資源簡(jiǎn)介

8.5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
1.空間中兩條互相平行的直線指的是（　　）
A.空間中沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
B.分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
C.在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
D.在同一平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
2.如圖所示，在三棱錐S -MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（　　）
A.平行
B.相交
C.異面
D.平行或異面
3.空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（　　）
A.平行
B.異面
C.相交或平行
D.平行或異面或相交均有可能
4.在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（　　）
A.2　　 　 B.3
C.4　　 　 D.5
5.（多選）（2024·韶關(guān)月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l 平面A1B1C1D1，且直線l與直線B1C1不平行，則下列說(shuō)法可能成立的是（　　）
A.l與AD平行 B.l與AD不平行
C.l與AC平行 D.l與BD平行
6.（多選）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則（　　）
A.PQ＝MN B.PQ∥MN
C.M，N，P，Q四點(diǎn)共面 D.四邊形MNPQ是梯形
7.在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝　　　　.
8.如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所有與∠A1AB相等的角是　　　　.
9.如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'，BB'，CC'交于同一點(diǎn)O，且＝＝＝，則＝　　　　.
10.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫(huà)？并說(shuō)明理由.
11.（多選）如圖，棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1上的一點(diǎn)且A1E＝2EA，設(shè)過(guò)點(diǎn)D1，C，E的平面與平面ABB1A1的交線為EF，則下列結(jié)論正確的為（　　）
A.EF∥D1C
B.EF＝a
C.CF＝a
D.三棱錐A-EFC的體積為a3
12.（2024·江門(mén)質(zhì)檢）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且＝＝，若BD＝6，四邊形EFGH的面積為28，則直線EH，F(xiàn)G之間的距離為　　　　.
13.如圖是正方體的表面展開(kāi)圖，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點(diǎn)，則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為　　　　.
14.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn).
求證：（1）D1E∥BF；
（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
15.已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且AC＝4，BD＝6，則（　　）
A.1＜MN＜5 B.2＜MN＜10
C.1≤MN≤5 D.2＜MN＜5
16.如圖①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將平面CDFE沿EF翻折起來(lái)，使CD到達(dá)C'D'的位置（如圖②），G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形.
8.5.1　直線與直線平行
1.D
2.A　∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.故選A.
3.D　如圖可知AB，CD有平行，異面，相交三種情況，故選D.
4.D　如圖，連接CF，C1F1，與棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5條，故選D.
5.BCD　假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與直線l與直線B1C1不平行矛盾，所以直線l與直線AD不平行，故A項(xiàng)不可能成立，易知B、C、D項(xiàng)均可能成立，故選B、C、D.
6.BCD　由題意知PQ＝DE，且DE≠M(fèi)N，所以PQ≠M(fèi)N，故A不正確；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠M(fèi)N，所以B、C、D正確.
7.2　解析：由題意知EF AC，GH AC，故EF GH，故GH＝2.
8.∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B　
解析：因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB與∠D1DC相等.又由于側(cè)面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
9.　解析：由＝＝＝，可知AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴＝，∴＝×＝.
10.解：如圖所示，在平面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求.
理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
11.AD　如圖，設(shè)BF＝2FA，連接EF，A1B，CF，AC，因?yàn)锳1E＝2EA，所以EF∥A1B.又易知A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，V三棱錐A-EFC＝V三棱錐E-AFC＝×a××a×a＝a3.因此，A、D正確.
12.8　解析：由題意得EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH＝BD＝3，又∵＝＝，∴GF∥BD且GF＝BD＝4，由基本事實(shí)4知，EH∥GF，∴四邊形EFGH是梯形，而直線EH，F(xiàn)G之間的距離就是梯形EFGH的高，設(shè)為h，即＝28，得h＝8.
13.平行　解析：由題意，將正方體的表面展開(kāi)圖還原構(gòu)造成正方體，如圖所示.分別取AB，AA1的中點(diǎn)Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得EF∥PQ，又因?yàn)辄c(diǎn)Q，P，H，G分別是AB，AA1，A1B1，BB1的中點(diǎn)，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，所以EF∥GH.
14.證明：（1）如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，
EM＝A1B1，
因?yàn)锳1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EM∥C1D1，EM＝C1D1，
所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以BF∥MC1，所以D1E∥BF.
（2）因?yàn)镈1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF與∠A1ED1的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所以∠B1BF＝∠A1ED1.
15.A　取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH（圖略），則MH∥BD，且MH＝BD，NH∥AC，且NH＝AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故選A.
16.證明：在題圖①中，∵四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，
∴EF∥AB且EF＝（AB＋CD）.
