資源簡介

8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
1.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是（　?。?br/>A.平行或異面 B.相交或異面
C.異面 D.相交
2.已知點P，Q，R，S分別是正方體的四條棱的中點，則下列圖形中直線PQ與RS是異面直線的是（　　）
3.在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1與平面DCC1D1的位置關系是（　?。?br/>A.相交　　B.平行 C.不確定 　D.異面
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD）所在的平面內，與棱AA1平行的平面共有（　?。?br/>A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
5.（多選）下列說法中正確的是（　　）
A.若直線l與平面α不平行，則l與α相交
B.直線l在平面α外是指直線l和平面α平行
C.如果直線l經過平面α內一點P，又經過平面α外一點Q，那么直線l與平面α相交
D.如果直線a∥b，且a與平面α相交于點P，那么直線b必與平面α相交
6.（多選）下列結論正確的是（　　）
A.直線a∥平面α，直線b α，則a∥b
B.若a α，b α，則a，b無公共點
C.若a α，則a∥α或a與α相交
D.若a∩α＝A，則a α
7.若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是　　　　.
8.直線a與直線b相交，直線c與直線b相交，則直線a與直線c的位置關系是　　　　.
9.過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有　　　條.
10.如圖，根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系：
（1）點P與直線AB；
（2）點C與直線AB；
（3）點A1與平面AC；
（4）直線AB與直線BC；
（5）直線AB與平面AC；
（6）平面A1B與平面AC.
11.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（　?。?br/>A.l與l1，l2都相交
B.l與l1，l2都不相交
C.l至少與l1，l2中的一條相交
D.l至多與l1，l2中的一條相交
12.（2024·開封月考）三個平面將空間分成n個部分，則n不可能是（　?。?br/>A.5 B.6
C.7 D.8
13.已知點A，B是平面α外的兩點，則過點A，B與平面α平行的平面有　　　　個.
14.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，E是PC的中點，連接AE.求證：AE與PB是異面直線.
15.（多選）（2024·泉州月考）以下結論中正確的是（　?。?br/>A.過平面α外一點P，有且僅有一條直線與α平行
B.過平面α外一點P，有且僅有一個平面與α平行
C.過直線l外一點P，有且僅有一條直線與l平行
D.過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l平行
16.如圖，已知平面α和β相交于直線l，A∈α，B∈α，C∈β，且A l，B l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線和l有什么關系？證明你的結論.
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
1.B　可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故B正確.
2.C　A，B中PQ與RS平行，D中PQ與RS相交.
3.A　由棱臺的定義可知，平面ABB1A1與平面DCC1D1一定相交.故選A.
4.B　如圖所示，結合圖形可知AA1∥平面BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面BB1D1D.
5.CD　若直線l與平面α不平行，則l與α相交或l α，所以A不正確；若l α，則l∥α或l與α相交，所以B不正確；由平面和直線的位置關系可知，C、D正確.故選C、D.
6.CD　a和b可以異面，故A錯誤；若b α則b和α可以相交，故B錯誤；若直線在平面外，則直線和平面相交或平行，故C正確；若a∩α＝A，說明直線和平面只有一個交點，故D正確.故選C、D.
7.相交　解析：因為點A∈α，B α，C α，所以平面ABC與平面α有公共點，且不重合，所以平面ABC與平面α的位置關系是相交.
8.相交、平行或異面　解析：如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，AB∥A1B1；又AD與AA1相交，AB與AD相交；又A1D1與AA1相交，AB與A1D1異面.
9.6　解析：如圖所示，與平面ABB1A1平行的直線有6條：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
10.解：（1）點P∈直線AB.
（2）點C 直線AB.
（3）點A1 平面AC.
（4）直線AB∩直線BC＝點B.
（5）直線AB 平面AC.
（6）平面A1B∩平面AC＝直線AB.
11.C　由圖①可知，A、B錯誤；由圖②可知，D錯誤.
