資源簡介

8.5.2　直線與平面平行
第1課時　直線與平面平行的判定
1.若直線l不平行于平面α，且l α，則（　　）
A.α內的所有直線與l異面
B.α內不存在與l平行的直線
C.α內存在唯一的直線與l平行
D.α內的直線與l都相交
2.若M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點，則MN與過直線BC的平面β的位置關系是（　　）
A.MN∥β
B.MN與β相交或MN β
C.MN∥β或MN β
D.MN∥β或MN與β相交或MN β
3.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別為底面ABCD和底面A'B'C'D'的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有（　　）
A.1個　　 B.2個
C.3個　　 D.4個
4.在空間四邊形ABCD中，E，F分別在AD，CD上，且滿足＝，則直線EF與平面ABC的位置關系是（　　）
A.EF∥平面ABC B.EF 平面ABC
C.EF與平面ABC相交 D.以上都有可能
5.（多選）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線的交點為O，M為PB的中點，給出以下結論，其中正確的是（　　）
A.OM∥PD B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA
6.（多選）如圖，在四面體ABCD中，E，F分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.給出下列四個命題中正確的為（　　）
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直線GE，HF，AC交于一點
7.（2024·焦作月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為　　　　.
8.以下命題中為真命題的是　　　　.（填序號）
①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b α，則a平行于平面α內的無數條直線.
9.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PA上一點，當點E滿足條件：　　　　時，PC∥平面EBD.
10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中點M，BC的中點N，求證：MN∥平面PDC.
11.如圖甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分別為AD，CD的中點，以AF為折痕把△ADF折起，使點D不落在平面ABCF內（如圖乙），那么在以下3個結論中，正確結論的個數是（　　）
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.
A.0　　　B.1 C.2　　　D.3
12.（多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ平行的是（　　）
13.（多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是棱A1C1，BC的中點，則下列結論中正確的是（　　）
A.CC1∥平面A1ABB1
B.AF∥平面A1B1C1
C.EF∥平面A1ABB1
D.AE∥平面B1BCC1
14.如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點.
（1）若的中點為D.求證：AC∥平面POD；
（2）如果△PAB的面積是9，求此圓錐的表面積.
15.（多選）一幾何體的平面展開圖如圖所示（頂點P在展開圖中分別為P1，P2，P3，P4），其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為P4B，P1C的中點，關于這個幾何體，下列結論正確的是（　　）
A.直線AE與直線BF異面
B.直線AE與直線DF異面
C.直線EF∥平面PAD
D.直線EF∥平面ABCD
16.如圖，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE，P是線段CD的中點，在直線AE上是否存在一點M，使得PM∥平面BCE？若存在，指出點M的位置，并證明你的結論.若不存在，請說明理由.
第1課時　直線與平面平行的判定
1.B　若在平面α內存在與直線l平行的直線，因為l α，故l∥α，這與題意矛盾.
2.C　若平面β是△ABC所在的平面，則MN β.若MN β，則MN∥β.故選C.
3.D　由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB'、平面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故與EF平行的平面有4個.故選D.
4.A　∵＝，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF 平面ABC.∴EF∥平面ABC，故選A.
5.ABC　由題意知，OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，故A正確；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與平面PBA相交，故D不正確.故選A、B、C.
6.AD　因為BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且HG＝BD，又E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD且EF＝BD，所以EFHG為梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正確；因為F為AD的中點，H為CD的一個三等分點，所以FH與AC為相交直線，故FH與平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正確；因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設交點為M，又EG 平面ABC，FH 平面ACD，則M是平面ABC與平面ACD的一個交點，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直線GE，HF，AC交于一點，D正確.故選A、D.
7.平行　解析：連接BD，設AC∩BD＝O，連接OE（圖略），則OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
8.③　解析：對于①，當直線l平行于平面α內的無數條直線時，l∥α或l在平面α內，所以①錯誤；對于②，直線a在平面α外，則a∥α或a與平面α相交，所以②錯誤；對于③，若直線a∥b，b α，則a∥α或a在平面α內，可得a平行于平面α內的無數條直線，所以③正確.