在題圖②中，易知C'D'∥EF∥AB.
∵G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，
∴GH∥AB且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
2 / 38.5.1　直線與直線平行
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知、了解空間中直線與直線平行的關(guān)系 邏輯推理
2.了解基本事實(shí)4及等角定理 直觀想象
　　把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開(kāi)以后如圖所示.
【問(wèn)題】　（1）為什么這些折痕互相平行？
（2）初中所學(xué)的結(jié)論“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，如果去掉條件“在同一平面內(nèi)”，結(jié)論是否仍成立？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識(shí)點(diǎn)一　基本事實(shí)4
　平行于同一條直線的兩條直線　　　　.
知識(shí)點(diǎn)二　等角定理
文字 語(yǔ)言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角　　　　　或　　　　
圖形 語(yǔ)言
作用 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
提醒　對(duì)等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：①等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用；②當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).因此等角定理用來(lái)證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
1.已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b（　　）
A.一定是異面直線
B.一定是相交直線
C.不可能是平行直線
D.不可能是相交直線
2.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，則∠B'A'C'＝（　　）
A.30° B.150°
C.30°或150° D.大小無(wú)法確定
3.如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，與棱AB平行的棱有　　　　條，分別是　　　　.
題型一 證明直線與直線平行
【例1】　如圖所示，在空間四邊形ABCD（不共面的四邊形稱為空間四邊形）中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形.
通性通法
證明空間兩條直線平行的方法
（1）平面幾何法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等；
（2）定義法：用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面，一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)；
（3）基本事實(shí)4：用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，即可得到a∥c.
【跟蹤訓(xùn)練】
已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn).求證：四邊形MNA'C'是梯形.
題型二 等角定理及應(yīng)用
【例2】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E.
通性通法
關(guān)于等角定理的應(yīng)用
（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線平行；
（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，點(diǎn)A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上的點(diǎn)，且 ＝＝.求證：△A1B1C1∽△ABC.
題型三 利用線線平行判斷共面
【例3】　如圖，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分別是FA，F(xiàn)D的中點(diǎn).
（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
（2）C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)是否共面？為什么？
通性通法
　　根據(jù)兩平行直線確定一個(gè)平面，可以證明共面問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是證明直線平行.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H，G分別是AD，CD上的點(diǎn)，滿足＝.
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)共線.
1.已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的位置關(guān)系是（　　）
A.平行 B.相交
C.異面 D.不確定
2.如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（　　）
A.3條 B.4條
C.5條 D.6條
3.兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三角形（　　）
A.全等 B.不相似
C.僅有一個(gè)角相等 D.相似
4.空間中有兩個(gè)角α，β，且角α，β的兩邊分別平行.若α＝60°，則β＝　　　　.
8.5.1　直線與直線平行
【基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)一
　平行
知識(shí)點(diǎn)二
　相等　互補(bǔ)
自我診斷
1.C　假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b ，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線.故選C.
2.C　當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，∠B'A'C'＝30°，否則，∠B'A'C'＝150°.故選C.
3.3　CD，A1B1，C1D1　解析：因?yàn)檎睦馀_(tái)中兩底面都是正方形，側(cè)面ABB1A1是等腰梯形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故與棱AB平行的棱為CD，A1B1，C1D1，共3條.
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：（1）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形.
（2）因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝BD.
因?yàn)镋F＝AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：如圖所示，連接AC，
由正方體的性質(zhì)可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，
∴四邊形AA'C'C為平行四邊形，
∴A'C'＝AC，A'C'∥AC，
又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四邊形MNA'C'是梯形.
【例2】　證明：因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝BB1，
因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四邊形D1GBF為平行四邊形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC與∠FD1E的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：在△OAB中，因?yàn)?＝，
所以A1B1∥AB.同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
【例3】　解：（1）證明：由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，
所以GH AD，又BC AD，故GH BC，
所以四邊形BCHG是平行四邊形.
（2）C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.
理由如下：由BE AF，G是FA的中點(diǎn)知，有BE GF，
所以四邊形BEFG是平行四邊形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又點(diǎn)D在直線FH上， 所以C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.
跟蹤訓(xùn)練
　證明：（1）如圖，連接AC，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵＝，∴GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，
又∵EH 平面ABD，∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P為平面ABD與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn).
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三點(diǎn)共線.
隨堂檢測(cè)
1.A　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選A.
2.B　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3.D　由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，故選D.
4.60°或120°　解析：因?yàn)榻铅僚cβ兩邊對(duì)應(yīng)平行，但方向不確定，所以α與β相等或互補(bǔ)，故β＝60°或120°.
