資源簡介

第2課時　直線與平面垂直的性質
1.已知平面α與兩條直線l，m，l⊥α，則“m∥l”是“m⊥α”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
2.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l α，l β，則（　　）
A.α∥β，且l∥α
B.α⊥β，且l⊥β
C.α與β相交，且交線垂直于l
D.α與β相交，且交線平行于l
3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為，平面AB1D1到平面BC1D的距離為（　　）
A.　　　B. C.　　　D.
4.已知Rt△EFG的直角頂點E在平面α內，斜邊FG∥α，且FG＝6 cm，EF，EG與平面α分別成30°和45°角，則FG到平面α的距離是（　　）
A. cm B. cm
C.2 cm D.2 cm
5.（多選）（2024·潮州月考）如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結論中正確的是（　　）
A.PB⊥BC
B.PD⊥CD
C.PD⊥BD
D.PA⊥BD
6.（多選）如圖，ABCD是矩形，沿對角線BD將△ABD折起到△A'BD，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，則下列結論正確的是（　　）
A.A'C⊥BD B.A'D⊥BC
C.A'C⊥BC D.A'D⊥A'B
7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，則EF與AA1的位置關系是　　　　.
8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2.則直線AB到平面A1B1C1D1的距離為　　　　；平面ADD1A1與平面BCC1B1之間的距離為　　　　.
9.一條與平面α相交的線段，其長度為10 cm，兩端點到平面α的距離分別是2 cm，3 cm，則這條線段與平面α所成角的大小是　　　　.
10.斜邊為AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分別為垂足，如圖.
（1）求證：EF⊥PB；
（2）若直線l⊥平面AEF，求證：PB∥l.
11.如圖，設平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是（　　）
A.EF⊥平面α
B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE
D.PQ⊥FH
12.（多選）如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，BC邊上的高為AD，沿AD把△ABC折起來，則（　　）
A.在折起的過程中始終有AD⊥平面DB'C
B.三棱錐A-DB'C的體積的最大值為
C.當∠B'DC＝60°時，點A到B'C的距離為
D.當∠B'DC＝90°時，點C到平面ADB'的距離為
13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若邊AB上存在點M，使得PM⊥CM，則實數a的取值范圍是　　　.
14.如圖，已知AB為圓柱OO1底面圓O的直徑，C為的中點，點P為圓柱上底面圓O1上一點，PA⊥平面ABC，PA＝AB，過點A作AE⊥PC，交PC于點E.
（1）求證：AE⊥PB；
（2）若點C到平面PAB的距離為1，求圓柱OO1的表面積.
15.（2024·杭州月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB邊上的一動點，則PM的最小值為（　　）
A.2 B.7
C. D.
16.如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝，AC＝2.
（1）證明：BC⊥平面PAB；
（2）在線段PC上是否存在點D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，請說明理由.
第2課時　直線與平面平行的性質
1.D　l與m可以異面或平行，即l∩m＝ .
2.A　因為直線l∥平面α，所以根據直線與平面平行的性質定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A.
3.C　過直線a和n條直線的交點作平面β，設平面β與α交于直線b，則a∥b.若所給n條直線中有1條是與直線b重合的，則此直線與直線a平行；若沒有與直線b重合的，則與直線a平行的直線有0條.
4.C　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中點，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四邊形DEFC的周長為3＋2.
5.BD　∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，∴MN∥平面PAB.故選B、D.
6.CD　因為BD∥平面EFGH，所以由線面平行的性質定理，得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝DG∶GC，且EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.故選C、D.
7.充分不必要　解析：平面α外的兩條直線a，b，若a∥α且a∥b，則根據直線與平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，則不一定有a∥b.
8.平行　解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵E，F分別是棱AA1，BB1的中點，∴AE BF，∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴EF∥AB，又∵EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.又∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又EF∥AB，∴GH∥AB.
9.　解析：因為直線a∥平面α，點B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以＝＝，所以EG＝·BD＝×4＝.
10.解：（1）取VC的中點D，BC的中點E，AB的中點F，分別連接PD，PF，EF，DE，
則PD，PF，EF，DE即為在木塊表面應畫的線.