12.A　按照三個平面中平行的個數來分類：
（1）三個平面兩兩平行，如圖①，可將空間分成4個部分；
（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖②，可將空間分成6個部分；
（3）三個平面中沒有平行的平面：（?。┤齻€平面兩兩相交且交線互相平行，如圖③，可將空間分成7個部分；（ⅱ）三個平面兩兩相交且三條交線交于一點，如圖④，可將空間分成8個部分；（ⅲ）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖⑤，可將空間分成6個部分；
綜上所述，可以為4，6，7，8個部分，不能為5個部分.
13.0或1　解析：當A，B兩點在平面α兩側時，不存在這樣的平面與α平行；當A，B兩點在平面α同側時，若直線AB∥平面α，則存在一個平面與平面α平行，若直線AB與平面α不平行，則不存在與平面α平行的平面.故過點A，B與α平行的平面有0或1個.
14.證明：假設AE與PB共面于平面α，連接BE（圖略）.
因為A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即為平面α，所以P∈平面ABE，
這與P 平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線.
15.BC　如圖①所示，過點P有無數條直線與α平行，這無數條直線都在平面β內，過點P有且只有一個平面與α平行，故A錯誤，B正確；如圖②所示，過點P只有一條直線與l平行，但有無數個平面與l平行，故C正確，D錯誤.
16.解：平面ABC與平面β的交線和l相交，證明如下：
∵AB與l不平行，AB α，l α，
∴AB與l是相交直線.
設AB∩l＝P，則點P∈AB，點P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即點P是平面ABC與平面β的一個公共點.
又∵點C也是平面ABC與平面β的一個公共點，且P，C不重合，
∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線，即平面ABC∩平面β＝直線PC.
∵直線PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線和l相交.
2 / 28.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
新課程標準解讀 核心素養
借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義 邏輯推理、直觀想象
　　在平面內，兩條直線的位置關系只有平行和相交兩種.在空間中，情況就不同了.例如，如圖所示，教室中日光燈管所在直線與黑板左側所在直線，機械部件蝸桿和蝸輪的軸線a和b，它們既不相交也不平行.
【問題】　你知道空間兩條直線的位置關系有哪些嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1.異面直線
（1）定義：不同在　　　　平面內的兩條直線；
（2）異面直線的畫法：
2.空間兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交直線 在同一平面內，　　　　　　公共點
平行直線 在同一平面內，　　公共點
異面直線 不同在任何一個平面內，　　公共點
【想一想】
　分別在不同平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？
知識點二　直線與平面、平面與平面的位置關系
1.直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相交 直線a與平面α平行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
2.兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點 （在一條直線上）
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
【想一想】
　直線a在平面α外，則直線a與平面α沒有公共點，正確嗎？
1.一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條（　?。?br/>A.相交 B.異面
C.相交或異面 D.平行
2.已知直線a∥平面α，直線b 平面α，則（　?。?br/>A.a∥b B.a與b異面
C.a與b相交 D.a與b無公共點
3.若平面α∥平面β，a α，b β，則直線a和b的位置關系是　　　　.
題型一 直線與直線位置關系的判斷
【例1】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中：
（1）直線A1B與直線D1C的位置關系是　　　??；
（2）直線A1B與直線B1C的位置關系是　　　　；
（3）直線D1D與直線D1C的位置關系是　　　?。?br/>（4）直線AB與直線B1C的位置關系是　　　　.
通性通法
1.判斷空間中兩條直線位置關系的訣竅
（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關系，特別關注異面直線；
（2）重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關系.
2.判定兩條直線是異面直線的方法
（1）定義法：證明兩條直線既不平行又不相交；
（2）重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為l α，A α，B∈α，B l AB與l是異面直線（如圖）.
【跟蹤訓練】
1.已知空間中兩條不重合的直線a，b，則“a與b沒有公共點”是“a∥b”的（　?。?br/>A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.（2024·南陽質檢）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系可能是　　　　.
題型二 直線與平面位置關系的判斷
【例2】?。?）已知a，b是兩條平行直線，且a∥平面β，則b與β的位置關系是（　?。?br/>A.平行 B.相交
C.b在平面β內 D.平行或b在平面β內
（2）給出下列說法：
①若直線a在平面α外，則a∥α；②若直線a∥b，b 平面α，則a∥α；③若直線a平行于平面α內的無數條直線，則a∥α.