3 / 4(共59張PPT)
8.5.1　直線與直線平行
新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀 核心素養(yǎng)
1.借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知、了解空間中直
線與直線平行的關(guān)系 邏輯推理
2.了解基本事實(shí)4及等角定理 直觀想象
目錄
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標(biāo)
03
基礎(chǔ)知識(shí)·重落實(shí)
01
課前預(yù)習(xí) 必備知識(shí)梳理
把一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折兩次，打開(kāi)以后如圖所示.
【問(wèn)題】　（1）為什么這些折痕互相平行？
（2）初中所學(xué)的結(jié)論“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”，如果去掉條件“在同
一平面內(nèi)”，結(jié)論是否仍成立？
知識(shí)點(diǎn)一　基本事實(shí)4
　平行于同一條直線的兩條直線 .
平行　
知識(shí)點(diǎn)二　等角定理
文字語(yǔ)言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)
角 或
圖形語(yǔ)言
作用 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
相等　
互補(bǔ)　
提醒　對(duì)等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)：①等角定理是由平面圖形推廣到空間
圖形而得到的，它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用；②當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方
向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ).因此等角定理用來(lái)
證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).
1. 已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b（　　）
A. 一定是異面直線 B. 一定是相交直線
C. 不可能是平行直線 D. 不可能是相交直線
解析：假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b ，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線.故選C.
2. 已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，則∠B'A'C'＝（　　）
A. 30° B. 150°
C. 30°或150° D. 大小無(wú)法確定
解析：　當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，
∠B'A'C'＝30°，否則，∠B'A'C'＝150°.故選C.
3. 如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，與棱AB平行的棱有
條，分別是 .
解析：因?yàn)檎睦馀_(tái)中兩底面都是正方形，側(cè)面ABB1A1是等腰梯
形，所以AB∥CD，A1B1∥C1D1，AB∥A1B1.所以AB∥C1D1.故
與棱AB平行的棱為CD，A1B1，C1D1，共3條.
3
CD，A1B1，C1D1
典型例題·精研析
02
課堂互動(dòng) 關(guān)鍵能力提升
題型一 證明直線與直線平行
【例1】　如圖所示，在空間四邊形ABCD（不共面的四邊形稱為空
間四邊形）中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn).
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
證明：因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，
BC，CD，DA的中點(diǎn)，
所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝ AC，
所以EF∥HG，EF＝HG，
所以四邊形EFGH是平行四邊形.
（2）如果AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形.
證明：因?yàn)榭臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，
BC，CD，DA的中點(diǎn)，所以EH∥BD，EH＝ BD.
因?yàn)镋F＝ AC，AC＝BD，所以EH＝EF.
又因?yàn)樗倪呅蜤FGH是平行四邊形，所以四邊形EFGH是菱形.
通性通法
證明空間兩條直線平行的方法
（1）平面幾何法：三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等；
（2）定義法：用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面，一是兩
條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)；
（3）基本事實(shí)4：用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，
使得a∥b，同時(shí)b∥c，即可得到a∥c.
【跟蹤訓(xùn)練】
　已知棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中，M，N分別為CD，AD
的中點(diǎn).求證：四邊形MNA'C'是梯形.
證明：如圖所示，連接AC，
由正方體的性質(zhì)可知AA'＝CC'，AA'∥CC'，
∴四邊形AA'C'C為平行四邊形，∴A'C'＝AC，
A'C'∥AC，
又∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，
∴MN∥AC，且MN＝ AC，
∴MN∥A'C'，且MN≠A'C'.∴四邊形MNA'C'是梯形.
題型二 等角定理及應(yīng)用
【例2】　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱
CC1，BB1，DD1的中點(diǎn)，試證明：∠BGC＝∠FD1E.
證明：因?yàn)镕為BB1的中點(diǎn)，所以BF＝ BB1，
因?yàn)镚為DD1的中點(diǎn)，所以D1G＝ DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G.
所以四邊形D1GBF為平行四邊形.
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
又∠BGC與∠FD1E的對(duì)應(yīng)邊平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
通性通法
關(guān)于等角定理的應(yīng)用
（1）根據(jù)空間中相應(yīng)的定理證明角的兩邊分別平行，即先證明線線
平行；
（2）根據(jù)角的兩邊的方向判定兩角相等或互補(bǔ).
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖所示，點(diǎn)A1，B1，C1分別是不共面的三條射線OA，OB，OC上
的點(diǎn)，且 ＝ ＝ .求證：△A1B1C1∽△ABC.