（2）在平面ABC中所畫的線EF與棱AC平行，證明如下：
因為PF∥DE，所以P，D，E，F四點共面，且AC∥平面PDEF，
因為平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
11.C　因為BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.因為BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因為BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜BC，所以四邊形EFBC為梯形，故選C.
12.D　如圖，設AO交BE于點G，連接FG.∵E為AD的中點，∴AE＝AD＝BC.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△AEG∽△CBG，∴＝＝，∴＝.∵PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝＝＝3.故選D.
13.24　解析：過點D作DE∥B1C1，交A1C1于點E，連接CE，B1C1∥BC，則DE∥BC，即D，E，B，C四點共面，四邊形BCED即為過BC和點D的截面，
因為D為棱A1B1的中點，所以DE是△A1B1C1的中位線，所以DE＝B1C1＝4 cm，又因為DE∥BC，所以四邊形BCED是梯形；過點D作DF⊥BC于點F，則DF＝＝4（cm），所以截面 BCED的面積為S＝×（4＋8）×4＝24（cm2）.
14.解：（1）證明：連接A1C（圖略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，側面AA1C1C為矩形，
因為N為AC1的中點，所以N為A1C的中點.
又M為A1B的中點，所以MN∥BC，又MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
（2）因為DN∥平面ABB1A1，DN 平面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以＝＝1.
15.ABD　因為AB∥CD，所以△AOB與△COD相似，所以＝＝，因為PA∥平面NBD，PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，所以PA∥ON，所以＝＝，故A、B正確；因為CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正確；因為＝，所以＝，因為＝＝3，所以＝，所以＝×＝，故D正確.故選A、B、D.
16.解：（1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，
AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
（2）同（1）可證EH∥CD，設EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1，
又AB＝4，CD＝6，∴＋＝1，
∴y＝6（1－），且0＜x＜4，
∴四邊形EFGH的周長為l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.
3 / 3第2課時　直線與平面垂直的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.從相關定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面的垂直關系 數學抽象
2.歸納出直線與平面垂直的性質定理 邏輯推理
3.了解直線與平面、平面與平面的距離 直觀想象
【問題】　（1）如果直線a垂直于一個平面α，直線b與直線a平行，那么直線b與平面α是否垂直？猜測結果并說明理由；
（2）如果兩條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線具有怎樣的位置關系？猜測結果并說明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點一　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 垂直于同一個平面的兩條直線　
符號語言 　　
圖形語言
作用 ①線面垂直 線線平行；②作平行線
【想一想】
在長方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'所在直線與平面ABCD位置關系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關系？
知識點二　線面距與面面距
1.直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上　　　　　　到這個平面的距離.
2.平面與平面的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的　　　　　　到另一個平面的距離都相等.
【想一想】
　是不是任意的直線與平面、平面與平面間都有距離？
1.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是（　　）
A.相交 B.異面
C.平行 D.不確定
2.如圖，平行四邊形ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，則CE＝（　　）
A.2 B.3
C. D.
3.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線B1C1到平面ABCD的距離是　　　　.
題型一 線面垂直有關性質的理解
【例1】　已知直線m，n和平面α，若n⊥α，則“m α”是“n⊥m”的（　　）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
通性通法
1.線面垂直的性質定理揭示了“垂直”與“平行”這兩種特殊位置關系之間的轉化.
2.常用的線面垂直的性質還有：①a⊥α，b∥a b⊥α；②a⊥α，a⊥β α∥β.
【跟蹤訓練】
（多選）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，則下列選項正確的是（　　）
A.AD1與平面A1DC相交
B.AD1⊥平面A1DC
C.AD1與MN異面
D.AD1∥MN
題型二 直線與平面垂直的性質的應用
【例2】　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求證：EF∥BD1.
通性通法
證明線線平行常用的方法
（1）利用線線平行定義：證共面且無公共點；
（2）利用三線平行基本事實：證兩線同時平行于第三條直線；
（3）利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行；
（4）利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直；
（5）利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行.
【跟蹤訓練】
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.
題型三 空間中的距離問題
【例3】　如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中求出下列距離：
（1）點A到平面BB1D1D的距離；
（2）點C到平面BDC1的距離.
