聯(lián)立
解得
故的坐標為. …………9分
（ⅱ） 第一步：由直線與的斜率關(guān)系求得點的軌跡方程
由知，,
因為直線的斜率是直線的斜率的3倍,
所以,所以,
所以點的軌跡方程為.…………11分
第二步：由點與點的軌跡方程求的最大值
設(shè),因為是上的動點，所以.因為點的軌跡方程為,所以的最大值可轉(zhuǎn)化為點到點的距離的最大值再加上. …………13分
因為
，
所以當時，取得最大值. …………16分
所以的最大值為（另解：設(shè),則,所以,從而）. …………17分
【一題多解】
(2)(ii)第一步：根據(jù)點在射線上得到與的關(guān)系
由（1）知，因為點在射線上,所以,使得,…………5分
第二步：根據(jù)得到 的值
所以,所以,………7分
第三步：把 的值代入得到，得出點的坐標
所以,
所以. …………9分
【思路導(dǎo)引】
（2）設(shè)，點在射線上與同向共線得出點坐標；
的最大值轉(zhuǎn)化為圓上的點到橢圓上的點的距離的最大值 圓心到橢圓上的點的距離的最大值的最大值
【思路導(dǎo)引】
（2）設(shè)，點在射線上與同向共線得出點坐標；
的最大值轉(zhuǎn)化為圓上的點到橢圓上的點的距離的最大值 圓心到橢圓上的點的距離的最大值的最大值
【一題多解】
(2)(ii)第一步：根據(jù)點在射線上得到與的關(guān)系
由（1）知，因為點在射線上,所以,使得,…………5分
第二步：根據(jù)得到 的值
所以,所以,………7分
第三步：把 的值代入得到，得出點的坐標
所以,
所以. …………9分
43．【答案】
（1） 【解】由題知圓心到直線的距離,
即直線與圓相切,所以.…………3分
（2） ① 【證明】第一步:求直線的方程
由曲線,知,的準線方程為,且.
設(shè),,,
因為,且與的公共點為,所以是曲線在點處的切線,所以切線,即,…………5分
則（提示:點在直線上）,
同理,切線,則，
由得直線的方程為,即.…………7分
第二步:聯(lián)立直線與曲線的方程
聯(lián)立消去整理得,則,,.
第三步:根據(jù)焦半徑公式計算,
又因為,,
第四步:證得結(jié)論
所以.
又因為,所以,
故是,的等比中項.…………9分
② 【解】第一步:由①可得
由①知,,…………11分
第二步:求出的表達式
則.…………13分
第三步:利用不等式性質(zhì)求最值
因為點在圓上，所以,所以,
所以,
又因為,（提示：當時，點坐標為，直線,的交點不是點,不符合題意）,所以,
所以,…………15分
解得.
當,時，,
故的最大值為.…………17分
【一題多解】
（2）①【證明】第一步:求切線方程
由題意知,,則.
設(shè),,.
因為,且與的公共點為,所以是曲線在點處的切線,
所以切線,即,…………5分
同理切線,
第二步:求出點坐標
聯(lián)立得,,即,…………7分
第三步:根據(jù)兩點間距離公式證得結(jié)論
所以.又,,因此,
所以是,的等比中項.…………9分
②【解】第一步:求出的表達式
由①知,,設(shè),,…………11分
第二步:利用不等式求最值
則
.…………13分
因為點在圓上,
所以,于是,
從而,…………15分
解得,所以.
又當,時,,
故的最大值為.…………17分
【一題多解】
（2）①【證明】第一步:求切線方程
由題意知,,則.
設(shè),,.
因為,且與的公共點為,所以是曲線在點處的切線,
所以切線,即,…………5分
同理切線,
第二步:求出點坐標
聯(lián)立得,,即,…………7分
第三步:根據(jù)兩點間距離公式證得結(jié)論
所以.又,,因此,
所以是,的等比中項.…………9分
②【解】第一步:求出的表達式
由①知,,設(shè),,…………11分
第二步:利用不等式求最值
則
.…………13分
因為點在圓上,
所以,于是,
從而,…………15分
解得,所以.
又當,時,,
故的最大值為.…………17分
44．【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）.