證明：在△OAB中，因?yàn)? ＝ ，
所以A1B1∥AB. 同理可證A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
題型三 利用線線平行判斷共面
【例3】　如圖，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD
＝∠FAB＝90°，BC AD，BE AF，G，H分別是FA，F(xiàn)D的
中點(diǎn).
（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
解：證明：由題意知，F(xiàn)G＝GA，F(xiàn)H＝HD，
所以GH AD，又BC AD，故GH BC，
所以四邊形BCHG是平行四邊形.
（2）C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)是否共面？為什么？
解：C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.
理由如下：由BE AF，G是FA的中點(diǎn)知，有BE GF，
所以四邊形BEFG是平行四邊形，所以EF∥BG，
由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EF，CH共面.
又點(diǎn)D在直線FH上， 所以C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面.
通性通法
　　根據(jù)兩平行直線確定一個(gè)平面，可以證明共面問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是證
明直線平行.
【跟蹤訓(xùn)練】
如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H，
G分別是AD，CD上的點(diǎn)，滿足 ＝ .
（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
證明：如圖，連接AC，
∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC.
在△ADC中，∵ ＝ ，∴GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
（2）設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)共線.
證明：∵EH∩FG＝P，∴P∈EH，又∵EH 平面ABD，
∴P∈平面ABD，
同理P∈平面BCD，∴P為平面ABD與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn).
又平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即P，B，D三點(diǎn)共線.
1. 已知直線a∥直線b，直線b∥直線c，直線c∥直線d，則a與d的
位置關(guān)系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 異面 D. 不確定
解析：　∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故選A.
2. 如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中
點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（　　）
A. 3條 B. 4條
C. 5條 D. 6條
解析：　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
3. 兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)
三角形（　　）
A. 全等 B. 不相似
C. 僅有一個(gè)角相等 D. 相似
解析：　由等角定理知，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，
故選D.
4. 空間中有兩個(gè)角α，β，且角α，β的兩邊分別平行.若α＝60°，則β
＝ .
解析：因?yàn)榻铅僚cβ兩邊對(duì)應(yīng)平行，但方向不確定，所以α與β相等或
互補(bǔ)，故β＝60°或120°.
60°或120°
知能演練·扣課標(biāo)
03
課后鞏固 核心素養(yǎng)落地
1. 空間中兩條互相平行的直線指的是（　　）
A. 空間中沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
B. 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線
C. 在兩個(gè)不同的平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
D. 在同一平面內(nèi)且沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線
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2. 如圖所示，在三棱錐S -MNP中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱SN，
SP，MN，MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是（　　）
A. 平行
B. 相交
C. 異面
D. 平行或異面
解析：　∵E，F(xiàn)分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN. 同理可
證HG∥PN，∴EF∥HG. 故選A.
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3. 空間中有三條線段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直
線AB與CD的位置關(guān)系是（　　）
A. 平行 B. 異面
C. 相交或平行 D. 平行或異面或相交均有可能
解析：　如圖可
知AB，CD有平
行，異面，相交三
種情況，故選D.
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4. 在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線中與棱
AB平行的條數(shù)為（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解析：　如圖，連接CF，C1F1，與棱AB平行的有ED，CF，A1B1，C1F1，E1D1，共有5條，故選D.
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5. （多選）（2024·韶關(guān)月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
直線l 平面A1B1C1D1，且直線l與直線B1C1不平行，則下列說(shuō)法
可能成立的是（　　）
A. l與AD平行 B. l與AD不平行
C. l與AC平行 D. l與BD平行
解析：　假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，
這與直線l與直線B1C1不平行矛盾，所以直線l與直線AD不平行，
故A項(xiàng)不可能成立，易知B、C、D項(xiàng)均可能成立，故選B、C、D.
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6. （多選）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，
BC∥DE. 設(shè)CD，BE，AE，AD的中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，
則（　　）
B. PQ∥MN
C. M，N，P，Q四點(diǎn)共面
D. 四邊形MNPQ是梯形
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解析：　由題意知PQ＝ DE，且DE≠M(fèi)N，所以PQ≠ MN，故A不正確；又PQ∥DE，DE∥MN，所以PQ∥MN，又PQ≠M(fèi)N，所以B、C、D正確.
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7. 在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是PA，PC，AB，BC
的中點(diǎn)，若EF＝2，則GH＝ .
解析：由題意知EF AC，GH AC，故EF GH，故GH＝2.
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8. 如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是梯形，AB∥CD，則所
有與∠A1AB相等的角是 .
解析：因?yàn)樵谒睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中，AA1∥DD1，AB∥DC，所以∠A1AB與∠D1DC相等.又由于側(cè)面A1ABB1，D1DCC1為平行四邊形，所以∠A1AB與∠A1B1B，∠D1C1C也相等.