通性通法
求點到平面的距離的兩種方法
（1）構造法：根據定義構造垂直于平面的直線，確定垂足位置，將所求線段化歸到三角形中求解；
（2）等積變換法：將所求距離看作某個幾何體（多為棱錐）的高，利用體積相等建立方程求解.
無論是求直線與平面的距離還是求平面與平面的距離，最終都轉化為點到平面的距離.
【跟蹤訓練】
（2024·濟南月考）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側棱PA⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，求AD到平面PBC的距離.
　　
1.在空間中，到一圓周上各點距離相等的點的集合表示的圖形是（　　）
A.一個點 B.一條直線
C.一個平面 D.一個球面
2.已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是（　　）
A.α∥β，且m α
B.m∥n，且n⊥β
C.m⊥n，且n β
D.m⊥n，且n∥β
3.在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，若點A1到平面ABCD的距離為4，則平面ABCD到平面A1B1C1D1的距離為　　　　.
4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD是矩形，AE⊥PD于點E，l⊥平面PCD.求證：l∥AE.
第2課時　直線與平面平行的性質
【基礎知識·重落實】
知識點
　平行　交線　a β，α∩β＝b
自我診斷
1.D　由題意得b∥α和b與α相交都有可能.故選D.
2.B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故選B.
3.CD∥EF　解析：∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB γ，CD γ，∴CD∥γ，又CD α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.
【典型例題·精研析】
【例1】　證明：如圖，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點.又∵M是PC的中點，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
跟蹤訓練
　證明：因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
【例2】　解：因為AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝EF，
所以AG∥EF.
又因為E為線段AB的中點，所以F為線段BG的中點，
因為G為線段BD的中點，且BD＝2，所以GF＝.
連接CG（圖略），因為△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，所以CG＝BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝＝.
跟蹤訓練
　解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中點，∴F為CD的中點.
∴EF＝AC＝×2＝.
【例3】　解：（1）如圖，在平面A'C'內，過點P作直線EF，使EF∥B'C'，并分別交棱A'B'，D'C'于點E，F.連接BE，CF，則EF，BE，CF就是應畫的線.
（2）因為棱BC平行于平面A'C'，平面BC'與平面A'C'相交于B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以EF∥BC.而BC在平面AC內，EF在平面AC外，所以EF∥平面AC.顯然，BE，CF都與平面AC相交.
跟蹤訓練
　解：直線l∥平面PAC.證明如下：
因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因為l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
隨堂檢測
1.A　過點A作直線m的平行線l，則經過l且不經過m的所有平面均與m平行，有無數個.故選A.
2.C　A中，n還有可能在平面α內；B中，m，n可能相交、平行、異面；由線面平行的性質定理可得C正確；D中，m，n可能異面.
3.證明：因為BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，
同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.
3 / 4(共54張PPT)
第2課時　直線與平面平行的性質
新課程標準解讀 核心素養
1.借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線和平面
平行的性質定理，并加以證明 邏輯推理
2.會應用直線和平面平行的性質定理證明一些空間
的簡單線面關系 直觀想象
目錄
基礎知識·重落實
01
典型例題·精研析
02
知能演練·扣課標
03
基礎知識·重落實
01
課前預習 必備知識梳理
　　當直線l∥平面α時，l與α沒有公共點.此時，若m α，這時可以
判定，l與m的位置關系是平行或異面.
【問題】　那么在什么情況下l與m平行呢？
知識點　直線與平面平行的性質定理
文字
語言 一條直線與一個平面 ，如果過該直線的平面與此平
面相交，那么該直線與 平行
符號
語言 a∥α， a∥b
圖形
語言
平行　
交線　
a β，α∩β＝b　
提醒　（1）線面平行的性質定理的條件有三個：①直線a與平面α平
行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在
平面β內，即a β.三個條件缺一不可；（2）定理的作用：①線面平
行 線線平行；②畫一條直線與已知直線平行.
1. 已知a，b是兩條相交直線，a∥α，則b與α的位置關系是（　　）
A. b∥α B. b與α相交
C. b α D. b∥α或b與α相交
解析：　由題意得b∥α和b與α相交都有可能.故選D.