【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得.又由，可得，即.又因為，解得.
所以，橢圓的離心率為.
（Ⅱ）（ⅰ）依題意，設(shè)直線FP的方程為，則直線FP的斜率為.
由（Ⅰ）知，可得直線AE的方程為，
即，與直線FP的方程聯(lián)立，
可解得，即點Q的坐標為.
由已知|FQ|=，有，
整理得，所以，即直線FP的斜率為.
（ii）解：由，可得，故橢圓方程可以表示為.
由（i）得直線FP的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立消去，
整理得，解得（舍去）
或.因此可得點，進而可得，所以.
由已知，線段的長即為與這兩條平行直線間的距離，
故直線和都垂直于直線.
因為，所以，所以的面積為，同理的面積等于，由四邊形的面積為，得，整理得，又由，得.
所以，橢圓的方程為.
45．【答案】
（1）根據(jù)題意，可得，且，則，，又，則，
可得橢圓的方程為.…………3分
（2） （ⅰ） 第一步:根據(jù) 求出點的坐標
易知，由為等邊三角形及橢圓的對稱性，可知點在軸上.
不妨設(shè)，，易知 ，則有，即，聯(lián)立方程，解得，.…………5分
解法一:第二步:等邊三角形的重心與外心重合，利用重心的坐標公式求得點的坐標
由等邊三角形的重心與外心重合，
可知，則點的坐標為.…………8分
解法二:第二步:利用列方程求得點的坐標
由，得，解得，
則點的坐標為.…………8分
解法三:第二步:利用線段的垂直平分線與軸的交點求得點的坐標
直線的斜率為，線段的中點為，
則線段的垂直平分線方程為，即.令，解得，
則點的坐標為.…………8分
（ⅱ） 第一步:設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系
當直線的斜率為0時，線段的垂直平分線為軸，不合題意；
當直線的斜率不為0時，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得，由,即，
解得且，.…………10分
第二步:分別寫出線段,的垂直平分線方程
令,分別為線段,的中點，則，，
可得線段的垂直平分線方程為,即;
同理可得，線段的垂直平分線方程為（提示:三角形外心是三角形三邊的垂直平分線的交點）.…………11分
第三步:兩垂直平分線方程聯(lián)立得到和的關(guān)系
聯(lián)立①②，解得
.…………13分
由，可得，即,則,把代入不等式，得,,則（關(guān)鍵:準確求出的范圍）.…………14分
第四步:求點到直線的距離的取值范圍
點到直線的距離.…………15分
設(shè)函數(shù),，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得，進而得到.
綜上可知，點到直線的距離的取值范圍是.…………17分
46．【答案】（1）2；
（2）.
【詳解】（1）設(shè)，將代入雙曲線方程得，此時，
所以，即，，
則，所以（負值舍去），
故的離心率為2.
（2）因為，由（1）知，
雙曲線方程為：，漸近線方程為，
設(shè)，
則，
所以，
又在雙曲線上，所以，整理得：，
由漸近線方程為得，
所以的面積為
.
47．【答案】
（1） 【解】第一步:根據(jù)題意列出方程
設(shè)，由題意得，…………2分
第二步:整理得曲線方程
整理得，即曲線的方程為.…………4分
（2） （i） 【證明】第一步:結(jié)合已知條件求
由題意知（提示:點在雙曲線右支上，），…………6分
第二步:結(jié)合雙曲線定義求
因為為雙曲線，，分別為其左、右焦點，點在右支上，
所以，
故，…………8分
第三步:證明結(jié)論
所以.…………9分
（ii） 【解】解法一:第一步:用 表示點的橫坐標
設(shè),，因為，所以，
即
即.…………10分
因為，，所以，
即，
即，…………11分
將①式代入，得 ，聯(lián)立 ，解得.…………12分
第二步:把用 表示
由知，，…………14分
又，所以.…………15分
第三步:用基本不等式求最小值
所以，…………16分
當且僅當 ，即時等號成立，
所以的最小值為.17分
解法二:第一步:用 表示點的橫坐標
當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為（提示:雙曲線的漸近線的斜率為，若，則過點的直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意）,,，
聯(lián)立消去整理得，則，
則，，…………11分
消去，得，即.