9.E為PA的中點　解析：如圖，取PA的中點E，連接EB，ED，AC，設AC與BD交于點O，連接EO，易知EO∥PC.∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，∴PC∥平面EBD.即當E為PA中點時，PC∥平面EBD.
10.證明：如圖，連接AN并延長，交DC的延長線于點E，連接PE.
因為CD∥AB，N為BC的中點，
所以N為AE的中點.
因為M為PA的中點，
所以MN∥PE.
因為MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
11.C　對于①，由題意得AB CF，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AF∥BC，∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正確；對于②，取DF的中點G，連接EG，GC（圖略），∵E是AD的中點，∴EG∥AF，EG＝AF，又AF BC，∴EG∥BC，EG＝BC，∴BE與CG相交，∴BE與平面CDF相交，故②錯誤；對于③，連接AC，交BF于點O，連接OE（圖略），∵四邊形ABCF是平行四邊形，∴O是AC的中點，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正確.故選C.
12.BCD　對于B項，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可證，C、D項中均有AB∥平面MNQ，只有A項中AB與平面MNQ不平行.
13.ABC　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中結論正確；取B1C1的中點D，連接A1D，DF，由題意及基本事實4可知AA1 DF，∴四邊形AFDA1是平行四邊形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中結論正確；取AB的中點G，連接A1G，GF，∵G，F分別是棱AB，BC的中點，∴GF∥AC，GF＝AC，易知A1E∥AC，且A1E＝AC，∴GF A1E，∴四邊形GFEA1為平行四邊形，∴EF∥A1G，又A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中結論正確；取AC的中點H，連接C1H，易證四邊形AHC1E為平行四邊形，∴EA∥C1H，C1H與平面B1BCC1相交，∴AE與平面B1BCC1相交，D中結論不正確.
14.解：（1）證明：設BC∩OD＝E，
∵D是的中點，
∴E是BC的中點，
又∵O是AB的中點，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，∴AC∥平面POD.
（2）設圓錐底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，
∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，
∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9（1＋）π.
15.ACD　如圖，將平面展開圖還原，顯然AE，BF異面，故A正確；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正確；易知四邊形AEFD為梯形，故B錯誤；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正確.故選A、C、D.
16.解：存在點M，當點M是線段AE的中點時，PM∥平面BCE.
證明如下：
如圖，取BE的中點N，連接CN，MN，則MN∥AB且MN＝AB.
又PC∥AB且PC＝AB，
所以MN PC，即四邊形MNCP為平行四邊形，
所以PM∥CN.
因為PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
4 / 48.5.2　直線與平面平行
第1課時　直線與平面平行的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線與平面平行的判定定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用直線與平面平行的判定定理證明直線與平面平行 直觀想象
　　如圖所示，如果將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網的上邊緣抽象成直線l，則直線l與平面α具有怎樣的位置關系？如果將乒乓球網的下邊緣抽象成直線m，并把m看成平面α內的直線，則直線l與直線m具有怎樣的位置關系？
【問題】　你能給出判定的依據嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點　直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果　　　一條直線與此　　　的一條直線　　　，那么該直線與此平面平行
符號語言 　　　　　　 a∥α
圖形語言
提醒　線面平行判定定理的實質是線線平行 線面平行.
1.能保證直線a與平面α平行的條件是（　　）
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
2.（2024·泉州質檢）棱柱的一條側棱所在的直線與不含這條側棱的側面所在的平面的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不相交
3.（2024·三明月考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B與平面ACD1的位置關系是　　　　.
題型一 線面平行判定定理的理解
【例1】　如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關系是（　　）
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
通性通法
線面平行的判定定理必須具備三個條件
（1）直線a在平面α外，即a α；
（2）直線b在平面α內，即b α；
（3）兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可.
【跟蹤訓練】
　（2024·佛山月考）如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內，把這塊矩形木板繞AB轉動，在轉動的過程中，AB的對邊CD與平面α的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.在平面α內 D.平行或在平面α內
題型二 直線與平面平行的判定
【例2】　如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分別是AB，B1C的中點.求證：DE∥平面ACC1A1.