其中說法正確的個數為（　?。?br/>A.0　　　B.1 C.2　　　D.3
通性通法
直線與平面位置關系的判斷
（1）空間直線與平面位置關系的判斷是解決問題的突破口，這類問題，常用分類討論的方法解決.另外，借助模型（如正方體、長方體等）也是解決這類問題的有效方法；
（2）要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面內，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.
【跟蹤訓練】
若a，b是異面直線，且a∥平面α，那么b與平面α的位置關系是（　　）
A.b∥α
B.b與α相交
C.b α
D.以上三種情況都有可能
題型三 平面與平面位置關系的判斷
【例3】　如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是（　?。?br/>A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能確定
【母題探究】
　（變條件）本例若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線是異面直線”，則兩平面的位置關系如何？
通性通法
1.平面與平面位置關系的判斷方法
（1）平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據找出一個交點；
（2）平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點.
2.常見的平面與平面平行的模型
（1）棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；
（2）長方體的六個面中，三組相對面平行.
【跟蹤訓練】
1.（多選）以下四個命題中正確的有（　?。?br/>A.在平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
B.在平面α內有無數條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行
C.平面α內△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行
D.平面α內有無數個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面平行或相交
2.（2024·梅州月考）已知直線a，平面α，β，且a∥α，a∥β，則平面α與β的位置關系是　　　　.
1.異面直線是指（　?。?br/>A.空間中兩條不相交的直線
B.分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C.平面內的一條直線與平面外的一條直線
D.不同在任何一個平面內的兩條直線
2.若平面α∥平面β，l α，則l與β的位置關系是（　　）
A.l與β相交
B.l與β平行
C.l在β內
D.無法判定
3.“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的（　?。?br/>A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.已知不重合的直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的位置關系是　　　　.
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
【基礎知識·重落實】
知識點一
1.（1）任何一個　
2.有且只有一個　沒有　沒有
想一想
　提示：不一定.分別在兩個平面內的直線，既可能是平行直線，也可能是相交直線，還可能是異面直線.
知識點二
想一想
　提示：不正確，當直線a與平面α相交時，有一個公共點，也稱為直線a在平面α外.
自我診斷
1.C
2.D　因為直線a∥平面α，所以直線a與平面α無公共點，而直線b 平面α，所以a與b平行或異面，所以兩者無公共點.故選D.
3.平行或異面　解析：因為平面α∥平面β，則平面α與平面β沒有公共點，而a α，b β，于是得直線a和b沒有公共點，所以直線a和b是異面直線或是平行直線.
【典型例題·精研析】
【例1】?。?）平行?。?）異面?。?）相交?。?）異面　解析：（1）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC.∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.
（2）直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內.
（3）直線D1D與直線D1C相交于點D1.
（4）直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內.
跟蹤訓練
1.B　“直線a與b沒有公共點”表示兩條直線a∥b或者a與b是異面直線，所以“a與b沒有公共點”是“a∥b”的必要不充分條件.故選B.
2.平行、相交或異面
解析：如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，A'D'所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和c可以平行、相交或異面.
【例2】　（1）D?。?）A　
解析：（1）借助長方體判斷.如圖所示.A'B'∥C'D'，A'B'∥平面ABCD，C'D'∥平面ABCD，即有b∥β的可能；A'B'∥AB，A'B'∥平面ABCD，AB 平面ABCD，即也有b β的可能.故選D.
（2）對于①，直線a在平面α外包括兩種情況，即a∥α或a與α相交，∴a和α不一定平行，故①說法錯誤；對于②，∵直線a∥b，b 平面α，只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α內，∴a不一定平行于α，故②說法錯誤；對于③，當a α時，α內也存在無數條直線與直線a平行，故③說法錯誤.
跟蹤訓練
　D　若a，b是異面直線，且a∥平面α，則根據空間中線面的位置關系可得，b∥α，或b α，或b與α相交.
【例3】　C　如圖所示，a α，b β，a∥b.由圖形可知，這兩個平面可能相交，也可能平行.
母題探究
　解：如圖，a α，b β，a，b異面.由圖知這兩個平面可能平行，也可能相交.