因為,所以,所以 ，將②式代入解得，
當直線的斜率不存在時，，也滿足上式.…………12分
以下同解法一.
解法三:第一步:用 表示點的橫坐標
設(shè),，因為，
所以，，…………10分
又點在雙曲線上，由題意得，
所以，…………11分
由③④消去，得.
以下同解法一.…………12分
【思路導(dǎo)引】
（1）設(shè) 根據(jù)已知關(guān)系列方程 曲線的方程；
（2）結(jié)合條件用表示 用雙曲線定義求 結(jié)論；
點，的坐標與 的關(guān)系 點的橫坐標與 的關(guān)系 用 表示面積比 基本不等式求最值
【思路導(dǎo)引】
（1）設(shè) 根據(jù)已知關(guān)系列方程 曲線的方程；
（2）結(jié)合條件用表示 用雙曲線定義求 結(jié)論；
點，的坐標與 的關(guān)系 點的橫坐標與 的關(guān)系 用 表示面積比 基本不等式求最值
48．【答案】
（1） 【解】第一步:由雙曲線的定義得到曲線的軌跡
設(shè)圓，的交點為，則，，
因為，所以，1分
所以點的軌跡（曲線）是以，為焦點的雙曲線，2分
第二步:寫出曲線的方程
從而，，，，3分
所以曲線的方程為.4分
（2） （i） 【證明】第一步:設(shè)出直線的方程，并由直線的方程與圓相切得關(guān)于參數(shù)的等式
要證，只要證明線段與線段的中點重合即可.……5分
設(shè)，，其中，
由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
因為直線與圓相切，所以，即.……6分
第二步:直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，并由已知條件得到不等式和等式
聯(lián)立消去并整理得，……7分
所以……8分
第三步:求出線段與線段的中點
從而線段的中點的橫坐標為，……9分
又直線與直線和交點的橫坐標分別為和，則線段的中點的橫坐標為，……10分
第四步:得出結(jié)論
所以.……11分
（ii） 第一步:判斷
由，，得，……12分
第二步:由根與系數(shù)的關(guān)系得關(guān)于的等式
所以，……13分
第三步:證明為定值
由題意知，，，
所以……14分
……15分
.……16分
即為定值.……17分
49．【答案】
（1） 【解】第一步:求的值
設(shè)焦距為,則,…………1分
故點到雙曲線的漸近線的距離為.…………2分
第二步:求的值
由知,得.…………3分
又因為,所以,解得.…………4分
第三步:得到雙曲線的方程
所以雙曲線的標準方程為.…………5分
（2） 【證明】第一步:分析直線的斜率不存在時的情況
①如圖，當直線的斜率不存在時,設(shè)，
此時,關(guān)于軸對稱,因為,則,與聯(lián)立得,解得或（舍）,
所以直線的方程為.…………7分
第二步:當直線的斜率存在時,根據(jù),得出與的關(guān)系
②當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,,,
聯(lián)立得,…………9分
其中,,
.…………10分
因為四邊形為矩形,所以,
所以,
所以,
所以,
即,…………11分
所以,則或,經(jīng)檢驗均滿足.…………12分
第三步:檢驗不同情況時,是否滿足已知條件
當時,直線的方程為,恒過定點,不合題意,舍去；…………13分
當時,直線的方程為,恒過定點，滿足題意.…………14分
第四步:得出結(jié)論
綜上,直線恒過定點.…………15分
【一題多解】
（2）第一步:設(shè)直線方程與點的坐標
由題意可知，直線的斜率不可能為0，故可設(shè)直線的方程為,,.…………6分
第二步:聯(lián)立方程,得出根與系數(shù)的關(guān)系
與雙曲線方程聯(lián)立整理可得，其中,
所以…………8分
第三步:根據(jù),得出結(jié)論
因為四邊形為矩形,所以,又,所以,
即,
所以，…………11分
將根與系數(shù)的關(guān)系代入得.
因為直線不過點,所以,
所以,…………13分
化簡為,解得.