通性通法
應用判定定理證明線面平行的步驟
第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法.
提醒　線面平行判定定理應用的誤區：①條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”；②不能利用題目條件順利地找到兩平行直線.
【跟蹤訓練】
如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，M為PD的中點.證明：CM∥平面PAB.
1.圓臺底面內的任意一條直徑與另一個底面的位置關系是（　　）
A.平行 B.相交
C.在平面內 D.不確定
2.如圖，各棱長均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分別為線段A1B，B1C上的動點，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有（　　）
A.1條 B.2條
C.3條 D.無數條
3.已知l，m是兩條不同的直線，α是平面，若要得到l∥α，則需要在條件m α，l∥m中另外添加的一個條件是　　　　.
4.如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別是BF，BC的中點，則MN與平面ADE的位置關系為　　　　.
第1課時　直線與平面平行的判定
【基礎知識·重落實】
知識點
　平面外　平面內　平行　a α，b α，且a∥b
自我診斷
1.D　由線面平行的判定定理可知，D正確.
2.A　因為棱柱的側棱是互相平行的，所以由直線與平面平行的判定定理可知，側棱所在的直線與不含這條側棱的側面所在的平面平行.故選A.
3.平行　解析：∵A1B∥D1C，A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，∴A1B∥平面ACD1.
【典型例題·精研析】
【例1】　D　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
跟蹤訓練
　D　在旋轉過程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故選D.
【例2】　證明：連接BC1，AC1，因為ABC-A1B1C1是斜三棱柱，所以四邊形BCC1B1為平行四邊形，由平行四邊形性質得點E也是BC1的中點.
因為點D是AB的中點，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
跟蹤訓練
　證明：取PA的中點N，連接BN，MN，
∵M，N分別為PD，PA的中點，則MN∥AD且MN＝AD，
又BC∥AD且BC＝AD，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四邊形BCMN為平行四邊形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
隨堂檢測
1.A　圓臺底面內的任意一條直徑與另一個底面無公共點，則它們平行.故選A.
2.D　如圖，過線段A1B上任一點M作MH∥AA1，交AB于點H，過點H作HG∥AC交BC于點G，過點G作CC1的平行線，與CB1一定有交點N，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有無數條.故選D.
3.l α　解析：根據直線與平面平行的判定定理，知需要添加的一個條件是l α.
4.平行　解析：因為M，N分別是BF，BC的中點，所以MN∥CF.又因為四邊形CDEF為矩形，所以CF∥DE.所以MN∥DE.又MN 平面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
3 / 3(共52張PPT)
第1課時　直線與平面平行的判定
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線與平面
平行的判定定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用直線與平面平行的判定定理證明直線與平
面平行 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
如圖所示，如果將乒乓球臺的臺面抽象成平面α，將乒乓球網的
上邊緣抽象成直線l，則直線l與平面α具有怎樣的位置關系？如果將
乒乓球網的下邊緣抽象成直線m，并把m看成平面α內的直線，則直
線l與直線m具有怎樣的位置關系？
【問題】　你能給出判定的依據嗎？
知識點　直線與平面平行的判定定理
文字語言 如果 一條直線與此 的一條直線 ，那么該直線與此平面平行
符號語言 a∥α
圖形語言
平面外　
平面內　
平行
a α，b α，且a∥b　
提醒　線面平行判定定理的實質是線線平行 線面平行.
1. 能保證直線a與平面α平行的條件是（　　）
A. b α，a∥b
B. b α，c∥α，a∥b，a∥c
C. b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D. a α，b α，a∥b
解析：　由線面平行的判定定理可知，D正確.
2. （2024·泉州質檢）棱柱的一條側棱所在的直線與不含這條側棱的
側面所在的平面的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 平行或相交 D. 不相交
解析：　因為棱柱的側棱是互相平行的，所以由直線與平面平行
的判定定理可知，側棱所在的直線與不含這條側棱的側面所在的平
面平行.故選A.