跟蹤訓練
1.CD　當兩個平面相交時，一個平面內有無數條直線平行于它們的交線，即平行另一個平面，所以A、B錯誤.
2.相交或平行　解析：因為a∥α，a∥β，所以平面α與β相交（如圖①）或平行（如圖②）.
隨堂檢測
1.D　對于A，空間中兩條不相交的直線有兩種可能，一個是平行（共面），另一個是異面，所以A應排除；對于B，分別位于兩個不同平面內的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；對于C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，所以C應排除；只有D符合定義.
2.B　∵α∥β，l α，可得l∥β.故選B.
3.C　若直線l與平面α沒有公共點，那直線l與平面α只能平行，故充分性成立；若直線l與平面α平行，則直線l與平面α沒有公共點，故必要性也成立，所以“直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的充要條件.故選C.
4.平行、異面或相交　解析：如圖，在長方體中，a∥α，b∥α，a與b相交，b'∥α，a與b'異面，b″∥α，a與b″平行，故a與b的位置關系有：平行、異面或相交.
5 / 5(共58張PPT)
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關系
新課程標準解讀 核心素養
借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的
位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面
的位置關系的定義 邏輯推理、直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　在平面內，兩條直線的位置關系只有平行和相交兩種.在空間
中，情況就不同了.例如，如圖所示，教室中日光燈管所在直線與黑
板左側所在直線，機械部件蝸桿和蝸輪的軸線a和b，它們既不相交
也不平行.
【問題】　你知道空間兩條直線的位置關系有哪些嗎？
知識點一　空間中直線與直線的位置關系
1. 異面直線
（1）定義：不同在 平面內的兩條直線；
（2）異面直線的畫法：
任何一個　
2. 空間兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交直線 在同一平面內， 公共點
平行直線 在同一平面內， 公共點
異面直線 不同在任何一個平面內， 公共點
【想一想】
分別在不同平面內的兩條直線一定是異面直線嗎？
提示：不一定.分別在兩個平面內的直線，既可能是平行直線，也
可能是相交直線，還可能是異面直線.
有且只有一個　
沒有　
沒有　
知識點二　直線與平面、平面與平面的位置關系
1. 直線與平面的位置關系
位置關系 直線a在平面α內 直線a在平面α外
直線a與平面α相
交 直線a與平面α平
行
公共點 無數個公共點 一個公共點 沒有公共點
符號表示 a α a∩α＝A a∥α
圖形表示
2. 兩個平面的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有無數個公共點（在一條直
線上）
符號表示 α∥β α∩β＝l
圖形表示
直線a在平面α外，則直線a與平面α沒有公共點，正確嗎？
提示：不正確，當直線a與平面α相交時，有一個公共點，也稱為
直線a在平面α外.
【想一想】
1. 一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條（　?。?br/>A. 相交 B. 異面
C. 相交或異面 D. 平行
2. 已知直線a∥平面α，直線b 平面α，則（　?。?br/>A. a∥b B. a與b異面
C. a與b相交 D. a與b無公共點
解析：　因為直線a∥平面α，所以直線a與平面α無公共點，
而直線b 平面α，所以a與b平行或異面，所以兩者無公共點.故
選D.
3. 若平面α∥平面β，a α，b β，則直線a和b的位置關系是
.
解析：因為平面α∥平面β，則平面α與平面β沒有公共點，而
a α，b β，于是得直線a和b沒有公共點，所以直線a和b是異
面直線或是平行直線.
平行
或異面
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線與直線位置關系的判斷
【例1】　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中：
（1）直線A1B與直線D1C的位置關系是 ；
解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝
BC. ∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.
（2）直線A1B與直線B1C的位置關系是 ；
解析：直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內.
（3）直線D1D與直線D1C的位置關系是 ；
解析：直線D1D與直線D1C相交于點D1.
（4）直線AB與直線B1C的位置關系是 .
解析：直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內.
平行
異面
相交
異面
通性通法
1. 判斷空間中兩條直線位置關系的訣竅
（1）建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位
置關系，特別關注異面直線；
（2）重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線
的位置關系.