所以直線恒過定點.…………15分
【一題多解】
（2）第一步:設(shè)直線方程與點的坐標
由題意可知，直線的斜率不可能為0，故可設(shè)直線的方程為,,.…………6分
第二步:聯(lián)立方程,得出根與系數(shù)的關(guān)系
與雙曲線方程聯(lián)立整理可得，其中,
所以…………8分
第三步:根據(jù),得出結(jié)論
因為四邊形為矩形,所以,又,所以,
即,
所以，…………11分
將根與系數(shù)的關(guān)系代入得.
因為直線不過點,所以,
所以,…………13分
化簡為,解得.
所以直線恒過定點.…………15分
50．【答案】（1）
（2）時，為定值
（3）
【詳解】（1）由題意，得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線l的方程為，，，
聯(lián)立，消去y整理得，
則，
且，，
又，，
則
，
則，即時，此時為定值.
（3）由（2）知，，，直線l的方程為，
且，，，，
則，，
則直線的方程為，
令，得
，
即，則，，，
則周長為，
當且僅當，即時等號成立，
則周長的最小值為.
51．【答案】（1）；
（2）見詳解；
（3）
【詳解】（1）依題意，，解得，
所以橢圓的方程為
（2）設(shè)，則，
由，得，直線的斜率分別為，
則，，
因此，即，所以.
（3）當直線的方程為，由，得，
，即，
橢圓左、右焦點，設(shè),
由直線的斜率依次成等差數(shù)列，得，
又，則，
化簡并整理得:，若，則直線：過點，不符合題意，
則，即，此時，整理得，
因此，解得，記點到直線的距離為，
則，
令，在上單調(diào)遞減，則，
所以d的取值范圍是.
52．【答案】（1），離心率為
（2）（i）（ii）是，1
【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，易知，
因為：為的右準線，所以，
解得，所以，
所以的方程為，離心率；
（2）（i）由已知可得直線不與軸垂直，設(shè)其方程為，
聯(lián)立，整理得，，
設(shè)，，
則，，
因為A，B在C的右支上，
所以，解得.
設(shè)平行四邊形的面積為S，易知，
則，
設(shè)，
則.
因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，則，
故平行四邊形面積的取值范圍為；
（ii）聯(lián)立，得，.
設(shè)，，
由A，G，Q三點共線，得，
解得，同理得，
所以
，
即的中點為，
故為定值1.
53．【答案】（1）
（2）①見詳解；②
【詳解】（1）圓心到的距離，
即直線與圓相切，所以.
（2）解法一：①證明：由，知的準線方程為，.
設(shè).
因為，且與的公共點為，
所以是曲線在點處的切線，
其方程為，即，
則（*），
同理，，則（**），
由（*）（**）得直線的方程為，即.
由，消去整理得，則.
又因為，
則.
又因為，所以，
故是、的等比中項.
②解：由①知，，
則
.
因為，所以，
則，
又因為，則，
從而可得，解得，
當時等號成立，
故的最大值為.
解法2：①證明：由題意知，則.
設(shè).
因為，且與的公共點為，所以是曲線在點處的切線，
所以，即（*）
同理（**）
聯(lián)立（*）（**）得，即，
所以，
注意到，因此，
所以是的等比中項.
②解：由①知，，設(shè)，
則
.
因為點在圓上，
所以，于是，
從而，
解得，即.
又當時，，
故的最大值為.

54．【答案】見詳解
【詳解】
(1)【解】第一步:建立平面直角坐標系
如圖,以為x軸的正方向,以AB的中點為原點建立平面直角坐標系,則A(-2,0),B(2,0), 1分
第二步:利用雙曲線定義得到點E的軌跡
連接EB,由折紙方法知,|EB|=|EW|,則||EB|-|EA||=||EW|-|EA||=|WA|=2<|AB|=4,
根據(jù)雙曲線的定義,可知曲線T是以A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線, 3分
第三步:寫出曲線T的方程
設(shè)其方程為-=1(a>0,b>0),則a=1,c==2,
所以a2=1,b2=3,故曲線T的方程為x2-=1. 5分
(2)【證明】第一步:設(shè)直線l的方程,與雙曲線的方程聯(lián)立,令Δ1=0,得到m和k的關(guān)系
易知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立整理得(3-k2)x2-2kmx-(m2+3)=0,
由Δ1=4k2m2+4(3-k2)(m2+3)=0,可得12(m2+3-k2)=0,可得m2=k2-3. 7分
第二步:聯(lián)立直線l的方程與圓的方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系
聯(lián)立整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,
Δ2=4k2m2-4(k2+1)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0,
則x1+x2=-,x1x2=. 8分
第三步:利用根與系數(shù)的關(guān)系證明k1·k2為定值
因為k1=,k2=,
所以k1·k2=·=.