3. （2024·三明月考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1B
與平面ACD1的位置關系是 .
解析：∵A1B∥D1C，A1B 平面ACD1，D1C 平面ACD1，
∴A1B∥平面ACD1.
平行
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 線面平行判定定理的理解
【例1】　如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關系是（　　）
A. 相交 B. b∥α
C. b α D. b∥α或b α
解析：　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
通性通法
線面平行的判定定理必須具備三個條件
（1）直線a在平面α外，即a α；
（2）直線b在平面α內，即b α；
（3）兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可.
【跟蹤訓練】
（2024·佛山月考）如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內，
把這塊矩形木板繞AB轉動，在轉動的過程中，AB的對邊CD與平面α
的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面α內 D. 平行或在平面α內
解析：　在旋轉過程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD α.故選D.
題型二 直線與平面平行的判定
【例2】　如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，D，E分別
是AB，B1C的中點.求證：DE∥平面ACC1A1.
證明：連接BC1，AC1，因為ABC-A1B1C1是斜三棱
柱，所以四邊形BCC1B1為平行四邊形，由平行四邊形
性質得點E也是BC1的中點.
因為點D是AB的中點，所以DE∥AC1.
又DE 平面ACC1A1，AC1 平面ACC1A1.
所以DE∥平面ACC1A1.
通性通法
應用判定定理證明線面平行的步驟
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④線段成比例法.
提醒　線面平行判定定理應用的誤區：①條件羅列不全，最易忘
記的條件是“直線在平面外”；②不能利用題目條件順利地找到
兩平行直線.
第一步“找”是證題的關鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關系的傳遞性法；
【跟蹤訓練】
如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，M為PD的中點.
證明：CM∥平面PAB.
證明：取PA的中點N，連接BN，MN，
∵M，N分別為PD，PA的中點，則MN∥AD且
MN＝ AD，
又BC∥AD且BC＝ AD，
∴BC∥MN且BC＝MN，
故四邊形BCMN為平行四邊形，即CM∥BN，
∵CM 平面PAB，BN 平面PAB，
∴CM∥平面PAB.
1. 圓臺底面內的任意一條直徑與另一個底面的位置關系是（　　）
A. 平行 B. 相交
C. 在平面內 D. 不確定
解析：　圓臺底面內的任意一條直徑與另一個底面無公共點，則
它們平行.故選A.
2. 如圖，各棱長均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1，M，N分別為線段
A1B，B1C上的動點，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有
（　　）
A. 1條 B. 2條
C. 3條 D. 無數條
解析：　如圖，過線段A1B上任一點M作MH∥AA1，交AB于點H，過點H作HG∥AC交BC于點G，過點G作CC1的平行線，與CB1一定有交點N，且MN∥平面ACC1A1，則這樣的MN有無
數條.故選D.
3. 已知l，m是兩條不同的直線，α是平面，若要得到l∥α，則需要
在條件m α，l∥m中另外添加的一個條件是 .
解析：根據直線與平面平行的判定定理，知需要添加的一個條件
是l α.
l α
4. 如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，M，N分別
是BF，BC的中點，則MN與平面ADE的位置關系為 .
解析：因為M，N分別是BF，BC的中點，所以MN∥CF. 又因為
四邊形CDEF為矩形，所以CF∥DE. 所以MN∥DE. 又MN 平
面ADE，DE 平面ADE，所以MN∥平面ADE.
平行
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若直線l不平行于平面α，且l α，則（　　）
A. α內的所有直線與l異面
B. α內不存在與l平行的直線
C. α內存在唯一的直線與l平行
D. α內的直線與l都相交
解析：　若在平面α內存在與直線l平行的直線，因為l α，故
l∥α，這與題意矛盾.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若M，N分別是△ABC的邊AB，AC的中點，則MN與過直線BC
的平面β的位置關系是（　　）
A. MN∥β
B. MN與β相交或MN β
C. MN∥β或MN β
D. MN∥β或MN與β相交或MN β
解析：　若平面β是△ABC所在的平面，則MN β.若MN β，則
MN∥β.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. 如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別為底面ABCD和底
面A'B'C'D'的中心，則正方體的六個面中與EF平行的平面有（　　）
A. 1個 B. 2個
C. 3個 D. 4個
解析：　由直線與平面平行的判定定理知，EF與平面AB'、平
面BC'、平面CD'、平面AD'均平行.故與EF平行的平面有4個.