2. 如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F分別是SB，SC上的點，且
EF∥平面ABC，則（　　）
A. EF與BC相交
B. EF∥BC
C. EF與BC異面
D. 以上均有可能
解析：　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF 平面SBC，又
EF∥平面ABC，∴EF∥BC. 故選B.
3. 如圖，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α，則CD與EF
的位置關系為 .
解析：∵AB∥α，AB β，α∩β＝CD，∴AB∥CD，又AB γ，
CD γ，∴CD∥γ，又CD α，α∩γ＝EF，∴CD∥EF.
CD∥EF
典型例題·精研析
02
課堂互動 關鍵能力提升
題型一 直線與平面平行性質定理的應用
【例1】　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊
形，AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G
和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
證明：如圖，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊
形，
∴O是AC的中點.又∵M是PC的中點，
∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝
GH，∴AP∥GH.
通性通法
1. 利用線面平行性質定理解題的步驟
2. 運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直
線的平面與這個平面的交線，然后確定線線平行.
【跟蹤訓練】
如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面
體.求證：截面MNPQ是平行四邊形.
證明：因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，AB 平面ABC，所以AB∥MN，同理AB∥PQ，
所以MN∥PQ，同理MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四邊形.
題型二 與線面平行性質定理有關的計算問題
【例2】　如圖，在四面體A-BCD中，已知△ABD是邊長為2的等邊
三角形，△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，E為線段
AB的中點，G為線段BD的中點，F為線段BD上的點.若AG∥平面
CEF，求線段CF的長.
解：因為AG∥平面CEF，AG 平面ABD，平面CEF∩平面ABD＝
EF，
所以AG∥EF.
又因為E為線段AB的中點，所以F為線段BG的中點，
因為G為線段BD的中點，且BD＝2，所以GF＝ .
連接CG（圖略），因為△BCD是以點C為直角頂點的等腰直角三角
形，所以CG＝ BD＝1，且CG⊥GF.
在Rt△CGF中，CF＝ ＝ .
通性通法
　　利用線面平行的性質定理計算有關問題的三個關鍵點
（1）根據已知線面平行關系推出線線平行關系；
（2）在三角形內利用三角形中位線性質、平行線分線段成比例定理
推出有關線段的關系；
（3）利用所得關系計算求值.
【跟蹤訓練】
如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點
F在CD上，若EF∥平面AB1C，求線段EF的長度.
解：∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，∵E是AD的中點，∴F為CD的中點.
∴EF＝ AC＝ ×2 ＝ .
題型三 線面平行關系的綜合應用
【例3】　如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A'C'.
（1）要經過平面A'C'內的一點P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應該怎樣畫線？
解：如圖，在平面A'C'內，過點P作直
線EF，使EF∥B'C'，并分別交棱
A'B'，D'C'于點E，F. 連接BE，
CF，則EF，BE，CF就是應畫的線.
（2）所畫的線與平面AC是什么位置關系？
解：因為棱BC平行于平面A'C'，平面BC'與平面A'C'相交于
B'C'，所以BC∥B'C'.由（1）知，EF∥B'C'，所以
EF∥BC. 而BC在平面AC內，EF在平面AC外，所以EF∥平
面AC. 顯然，BE，CF都與平面AC相交.
通性通法
關于線面平行關系的綜合應用
　　判定和性質之間的推理關系是由線線平行 線面平行 線線平行
得來的，既體現了線線平行與線面平行之間的相互聯系，也體現了空
間和平面之間的相互轉化.
【跟蹤訓練】
如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面
ABC外一點，E，F分別是PA，PC的中點.記平面BEF與平面ABC
的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.
解：直線l∥平面PAC. 證明如下：
因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC.
所以EF∥平面ABC，
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因為l 平面PAC，EF 平面PAC，所以l∥平面PAC.
1. 若A是直線m外一點，過點A且與m平行的平面（　　）
A. 存在無數個 B. 不存在
C. 存在但只有一個 D. 只存在兩個
解析：　過點A作直線m的平行線l，則經過l且不經過m的所有
平面均與m平行，有無數個.故選A.