又因為y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
代入可得y1y2=,由于m2=k2-3,則y1y2=. 9分
由于點M在點N的左側(cè),故x1-x2<0,
所以x1-x2=-|x1-x2|=-,
代入可得x1-x2=-. 10分
又因為x1x2=,所以k1·k2===3,
所以k1·k2為定值,定值為3. 11分
(3)【解】第一步:當直線n的斜率存在時,設(shè)直線n的方程,聯(lián)立曲線T的方程,得出根與系數(shù)的關(guān)系
假設(shè)存在點Q(t,0),使·=0恒成立.
由已知得F(2,0),
當直線n的斜率存在時,設(shè)直線n的方程為y=k(x-2),C(x3,y3),D(x4,y4),
聯(lián)立得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,
Δ=-4(k2-3)(4k2+3)=36k2+36>0,且k≠±,
則x3+x4=,x3x4=, 13分
第二步:用坐標表示
=(x3-t,y3),=(x4-t,y4),
則·=(x3-t)(x4-t)+y3y4
=x3x4-t(x3+x4)+t2+k2x3x4-2k2(x3+x4)+4k2
=,
若·=0恒成立,則(t2-4t-5)k2-3t2+3=0恒成立,
即解得t=-1. 15分
第三步:當直線n的斜率不存在時,利用·=0求出t
當直線n的斜率不存在時,直線n的方程為x=2,
此時4-=1,解得y=±3,
不妨取C(2,3),D(2,-3),
則=(2-t,3),=(2-t,-3),
又·=(2-t)2-9=0,解得t=-1或t=5.
綜上所述,t=-1.
所以存在點Q(-1,0),使·=0恒成立. 17分
【回歸教材】本題的第一問是人教A版選擇性必修第一冊第127頁第5題的改編題,考查利用定義法求點的軌跡方程.本題的折痕就相當于線段WB的垂直平分線,所以|EB|=|EW|,而|WA|是圓的半徑,是定值,從而得到||EB|-|EA||=||EW|-|EA||=|WA|=2<|AB|=4,利用雙曲線的定義可知,曲線T是以A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線.
55．【答案】
見詳解
【詳解】
命題點：曲線與方程、直線與拋物線的位置關(guān)系
(1)【解】設(shè)點P(x，y)，由題意，得|y|＝ ，
化簡，得y＝x2＋ ，
所以W的方程為y＝x2＋ ……………………………………………………………………4分
(2)【證明】設(shè)A，B，D三點在曲線W：y＝x2＋ 上，顯然直線AB的斜率存在且不等于零．
設(shè)A ，B ，D ，直線AB的斜率為k，則直線AD的斜率為－ ，直線AB的方程為y－ ＝k(x－x0)，由對稱性不妨設(shè)0＜|k| 1……………….6分
由 消去y，得x2－kx＋kx0－x02＝0，解得x＝x0或x＝k－x0，
所以x1＝k－x0，|AB|＝ |x1－x0|＝ |k－2x0|.
同理可得|AD|＝ |x2－x0|＝ (提示：用－ 替換k可得)，………8分
所以|AB|＋|AD|＝ ＝ .　……………………………………………………………………………..10分
(不易求得取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍)
令t＝k2，f(t)＝ (0＜t 1)，
則f′(t)＝ ＝ ，
所以f(t)在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以f(t) f ＝ .
由于兩處取等條件不一致，故|AB|＋|AD|＞ ，從而矩形ABCD的周長大于3 ……….12分
【思路導(dǎo)引】(2)設(shè)A，B，D三點在曲線W上，設(shè)出點A，B，D的坐標，直線AB的方程 直線AD的斜率→將直線AB與曲線W的方程聯(lián)立 |AB|的表達式 |AD|的表達式→|AB|＋|AD|的表達式 |AB|＋|AD|的取值范圍→證得結(jié)論
【一題多解】(2)將拋物線W向下平移 個單位長度得到拋物線W′：y＝x2(提示：為了方便計算，將拋物線平移后進行推理運算)，矩形ABCD變換為矩形A′B′C′D′，則問題等價于矩形A′B′C′D′的周長大于3 .