故選D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 在空間四邊形ABCD中，E，F分別在AD，CD上，且滿足 ＝
，則直線EF與平面ABC的位置關系是（　　）
A. EF∥平面ABC B. EF 平面ABC
C. EF與平面ABC相交 D. 以上都有可能
解析：　∵ ＝ ，∴EF∥AC，又∵AC 平面ABC，EF
平面ABC. ∴EF∥平面ABC，故選A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多選）如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點，矩形對角線
的交點為O，M為PB的中點，給出以下結論，其中正確的是（　）
A. OM∥PD B. OM∥平面PCD
C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA
解析：　由題意知，OM是△BPD的中位線，∴OM∥PD，故A正確；PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故B正確；同理，可得OM∥平面PDA，故C正確；OM與平面PBA相交，故D不正確.故選A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多選）如圖，在四面體ABCD中，E，F分別為AB，AD的中
點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
給出下列四個命題中正確的為（　　）
A. BD∥平面EGHF
B. FH∥平面ABC
C. AC∥平面EGHF
D. 直線GE，HF，AC交于一點
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　因為BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD且
HG＝ BD，又E，F分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD且EF
＝ BD，所以EFHG為梯形，且EF∥GH，又BD 平面EGHF，
GH 平面EGHF，所以BD∥平面EGHF，A正確；因為F為AD
的中點，H為CD的一個三等分點，所以FH與AC為相交直線，故
FH與平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，B、C不正確；
因為EFHG為梯形，所以EG與FH必相交，設交點為M，又EG 平
面ABC，FH 平面ACD，則M是平面ABC與平面ACD的一個交點，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以M∈AC，即直線GE，HF，AC
交于一點，D正確.故選A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. （2024·焦作月考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1
的中點，則BD1與平面ACE的位置關系為 .
解析：連接BD，設AC∩BD＝O，連接OE（圖略），則OE∥BD1，OE 平面ACE，BD1 平面ACE，∴BD1∥平面
ACE.
平行
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 以下命題中為真命題的是 .（填序號）
①若直線l平行于平面α內的無數條直線，則直線l∥α；
②若直線a在平面α外，則a∥α；
③若直線a∥b，b α，則a平行于平面α內的無數條直線.
解析：對于①，當直線l平行于平面α內的無數條直線時，l∥α或l
在平面α內，所以①錯誤；對于②，直線a在平面α外，則a∥α或a
與平面α相交，所以②錯誤；對于③，若直線a∥b，b α，則
a∥α或a在平面α內，可得a平行于平面α內的無數條直線，所以③
正確.
③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E是PA上一點，當點E滿足條件： 時，PC∥平面EBD.
解析：如圖，取PA的中點E，連接EB，ED，
AC，設AC與BD交于點O，連接EO，易知
EO∥PC. ∵EO 平面EBD，PC 平面EBD，
∴PC∥平面EBD. 即當E為PA中點時，PC∥平
面EBD.
E為PA的中點
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，取PA的中點M，BC的
中點N，求證：MN∥平面PDC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
證明：如圖，連接AN并延長，交DC的延長
線于點E，連接PE.
因為CD∥AB，N為BC的中點，
所以N為AE的中點.
因為M為PA的中點，
所以MN∥PE.