2. 已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列結
論中正確的是（　　）
A. m∥α，m∥n n∥α
B. m∥α，n∥α m∥n
C. m∥α，m β，α∩β＝n m∥n
D. m∥α，n α m∥n
解析：　A中，n還有可能在平面α內；B中，m，n可能相交、平
行、異面；由線面平行的性質定理可得C正確；D中，m，n可能
異面.
3. 如圖，四棱錐P-ABCD中底面是正方形，四條側棱均相等，點G，E，F，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，BC∥平面GEFH. 求證：GH∥EF.
證明：因為BC∥平面GEFH，BC 平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，
同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.
知能演練·扣課標
03
課后鞏固 核心素養落地
1. 若l∥平面α，m α，則l與m的關系一定存在的是（　　）
A. l∥m B. l與m異面
C. l與m可能相交 D. l∩m＝
解析：　l與m可以異面或平行，即l∩m＝ .
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2. 若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別
為a，b，c，…，那么這些交線的位置關系為（　　）
A. 都平行
B. 都相交且一定交于同一點
C. 都相交但不一定交于同一點
D. 都平行或交于同一點
解析：　因為直線l∥平面α，所以根據直線與平面平行的性質定
理知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A.
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3. （2024·商丘月考）已知直線a∥平面α，α內有n條直線相交于一
點，則這n條直線中與直線a平行的直線有（　　）
A. 0條 B. 1條
C. 0條或1條 D. 無數條
解析：　過直線a和n條直線的交點作平面β，設平面β與α交于直
線b，則a∥b.若所給n條直線中有1條是與直線b重合的，則此直
線與直線a平行；若沒有與直線b重合的，則與直線a平行的直線
有0條.
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4. 如圖，四棱錐S-ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過
C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為
（　　）
解析：　由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，即AB∥平面DCFE，∵平面SAB∩平面DCFE＝
EF，∴AB∥EF. ∵E是SA的中點，∴EF＝1，DE＝CF＝
.∴四邊形DEFC的周長為3＋2 .
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5. （多選）如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上
的點，且MN∥平面PAD，則（　　）
A. MN∥PD
B. MN∥平面PAB
C. MN∥AD
D. MN∥PA
解析：　∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAC∩平
面PAD＝PA，∴MN∥PA，∵PA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB. 故選B、D.
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6. （多選）在空間四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，
BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時，下面結論正確的
是（　　）
A. E，F，G，H一定是各邊的中點
B. G，H一定是CD，DA的中點
C. AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
D. 四邊形EFGH是平行四邊形或梯形
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解析：　因為BD∥平面EFGH，所以由線面平行的性質定理，
得BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，BF∶FC＝
DG∶GC，且EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形或梯形.
故選C、D.
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7. 平面α外的兩條直線a，b，且a∥α，則a∥b是b∥α的
條件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充
分也不必要”）.
解析：平面α外的兩條直線a，b，若a∥α且a∥b，則根據直線與
平面平行的判定定理可知b∥α；若a∥α且b∥α，則不一定有
a∥b.
充分不
必要
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8. 如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱AA1，BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交于BC和AD于點G，H，則GH與AB的位置關系是 （填平行、相交、異面其中之一）.
平行
解析：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，∵E，F分別是棱AA1，BB1
的中點，∴AE BF，∴四邊形ABFE為平行四邊形，
∴EF∥AB，又∵EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平
面ABCD. 又∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝
GH，∴EF∥GH. 又EF∥AB，∴GH∥AB.
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9. （2024·福州質檢）如圖所示，直線a∥平面α，點A 平面α，并且
直線a和點A位于平面α兩側，點B，C，D∈a，AB，AC，AD
分別交平面α于點E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG
＝ .

解析：因為直線a∥平面α，點B，C，D∈a，平面ABD∩平面α＝EG，所以BD∥EG，所以 ＝ ＝ ，所以EG＝ ·BD＝ ×4＝ .
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10. 一正四面體木塊如圖所示，點P是棱VA的中點.
（1）過點P將木塊鋸開，使截面平行于棱VB和AC，在木塊的表面應該怎樣畫線？
解：取VC的中點D，BC的中點E，AB的中點F，分別連接PD，PF，EF，DE，則PD，PF，EF，DE即為在木塊表面應畫的線.