∠D1DC，∠D1C1C，∠A1B1B
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9. 如圖所示，△ABC和△A'B'C'的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'，BB'，CC'交于
同一點(diǎn)O，且 ＝ ＝ ＝ ，則 ＝ 　 　.

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解析：由 ＝ ＝ ＝ ，可知AB∥A'B'，AC∥A'C'，
BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB＝∠C'A'B'，∠ACB＝∠A'C'B'，
∴△ABC∽△A'B'C'，∴ ＝ ，∴ ＝ × ＝ .
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10. 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫(huà)？并說(shuō)明理由.
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解：如圖所示，在平面A1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)P作直線
EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則
直線EF即為所求.
理由：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，
所以EF∥BC.
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11. （多選）如圖，棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AA1
上的一點(diǎn)且A1E＝2EA，設(shè)過(guò)點(diǎn)D1，C，E的平面與平面ABB1A1
的交線為EF，則下列結(jié)論正確的為（　　）
A. EF∥D1C
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解析：　如圖，設(shè)BF＝2FA，連接EF，A1B，
CF，AC，因?yàn)锳1E＝2EA，所以EF∥A1B. 又易
知A1B∥D1C，所以EF∥D1C. 故EF＝ A1B＝
a，CF＝ ＝ a，V三棱錐A-EFC＝V三棱錐E-AFC＝ × a× × a×a＝ a3.因此，A、D正確.
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12. （2024·江門(mén)質(zhì)檢）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，H分
別是AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是CB，CD上的點(diǎn)，且 ＝
＝ ，若BD＝6，四邊形EFGH的面積為28，則直線EH，F(xiàn)G之
間的距離為 .
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解析：由題意得EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD且EH＝
BD＝3，又∵ ＝ ＝ ，∴GF∥BD且GF＝ BD＝4，由基
本事實(shí)4知，EH∥GF，∴四邊形EFGH是梯形，而直線EH，
FG之間的距離就是梯形EFGH的高，設(shè)為h，即 ＝
28，得h＝8.
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13. 如圖是正方體的表面展開(kāi)圖，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點(diǎn)，
則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為 .
平行
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解析：由題意，將正方體的表面展開(kāi)圖還原構(gòu)
造成正方體，如圖所示.分別取AB，AA1的中
點(diǎn)Q，P，連接EP，F(xiàn)Q，PQ，A1B，由正方
體的結(jié)構(gòu)特征可得EF∥PQ，又因?yàn)辄c(diǎn)Q，
P，H，G分別是AB，AA1，A1B1，BB1的中
點(diǎn)，故PQ∥A1B，HG∥A1B，故PQ∥HG，
所以EF∥GH.
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14. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn).
求證：（1）D1E∥BF；
證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EM∥A1B1，EM＝
A1B1，
因?yàn)锳1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以
EM∥C1D1，EM＝C1D1，
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所以四邊形EMC1D1為平行四邊形，所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中，易得MB∥C1F，MB＝C1F.
所以四邊形MBFC1為平行四邊形，所以
BF∥MC1，所以D1E∥BF.
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（2）∠B1BF＝∠A1ED1.
證明：因?yàn)镈1E∥BF，BB1∥EA1，
又∠B1BF與∠A1ED1的對(duì)應(yīng)邊方向相同，所
以∠B1BF＝∠A1ED1.
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15. 已知在空間四邊形ABCD中，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，且
AC＝4，BD＝6，則（　　）
A. 1＜MN＜5 B. 2＜MN＜10
C. 1≤MN≤5 D. 2＜MN＜5
解析：取AD的中點(diǎn)H，連接MH，NH（圖略），則MH∥BD，且MH＝ BD，NH∥AC，且NH＝ AC，且M，N，H三點(diǎn)構(gòu)成三角形，由三角形中三邊關(guān)系，可得MH－NH＜MN＜MH＋NH，即1＜MN＜5.故選A.
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16. 如圖①所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，
AD的中點(diǎn)，將平面CDFE沿EF翻折起來(lái)，使CD到達(dá)C'D'的位置
（如圖②），G，H分別為AD'，BC'的中點(diǎn)，求證：四邊形
EFGH為平行四邊形.
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證明：在題圖①中，∵四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB且EF＝ （AB＋CD）.
在題圖②中，易知C'D'∥EF∥AB. ∵G，H分別為AD'，BC'的
中點(diǎn)，
∴GH∥AB且GH＝ （AB＋C'D'）＝ （AB＋CD），
∴GH∥EF，且GH＝EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形.
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