2. 判定兩條直線是異面直線的方法
（1）定義法：證明兩條直線既不平行又不相交；
（2）重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平
面內不經過此點的直線是異面直線.用符號語言可表示為
l α，A α，B∈α，B l AB與l是異面直線（如圖）.
【跟蹤訓練】
1. 已知空間中兩條不重合的直線a，b，則“a與b沒有公共點”是
“a∥b”的（　?。?br/>A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　“直線a與b沒有公共點”表示兩條直線a∥b或者a與
b是異面直線，所以“a與b沒有公共點”是“a∥b”的必要不充
分條件.故選B.
2. （2024·南陽質檢）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a
和c的位置關系可能是 .
解析：如圖，在長方體ABCD-A'B'C'D'中，A'D'
所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是
異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方
體ABCD-A'B'C'D'中的B'C'，DD'，CC'，故a和
c可以平行、相交或異面.
平行、相交或異面
題型二 直線與平面位置關系的判斷
【例2】　（1）已知a，b是兩條平行直線，且a∥平面β，則b與β的
位置關系是（　D?。?br/>A. 平行 B. 相交
C. b在平面β內 D. 平行或b在平面β內
D
解析：借助長方體判斷.如圖所示.A'B'∥C'D'，
A'B'∥平面ABCD，C'D'∥平面ABCD，即有b∥β的
可能；A'B'∥AB，A'B'∥平面ABCD，AB 平面
ABCD，即也有b β的可能.故選D.
①若直線a在平面α外，則a∥α；
②若直線a∥b，b 平面α，則a∥α；
③若直線a平行于平面α內的無數條直線，則a∥α.
（2）給出下列說法：
其中說法正確的個數為（　A?。?br/>A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
A
解析：對于①，直線a在平面α外包括兩種情況，即a∥α或a與
α相交，∴a和α不一定平行，故①說法錯誤；對于②，∵直線
a∥b，b 平面α，只能說明a和b無公共點，但a可能在平面α
內，∴a不一定平行于α，故②說法錯誤；對于③，當a α時，
α內也存在無數條直線與直線a平行，故③說法錯誤.
通性通法
直線與平面位置關系的判斷
（1）空間直線與平面位置關系的判斷是解決問題的突破口，這類問
題，常用分類討論的方法解決.另外，借助模型（如正方體、長
方體等）也是解決這類問題的有效方法；
（2）要證明直線在平面內，只要證明直線上兩點在平面內，要證明
直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證
明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.
【跟蹤訓練】
　若a，b是異面直線，且a∥平面α，那么b與平面α的位置關系是
（　?。?br/>A. b∥α B. b與α相交
C. b α D. 以上三種情況都有可能
解析：　若a，b是異面直線，且a∥平面α，則根據空間中線面的
位置關系可得，b∥α，或b α，或b與α相交.
題型三 平面與平面位置關系的判斷
【例3】　如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平
行，那么兩個平面的位置關系一定是（　?。?br/>A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不能確定
解析：　如圖所示，a α，
b β，a∥b.由圖形可知，這兩
個平面可能相交，也可能平行.
【母題探究】
（變條件）本例若將條件“這兩條直線互相平行”改為“這兩條直線
是異面直線”，則兩平面的位置關系如何？
解：如圖，a α，b β，a，b異面.由圖知這兩個平面可能平行，也可能相交.
通性通法
1. 平面與平面位置關系的判斷方法
（1）平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據找出一個
交點；
（2）平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點.
2. 常見的平面與平面平行的模型
（1）棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；
（2）長方體的六個面中，三組相對面平行.
【跟蹤訓練】
1. （多選）以下四個命題中正確的有（　　）
A. 在平面α內有兩條直線和平面β平行，那么這兩個平面平行
B. 在平面α內有無數條直線與平面β平行，那么這兩個平面平行
C. 平面α內△ABC的三個頂點在平面β的同一側且到平面β的距離相等
且不為0，那么這兩個平面平行
D. 平面α內有無數個點到平面β的距離相等且不為0，那么這兩個平面
平行或相交
解析：　當兩個平面相交時，一個平面內有無數條直線平行于
它們的交線，即平行另一個平面，所以A、B錯誤.