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（2）在平面ABC中所畫的線與棱AC是什么位置關系？
解：在平面ABC中所畫的線EF與棱AC平
行，證明如下：
因為PF∥DE，所以P，D，E，F四點共面，
且AC∥平面PDEF，
因為平面ABC∩平面PDEF＝EF，
所以AC∥EF.
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11. 如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，過BC的平面與平
面PAD交于EF，E在線段PD上且異于P，D兩點，則四邊形
EFBC是（　　）
A. 空間四邊形 B. 矩形
C. 梯形 D. 平行四邊形
解析：　因為BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所
以BC∥平面PAD. 因為BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD
＝EF，所以BC∥EF. 因為BC＝AD，EF＜AD，所以EF＜
BC，所以四邊形EFBC為梯形，故選C.
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12. 如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點
O，E為AD的中點，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，則
λ的值為（　　）
A. 1
C. 2 D. 3
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解析：　如圖，設AO交BE于點G，連接FG.
∵E為AD的中點，∴AE＝ AD＝ BC. ∵四邊
形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝
.∵PC∥平面BEF，PC 平面PAC，平面
BEF∩平面PAC＝GF，∴GF∥PC，∴λ＝
＝ ＝3.故選D.
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解析：過點D作DE∥B1C1，交A1C1于點E，連
接CE，B1C1∥BC，則DE∥BC，即D，E，
B，C四點共面，四邊形BCED即為過BC和點D
的截面，
因為D為棱A1B1的中點，所以DE是△A1B1C1的中位線，所以DE＝ B1C1＝4 cm，又因為DE∥BC，所以四邊形BCED是梯形；過點D作DF⊥BC于點F，則DF＝ ＝4 （cm），所以截面 BCED的面積為S＝ ×（4＋8）×4 ＝24 （cm2）.
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14. 如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，M，N分別為線段A1B，AC1
的中點.
（1）求證：MN∥平面BB1C1C；
解：證明：連接A1C（圖略），在直三棱柱A1B1C1-ABC中，側面AA1C1C為矩形，
因為N為AC1的中點，所以N為A1C的中點.
又M為A1B的中點，所以MN∥BC，又
MN 平面BB1C1C，BC 平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C.
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（2）若點D在棱BC上，DN∥平面ABB1A1，求 的值.
解：因為DN∥平面ABB1A1，DN 平
面A1BC，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，
所以DN∥A1B，所以 ＝ ＝1.
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15. （多選）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為梯形，且
AB∥CD，AC，BD的交點為O，CD＝3AB，在PC上取一點
N，使得PA∥平面NBD，四棱錐P-ABCD的體積為V1，三棱錐
N-BDC的體積為V2，則下面結論正確的為（　　）
B. PA∥ON
C. VP-ADC＝VP-ABC
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解析：　因為AB∥CD，所以△AOB與△COD
相似，所以 ＝ ＝ ，因為PA∥平面NBD，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面NBD＝ON，
所以PA∥ON，所以 ＝ ＝ ，故A、B正
確；因為CD＝3AB，AB∥CD，所以S△ADC＝3S△ABC，所以VP-ADC＝3VP-ABC，故C不正確；因為 ＝ ，所以 ＝ ，因為 ＝ ＝3，所以 ＝ ，所以 ＝ × ＝ ，故D正確.故選A、B、D.
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16. 如圖所示，四邊形EFGH為三棱錐A-BCD的一個截面，四邊形
EFGH為平行四邊形.
（1）求證：AB∥平面EFGH；
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解：證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，
∴EF∥GH.
又GH 平面ABD，EF 平面ABD，∴EF∥
平面ABD.
∵EF 平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB.
∵EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
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（2）若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.
解：同（1）可證EH∥CD，設EF＝x，EH＝y，
∵EF∥AB，EH∥CD，∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1，
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又AB＝4，CD＝6，∴ ＋ ＝1，
∴y＝6（1－ ），且0＜x＜4，
∴四邊形EFGH的周長為l＝2（x＋y）＝2［x＋6（1－ ）］＝12－x，
∵8＜12－x＜12，
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）.
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