設(shè)B′(t0，t02)，A′(t1，t12)，C′(t2，t22)在拋物線W′上，根據(jù)對稱性不妨設(shè)t0 0，則kA′B′＝t1＋t0，kB′C′＝t2＋t0.
因為A′B′⊥B′C′，
所以(t1＋t0)(t2＋t0)＝－1………………………………………………………………………..6分
又|A′B′|＝ |t1－t0|，|B′C′|＝ ·|t2－t0|，且t0介于t1，t2之間，
則|A′B′|＋|B′C′|＝ |t1－t0|＋ |t2－t0|.
令t2＋t0＝tan θ，則t1＋t0＝－ ，θ∈ ，則t2＝tan θ－t0，t1＝－ －t0，……8分
則|A′B′|＋|B′C′|＝ ＋ (tan θ－2t0)＝2t0 ＋ ＋ ＝ ＋ .
當θ∈ 時，|A′B′|＋|B′C′| ＝ ＋ 2 ＝2 2 ＞ ；………………………………………………………………………………….10分
當θ∈ 時，由于t1＜t0＜t2，從而－ ＜t0＜ .
又t0 0，所以0 t0＜ ，
所以|A′B′|＋|B′C′|＝ ＋ ＞ ＋ ＝ ＋
＝ ＝ .
綜上，矩形ABCD的周長大于3 . ……………………………………………..12分
56．【答案】（1）
（2）①見詳解；②存在實數(shù)
【詳解】（1）解：據(jù)題意，，
從而可得，
由橢圓定義知道，的軌跡為以為焦點的橢圓，
所以所求的橢圓的方程為.
（2）解：①設(shè)切點坐標為，直線上的點的坐標，
則切線方程分別為，
又兩切線均過點，即，
從而點的坐標都適合方程，
而兩點之間確定唯一的一條直線，故直線的方程是，
顯然對任意實數(shù)，點都適合這個方程，故直線恒過定點.
②將直線的方程，代入橢圓方程，得，
即，
不妨設(shè)，
同理.
所以
故存在實數(shù)，使得.
57．【答案】（1）
（2）見詳解
【詳解】（1）因為點在橢圓上，可得，解得，
又因為橢圓的離心率為，所以，所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由題意，可設(shè)，且，
①當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，
整理得，
則，
所以，
因為為的中點，所以，即，
所以，經(jīng)檢驗，此時，
因為，所以，所以直線的方程為，
即，所以直線恒過定點.
②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
此時直線為軸，也過點.
綜上所述，直線恒過定點.

58．【答案】（1）
（2）
【詳解】（1）由題意得，解得，
所以雙曲線的方程為，
由題意直線的斜率存在，設(shè)其方程為，
聯(lián)立，得，
則，則，
，
由，
得，即，
即，
整理得，
則，
整理得，
即，
因為直線不過點，所以，即，
所以，所以，
即直線的斜率為；
（2）不妨設(shè)直線AP，AQ的傾斜角分別為，，
因為，
所以，則，故，
因為，
所以，
即，解得或（舍），
所以直線，
直線．
在直線中，令，得，
所以，
同理得，
所以，
所以的面積為．
59．【答案】
（1） 設(shè)，由題意知，
化簡得的方程為.
（2） （ⅰ） 因為曲線方程為,所以,.
設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立得，故，
因為點在雙曲線右支上，所以，得，即，解得，
設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立得，故，
因為點在雙曲線右支上，所以，得，即，解得，
綜上可知，.
（ⅱ） ，，，
故，
令 ，則，
，
當且僅當，即時取等號，
故的最大值為.
60．【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得橢圓的半焦距，
又，則，，
橢圓的方程為.
（2）由（1）得橢圓的方程為，
由題意得直線的方程為，即，
聯(lián)立消去得，
設(shè)，則.
四邊形是平行四邊形，
設(shè)，則，即，
，
又，即，解得
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