2. （2024·梅州月考）已知直線a，平面α，β，且a∥α，a∥β，則平
面α與β的位置關系是 .
解析：因為a∥α，a∥β，所以平面α與β相交（如圖①）或平行
（如圖②）.
相交或平行
1. 異面直線是指（　?。?br/>A. 空間中兩條不相交的直線
B. 分別位于兩個不同平面內的兩條直線
C. 平面內的一條直線與平面外的一條直線
D. 不同在任何一個平面內的兩條直線
解析：　對于A，空間中兩條不相交的直線有兩
種可能，一個是平行（共面），另一個是異面，
所以A應排除；對于B，分別位于兩個不同平面內
的兩條直線，既可能平行也可能相交也可能異
面，如圖，就是相交的情況，所以B應排除；對于
C，如圖中的a，b可看作是平面α內的一條直線a
與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，
所以C應排除；只有D符合定義.
2. 若平面α∥平面β，l α，則l與β的位置關系是（　?。?br/>A. l與β相交 B. l與β平行
C. l在β內 D. 無法判定
解析：　∵α∥β，l α，可得l∥β.故選B.
3. “直線l與平面α沒有公共點”是“直線l與平面α平行”的（　?。?br/>A. 充分不必要條件
B. 必要不充分條件
C. 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
解析：　若直線l與平面α沒有公共點，那直線l與平面α只能平
行，故充分性成立；若直線l與平面α平行，則直線l與平面α沒有
公共點，故必要性也成立，所以“直線l與平面α沒有公共點”是
“直線l與平面α平行”的充要條件.故選C.
4. 已知不重合的直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的
位置關系是 .
解析：如圖，在長方體中，a∥α，b∥α，a與b相交，b'∥α，a與b'異面，b″∥α，a與b″平行，故a與b的位置關系有：平行、異面或相交.
平行、異面或相交
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系
是（　?。?br/>A. 平行或異面 B. 相交或異面
C. 異面 D. 相交
解析：　可借助長方體來判斷.如圖，在長方體
ABCD-A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又
AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1
與BC是異面直線，故B正確.
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2. 已知點P，Q，R，S分別是正方體的四條棱的中點，則下列圖形
中直線PQ與RS是異面直線的是（　?。?br/>解析：　A，B中PQ與RS平行，D中PQ與RS相交.
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3. 在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1與平面DCC1D1的位置
關系是（　?。?br/>A. 相交 B. 平行
C. 不確定 D. 異面
解析　由棱臺的定義可知，平面ABB1A1與平面DCC1D1一定相
交.故選A.
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4. 在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面（面
AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面
A1B1CD）所在的平面內，與棱AA1平行的平面共有（　?。?br/>A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
解析：　如圖所示，結合圖形可知AA1∥平面
BCC1B1，AA1∥平面DCC1D1，AA1∥平面
BB1D1D.
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5. （多選）下列說法中正確的是（　?。?br/>A. 若直線l與平面α不平行，則l與α相交
B. 直線l在平面α外是指直線l和平面α平行
C. 如果直線l經過平面α內一點P，又經過平面α外一點Q，那么直線
l與平面α相交
D. 如果直線a∥b，且a與平面α相交于點P，那么直線b必與平面α
相交
解析：　若直線l與平面α不平行，則l與α相交或l α，所以A不正確；若l α，則l∥α或l與α相交，所以B不正確；由平面和直線的位置關系可知，C、D正確.故選C、D.
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6. （多選）下列結論正確的是（　?。?br/>A. 直線a∥平面α，直線b α，則a∥b
B. 若a α，b α，則a，b無公共點
C. 若a α，則a∥α或a與α相交
D. 若a∩α＝A，則a α
解析：　a和b可以異面，故A錯誤；若b α則b和α可以相交，
故B錯誤；若直線在平面外，則直線和平面相交或平行，故C正
確；若a∩α＝A，說明直線和平面只有一個交點，故D正確.故選
C、D.
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7. 若點A∈α，B α，C α，則平面ABC與平面α的位置關系是
.