因為MN 平面PDC，PE 平面PDC，
所以MN∥平面PDC.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 如圖甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E，F分別為
AD，CD的中點，以AF為折痕把△ADF折起，使點D不落在平
面ABCF內（如圖乙），那么在以下3個結論中，正確結論的個數
是（　　）
①AF∥平面BCD；
②BE∥平面CDF；
③CD∥平面BEF.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　對于①，由題意得AB CF，∴四邊形ABCF是平行
四邊形，∴AF∥BC，∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正確；對于②，取DF的中點G，連接
EG，GC（圖略），∵E是AD的中點，∴EG∥AF，EG＝
AF，又AF BC，∴EG∥BC，EG＝ BC，∴BE與CG相交，
∴BE與平面CDF相交，故②錯誤；對于③，連接AC，交BF于
點O，連接OE（圖略），∵四邊形ABCF是平行四邊形，∴O是
AC的中點，∴OE∥CD，又OE 平面BEF，CD 平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正確.故選C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多選）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂
點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB
與平面MNQ平行的是（　　）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　對于B項，如圖所示，連接CD，因為AB∥CD，M，Q分別是所在棱的中點，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可
證，C、D項中均有AB∥平面MNQ，只有A項中AB與平面MNQ不平行.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多選）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分別是棱
A1C1，BC的中點，則下列結論中正確的是（　　）
A. CC1∥平面A1ABB1
B. AF∥平面A1B1C1
C. EF∥平面A1ABB1
D. AE∥平面B1BCC1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1，CC1 平面A1ABB1，AA1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，A中結論正確；取B1C1的中點D，連接A1D，DF，由題意及基本事實4可知AA1 DF，∴四邊形AFDA1是平行四邊形，∴A1D∥AF，∵A1D 平面A1B1C1，AF 平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，B中結論正確；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
取AB的中點G，連接A1G，GF，∵G，F分別是棱AB，BC的中點，
∴GF∥AC，GF＝ AC，易知A1E∥AC，且A1E＝ AC，
∴GF A1E，∴四邊形GFEA1為平行四邊形，∴EF∥A1G，又
A1G 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，C中結
論正確；取AC的中點H，連接C1H，易證四邊形AHC1E為平行四邊
形，∴EA∥C1H，C1H與平面B1BCC1相交，∴AE與平面B1BCC1相
交，D中結論不正確.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三
角形，C為底面圓周上一點.
（1）若 的中點為D. 求證：AC∥平面POD；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：證明：設BC∩OD＝E，
∵D是 的中點，
∴E是BC的中點，
又∵O是AB的中點，
∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
（2）如果△PAB的面積是9，求此圓錐的表面積.
解：設圓錐底面圓半徑為r，高為h，母線長為l，
∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，
∴h＝r，l＝ r，
∵S△PAB＝ ×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
∴S表＝πrl＋πr2＝πr× r＋πr2＝9（1
＋ ）π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. （多選）一幾何體的平面展開圖如圖所示（頂點P在展開圖中分
別為P1，P2，P3，P4），其中四邊形ABCD為正方形，E，F分
別為P4B，P1C的中點，關于這個幾何體，下列結論正確的是
（　　）
A. 直線AE與直線BF異面
B. 直線AE與直線DF異面
C. 直線EF∥平面PAD
D. 直線EF∥平面ABCD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：　如圖，將平面展開圖還原，顯然AE，BF異面，故A正確；易得EF∥BC，又BC∥AD，∴EF∥AD，又EF 平面PAD，AD 平面PAD，∴EF∥平面PAD，故C正確；易知四邊形AEFD為梯形，故B錯誤；∵EF∥BC，BC 平面ABCD，EF 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故D正確.故選A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 如圖，四邊形ABCD為正方形，△ABE為等腰直角三角形，AB＝
AE，P是線段CD的中點，在直線AE上是否存在一點M，使得
PM∥平面BCE？若存在，指出點M的位置，并證明你的結論.若
不存在，請說明理由.
解：存在點M，當點M是線段AE的中點時，PM∥平面BCE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
證明如下：
如圖，取BE的中點N，連接CN，MN，則
MN∥AB且MN＝ AB.
又PC∥AB且PC＝ AB，
所以MN PC，即四邊形MNCP為平行四邊形，
所以PM∥CN.
因為PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
謝 謝 觀 看！

展開更多......

收起↑