解析：因為點A∈α，B α，C α，所以平面ABC與平面α有公共
點，且不重合，所以平面ABC與平面α的位置關系是相交.
相
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8. 直線a與直線b相交，直線c與直線b相交，則直線a與直線c的位
置關系是 .
解析：如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，
AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，AB∥A1B1；又
AD與AA1相交，AB與AD相交；又A1D1與AA1相
交，AB與A1D1異面.
相交、平行或異面
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9. 過三棱柱ABC-A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面
ABB1A1平行的直線共有 條.
解析：如圖所示，與平面ABB1A1平行的直線有6條：D1E1，E1E，
ED，DD1，D1E，DE1.
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10. 如圖，根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系：
（1）點P與直線AB；
解：點P∈直線AB.
（2）點C與直線AB；
解：點C 直線AB.
（3）點A1與平面AC；
解：點A1 平面AC.
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（4）直線AB與直線BC；
解：直線AB∩直線BC＝點B.
（5）直線AB與平面AC；
解：直線AB 平面AC.
（6）平面A1B與平面AC.
解：平面A1B∩平面AC＝直線AB.
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11. 若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α
與平面β的交線，則下列命題正確的是（　　）
A. l與l1，l2都相交
B. l與l1，l2都不相交
C. l至少與l1，l2中的一條相交
D. l至多與l1，l2中的一條相交
解析：由圖①可知，A、B錯誤；
由圖②可知，D錯誤.
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12. （2024·開封月考）三個平面將空間分成n個部分，則n不可能是
（　?。?br/>A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：按照三個平面中平行的個數來分類：
（1）三個平面兩兩平行，如圖①，可將空間分
成4個部分；
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（2）兩個平面平行，第三個平面與這兩個平行平面相交，如圖②，可將空間分成6個部分；
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綜上所述，可以為4，6，7，8個部分，不能為5個部分.
（3）三個平面中沒有平行的平面：（?。┤齻€平面兩兩相交且交
線互相平行，如圖③，可將空間分成7個部分；（ⅱ）三個平面兩
兩相交且三條交線交于一點，如圖④，可將空間分成8個部分；
（ⅲ）三個平面兩兩相交且交線重合，如圖⑤，可將空間分成6個
部分；
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13. 已知點A，B是平面α外的兩點，則過點A，B與平面α平行的平面
有 個.
解析：當A，B兩點在平面α兩側時，不存在這樣的平面與α平
行；當A，B兩點在平面α同側時，若直線AB∥平面α，則存在一
個平面與平面α平行，若直線AB與平面α不平行，則不存在與平面
α平行的平面.故過點A，B與α平行的平面有0或1個.
0或1
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14. 如圖所示，在三棱錐P-ABC中，E是PC的中點，連接AE. 求
證：AE與PB是異面直線.
證明：假設AE與PB共面于平面α，連接BE（圖略）.
因為A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面ABE即為平面α，所以P∈平面ABE，
這與P 平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線.
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15. （多選）（2024·泉州月考）以下結論中正確的是（　　）
A. 過平面α外一點P，有且僅有一條直線與α平行
B. 過平面α外一點P，有且僅有一個平面與α平行
C. 過直線l外一點P，有且僅有一條直線與l平行
D. 過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l平行
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解析：　如圖①所示，過點P有無數條直線與α平行，這無數條直線都在平面β內，過點P有且只有一個平面與α平行，故A錯誤，B正確；如圖②所示，過點P只有一條直線與l平行，但
有無數個平面與l平行，故C正確，D錯誤.
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16. 如圖，已知平面α和β相交于直線l，A∈α，B∈α，C∈β，且
A l，B l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線和
l有什么關系？證明你的結論.
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解：平面ABC與平面β的交線和l相交，證明如下：
∵AB與l不平行，AB α，l α，∴AB與l是相交直線.
設AB∩l＝P，則點P∈AB，點P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即點P是平面ABC與平面β的一個公共點.
又∵點C也是平面ABC與平面β的一個公共點，且P，C不重合，
∴直線PC就是平面ABC與平面β的交線，即平面ABC∩平面β＝
直線PC.
∵直線PC∩l＝P，∴平面ABC與平面β的交線和l相交.
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